gabarito_conicas

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Coordenadas Polares
1. Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes
pontos cujas coordenadas polares sa˜o dadas:
(a) (3,pi)
(b) (
√
2,-3pi/4)
(c) (-4,2pi/3)
(d) (-2,-1pi/2)
(e) (-2,7pi/4)
(f) (-1,-7pi/6)
4.14 Gabarito
Para´bola
1. a. F (0,1), y = −1; b. F (−2,0), x = 2; c. F (
9
8
,0), x = −
9
8
.
2. a. y2 = 20x; b. x2 = −8y; c. y2 = 2x; d. x2 − 8y = 0; e. y2 − 8x = 0; f.
x2 = −12y.
3. x2 + y = 0.
4. a. F (
5
4
,0); b. F (−
5
4
,0); c. F (0,
1
40
).
5. y2 =
4
9
(9− x).
Elipse
1. a. A1(0,5), A2(0,−5), F1(0,
√
21), F2(0,−
√
21); b. A1(4,0), A2(−4,0), F1(
√
7,0), F2(−
√
7,0).
2. a. 9x2 + 25y2 = 225; b. 2x2 + y2 − 50 = 0; c.
x2
16
+
y2
7
= 1.
3.
(x− 3)2
9
+
(y + 1)2
4
= 1.
4.
x2
25
+
y2
9
= 1, F1 = (4,0), F2(−4,0).
179
5.
x2
9
+
y2
16
= 1.
6.
(x− 4)2
27
+
(y − 2)2
36
= 1, F1(4,5), F2(4,− 1).
Circunfereˆncia
1. a. (x− 4)2 + (y + 3)2 = 25; x2 + y2 − 8x+ 6y = 0; b. (x+ 5)2 + (y + 12)2 = 9.
2. x2 + y2 − 2x− 4y − 8 = 0.
3. a. r = 4, C(−3,− 4); b. r =
5
3
, C(0,−
2
3
).
4. (x− 3)2 + (y − 4)2 = 17.
5. x2 + y2 + 2x+ 10y = 0.
Hipe´rbole
1. a. A1(2,0), A2(−2,0), F1(
√
13,0), F2(−
√
13,0); b. A1(5,0), A2(−5,0), F1(
√
41,0), F2(−
√
41,0);
c. A1(4,0), A2(−4,0), F1(5,0), F2(−5,0) ; d. A1(
√
8,0), A2(−
√
8,0), F1(
√
12,0), F2(−
√
12,0);
e. A1(3,0), A2(−3,0), F1(
√
13,0), F2(−
√
13,0).
2. a. eixo real sobre x, 16x2 − 9y2 = 144; b. eixo real sobre y,
y2
4
−
x2
5
= 1; c.
eixo real sobre y,
y2
25
−
x2
75
= 1; d. eixo real sobre y, 7y2 − 4x2 − 28 = 0.
3. a = 2, b = 4, c =
√
20.
4.
x2
16
−
y2
9
= 1,
y2
9
−
x2
16
= 1.
Coˆnicas Transladadas
1. x2 + 4x+ 8y − 20 = 0
2. y2 + 2y − 12x+ 25 = 0
3. (y + 3)2 = −8(x− 4)
4. F (−
9
2
,3)
180
5. (y − 2)2 = 8(x− 3)
6. (x− 1)2 = 20(y + 2)
7. a.(y + 1)2 = 12(x + 1); b. (x + 1)2 = −4(y − 1); c. (y − 3)2 = 8(x − 3); d.
(x− 1)2 = −12(y − 3)
8.
(x− 1)2
36
+
(y − 4)2
20
= 1
9.
(x− 2)2
16
+
(y − 2)2
25
= 1
10. a = 17, F (3,12), F (3,− 4)
11. (x+ 2)2 +
(y − 2)2
16
= 1
12.
(x− 3)2
9
+
(y + 4)2
16
= 1
13. a.
(x− 3)2
4
+
(y − 4)2
36
= 1; b.
(x− 1)2
9
+
(y − 2)2
4
= 1; c. (x−4)2−
(y − 2)2
3
=
1; d. (x− 1)2 −
(y + 2)2
4
= 1; e.
(y + 1)2
16
−
(x− 2)2
9
= 1
14.
(x− 1)2
4
−
(y + 1)2
9
= 1
15.
(x− 3)2
4
−
(y − 2)2
12
= 1
16.
(y + 3)2
16
−
(x− 1)2
9
= 1
17.
(x− 2)2
36
−
(y + 1)2
25
= 1
18.
(y − 3)2
64
−
(x+ 5)2
36
= 1
19. a. V (−2, − 3), F (−1, − 3); b. V (1, − 7), F (1, − 5); c. C(−2, − 1)
(x+ 2)2
6
+
(y + 1)2
9
= 1; d. C(2,3), F (3,3), F (1,3); e. C(2,2),
(x− 2)2
4
−
(y − 2)2
5
= 1; f.
C(−1,1), F (−1,− 1 +
√
2), F (−1,− 1−
√
2)
181
20. a. (x + 2)2 + y2 = 16; b. (x + 1)2 = −4(y − 1) c.
(x− 1)2
2
+ (y − 1)2 = 1; d.
(x− 1)2 − (y − 2)2 = 1
Refereˆncias:
Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Anal´ıtica, Sa˜o Paulo: Pearson Makron
Books, 1987.
Winterle, P. Vetores e Geometria Anal´ıtica, Sa˜o Paulo: Makron Books, 2000.
Boulos, P. Geometria Anal´ıtica: um tratamento vetorial,Sa˜o Paulo: McGraw-Hill,
1987.
Tabela - Valores para sin x e cos x em radianos:
x 0 pi/6 pi/4 pi/3 1pi/2 2pi/3 3pi/4 5pi/6 pi 3pi/2 2pi
sin x 0 1/2
√
2/2
√
3/2 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0 -1 0
cos x 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0 -1/2 −
√
2/2 −
√
3/2 -1 0 1
182