Aula 03

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GL 200 – Matemática Financeira 
Prof. Dr. Marco Milani 
Prof. MSc. Pedro Gerber 
Universidade Estadual de Campinas 
Faculdade de Ciências Aplicadas 
• Conteúdo da aula 
 
– Juros Compostos; 
– Taxas equivalentes; 
– Taxas nominais e efetivas. 
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Recapitulando... 
Matemática financeira: Estuda o valor do dinheiro 
ao longo do tempo; 
Juro: Remuneração do fator capital!! 
Taxa de Juros: Relação entre juros e capital inicial! 
Capitalização de juros simples: Taxa de juros incide 
apenas sobre o capital inicial em todos os períodos: 
M = C*(1+i*n) 
 
 
 
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• Juros Compostos 
• A capitalização composta considera que os 
juros formados em cada período são 
acrescidos ao capital formando o montante do 
período. 
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Fórmula do montante: 
 
M=C*(1+i)^n 
 
COMO?? 
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Para atualizações de valores: 
 
FV = PV *(1+i)^n 
 
PV=FV/(1+i)^n 
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Fator de capitailização 
Fator de atualização 
FC=PV*FCC (i,n) 
PV 
PV FV 
FV 
FC=PV*FAC (i,n) 
Se quisermos saber quanto de juros foi pago: 
 
J = FV – PV 
Se FV = PV*(1+i)^n 
Então, 
 
J= PV*[(1+i)^n-1] 
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Exemplos: 
1) Uma pessoa precisa de R$ 27.500,00 dentro de 
um ano. Quando ela deverá depositar hoje num 
investimento que rende 1,7% ao mês? 
2) Determinar o Juro pago de um empréstimo de R$ 
88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta 
de 4,5% a.m. 
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Taxas equivalentes 
Na capitalização simples, a taxa equivalente é a 
própria taxa proporcional. Asssim, 3% a.m e 9% a.t 
são ditas proporcionais: 
1
3
=
3
9
 
 
Também são proporcionais, poir promovem a 
igualdade dos montantes de um mesmo capital ao 
final de certo período. 
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Prazos Taxas 
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Taxa equivalente 
Para capitalização composta, segue-se a mesma regra: 
São taxas equivalentes aquelas que promovem a 
igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final 
de certo período. 
 
𝑖𝑞 = 1 + 𝑖
𝑞
− 1 
Exemplos: 
– Quais as taxas de juros compostos mensal e 
trimental equivalentes a 25% ao ano; 
– Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 
60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% a.s 
ou à taxa de 20,78% a.a. 
– Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% a.t é 
equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. 
Calcular também a taxa mensal equivalente. 
 
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Taxa nominal e taxa efetiva 
Efetiva: taxa apurada durante o prazo n. Ou seja, taxa 
efetiva é o processo de formação dos juros pelo 
regime de juros compostos ao longo dos períodos de 
capitalização. 
𝑖𝑓 = (1 + 𝑖) 
𝑞−1 
 
Diz-se que uma taxa é nominal quando o prazo de 
capitalização não é o mesmo que aquele definido 
para taxa de juros. 
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Exemplos 
Uma aplicação financeira promete pagar 42% 
ao ano de juros. Sende o prazo da aplicação 
de um mês, determine a rentabilidade 
efetiva, se considerarmos a taxa: 
a) Efetiva; 
b) Nominal. 
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Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é 
etefuato pelo prazo de um ano à taxa nominal de 
32% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
Determine o montante e o custo efetivo do 
empréstimo. 
 
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Fracionamento do prazo e equivalência financeira 
em juros compostos 
O prazo de operação em juros compostos pode ser 
fracionado, sem que isso altere o resultado final. 
Exemplo: Qual o montante de um Capital de R$ 
30.000, aplicado a 14% ao ano por um ano, tendo os 
seguintes períodos de capitalização: 
N=12 meses; n=6 meses; n= 4 meses. 
 
 
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Convenções para períodos não inteiros 
Convenção linear 
Formação de juros compostos para a parte inteira 
do prazo e de juros simples para a parte fracionária. 
(mistura do regime composto e do regime simples). 
M = C*(1+i)^n*(1+i*m/k) 
m/k=parte fracionária do prazo. 
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Exemplo 
Um capital de R$ 100.000, emprestado à 18% ao 
ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Qual o 
montante final? 
 
(Este critério na prática não possui muitas 
aplicações) 
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Convenção eponencial 
Utiliza capitalização composta tanto para parte 
inteira, quanto para a parte fracionária. 
M = C*(1+i)^n+m/k 
 
Esta convenção é gera o mesmo resultado que se 
encontrarmos a taxa equivalente para a parte 
fracionária. 
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Taxa interna de retorno 
A taxa interna de retorno é uma ferramenta de avaliação 
para cálculo da rentabilidade (retorno) de uma aplicação e 
também determinar o custo de um empréstimo. 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que iguala, numa 
única data, os fluxos de entrada e saída. 
 
 
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Exemplo 
Uma aplicação de R$ 360.000 produz um montante 
de 387.680,60 ao final de 3 meses. Determine a 
rentabilidade desta apicação. 
 
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Capitalização contínua 
 
M = C*e^I.n 
 
Onde, 
I= taxa de juros instantânea. 
 
 
A capitalização contínua produz um resultado final maior que 
o calculado pelas condições de juros compostos. Mas é 
possível usar apenas juros compostos. 
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Atividade 
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