Como medir o retorno do seu investimento

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Retorno do investimento
Aspectos matemáticos e Uso Na HP12c
Fluxos Irregulares
VPL
TIR 
PAYBACK 
Payback Descontado
Duration
Payback TIR
TIRM
VUE
Seleção de Projetos
Princípios da análise de projetos
1. Não existe decisão a ser tomada 
considerando-se alternativa única.
2. Só se podem comparar alternativas 
homogêneas.(prazos, moedas etc.)
3. Apenas as diferenças de alternativas são 
relevantes.
4. É necessário ordenar as alternativas, por 
um denominador comum afim de torná-
las comensuráveis.
5. Sempre existe a alternativa de não fazer 
nada.
6. Os critérios para a decisão entre as 
alternativas econômicas devem 
reconhecer o valor do dinheiro no tempo
7. Não devem ser esquecidos os 
problemas relativos ao racionamento de 
capital
Princípios da análise de projetos
8. Decisões separadas devem ser tomadas 
separadamente.
9. Deve-se considerar o grau de incerteza 
presente nas variáveis consideradas por meio 
de ajustes nas previsões 
efetuadas.(probabilidades; Delphi; CAPM; 
Monte Carlo)
10. As decisões devem levar também em 
consideração os eventos qualitativos não 
quantificáveis monetariamente.
Princípios da análise de projetos
Estimação dos Fluxos de Caixa
• Estimar as entradas e saídas do fluxo de 
caixa do projeto e/ou ativo de forma 
adequada. 
• Esta parte apesar de parecer simples, pode 
comprometer toda a análise
• Inconsistência de previsão
– Superestimação das receitas; Subestimação 
das despesas ou estabelecimento de prazos 
incorretos
• Inconsistências Técnicas
• Inclusão de custos passado, uso inadequado de 
valores contábeis, tratamento equivocado da 
inflação e muitos outros. 
• Inconsistências de Previsão
• A característica principal é o exagero de otimismo.
Estimação dos Fluxos de Caixa
2
Evitando as Inconsistências 
Técnicas
• Regra 1
– Considere apenas os fluxos de caixa: 
lançamentos contábeis como despesas de 
depreciação, provisãoes de devedores 
duvidosos, reversões, atualizações 
monetárias e outros não deverão constar dos 
DFCs.
• Regra 2
– Utilize os fluxos de caixa em bases 
incrementais de forma a levar em 
consideração todas as variações do fluxo de 
caixa decorrente do projeto.
– Impostos, benefícios fiscais necessidade de 
capital de giro etc.
– Os custos relacionados a todos os insumos 
mesmo aqueles que já são de propriedade do 
investidor e no momento estejam ociosos.
Evitando as Inconsistências 
Técnicas
• Regra 3
Mantenha a consistência entre os fluxos de 
caixa e a taxa de juros utilizada como custo 
de oportunidade.
– Fluxos reais deverão ser descontados à
taxas reais de juros.
– Fluxos nominais deverão ser descontados à
taxas aparentes.
– Fluxos do acionista à taxa de capital próprio.
Evitando as Inconsistências 
Técnicas Exemplo 1
• Uma revendedora comprou à vista um 
caminhão no valor de R$ 80000,00. Como 
a mercadoria adquirida fará parte do 
estoque, sendo lançado integralmente 
como CMV, sem gerar lançamentos de 
depreciação. Imaginando a venda por 
R$100000,00 também à vista um mês 
depois. Desenhe o DFC. 
Exemplo 1
• solução
0
1
100000
80000
Exemplo 2
• Se no exemplo anterior a empresa fosse 
uma transportadora, o caminhão adquirido 
faria parte do ativo fixo. Supondo que a 
legislação permita a depreciação em 5 
anos e que a aliquota de IR seja de 
30%.Pede-se o DFC. 
3
Exemplo 2
• Solução
Valor do Caminhão R$80000,00
Depreciação R$80000/5= R$16000,00
Redução do IR = 30% de R$16000,00= R$4800,00
80000
4800
0
1 5
Exemplo 3
A empresa XYZ irá utilizar uma área de sua propriedade, atualmente 
desocupada, para implementar um estacionamento rotativo. As 
seguintes premissas serão adotadas na avaliação, onde todos os 
valores estão expressos em milhares, e em moeda constante.
1. Para que o lugar fique disponível para será necessária uma 
reforma , estimada em R$100,00, além da compra de 
equipamentos de segurança, orçados em R$50,00 e sem valor de 
revenda ao término do projeto.
2. No passado forma gastos R$30,00 com pequenas reformas, 
destinadas a transformar a área num galpão industrial, projeto 
que entretanto foi abandonado.
3. Há equipamentos na área que podem ser revendiods como 
sucata, por R$12,00 líquidos ( ou seja já considerados os 
impostos);
• Continua...
Exemplo 3 
4. Admite-se a necessidade inicial de capital de giro de R$20,00, 
valor que poderá ser diminuído em R$ 3,00 a cada ano.
5. As vendas anuais brutas foram estimadas em R$ 120,00 e os 
custos de pessoal encarregado do estacionamento em R$ 40,00.
6. Para este tipo de atividade a prefeitura cobra 5% sobre a receita 
bruta a título de ISS e a aliquota de IR é de 30%.
7. Um imóvel nesta região pode ser alugado por R$20,00.
8. A XYZ tem um cinema na proximidade de onde será o 
estacionamento, e oes especialistas em marketing indicam que a 
realização do projeto irá gerar um acréscimo na venda de 
ingressos de R$18,00 em termos anuais.
9. Espera-se que o estacionamento funcione por 5 anos, quando a 
área será destinada a outros fins.
Solução
Investimento Inicial CF0 (t=0) 
transformação da área = 100+50 (item 1)
capital de giro = 20 (item 4)
venda da sucata = - 12 ( item 3)
CF0 = 158
Exemplo 3 
Exemplo 3
• Depreciação anual e benefício fiscal BFt (t=1 a t=5).
Imobilizado = 100+50= 150
Depreciação em 5 anos= 150/5=30
Benefício fiscal = 30% de 30 = 9 (item 5)
• Receita operacional Bruta ROBt (t=1 a t=5).
Vendas líquidas (vendas brutas –ISS) = 120 (1-0,05)= 114 (item 5 e 6)
Custos de manutenção e operação = - 40 (item 5)
Aluguel = -20 (item 7)
ROBt= VLt-Ct-AL= 114-40-20=54
Fluxo de caixa Operacional Líquido CFOLt (t=1 a t=5)
Receita operacional bruta – IR = 54(1-0,30) = 37,80
Benefício Fiscal BFt = 9,00
CFOLt = 46,80
Recuperação do Capital de Giro RCGt (t=1 a t=5)
RCGt (t=1 a t=4) = 3
RCGt (t=5)= (20-4*3)= 8
Efeitos Colaterais ECt (t=1 a t=5) = 18
Finalmente:
Fluxos de Caixa Livres do Projeto CFt (t=1 a t=5)
CFt (t=1 a t=4)= CFOLt+RCGt+Ect= 46,80+3+18=67,80
CFt (t=5)= CFOL5+RCG5+Ec5=46,80+8+18=72,80
4
Exemplo 3 DFC
Qual a taxa de juros deveria 
ser considerada no 
desconto do fluxo de 
caixa do exemplo se 
projetos similares rendem 
32%aa. em termos 
aparentes?
Utilize uma expectativa de 
inflação de 10%aa.
158
0
1 2 3 4 5
anos
4 x 67,80 72,80
.%20
20,1
10,1
32,1)1(
aai
i
real
real
=
⇒==+
Observações
• No exemplo em análise assumimos implicitamente que o 
projeto seja financiado por capitais próprios; neste caso 
os fluxos de caixa livres do projeto coincidirão com os 
fluxos de caixa livres do acionista.
• Caso o projeto fosse financiado por capitais de terceiros 
poderíamos avaliá-lo pelo fluxo de caixa livre do 
acionista , que neste caso deveriam levar em 
consideração os desembolsos de amortizações da 
dívida e juros líquidos pagos (após o IR).
• Para mantermos a consistência na análise, na situação 
proposta na observação anterior, a taxa de juros deveria 
refletir a alavancagem financeira utilizada, sendo 
numericamente superior aos 20%aa. encontrados.
VPL
• Valor Presente Líquido ou NPV
• O método do VPL é o mais simples e o de mais larga utilização, 
consiste em calcular o valor presente do fluxo de caixa livre do
projeto ou investimento.
• Este método de avaliação mede a criação de valor do projeto e 
consequentemente sua contribuição no aumento do valor da 
empresa. Em empresas de capital aberto com ações ordinárias 
negociadas em bolsas de valores o método mostra a contribuição 
do projeto de investimento na maximização do retorno dos 
acionistas.
• Decisão:
– VPL>0 Aceitar o projeto
– VPL=0 Aceita o projeto ; atinge a TMA
– VPL<0 Rejeitar o Projeto• Ponto Fraco do método = Necessidade de conhecer a taxa 
requerida pelo investidor,e de retornar um valor absoluto ao invés 
de relativo.
• Ponto Forte = pode ser usado em projetos com qualquer tipo de 
fluxo de caixa, alguns autores consideram o valor absoluto um 
ponto forte.
Calculando o VPL
• Tomemos o exemplo anterior para 
aplicarmos o cálculo do VPL.
∑
=
+
=
n
t
t
t
k
CFCFVPL
1
0 )1(
158
0
1 2 3 4 5
anos
4 x 67,80 72,80
Calculando o VPL manualmente
• Considere a mesma taxa requerida.
TMA=20%aa.
54321 )1(
80,72
)1(
80,67
)1(
80,67
)1(
80,67
)1(
80,67158
kkkkk
VPL
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−=
54321 )20,01(
80,72
)20,01(
80,67
)20,01(
80,67
)20,01(
80,67
)20,01(
80,67158
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−=VPL
VPL= 46,773
Decisão: VPL>0; Aceita o projeto
Calculando o VPL na HP12C
158
0
1 2 3 4 5
anos
4 x 67,80 72,80
Para isto vamos utilizar as funções de fluxo de caixa irregulares que nos 
fornecerá diretamente o valor desejado, note que também é possível utilizar 
outras soluções combinadas.
Assim:
f reg (limpa a máquina)
158 chs gCf0 (valor na data zero)
67,8 gCfj (valor na data um)
4 gNj ( o valor inserido se repete no total 4 vezes)
72,8 g Cf (valor na data 5)
20i (taxa de 20%aa. Atente as considerações sobre a TMA)
f NPV (VPL?) visor 46,773
5
Uso das funções na HP12c
• Devemos levar em consideração os sinais 
relativos (entradas/saídas) dos valores.
• Todos os fluxos devem ser informados a 
máquina mesmo quando o valor for zero.
• A máquina tem um limite para vinte 
fluxos(memória).
• A máquina permite reduzir os fluxos de valores 
iguais através da função gNj.
• A função gNj só admite até 99 fluxos iguais, 
quando o número de entradas for maior divida 
em dois fluxos.
Calculando o VPL no Excell Calculando o VPL no Excell
Cuidado se inserir o valor da 
data zero a função vai retornar
um valor errado.
VPL e k
• Conforme a taxa 
aumenta o VPL torna-se 
menor e vice versa, para 
a taxa igual a taxa interna 
de retorno do fluxo o 
valor do VPL será nulo.
• Se a taxa for nula o VPL 
será a simples soma 
algébrica dos valores.
VPL
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
160,00
180,00
ta
xa
2,
00
%
4,
00
%
6,
00
%
8,
00
%
10
,
00
%
12
,
00
%
14
,
00
%
16
,
00
%
18
,
00
%
taxa
R$
 
m
ilh
a
re
s
VPL
Método da Taxa Interna de 
Retorno
• A taxa interna de retorno é definida como a 
taxa que iguala o VPL a zero.
logo:
zero
irr
Cfn
irr
Cf
irr
Cf
irr
CFo
n
=
+
++
+
+
+
+
+ )1(...)1(
2
)1(
1
)1( 310
• Os Fluxos devem ser considerados segundo seus 
sinais algébricos.
• Decisão:
IRR>TMA Aceita o projeto
IRR= TMA Aceita o Projeto
IRR<TMA Rejeita o projeto
6
• Manualmente
– Por tentativa e erro,uma grande perda de tempo! 
Trata-se de uma função polinomial de grandeza 
maior que dois...
• Na calculadora HP12c
f reg (limpa a máquina)
158 chs gCf0 (valor na data zero)
67,8 gCfj (valor na data um)
4 gNj ( o valor inserido se repete 4 vezes)
72,8 g Cf (valor na data 5)
fIRR (busca a taxa...runing...) No visor 32,757
Calculando a TIR ou IRR
158
0
1 2 3 4 5
anos
4 x 67,80 72,80
Calculando a TIR 
• Alguns cuidados são necessários:
– A TIR é uma taxa periódica e no projeto 
analisado significa uma taxa de 32,757% aa.
– O projeto é viável pois 32,757% > 20% (TMA).
– O excedente da TIR em relação a TMA (32,757-20) NÂO TEM 
SIGNIFICADO.
– No cálculo da TIR há o pressuposto de que todos os valores 
caminham no tempo pela própria TIR, ou seja, os fluxos 
negativos ou investimentos seriam financiados pela TIR e os 
lucros também seriam reinvestidos pela TIR. Neste caso os 
valores podem diferir do mercado, sua interpretação não é
verdadeira.
TIR no Excell TIR é o x da questão?
• Sim, a TIR é como vimos a raiz de uma função polinomial de ordem 
maior que dois e portanto pode apresentar valores menores que 
zero ou ainda mais de um valor positivo como solução. Cabe ao 
profissional interpretar os resultados.
• Segundo o Teorema de Descartes ( Penso logo existo) O número 
máximo de TIR é igual ao número de vezes que o fluxo de caixa 
troca de sinal e é estabelecido por um número r não negativo 
caracterizado por m-2k≥0. Onde m é o número de troca de sinais e 
k é representado pelo conjunto de números naturais{0,1,2,3...n}.
• Na calculadora quando ocorrerem mais de uma solução ela retorna 
com ERROR 3, significando que o cálculo é complexo, proceda da 
seguinte forma: clx; Estime um valor para IRR, digite o número e 
RCL g R/S. Repita a operação até encontrar onúmero toral das 
raízes. (lembre-se só as positivas servem...)
TIR Modificada 
• A TIRM resulta de algumas modificações para tornar seu uso mais 
aceitável dada a preferência deste método, na tentativa de eliminar 
as falhas comentadas anteriormente o problema do financiamento 
de capital e reinvestimento dos lucros.
• Taxa de Reinvestimento (TR): representa a taxa média do período 
do fluxo de caixa mais conveniente para reaplicar os lucros 
gerados a cada ano.
• Taxa de Financiamento (TF): representa a taxa média do período 
do fluxo de caixa mais compatível com a captação de recursos 
financeiros para os investimentos.
Taxa de reinvestimento
Taxa de financiamento
TIRM
• Assim temos a redução ao fluxo básico, e 
apenas uma solução para TIRM.
Fv= Pv(1+TIRM)n
Decisão 
TIRM≥TMA Aceita o projeto
TIRM<TMA Rejeita o Projeto
Representa o verdadeiro retorno do projeto.
7
Payback Simples
• Se considerarmos a taxa de desconto nula, então o 
payback será definido como o tempo necessário para 
que se recupere o investimento.
• Decisão:
• PBs<TMT (tempo máximo tolerado) Aceita
• PBs≥TMT então rejeita o projeto.
• Método não exato, mas útil ao complementar as 
análises de risco de um projeto.
• Existem projetos que se não recupera-se o investimento 
nos primeiros períodos dificilmente o faremos depois.
Calculando o Payback simples
• Voltando ao exemplo da XYZ e do 
estacionamento teríamos:
72,85
Regra de três67,84
45,467,83
-22,467,82
-90,267,81
-158-1580
saldo a recuperarvalorano
anos2,3303835Cálculo do Payback simples
Payback descontado
• Quando o retorno é igual a TIR então VPL=0; podemos 
usar o Payback descontado para decidir sobre o projeto.
• Apresenta maior refinamento que o PBs, e algumas das 
mesmas falhas.
20,00%taxa
29,25668772,85
17,51620432,69675967,84
-15,18055639,23611167,83
-54,41666747,08333367,82
-101,556,567,81
-158-158-1580
saldo a recuperarvalor em t=0valorano
3,5357168cálculo do Payback descontado
Payback total ou duration do 
projeto
• Apesar de o payback descontado trabalhar com os 
valores de forma correta ele não considera os valores 
posteriores no fluxo.
• O Payback total ou Duration é definido como o produto 
do número de anos do projeto e a razão do Valor 
presente dos Investimentos e valor presente dos lucros. 
anosDuration ×=
Pv(lucros)
mento)Pv(investi
 
Calculando a Duration
• Para o exemplo que viemos acompanhando 
temos:
anosDuration ×=
Pv(lucros)
mento)Pv(investi
 
anosDuration 858,35
204,77
158
 =×=
Um projeto com duration menor pode significar maior flexibilização 
frente ao risco do projeto ou negócio.
Payback TIR
• A medida que se sofistica o conceito de payback vai 
perdendo a razão simplista e intuitiva inicial.
• O payback TIR está baseado no fato que a recuperação 
do capital se dará quando a empresa dobrar seu 
investimento inicial, assim para Fv=2;Pv=1,i=TIR 
)1ln(
2ln
TIR
PaybackTIR
+
=
8
Calculando o Payback TIR
• Calcule para o nosso exemplo o payback TIRanosPaybackTIR 446,2)32757,01ln(
2ln
=
+
=
Assim a maturidade do projeto será de 
2,446 anos calculados pela TIR
Índice de Lucratividade
• O índice é a razão 
entre o valor presente 
dos fluxos positivos e 
o valor presente dos 
fluxos negativos.
• Decisão IL≥1 Aceita o 
projeto
)(
)(
tivosfluxosnegaPv
tivosfluxosposiPvIL =
No exemplo:
2960,1
158
77,204
==IL
Valor Uniforme Equivalente
• Este método consiste em obter um valor médio 
periódico dos fluxos positivos e compará-lo com 
o valor médio periódico dos fluxos de caixa 
negativos.
• Decisão VUE≥0 Aceita o Projeto
)()( tivosfluxosNegaPMTtivosfluxosPosiPMTVue −=
))1(
11/(
ni
PVPMT
+
−=
• No exemplo:
• Valor presente dos fluxos positivos = 204,77
• Valor presente dos fluxos negativos = 158
Valor Uniforme Equivalente
Na HP12c
fReg
gend
204,77chsPV
5n
20i
Pmt=? Valor para os fluxos positivos
STO 0
fFin
158PV
5n
20i
Pmt= ? Valor para os fluxos negativos
STO+0
RCL0 no visor 33,89
Seleção de projetos
• Projetos de investimentos Independentes.
– Sua aceitação não depende da aceitação ou 
rejeição de outros projetos de investimentos.
– Se não houver restrição orçamentária os 
projetos terão a mesma recomendação 
utilizando-se o método VPL ou TIR
TIR x VPL
9
Seleção de projetos
• Projetos Mutuamente Excludentes
• São aqueles que a aceitação de um leva a 
rejeição dos demais.
• Utilizando-se o método do VPL, o melhor 
projeto é o que tiver o maior valor.
• Utilizando-se a TIR, o melhor projeto pode 
não ser o de maior TIR. Para a utilização 
da TIR deveremos utilizar a análise 
incremental
Exemplo 4
• Os fluxos de caixa de dois projetos C e D registrados na 
tabela a seguir são projetos mutuamente excludentes. 
Considerando a taxa requerida de 15%aa., escolha a 
melhor opção. Utilize a análise pela TIR.
Seleção de projetos com restrição 
de capital
• Neste caso deve-se procurar entre os 
conjuntos de alternativas aquela que proz
o maior valor adicionado (VPL)
Para o orçamento de capital do próximo ano foram 
apresentados três projetos com investimento total de 
$2.500 e VPL total de $670, como registrado na tabela 
seguinte. Considerando que o valor disponível para 
investimento seja $1.500, determine os projetos que 
deverão ser aceitos utilizando o método do VPL.
EXEMPLO 5
• Os dados mostram que o capital disponível para 
investimento no próximo ano é $1.500 e a soma dos 
investimentos propostos $2.500. 
• Analisando as combinações dos três projetos propostos, 
apenas o investimento total de duas combinações de 
projetos não excede $1.500. 
• Com o objetivo de maximizar o valor da empresa, se 
deve escolher a combinação de projetos com maior 
VPL, nesse caso o Projeto 3 com VPL=$360. 
• Verifique que a maximização da riqueza da empresa 
num determinado período depende da capacidade de 
investimento da empresa nesse período, por exemplo, 
dispondo de mais $200 para investir seria possível 
aumentar a criação de valor em $110.
Os quatro projetos independentes registrados na tabela 
seguinte têm investimento total de $7.100 e VPL total de 
$3.000. Considerando que o valor disponível para 
investimento seja $5.000, determine o melhor grupo de 
projetos utilizando o método do VPL.
Solução. 
Exemplo 6
10
Bibliografia
• Laponi, Juan Carlos; Matemática Financeira; 
Rio de Janeiro: Elsevier,2006.
• Silva, André Luiz Carvalhal da; Matemática 
Financeira Aplicada – São Paulo: Atlas,2005.
• Zentgraf, Roberto; Matemática Financeira 
Objetiva;Rio de Janeiro: ZTG,2002. 
• Kassai, José Roberto et al; Retorno de 
Investimento – Abordagem Matemática e 
Contábil do Lucro Empresarial; São Paulo: 
Atlas,1999.