EA611 NotasAula 18 COMPONENTES SIMETRICAS

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EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 18 
 1 
Esta aula: 
 Componentes simétricas - Introdução 
 
Análise de sistemas trifásicos: 
 
 Circuito equilibrado: podemos analisar 
apenas uma das fases (equivalente 
monofásico). 
 Circuito não equilibrado: temos que 
analisar todas as fases conjuntamente, o que 
tornar a análise complexa. 
 
No entanto, em 1918 Fortescue mostrou que: 
 
Um sistema trifásico desequilibrado pode ser 
decomposto em três sistemas equilibrados, 
sendo essa decomposição única. 
 
Sistema equilibrado: grandezas equivalentes 
em cada uma das fases tem mesma magnitude, 
com diferenças de fase iguais. 
 
 
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Decomposição em Componentes Simétricas 
 
Um sistema trifásico poderá ser decomposto em 
três sistemas trifásicos equilibrados: 
 
 Sistema de sequência positiva (+ ou 1) 
 Sistema de sequência negativa (- ou 2) 
 Sistema de sequência zero (0) 
 
Sistema de sequência positiva: 
 Três fasores equilibrados, defasados em 
120o, com sequência de fase igual à do 
sistema original 
 
Sistema de sequência negativa: 
 Três fasores equilibrados, defasados em 
120o, com sequência de fase inversa à do 
sistema original. 
 
Sistema de sequência zero: 
 Três fasores equilibrados, com mesmo 
ângulo de fase (isto é, a defasagem entre 
eles é nula). 
 
 
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Exemplos das componentes simétricas: 
 
)1(
AV
)1(
BV
)1(
CV
)2(
AV )2(
BV
)2(
CV )0(
AV
)0(
BV
)0(
CV
Sequência 1 (+) Sequência 2 (-)
Sequência 0
 
 
Decomposição: 
 











































)2(
)2(
)2(
)1(
)1(
)1(
)0(
)0(
)0(
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
 
 
Nesse ponto, vamos introduzir o operador  : 
o1201 
 
Seja  0VV . Então, oV 1200  V 
 
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Note-se que 
o24012  . 
 
Portanto, lembrando que a componente positiva 
tem sequência de fase abc, podemos escrever 
. 






















 2)1(
)1(
)1(
)1( 1
A
C
B
A
V
V
V
V
. 
 
Da mesma forma, como a componente negativa 
tem sequência de fase acb, então 
 





















2
)2(
)2(
)2(
)2( 1

A
C
B
A
V
V
V
V
. 
 
Assim, a expressão da decomposição pode ser 
reescrita como: 
 











































2
)2(2)1()0(
11
1
1
1



 AAA
C
B
A
VVV
V
V
V
 
 
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Ou ainda 
 










































)2(
)1(
)0(
2
2
)2(2)1()0(
)2()1(2)0(
)2()1()0(
1
1
111
A
A
A
AAA
AAA
AAA
C
B
A
V
V
V
VVV
VVV
VVV
V
V
V
T





 
 
Portanto 
 





















)2(
)1(
)0(
A
A
A
C
B
A
V
V
V
T
V
V
V
, 
 
em que T é a matriz de transformação de 
componentes simétricas, dada por 
 











2
2
1
1
111

T
 
 
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Assim, para procedermos à decomposição, 
basta lidarmos com os vetores referência de 
cada componente, ou seja, )2()1()0( e , AAA VVV . 
 
Note-se que 






















C
B
A
A
A
A
V
V
V
T
V
V
V
1
)2(
)1(
)0(
 
 
em que 













2
21
1
1
111
3
1
T
 
 
 com ITT 1 . 
 
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Exemplo: 
A carga trifásica mostrada abaixo tem uma de 
suas linhas interrompidas. Determine os valores 
dos fasores de corrente de cada componente 
simétrica. 
a
b
c
bI
A 010 oa I
cI
Interrupção
 
 
De acordo com o desenho, temos: 
A 010 oa I
. 
 
Como a soma fasorial das correntes que entram 
na carga deve ser nula, então 
 
A 18010 ob I
, 
e 
0cI
. 
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Portanto: 























0
18010
010
o
o
C
B
A
I
I
I
. 
 
Assim, 
 




































o
o
o
o
A
A
A
3078,5
3078,5
0
0
18010
010
1
)2(
)1(
)0(
T
I
I
I
 
 
Portanto, os fasores de referência de cada 
componente simétrica valem: 
 
0)0( AI
 
A 3078,5)1( oA I
 
A 3078,5)2( oA I
 
 
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Por fim, os fasores de cada componente vale, 
então 
Componentes zero: 
 
































0
0
0
1
1
1
)0(
)0(
)0(
)0(
A
C
B
A
I
I
I
I
 
 
 
Componente positiva: 
 

































o
oo
A
C
B
A
1201
2401
1
3078,5
1
2)1(
)1(
)1(
)1(

I
I
I
I
 
 
ou seja, 
























o
o
o
C
B
A
9078,5
15078,5
3078,5
)1(
)1(
)1(
I
I
I
 
 
 
 
 
 
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Componente negativa: 
 

































o
oo
A
C
B
A
2401
1201
1
3078,5
1
2
)2(
)2(
)2(
)2(

I
I
I
I
 
 
























o
o
o
C
B
A
9078,5
15078,5
3078,5
)2(
)2(
)2(
I
I
I