Física Clássica Aula 4

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Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
F´ısica Cla´ssica
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica
Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica
Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Trajeto´ria no Plano
I O movimento no plano descreve bem va´rios casos estudados
na mecaˆnica como por exemplo o
movimento de proje´teis e o movimento da Terra ao redor do Sol.
I Considere o movimento de uma
part´ıcula em um plano, como
na figura ao lado.
I Podemos descrever este movi-
mento a partir da especificac¸a˜o
dos valores x e y a cada tempo
t.
x
y
x(t)
y( t)
j^
i^
I Assim, podemos decompor o movimento bidimensional como
dois movimentos unidimensionais simultaˆneos.
Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica
Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Trajeto´ria no Plano
I O movimento no plano descreve bem va´rios casos estudados
na mecaˆnica como por exemplo o
movimento de proje´teis e o movimento da Terra ao redor do Sol.
I Considere o movimento de uma
part´ıcula em um plano, como
na figura ao lado.
I Podemos descrever este movi-
mento a partir da especificac¸a˜o
dos valores x e y a cada tempo
t.
x
y
x(t)
y( t)
j^
i^
I Assim, podemos decompor o movimento bidimensional como
dois movimentos unidimensionais simultaˆneos.
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Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Trajeto´ria no Plano
I O movimento no plano descreve bem va´rios casos estudados
na mecaˆnica como por exemplo o
movimento de proje´teis e o movimento da Terra ao redor do Sol.
I Considere o movimento de uma
part´ıcula em um plano, como
na figura ao lado.
I Podemos descrever este movi-
mento a partir da especificac¸a˜o
dos valores x e y a cada tempo
t.
x
y
x(t)
y( t)
j^
i^
I Assim, podemos decompor o movimento bidimensional como
dois movimentos unidimensionais simultaˆneos.
Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica
Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Sistema de coordenadas
I Note que os valores do par ordenado (x(t), y(t)) dependem
da posic¸a˜o e orientac¸a˜o dos eixos x e y .
I Neste sistema o eixo x e´ ortogonal ao eixo y , e a distaˆncia e´
euclidiana, isto e´, dados dois vetores a e b, o seu produto
escalar e´ definido como a · b = axbx + ayby , onde (ax , ay ) sa˜o
as projec¸o˜es dos vetores a e b nos eixos x e y respectivamente.
I Exerc´ıcio: mostre que esta definic¸a˜o de sistema de
coordenadas leva a` fo´rmula usual da distaˆncia euclidiana entre
dois pontos.
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Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Sistema de coordenadas
I Note que os valores do par ordenado (x(t), y(t)) dependem
da posic¸a˜o e orientac¸a˜o dos eixos x e y .
I Neste sistema o eixo x e´ ortogonal ao eixo y , e a distaˆncia e´
euclidiana, isto e´, dados dois vetores a e b, o seu produto
escalar e´ definido como a · b = axbx + ayby , onde (ax , ay ) sa˜o
as projec¸o˜es dos vetores a e b nos eixos x e y respectivamente.
I Exerc´ıcio: mostre que esta definic¸a˜o de sistema de
coordenadas leva a` fo´rmula usual da distaˆncia euclidiana entre
dois pontos.
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Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
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Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Trajeto´ria
I Considere uma part´ıcula em
movimento no plano, e que des-
creve uma trajeto´ria em relac¸a˜o
ao sistema de refereˆncia Oxy,
como na figura ao lado.
I O deslocamento da part´ıcula em relac¸a˜o a` origem no intante t
e´ dado por r(t) =
−→
OP
I e no instante t + ∆t e´ dado por r(t + ∆t) =
−−→
OP‘
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Refereˆncias
Trajeto´ria
I Considere uma part´ıcula em
movimento no plano, e que des-
creve uma trajeto´ria em relac¸a˜o
ao sistema de refereˆncia Oxy,
como na figura ao lado.
I O deslocamento da part´ıcula em relac¸a˜o a` origem no intante t
e´ dado por r(t) =
−→
OP
I e no instante t + ∆t e´ dado por r(t + ∆t) =
−−→
OP‘
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Refereˆncias
Trajeto´ria
I Considere uma part´ıcula em
movimento no plano, e que des-
creve uma trajeto´ria em relac¸a˜o
ao sistema de refereˆncia Oxy,
como na figura ao lado.
I O deslocamento da part´ıcula em relac¸a˜o a` origem no intante t
e´ dado por r(t) =
−→
OP
I e no instante t + ∆t e´ dado por r(t + ∆t) =
−−→
OP‘
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Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Velocidade Me´dia
I O deslocamento relativo entre
os instantes t e t + ∆t e´ dado
por−−→
PP‘ = ∆r = r(t + ∆t)− r(t)
I Por analogia com o movimento unidimensional podemos
definir a velocidade me´dia entre os instantes t e t + ∆t como
vm =
r(t + ∆t)− r(t)
∆t
=
∆r
∆t
I Assim, calculamos as componentes da velocidade me´dia
vx =
∆x
∆t e vy =
∆y
∆t
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Movimento Bidimensional
Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Velocidade Instantaˆnea
I Com ∆t → 0, as componen-
tes vx e vy da velocidade ins-
tantaˆnea sa˜o:
I vx = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
I vy = lim
∆t→0
∆y
∆t
=
dy
dt
I Usando a noc¸a˜o de vetor unita´rio, fica tudo mais fa´cil:
v(t) = lim
∆t→0
∆r
∆t
=
d
dt
(r) =
d
dt
(
x(t )ˆi + y(t )ˆj
)
=
dx
dt
iˆ +
dy
dt
jˆ = vx(t )ˆi + vy (t )ˆj
I A direc¸a˜o da velocidade instantaˆnea v(t) e´ a da tangente da
trajeto´ria em r(t), e o sentido e´ o sentido do percurso da
trajeto´ria para t crescente
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Refereˆncias
Velocidade Instantaˆnea
I Com ∆t → 0, as componen-
tes vx e vy da velocidade ins-
tantaˆnea sa˜o:
I vx = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
I vy = lim
∆t→0
∆y
∆t
=
dy
dt
I Usando a noc¸a˜o de vetor unita´rio, fica tudo mais fa´cil:
v(t) = lim
∆t→0
∆r
∆t
=
d
dt
(r) =
d
dt
(
x(t )ˆi + y(t )ˆj
)
=
dx
dt
iˆ +
dy
dt
jˆ = vx(t )ˆi + vy (t )ˆj
I A direc¸a˜o da velocidade instantaˆnea v(t) e´ a da tangente da
trajeto´ria em r(t), e o sentido e´ o sentido do percurso da
trajeto´ria para t crescente
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Velocidade Instantaˆnea
I Com ∆t → 0, as componen-
tes vx e vy da velocidade ins-
tantaˆnea sa˜o:
I vx = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
I vy = lim
∆t→0
∆y
∆t
=
dy
dt
I Usando a noc¸a˜o de vetor unita´rio, fica tudo mais fa´cil:
v(t) = lim
∆t→0
∆r
∆t
=
d
dt
(r) =
d
dt
(
x(t )ˆi + y(t )ˆj
)
=
dx
dt
iˆ +
dy
dt
jˆ = vx(t )ˆi + vy (t )ˆj
I A direc¸a˜o da velocidade instantaˆnea v(t) e´ a da tangente da
trajeto´ria em r(t), e o sentido e´ o sentido do percurso da
trajeto´ria para t crescente
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Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Refereˆncias
Acelerac¸a˜o me´dia e acelerac¸a˜o instantaˆnea
I Acelerac¸a˜o me´dia no instante
t → t +4t
I am =
v(t + ∆t)− v(t)
∆t
= ∆v∆tI O que acontece no limite de
∆t → 0?
I A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ a derivada do vetor velocidade
instantaˆnea v(t) em relac¸a˜o ao tempo:
I a(t) = lim
∆t→0
v(t + ∆t)− v(t)
∆t
= lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
I a(t) =
d2r
dt2
=
d2x
dt2
iˆ +
d2y
dt2
jˆ
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Acelerac¸a˜o me´dia e acelerac¸a˜o instantaˆnea
I Acelerac¸a˜o me´dia no instante
t → t +4t
I am =
v(t + ∆t)− v(t)
∆t
= ∆v∆t
I O que acontece no limite de
∆t → 0?
I A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ a derivada do vetor velocidade
instantaˆnea v(t) em relac¸a˜o ao tempo:
I a(t) = lim
∆t→0
v(t + ∆t)− v(t)
∆t
= lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
I a(t) =
d2r
dt2
=
d2x
dt2
iˆ +
d2y
dt2
jˆ
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Refereˆncias
Observac¸o˜es
Por serem derivadas vetoriais, tanto a acelerac¸a˜o quanto a ve-
locidade na˜o esta˜o associadas apenas a variac¸o˜es no mo´dulo da
velocidade ou da trajeto´ria r(t) respectivamente, pois uma
variac¸a˜o na direc¸a˜o destes
tambe´m representa uma va-
riac¸a˜o vetorial. Por exemplo no
movimento circular uniforme o
mo´dulo de r(t) na˜o varia com o
tempo (lembra que x2 + y2 =
r2 = cte para um c´ırculo!!!), no
entanto a velocidade e a ace-
lerac¸a˜o sa˜o diferentes de zero.
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Exerc´ıcios
As coordenadas de uma part´ıcula que se move no plano xy sa˜o
dadas em func¸a˜o do tempo por x = 2t e y = 19− 2t2
1. Qual a distancia da particula a` origem em t = 2s?
2. Qual a velocidade (mo´dulo e direc¸a˜o) da part´ıcula em t = 2s?
3. Qual a acelerac¸a˜o (mo´dulo e direc¸a˜o) da part´ıcula em t = 2s?
4. Em que instantes a velocidade da part´ıcula e´ perpendicular a`
sua acelerac¸a˜o?
5. Em que instantes a velocidade da part´ıcula e´ perpendicular ao
vetor posic¸a˜o? quais as posic¸o˜es da particula nesses instantes?
6. Qual a distancia minima da particula a origem?
7. Fazer um esboc¸o da trajeto´ria da particula.
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Refereˆncias e 4a lista de exerc´ıcios
I Livro texto, pg. 40 a 49.
I Exerc´ıcios livro texto, pg. 60 no 1 a 5.
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	Movimento Bidimensional
	Velocidade e Aceleração Vetoriais
	Referências