Cap.1 EFConcreto Fundações Rasas V10 Unilins

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Currículo 
 João Carlos de Campos, Engenheiro Civil, pela Escola de 
Engenharia de Lins-SP, formado em 1973. Registro no 
CREA/SP - Vistos: CREA/GO; CREA/RN; CREA/PR; 
CREA/SC; CREA/MS; CREA/RJ. Mestre em Ciência de 
Engenharia (M.Sc.), pela Universidade Federal do Rio de 
Janeiro - UFRJ.(COPPE) em 1982; Eng.º de Segurança do 
Trabalho – 2010. 
 
 prof.º João Carlos de Campos – joaocarlos@unilins.edu.br 
 
Objetivo do Curso 
 Dar, aos engenheiros, e arquitetos, informações básicas e 
suficientes para projetar, coordenar e fiscalizar obras em 
Estruturas de Fundações de concreto 
 
Ementa do Curso 
 
1. Fundações Rasas – Sapatas e radiers 
2. Fundações profundas – Tubulões e Estacas 
3. Elementos de transição – Blocos e Lajes sobre estacas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário do Cap. I 
 
1. Fundações Rasas ................................................................................. 3 
1.1 Fundações em Sapatas 4 
1.1.1 Classificação das sapatas ............................................................................. 4 
i) Quanto ao tipo de carga que transferem ao solo ............................................ 4 
ii) Classificação das sapatas isoladas/Corridas quanto à forma ......................... 5 
iii) Comportamento estrutural ............................................................................. 6 
iv) Hipótese de distribuição de tensões no solo .................................................. 8 
1.2 Fundações: Solo e Elemento estrutural 9 
1.1.2 Tensão admissível do solo – Capacidade de carga do solo ....................... 12 
1.1.3 Dimensionamento e Detalhamento ............................................................ 15 
i) Ações e Combinações últimas das ações ..................................................... 16 
ii) Sapatas Rígidas ............................................................................................ 16 
iii) Sapatas Flexíveis ......................................................................................... 36 
iv) Sapatas retangulares para pilares com seções não retangulares .................. 63 
v) Sapatas circulares submetidas a cargas centradas ....................................... 64 
vi) Sapata Submetida à aplicação de Momento ................................................ 66 
a) Flexão composta (N, M) ................................................................................. 66 
vii) Sapatas retangulares submetidas à flexão composta oblíqua ...................... 87 
viii) Sapatas Associadas .................................................................................... 103 
ix) Sapatas Associadas para pilares de divisa ................................................. 125 
x) Sapatas Vazadas ou aliviadas .................................................................... 129 
xi) Sapatas alavancadas ................................................................................... 137 
1.3 Fundações rasas em Blocos de concreto 146 
1.4 Fundações rasas em Radier 148 
3.1.1. Classificação dos radier ...................................................................... 149 
3.1.2. Disposições construtivas ..................................................................... 151 
3.1.3. Dimensionamento e detalhamento ...................................................... 152 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Fundações Rasas 
 
São estruturas que se situam logo abaixo da infra-estrutura e se caracterizam pela transmissão 
da carga da superestrutura ou meso-estrutura ao solo, através de pressões distribuídas em sua 
base. A ABNT: NBR 6122 (2010 - item 3.1) define elemento de fundação como sendo a 
estrutura cuja carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a base da fundação 
e, a profundidade de assentamento, em relação ao terreno adjacente à fundação, é inferior a 
duas vezes a menor dimensão do elemento estrutural. 
 
Constituem fundação rasas os elementos denominados sapatas, blocos (Figura 1.1) e radier 
(figura 1.2). 
 
 
Figura 1.1 - Sapata e blocos em concreto 
A ABNT: NBR 6122 (2010 – Item 3.2 e item 3.3) define sapata, como um elemento de 
fundação superficial, de concreto armado, dimensionado de modo que as tensões de tração 
nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de armadura, especialmente disposta para esse 
fim. Define bloco como elemento de fundação superficial de concreto, dimensionado de modo 
que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo concreto, sem necessidade de 
armadura. 
 
 
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Figura 1.2 - Radier - Laje apoiada diretamente no solo 
O Radier, por sua vez, é definido pela ABNT: NBR 6122 (2010 - item 3.4) como sendo um 
elemento de fundação superficial que abrange parte ou todos os pilares de uma estrutura, 
distribuindo os carregamentos. 
 
As fundações diretas ou rasas são as primeiras a serem analisadas, devido ao seu baixo custo e 
de fácil execução. 
 
Uma análise simplista, da economia desse tipo de fundação se faz comparando a somatória 
das áreas encontradas para a fundação rasa com a área do terreno. Caso a somatória das áreas 
fique entre 50% a 70% da área do terreno, essa economia pode ser constatada. 
 
1.1 Fundações em Sapatas 
A ABNT: NBR 6118 (2003 – Item 22.4.1) conceitua sapata como sendo estruturas de volume 
usadas para transmitir ao terreno as cargas de fundação, no caso de fundação direta. 
1.1.1 Classificação das sapatas 
i) Quanto ao tipo de carga que transferem ao solo 
 
Quadro 1.1 – Classificação das sapatas 
Tipo Carga que transfere 
Isolada Carga concentrada de um único pilar. Distribui carga nas duas direções. 
Corrida Carga Linear (parede). Distribui a carga em apenas uma direção. 
Associada 
Cargas concentradas, de mais de um pilar, transferida 
através de uma viga que associa essas cargas. Utilizada 
quando há interferência entre duas sapatas isoladas. 
Alavancada 
Carga concentrada transferida através de viga alavanca. 
É utilizada em pilares de divisa, com o objetivo de 
centrar a carga do pilar com a área da sapata. 
Radier transfere cargas de pilares e 
paredes da edificação, 
distribuindo-as uniformemente ao 
solo, sendo executado em concreto 
armado ou protendido. 
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Figura 1.3 - Tipos de sapatas - Transporte de carga 
ii) Classificação das sapatas isoladas/Corridas quanto à forma 
 
Com relação à forma volumétrica, as sapatas podem ter vários formatos, porém a mais 
comum é a cônica retangular, em virtude do menor consumo de concreto. O Quadro 1.2 
apresenta uma classificação das sapatas quanto à forma e suas dimensões. 
 
Quadro 1.2 - Classificação das sapatas isoladas/corridas quanto a forma 
Forma Dimensões 
Quadrada L = B 
Retangular (L > B) e (L ≤ 3B) 
Corrida L≥≥≥≥ 3B 
Circular B = φ 
Trapezoidal 
Outras Formas 
 
 
Figura 1.4 - Formas geométricas de sapatas isoladas 
 
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Figura 1.5 - Outras formas geométricas de sapatas isoladas 
 
 
Figura 1.6 - Fotos de sapatas isoladas 
Fonte: Fundacta / Solonet - Autorizada 
 
iii) Comportamento estrutural 
 
As sapatas podem ser classificadas, quanto ao comportamento estrutural, em sapatas rígidas 
(comportamento de bielas) e flexíveis (ABNT: NBR 6118-2003 – item 22.4.2.1). 
 
a) Sapata rígida b) Sapata flexível 
 
Figura 1.7 - Sapata rígida 
 
Figura 1.8 - Sapata flexível 
A ABNT: NBR 6118 (2003– item 22.4.1), por 
sua vez, considera como sapata rígida quando: 
 h ≥ (B − b) 3	 1.1 
Sendo: 
h = altura da sapata 
Quando a relação indicada pela expressão 2.1 não 
for atendida. 
 
Embora de uso mais raro, essas sapatas são 
utilizadas para fundação de cargas pequenas e 
solos relativamente fracos. Segundo a ABNT: 
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B = dimensão da sapata em uma determinada 
direção 
b = dimensão do pilar na mesma direção de “B” 
 h ≥ tgα ∗ (B − b)/2 1.2 
 
NBR 6118 (2003): tgα = 1/1,5 ; α ≥ 33,70 
 
CEB (1972): tgα = 1/2; 56,30 ≥ α ≥ 26,560 
 
NBR 6118 (2003 – item 22.4.2.3) seu 
comportamento se caracteriza por: 
a) Trabalho à flexão nas duas direções: 
b) Trabalho ao cisalhamento pode ser 
analisado utilizando o fenômeno da 
punção (ABNT NBR 6118 - 19.5 – 
Dimensionamento de laje à punção). 
- Cálculo das armaduras 
 
Figura 1.9 – Comportamento de biela 
 R��� = ����� (B� − b�) 1.3 
 
Sendo Nsd carga concentrada 
 A�� = ������� 1.4 
 
- Verificação ao cisalhamento 
Embora a verificação da punção seja 
desnecessária na sapata rígida, pois a 
transferência de carga situa-se inteiramente 
dentro do cone hipotético de punção, não 
existindo possibilidade física de ocorrência de tal 
fenômeno, há a necessidade de se verificar a 
tensão de ruptura na biela comprimida, na 
superfície gerada pelo contorno “C” de contato 
pilar – sapata (ABNT: NBR 6118/2003 – item 
22.4.2.2.). 
 
- Calculo dos esforços solicitantes: 
 
Figura 1.10 - Esforços solicitantes na sapata 
flexível 
- Calculo das armaduras devido à flexão 
 
Figura 1.11 – Comportamento de Flexão 
 
Figura 1.12 - Sistema de equilíbrio interno 
A� = ���� ��� = !� "	 ��� 1.5 
 
- Dimensionamento à força cortante 
 
 
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iv) Hipótese de distribuição de tensões no solo 
 
De acordo com a ABNT: NBR 6122 (2010 – item 7.8.1) as sapatas devem ser calculadas 
considerando-se os diagramas de tensão, na base, função das características do solo (rocha). 
 
Segundo Leonhardt e Mönnig (1978 – vol.3) como também Montoya et all. (1973) a 
distribuição de pressões no solo, embaixo de fundações rígidas, não é uniforme. As figuras 
abaixo, adaptadas de Montoya at all (1973) representam, de forma qualitativa, as variações de 
tensões desenvolvidas pelas sapatas rígidas e flexíveis em solos rígidos e deformáveis. 
 
 
Figura 1.13 - Distribuição de tensões devido as sapatas rígidas 
 
 
Figura 1.14 - Distribuição de tensões devido as sapatas flexíveis 
No caso das sapatas flexíveis, as deformações da fundação fazem com que, em solos rígidos, 
a pressão no solo aumenta sob o pilar, sendo menor nas bordas, conforme indicado na Figura 
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1.14. Em solos deformáveis, por conseguinte, a pressão apresenta-se praticamente uniforme 
(Leonhardt e Mönnig – 1978) 
 
Leonhardt e Mönnig (1978) admitem ainda que para o dimensionamento das sapatas, dada 
uma determinada carga de ruptura, a hipótese de uma pressão no solo uniformemente 
distribuída é suficiente. 
 
Diante das considerações apresentadas acima a distribuição de tensões no solo será 
considerada uniforme, com exceção nos casos de sapata (corrida) rígida em rocha e sapata 
flexível em solo não coesivo. Nos dois casos admite-se a distribuição em 2 (dois) triângulos 
com o vértice no centro da figura indicada no Quadro 1.3 sendo um com vértice acima (tensão 
zero) e o outro para baixo (tensão máxima), respectivamente. 
 
Quadro 1.3 - Resumo das distribuições de tensões na base das sapatas 
 Sapata Rígida Sapata Flexível 
Rocha 
 
 
Solo Coesivo 
(argilosos) 
Solo não Coesivo 
(granulares – arenosos) 
 
De acordo com a ABNT: NBR 6118 (2003 – item 22.4.1) pode-se admitir a distribuição de 
tensões normais no contato solo - sapata rígida, como plana, caso não se disponha de 
informações mais precisas. Já, para as sapatas flexíveis ou casos extremos de fundação em 
rocha (mesmo com sapata rígida) essa hipótese deve ser revista. 
 
1.2 Fundações: Solo e Elemento estrutural 
 
Segundo Veloso e Lopes (2010) os requisitos básicos que um projeto de fundações deve 
atender são: 
 
a) Deformações aceitáveis sob condições de trabalho (verificação ao estado limite de 
utilização ou de serviço – ELS); 
b) Segurança adequada ao colapso do solo (verificação ao estado limite último – ELU, do 
solo); 
c) Segurança adequada ao colapso dos elementos estruturais (verificação ao estado limite 
último – ELU, do solo). 
 
O objetivo básico desse trabalho é o dimensionamento e detalhamento das estruturas de 
concreto armado que envolve ainda outras verificações importantes, específicas para cada tipo 
de estrutura, como: Estabilidade externa (Tombamento, deslizamento); flambagem 
(deformação lateral), níveis de vibração (no caso de ações dinâmicas). 
 
Todavia cabe destacar que o conhecimento de segurança e a determinação da capacidade 
resistente do solo, elemento que receber as cargas das estruturas, devem receber um 
tratamento adequado neste capítulo, de considerações preliminares. 
 
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- Características dos solos 
A mecânica dos solos classifica os materiais que cobrem a terra (solo) em alguns grupos, 
como: 
Rocha, solo arenosos, solo siltoso e solo argiloso 
Esta divisão não é muito rígida, ou seja, nem sempre se encontra solos que se enquadram em 
apenas um dos tipos. Por exemplo, quando se diz que um solo é arenoso está na verdade 
querendo dizer que a sua maior parte é areia e não que tudo é areia. Da mesma forma, um solo 
argiloso é aquele cuja maior proporção é composta por argila. 
Um dos principais critérios para se fazer a classificação do solo é o tamanho dos seus grãos. A 
ABNT: NBR 6502 (1995 - itens: 2.2.23, 2.2.25; 2.2.159; 2.2.191) classifica os solos segundo 
a Tabela 1.1. 
Tabela 1.1 - Classificação dos solos de acordo com sua granulometria 
Tipo de 
solo Argila Silte Areia fina 
Areia 
média 
Areia 
grossa Pedregulho 
Diâm. 
Grãos 
(mm) 
< 0,002 0,002 a 0,06 0,06 a 0,2 0,2 a 0,6 0,6 a 2,0 > 2,0 
Importante destacar que a granulometria acima difere da granulometria dos agregados para 
argamassa e concreto, claramente definidos na ABNT: NBR 7225 (1993). 
i) Solos Coesivos - Argilosos 
Individualmente os grãos destes tipos de solos são muito finos, quase farináceos, se aderem 
firmemente um a outro e não podem ser reconhecidos a olho nu. Os espaços vazios entre as 
partículas são muito pequenos. Devido à sua estrutura estes solos apresentam resistência à 
penetração de água, absorvendo-a muito lentamente. Entretanto, uma vez que tenha 
conseguido penetrar no solo, a água também encontra dificuldade para ser extraída do interior 
do mesmo. 
Ao receber água, tendem a se tornarem plásticos (surge a “lama”). Apresentam maior grau de 
estabilidade quando secos. 
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Figura 1.15 - Solo argiloso 
 
Devido às forças adesivas naturais (coesão) existentes entre as pequenas partículas que 
compõem estes tipos de solo, é que a compactação por vibração não é a ideal nesta situação. 
Estas partículas tendem a agrupar-se, dificultando uma redistribuição natural entre elas, 
individualmente. 
 
ii) Solos siltosos 
O silte está entre a areia e a argila. É um pó como a argila, mas não tem coesão apreciável. 
Também não tem plasticidade digna de nota quando molhado. 
iii) Solos Não Coesivos (Granulares - arenosos) 
 
Como solos não coesivos compreendem-se os solos compostos de pedras, pedregulhos,cascalhos e areias, ou seja, de partículas grandes (grossas). 
 
 
Figura 1.16 – Elementos granulares que compõem os solos não coesivos 
 
Estas misturas, compostas por muitas partículas, individualmente soltas, que no estado seco 
não se aderem uma à outra (somente se apóiam entre si), são altamente permeáveis. Isto se 
deve ao fato de existirem, entre as partículas, espaços vazios relativamente grandes e 
intercomunicados entre si. 
 
Em um solo não coesivo, em estado seco, é fácil reconhecer, por simples observação, os 
tamanhos dos diferentes grãos. 
 
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A capacidade para suportar cargas dos solos não coesivos depende da resistência ao 
deslocamento, a movimentação entre as partículas individualmente. Ao se aumentar a 
superfície de contato, entre os grãos, individualmente, por meio da quantidade de grãos por 
unidade de volume (COMPACTAÇÃO), aumenta-se a resistência ao deslocamento entre as 
partículas e, simultaneamente, melhora a transmissão de força entre os mesmos. 
 
1.1.2 Tensão admissível do solo – Capacidade de carga do solo 
 
As tensões admissíveis podem ser fixadas a partir da utilização e interpretação de um ou mais 
dos procedimentos apresentados a seguir: 
 
− Métodos teóricos (ou analítico); 
− Métodos semi-empíricos; 
− Métodos empíricos; 
− Resultados de provas de carga. 
 
A ABNT: NBR 6122 (2010 - item 3.27) destaca que a tensão adotada em projeto, aplicada ao 
terreno pela fundação superficial ou pela base do tubulão, atende com coeficientes de 
segurança pré-determinados, aos estados limites últimos (ruptura) e de serviço (recalques, 
vibrações, etc.). Esta grandeza é utilizada quando se trabalha com ações em valores 
característicos. Destaca ainda que a determinação da tensão admissível ou tensão resistente de 
projeto é obtida a partir da utilização e interpretação de um ou mais dos seguintes 
procedimentos: Prova de carga sobre; métodos empíricos; e métodos semi-empíricos. 
 
A ABNT NBR 6122 (2010 – item 3.41) define que o método de valores admissíveis é o 
método em que as cargas ou tensões de ruptura são divididas por um fator de segurança 
global. 
 R#�$ ≤ R&'( FS+, e R#�$ ≥ A. 1.6 
Onde: 
 
Radm é a tensão admissível de sapatas e tubulões e carga admissível de estacas; 
 
Rult representa as cargas ou tensões de ruptura; 
 
Ak representa as ações características e; 
 
FSg é o fator de segurança global, no mínimo igual a 3,0 para processos semi-empíricos e 
teóricos (analíticos); ou 2,0 para os processos semi-empíricos ou analíticos acrescidos de duas 
ou mais provas de carga, executadas na fase de projeto (NBR 6122 – 2010 – item 6.2.1.1.) 
 
O conceito básico de tensões admissíveis ou cargas admissíveis corresponde a afirmar que: 
 σ#(& ≤ σ#�$ e que: σ#�$ = σú'( FS+	 1.7 
 
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A ABNT NBR 6122 (2012 – item 3.42) estabelece ainda que as fundações devam ser 
verificadas em seus estados limites considerando para as cargas ou tensões de ruptura, que os 
valores últimos sejam divididos por coeficientes de minoração (γm), e as ações multiplicadas 
por valores de majoração (γf). 
 R� = R&'( γ$	 , A� = A. ∗ γ� e R� ≥ A� 1.8 
Sendo: 
 
Rd a tensão resistente de projeto para sapatas e tubulões ou carga resistente de projeto para 
estacas; Ad representa as ações em valores de projeto. 
 
Os Fatores de segurança e coeficientes de minoração devem atender os valores especificados 
pela NBR 6122 (2010 – itens 6.2.1.1.1, 6.2.1.2.1 e 6.2.1.2.2), para solicitações de compressão. 
 
Tabela 1.2 - Coeficientes de minoração (γγγγm) para solicitação de compressão em elementos de 
fundação 
Método de determinação da resistência Fundações 
superficiais 
Fundações 
profundas 
Analítico (Teórico) 2,15 1,40 
Semi-empírico 2,15 (a) 1,42 (b) 
Analítico, semi-empírico com duas ou mais provas 
de carga 1,4
(b)
 1,14(b) 
(a) Adotar o valor encontrado no método, porém, nunca inferir a 2,15 
(b) Esses valores podem ser reduzidos, conforme o n.º de perfis de ensaios efetuados 
 
Para solo solicitado à tração os coeficientes de minoração a serem considerados serão os 
seguintes: γm= 1,2 para parcelas de peso e γm = 1,4 para a parcela de resistência do solo. 
 FS+ = γ� ∗ γ$ = 1,4 ∗ 2,15 = 3,0 
 
ii) Métodos semi-empírico 
 
São métodos utilizados para se calcular recalques onde se observa o comportamento do solo 
em relação a tesão-deformação. 
 
a) Diante de tantos parâmetros será considerado neste trabalho: 
 R#�$ ≅ �89:(;< # =<) (MPa) 1.9 R&'( ≅ �89:(>< # ?<) (MPa) 1.10 
 
 
 
 
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f) Sondagem a Percussão - SPT 
O ensaio de sondagem a Percursão consiste na cravação vertical no solo de um cilindro 
amostrador padrão, através de golpes de um martelo com massa padronizada de 65 Kg, solto 
em queda livre de uma altura de 75 cm. São anotados os números de golpes necessários à 
cravação do amostrador em três trechos consecutivos de 15 cm sendo que o valor da 
resistência à penetração (NSPT) consiste no número de golpes aplicados na cravação dos 30 cm 
finais. Após a realização de cada ensaio, o amostrador é retirado do furo e a amostra é 
coletada, para posterior classificação do material que geralmente é feita pelo método Tátil-
visual. 
Exemplo 1.1 
Para a sondagem abaixo, calcular a tensão admissível do solo 
 
 
Figura 1.17- Sondagem a Percussão 
 
Exemplo: NSPT = 5 
Radm.solo = 5/50 = 0,10MPa = 100 KN/m2 
i) Métodos empíricos 
 
São considerados métodos empíricos aqueles pelos quais se chega a uma tensão admissível 
com base na descrição do terreno (classificação e determinação da compacidade ou 
consistência através de investigações de campo e/ou laboratoriais). 
 
Na tabela 1.19 são apresentados valores de tensões básicas, válida para cargas verticais até 
1.000 KN (100 tf). 
 
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Tabela 1.3 - Tensões básicas admissíveis (σσσσadm.) 
Classe Descrição Valores 
(MPa) 
1 Rocha sã, maciça, sem laminação ou sinal de decomposição 3,0 
2 Rocha laminada, com pequenas fissuras, estratificada 1,5 
3 Rocha alterada ou em decomposição (Ver nota e) 
4 Solo granular concrecionado. Conglomerado 1,0 
5 Solo pedregulhoso compactos ou muito compacto 0,6 
6 Solo pedregulhoso fofo 0,3 
7 Areia muito compacta (NSPT>30) 0,5 
8 Areia compacta (20<NSPT<30) 0,4 
9 Areia medianamente compacta (10<NSPT<20) 0,2 
10 Argila dura (20<NSPT<30) 0,3 
11 Argila rija (10<NSPT<20) 0,2 
12 Argila média (6<NSPT<10) 0,1 
13 Solo siltoso muito compacto (ou duros) (NSPT>30) 0,3 
14 Solo siltoso compacto (ou rijos) (20<NSPT<30) 0,2 
15 Solo siltoso medianamente compacto (ou médio) (10<NSPT<20) 0,1 
Fonte: ABNT NBR 6122 (1996) 
 
Notas: 
a) Em geral as areias e argilas são solos sedimentares e os solos siltosos são residuais; 
b) Para a aplicação da tabela admite-se que as características do maciço não piorem com o 
aumento de profundidade. 
c) Os valores da Tabela 1.3 já atendem aos estados limites último e de serviço. 
d) No caso de calcário ou qualquer outra rocha cáustica, devem ser feitos estudos especiais. 
e) Para rochas alteradas ou em decomposição, têm que ser levados em conta a natureza da 
rocha matriz e o grau de decomposição ou alteração. 
1.1.3 Dimensionamento e Detalhamento 
De acordo com a ABNT: NBR 6118 (2003 – item 22.4.3) para cálculo e dimensionamento de 
sapatas devem ser utilizados modelos tridimensionais lineares (Figura 1.20 a) ou modelos 
biela-tirante tridimensionais (Figura 1.20b), podendo, quando for o caso, ser utilizados 
modelos de flexão (Figura 1.20c). As sapatas podem ser separadas em rígidas e flexíveis e, só 
excepcionalmente os modelos de cálculo precisam contemplar a interação solo-estrutura.Figura 1.18 - Modelos tridimensionais 
As bielas representam campos de tensão de compressão no concreto, entre as aberturas de 
fissuras (Figura 1.13 e Figura 1.20 a); os tirantes, por sua vez, são elementos tracinados, 
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representados pelas armaduras, utilizadas para absorverem os respectivos esforços de tração 
(Figura 1.20b). 
 
i) Ações e Combinações últimas das ações
a) Ações provenientes da superestrutura
 
Os esforços nas fundações, segundo a ABNT: NBR 6122 (2010 
a partir das ações e suas combinações mais desfavoráveis, conforme prescrito pela ABNT: 
NBR 6118. 
 
Deve ser fornecido no topo das fundações, devendo ficar bem caracterizado o nível do topo, 
conforme o tipo de superestrutura:
− Edifícios: topo das cintas
− Pontes: topo dos blocos ou sapatas
 
b) Combinações últimas
 
Para o dimensionamento das sapatas 
desfavoráveis, conforme visto no I e reapresentadas neste capítulo através das equações 
1.23 
 
F�� � ∑ γ+A ∗ FBA,C$AD� E γF
 
 
 
 
 F�� � ∑ γ+A ∗ FBA,C$AD� E γF
 Permanentes 
 
Onde: 
 
FGi,k = valor característico das ações permanentes;
FQ1,k = valor característico da ação variável considerada como ação principal para a 
combinação; 
FQj,k = valor das demais ações variáveis.
ψ0j = valor do coeficiente de redução considerando a baixa probabilidade de ocorrência 
simultânea com a variável principal
ψ0j FQj,k = valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis.
 
ii) Sapatas Rígidas
O comportamento estrutural das sapatas rígidas
separadamente nas duas direções, tanto à flexão, quanto ao cisalhamento, conforme ABNT: 
NBR 6118 (2003 - item 22.4.2.2
distribuída ao longo da largura 
Vari
Principal
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos 
representados pelas armaduras, utilizadas para absorverem os respectivos esforços de tração 
Combinações últimas das ações 
Ações provenientes da superestrutura 
Os esforços nas fundações, segundo a ABNT: NBR 6122 (2010 – item 5.
a partir das ações e suas combinações mais desfavoráveis, conforme prescrito pela ABNT: 
fornecido no topo das fundações, devendo ficar bem caracterizado o nível do topo, 
conforme o tipo de superestrutura: 
opo das cintas 
Pontes: topo dos blocos ou sapatas 
Combinações últimas 
Para o dimensionamento das sapatas serão consideradas as combinações últimas
conforme visto no I e reapresentadas neste capítulo através das equações 
F GFH�,C E ∑ ψ<I ∗ FHI,CJID> K 
 
FFH�,. E γF ∑ ψ<IFHI,.JID> 
 
Variáveis 
valor característico das ações permanentes; 
valor característico da ação variável considerada como ação principal para a 
valor das demais ações variáveis. 
do coeficiente de redução considerando a baixa probabilidade de ocorrência 
simultânea com a variável principal. 
valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis.
s 
comportamento estrutural das sapatas rígidas pode ser discretizado para trabalhar 
separadamente nas duas direções, tanto à flexão, quanto ao cisalhamento, conforme ABNT: 
22.4.2.2). Nestes casos será admitida tração à flexão, uniformemente 
largura correspondente da sapata. 
Variável 
Principal 
Variáveis Secundárias 
Reduzidas 
Página 16 
representados pelas armaduras, utilizadas para absorverem os respectivos esforços de tração 
item 5.1) são determinados 
a partir das ações e suas combinações mais desfavoráveis, conforme prescrito pela ABNT: 
fornecido no topo das fundações, devendo ficar bem caracterizado o nível do topo, 
as combinações últimas, mais 
conforme visto no I e reapresentadas neste capítulo através das equações 1.22 e 
1.11 
1.12 
valor característico da ação variável considerada como ação principal para a 
do coeficiente de redução considerando a baixa probabilidade de ocorrência 
valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis.
 
pode ser discretizado para trabalhar 
separadamente nas duas direções, tanto à flexão, quanto ao cisalhamento, conforme ABNT: 
tração à flexão, uniformemente 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 17 
 
 
A teoria de cálculo das sapatas rígidas, com comportamento de bielas, foi desenvolvida pelo 
eng.º francês M. Lebelle, em 1936. Através de inúmeros ensaios Lebelle observou que sapatas 
com altura maior ou igual a (B-b)/4, apresentavam uma configura de fissuras específicas, 
sugerindo um conjunto de bielas simétricas, independentes, atirantadas pela armadura, 
conforme apresentado na Erro! Fonte de referência não encontrada.. 
 
 
Figura 1.19 - Comportamento de biela 
a) Sapata Isolada - Rígida 
 
São elementos de fundação, com seção não alongada (B2 ≤ 3*B1), que transmitem ações, de 
um único pilar centrado, diretamente ao solo. É o tipo de sapata mais utilizada. Podem 
apresentar bases quadradas, retangulares, circulares ou outras formas, conforme visto 
anteriormente, com a altura constante (Blocos) ou variando linearmente entre as faces do pilar 
à extremidade da base. 
 
 
Figura 1.20 - Sapata Isolada - rígida 
a.1) Cálculo da Área da Sapata 
 
 
A � [M�NO(<,<; # <,�)∗BN] Q�R,�STS 1.4 
ou 
 A = UV∗[M�NO(<,<; # <,�)∗BN] ��,�STS 1.5
 
Nsd = Fsd = γf*Fsk = Força solicitante de cálculo 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 18 
 
 
O fator 0,05 a 0,10 (5% a 10% da carga permanente) será utilizado para considerar o peso 
próprio da sapata, bem como o peso de terra acima da sapata, se houver. Recomenda-se 5% 
para sapatas flexíveis e, de 5 a 10% para as sapatas rígidas. Quando não se conhece 
separadamente a parcela permanente aplicam-se os menores valores para toda carga. 
 
Segundo a ABNT: NBR 6122 (2010 – item 5.6) será considerado para peso próprio dos 
elementos de fundação, um valor mínimo de 5% da carga vertical permanente. 
 
A = B1*B2 1.13 
 
As dimensões B1 e B2, se possível, devem ser escolhidas de maneira que os momentos 
fletores nas duas direções produzam esforços nas armaduras, aproximadamente iguais (Rs1≅ 
Rs2). 
 
a.2) Cálculo das armaduras devido à flexão 
 
Dimensionamento à flexão – método das bielas 
 
 
Figura 1.21 - Sapata rígida - sistema estrutural 
 
 
Figura 1.22 - Peso próprio caminha diretamente para o solo 
 
A força infinitesimal que o solo aplica na sapata vale: 
 
dp � σ�Y'Y ∗ dx ∗ B> = M��([�∗[\) ∗ B> ∗ dx 1.14
 
Fsd = Nsd é carga concentrada 
O peso próprio da sapata caminha 
diretamente para o solo não provocando 
abertura de carga e, conseqüentemente, não 
sendo considerado no cálculo da força de 
tração na armadura “Rst” 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 19 
 
dRs1 = Força infinitesimal na armadura na direção de B1 
Momento fletor em relação ao ponto “O”, devido a aplicação da carga “dp”. 
d] ∗ X = dR�� ∗ d< ∴ M��[�∗[\ ∗ B> ∗ X ∗ d_ = dR��� ∗ d< 1.15 R��� = M�� [�∗�` a X ∗ d< = M��[�∗�` ∗ b\> <[�/>[�/>< = M��[�∗�` ∗ [�\� 1.16 �`[�/> = �([�cd�)/> → d< = [�∗�([�cd�) 1.17 R��� = M���� (B� − b�) 1.18
 
Sendo Fsd carga concentrada A�� = ������� ∴ 1.19
 
Procedimento idêntico se faz para o cálculo do As2 (tração na direção de B2). R��> = M���� (B> − b>) 1.20
 A�> = ���\��� ∴ 1.21 
a3) Cálculo das dimensões da sapata: B1 e B2 
 
Para que Rs1 ≅ Rs2 ∴ (B1-b1) ≅ (B2-b2) 
 B� = B> + (b� − b>) ∴ B> = B� − (b� − b>) 1.22
 
 
Sendo a área da sapata: B1*B2 
 B> = f[� 1.23
 B� = f[� + (b� − b>) 1.24
 (B�)> = A + B� ∗ (b� − b>) ∴ (B�)> − (b� − b>) ∗ B� − A = 0 1.25
 B� = (d�cd\)± g(d�cd\)\O hf> 1.26
 B� = (d�cd\)> ± i(d�cd\)\h + A 1.27
 
a.4) Verificação ao cisalhamento 
 
Embora a verificação da punção seja desnecessária na sapata rígida, pois a transferência de 
carga situa-seinteiramente dentro do cone hipotético de punção, não existindo possibilidade 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 20 
 
física de ocorrência de tal fenômeno, há a necessidade de se verificar a tensão de ruptura na 
biela comprimida, na superfície gerada pelo contorno “C” de contato pilar – sapata (ABNT: 
NBR 6118/2003 – item 22.4.2.2.). 
 
 
 
Figura 1.23 - Cone hipotético 
 
Verificação das tensões nas Bielas – Ruptura por compressão diagonal 
 
As tensões de cisalhamento devem, portanto, ser verificadas, em particular à ruptura por 
compressão diagonal do concreto na ligação sapata – pilar (contorno C – ABNT: NBR 6118 – 
item 19.5.3.1), ou seja, na biela comprimida 
 
 
Figura 1.24 - Tensões no contorno C (pilar - sapata) 
Quando se fale em verificação ao cisalhamento o que se verifica na realidade é a tensão 
principal de compressão nas bielas comprimidas. 
τ_k,� = τ�� = F�� (μ ∗ d)	 = N�� (μ ∗ d)	 2.21 
Sendo: 
µ = perímetro do contorno crítico C = 2*(b1+b2) (Figura 1.26) 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 21 
 
d = altura útil 
Fsd = Nsd = Força de cálculo aplicada 
Baseado no círculo de Mohr se obtém as seguintes equações: 
σn � σ( � ( oO �)> E i(
 oc �
> )> E τ_k> 1.28 
σnn � σp � ( oO �)> − i(
 oc �
> )> E τ_k> 1.29 
tg2α � >q �c o 1.30
 tgα = q oc rr = q �c r 1.31
 
Para condições limites, de acordo com ABNT: NBR 6118 (2003 – item 8.2.6) σn ≤ fp(. = 0,351fp.>/? 1.32
 σnn ≤ fp. − 4 ∗ fp(. 1.33
 
Considerando α=450 e, σx = 0, na posição da Linha Neutra, na equação 2.25 se obtém: τ = σnn ≤ fp. − 4 ∗ fp(. 1.34
 
 
A ABNT: NBR 6118 (2003 – item 19.5.3.1) limita τ_k,� = τ�� = F�� (μ ∗ d)	 ≤ τ��> = 0,27αufp� 1.35 
Sendo, αu = v1 − fp. 250	 w , com fp. em megapascal 
Fator quer representa a eficiência do concreto 
 
O valor de τRd2 pode ser ampliado de 20% por efeito de estado múltiplo de tensões junto ao 
pilar interno, quando os vãos que chegam a esse pilar não diferem mais de 50% e não existem 
aberturas junto ao pilar. 
 
b) Sapata Corrida - Rígida 
 
O dimensionamento e detalhamento para sapata corrida - rígida (L ≥ 3B) utiliza-se do mesmo 
critério adotado para as sapatas rígidas isolas, considerando neste caso a largura B2 unitária. 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 22 
 
 
Figura 1.25 - Sapata corrida - rígida 
b.1) Cálculo das armaduras devido à flexão 
 
Dimensionamento à flexão – método das bielas idêntico aos procedimentos da sapata isolada, 
bata considerar B2 = 1,0 
 
 
Figura 1.26 - Equilíbrio de forças na sapata corrida 
R�� � M���� (B − b) 1.36
 
Sendo, neste caso, Fsd uma carga por unidade de comprimento A� = ������ (área por unidade de comprimento) 1.37
 
Armadura de distribuição na direção de “L” A��ƒ�� = f�; 1.38
 
b.2) Verificação ao cisalhamento 
 
São os mesmos procedimentos utilizados para sapata rígida isolada. 
 
c) Detalhamento das sapatas rígidas 
 
C.1) Armadura mínima à flexão – Sapata 
 
Fsd = Nsd é carga distribuída de 
cálculo 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 23 
 
Tabela 1.4 - Taxa mínima de armadura 
Forma da 
seção 
Valores de ρρρρmin(*1) (As,min./Ac) % 
fck 20 25 30 35 40 45 50 
ωωωωmin. 
Retangular 0,035 0,15 0,15 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
(*1) Os valores de ρmin. .Estabelecidos nesta tabela pressupõem uso de aço CA-50, γc=1,4 e γs 
= 1,15. Caso esses valores sejam diferentes ρmin. deve ser calculado com base no valor de 
ωmin.= 0,035, ou seja: 
ρmin. = ωmin.*(Ac*fcd)/fyd. 
Fonte: Tabela 17.3 da NBR 6118 
 
Tabela 1.5 - Valores mínimos para armaduras passivas 
 
Armaduras 
negativas 
Armaduras 
positivas de lajes 
armadas nas 
duas direções 
Armadura 
positiva 
(principal) de 
lajes armadas 
em uma 
direção 
Armadura positiva 
(secundária) de 
lajes armadas em 
uma direção 
Elementos estruturais 
sem armaduras ativas 
(somente armaduras 
passivas) 
ρs ≥ ρmin ρs ≥ 0,67*ρmin ρs ≥ ρmin 
As/s ≥ 20% da 
armadura principal; 
As/s ≥ 0,9 cm2/m; 
ρs ≥ 0,5*ρmin 
Onde: 
ρs = As/(bw*h) 
Os valores de ρmin. constam da tabela acima 
Fonte: ABNT NBR 6118 – Tabela 19.1 
 
c.2) Espaçamento entre barras 
 
As barras da armadura principal devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2*h ou 20 
cm, prevalecendo o menor desses dois valores. A armadura secundária deve ser igual ou 
superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre as barras 
de, no máximo 33 cm ABNT: NBR 6118 (2003 – item 20.1). 
c.3) Ganchos nas extremidades das barras 
 
Quanto ao detalhamento a ABNT: NBR 6118 (2003 - item 22.4.4.1.1) recomenda que a 
armadura de flexão deva ser uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata, 
estendendo-se integralmente de face a face da mesma e terminando em gancho nas duas 
extremidades. Os ganchos das armaduras de tração seguem as determinações da ABNT: 
NBR 6118 (2003 - item 9.4.2.3). 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 24 
 
 
Figura 1.27 - Ganchos 
Para barras com φ ≥ 20 mm devem ser usados ganchos de 135° ou 180°. Para barras com φ ≥ 
25 mm deve ser verificado o fendilhamento em plano horizontal, uma vez que pode ocorrer o 
destacamento de toda a malha da armadura. 
Tabela 1.6 - Diâmetro de dobramento dos pinos (φφφφpino) 
Bitola (mm) CA-25 CA-50 CA-60 
< 20 4φ 5φ 6φ 
≥ 20 5φ 8φ - 
Fonte: ABNT: NBR 6118 (2003 – item 9.4.2.3) 
 
c.4) Comprimento de ancoragem necessário 
 
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado, segundo a ABNT: NBR 6118 
(2003 – item 9.4.2.5) por: 
 
„d,J…p = α„d f�,†QTf�,‡V ≥ „d,$AJ (0,3„d, 10φ e 100 mm) 1.39
 
Onde: 
α = 1,0 para barras sem gancho; 
α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 
3 φ; 
α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 (NBR 6118) 
α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 (NBR 6118) e gancho, 
com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3 φ; 
 „d = φh ����ˆ� 1.40
 fd� = η�η>η?fp(� 1.41 
 
(η1=2,25; η2=1,0; η3=1,0 - ver ABNT: NBR 6118 – item 9.3.2.1) 
 fp(� = <,‰�†�,RU† = <,>��†N\/Š�,h = 0,15fp.>/? 1.42
 
 
 
 
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Tabela 1.7 - Comprimento de ancoragem em função da bitola 
 
Resistência característica do concreto (fck em MPa) 
Comprimento 
de ancoragem 15 20 25 30 
s/gancho 
lb= φ*fyd/(4*fbd) 53φ 44φ 38φ 34φ 
c/ gancho 
lb,nec = αlb=0,7*lb 
37φ 31φ 26φ 24φ 
 
c.5) Armadura de Espera (arranque/emenda) 
 
A sapata deve ter altura suficiente para permitir a ancoragem da armadura de arranque. Nessa 
ancoragem pode ser considerado o efeito favorável da compressão transversal às barras, 
decorrente da flexão da sapata ABNT: NBR 6118 (2003 - item 22.4.4.1.2). 
 
Armadura de espera decorre da necessidade executiva, em face de necessidade de se ter uma 
junta de concretagem no início do pilar. 
 
 
Figura 1.28 - Arranque - armadura de espera para os pilares 
Portanto, acima do topo da sapata a armadura de espera deve ter um comprimento de emenda 
à compressão (ou tração, no caso de pilares fletidos) que possibilite a transmissão de esforços. 
 
Esse tipo de emenda (traspasse) não é permitido para barras de bitola maior que 32 mm, 
nem para tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada) 
ABNT: NBR 6118 (2003 - item - 9.5.2.) 
 
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as 
barras podem ser emendadas na mesma seção, e o comprimento de traspasse pode ser 
calculado por (ABNT: NBR 6118 – item 9.5.2.3): 
l0c = lb,nec ≥ l0c,min (ver equação 2.37) 1.43
 
Onde: l0c,min é o maior entre (0,6lb, 15φ, 200 mm) 
 
A finalidade dessa armaduraé 
transmitir para a fundação os 
esforços vindos através da 
armadura do pilar e que morrem 
na junta. 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 26 
 
O comprimento da armadura de espera dentro da sapata deve ser o necessário para permitir 
sua ancoragem à compressão (loc). No caso de sapata com pilar submetido à tração, ver 
detalhe no item sapata com flexão. 
 
Caso a altura da sapata seja insuficiente para possibilitar a ancoragem das barras da armadura 
de espera (h < lbc) existem alternativas para solucionar o problema sem alterar a altura da 
sapata. 
 
 
Figura 1.29 - Comprimento de ancoragem X altura da sapata 
Alternativas para não se alterar a altura da sapata 
 
1. Diminuir a tensão na barra, aumentando o “As” da armadura de espera, nesse caso o 
comprimento de ancoragem da armadura se reduz na proporção direta das tensões. 
 
A�,…�]…‹# = A�,]A'#‹ ∗ Œˆ†� 1.44
 
2. Diminuir se possível o diâmetro da barra do pilar ou espera. Nesse caso, o comprimento de 
ancoragem se reduz na proporção das áreas das armaduras (ver tabela 2.5) Reduzindo apenas 
a bitola da armadura de espera deve-se estudar a emenda dessas barras com as do pilar, de 
maneira a se obter uma disposição conveniente. 
 
 
Figura 1.30 - Redução de bitola X redução do comprimento de ancoragem 
Tabela 1.8 - Bitolas padronizadas pela ABNT: NBR 7480 (2007) 
Bitola/Diâmetro 
φ (mm) 
Valores Nominais de cálculo 
Diâmetro 
(polegadas) 
Massa a 
(Kg/m) 
Área da seção 
(mm2) Barras 
20,0 3/4 2,466 314,2 
25,0 1 3,853 490,9 
 
Exemplo: substituir 1φ25 por 2 φ20 
As2φ20 = 2*3,142 ≅ 6,3 > As1φ25 = 4,909 ≅ 5,0 cm2 
 
Redução da ancoragem 
lbc*As2φ20/As1φ25 = (5/6,3)lbc = 0,8*lbc 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 27 
 
3. Fazer pescoço, ou seja, aumentar a área do pilar junto à sapata, de maneira que o inicio de 
transferência de carga, das barras da armadura de espera, ocorra antes de entrar na sapata. 
 
 
Figura 1.31 - Aumento da área do pilar com pescoço 
 
fk� ∗ A� ∗ (Œˆc Ž)Œˆ† = ∆Ap ∗ fp� 1.45
 ∆Ap = ����†� ∗ (Œˆ†c Ž)Œˆ† ∗ A� 1.46
 
∆Ac = acréscimo de área de concreto no pilar, no trecho (lbc – h). 
 
Executivamente essa solução é inadequada por interromper a forma do pilar e exigir uma 
nova forma para o pescoço. 
 
c.6) Dimensões e detalhes da sapata 
 
As sapatas isoladas não devem ter dimensões da base inferiores a 60 cm (ABNT: NBR 6122–
2010 – item 7.7.1). 
 
Nas divisas com terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assentada em rocha, a 
profundidade mínima (cota de apoio da fundação) não pode ser inferior a 1,5 m (ABNT: NBR 
6122-201 – item 7.7.2). 
 
Figura 1.32 - Dimensões mínimas e detalhes da sapata 
Determina-se o acréscimo de área de 
concreto necessária para absorver a 
parcela de carga que não pode ser 
absorvida pela sapata. 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 28 
 
Inclinação da parte superior da sapata, para não ser necessário colocar formas não deve ser 
superior a 1:3 (ângulo de inclinação tgα=0,33; α=18,30) a 1:4 (tgα=0,25; α=140). Montoya 
(1973) recomenda α ≤ 300 e ho > entre h/3 e 20 cm. Dessa consideração resulta: 
 
h� ≤ (B − b − 2 ∗ bf) ∗ tgα/2 
 
A altura h0 da base da sapata deverá ser o maior valor entre: h/30; 20 cm e (h-h1) 
 
Deve-se deixar um acabamento maior ou igual a 2,5 cm junto ao pilar, para se apoiar a forma 
do pilar; 
 
Todas as partes da fundação superficial (rasa ou direta) em contato com o solo devem ser 
concretadas sobre um lastro de brita ou concreto não estrutural (magro) de no mínimo 5 cm 
(ABNT: NBR 6122-2010 – item 7.7.3). 
 
 
Exemplo 1.2 - Sapata Isolada - Rígida 
Dimensionar e detalhar a sapata isolada da figura, como sapata rígida. 
 
 
Figura 1.33 – Exemplo 1.1 - Sapata isolada 
 - rígida 
 
 
Cálculo da carga solicitante de cálculo 
 
Fsd=Nsd = 1,4*(Gk+Qk) = 1,4*(1.320 + 570) = 2.646 KN 
 
Área da sapata 
 A = γ� ∗ (N�. + 0,1 ∗ G.)R�,�Y'Y = 1,4 ∗ (1.320 + 570 + 0,1 ∗ 1320)357 = 7,93 m> 
 R�,�Y'Y = R&'( γ$	 = Rú'( 2,15	 
Ou 
 A = (N�. + 0,1 ∗ G.)σ#�$,�Y'Y = (1.320 + 570) + 0,1 ∗ 1320256 = 7,89 m> 
 
Dados: 
Pilar 30X80 cm 
Concreto: fck = 20,0 MPa (200 
Kgf/cm2) 
Solo: 
Rd,.solo = 0,357 MPa (357 KN/m2) 
σadm,.solo = 0,255 MPa (255 KN/m2) 
Aço: fyk = 500 MPa (5.000 Kgf/cm2 
= 50KN/cm2) 
Gk = 1.320 KN; Qk = 570 KN 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 29 
 
R#�$ � R&'( FS+, = Rú'( 3,0	 
 
Conhecendo-se: 
 
b1 = 0,8 m 
b2 = 0,3 m 
A = 7,94 m2 
 
Calcula-se: B1 e B2 
 
A = B1*B2 
 B� − b� = B> − b> 
 
 
B� = (b� − b>)2 ± •(b� − b>)>4 + A = (0,8 − 0,3)2 + •(0,8 − 0,3)>4 + 7,93 = 3,0,8 m ≅ 3,10 m 
 
B2 = A/B1 = 7,94/3,10 = 2,56 m ≅ 2,60 m 
 
 
Detalhamento da sapata (dimensões) 
 
 
Figura 1.34 – Exemplo 1.1 - Dimensões preliminares da sapata 
 
Cálculo da altura da sapata, considerando-a como sapata rígida 
 h = (B� − b�)3 = (3,10 − 0,8)3 = 0,76 ≅ 0,80 m 
 
(adota-se d = 0,75 m = 75 cm) 
 
Quando (B1-b1) ≠ (B2–B2), toma-se o maior valor para o cálculo de “h” 
 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 30 
 
 
Figura 1.35 – Exemplo 1.1 - Dimensões finais da sapata 
 
Verificação do peso da sapata e solo acima dela 
 
Gsap. = Vsap.*ρc = (Vbase + Vtronco da pirâmide)*ρc 
 
Vbase = 0,50*3,1*2,6 = 4,03 m3 
V(] � H3 ˜A + √A ∗ a + aš = 0,303 ›8,06 + g8,06 ∗ 0,2975 + 0,2975œ = 1,125 
 
Sendo: 
A = área maior = 3,10*3,60 =8,06 m2 
a = área menor = 0,35*0,85 = 0,2975 m2 
H = altura do tronco de pirâmide 
 
Gsap. = (4,03+1,125)*25 =128,88 KN < 0,1*1320 = 132 KN (adotado) 
 
No caso da existência de terra sobre a sapata, o que é comum 
 G�Y'Y = ˜Ad#�… ∗ h�#]. − V�#].š ∗ ρ�Y'Y 
 G�Y'Y = (3,1 ∗ 2,6 ∗ 0,8 − (4,03 + 1,125)) ∗ 18 = 23,27 KN 
 
Gsap. + Gsolo = 128,88+ 23,27 = 152,15 KN > 10%*1.320 = 132 KN 
 
Verificação da área 
 A = γ� ∗ (N�. + G.(�#].O�Y'Y))R�,�Y'Y = 1,4 ∗ (1.320 + 570 + 152,15)357 = 8,00 m> > 0,9% 
 A = (N�. + G.(�#].O�Y'Y))σ#�$,�Y'Y = (1.320 + 570) + 152,15256 = 7,98 m> > 1,1% → OK 
 
Dessa forma será mantido B1=3,10m e B2 = 2,60 m 
 
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Cálculo da armadura 
 
R��� ≅ R��> � Nsd ∗ (B> − b>)8 ∗ d = 2.646 ∗ (2,60 − 0,3)8 ∗ 0,75 = 1.014,3 KN 
 A�� = A�> = R���fk� = 1.014,3( 501,15) = 23,33 cm> 
 
 
Armadura por metro (ver tabela 1.9) 
 
As1 = 23,33/2,60 = 8,97 cm2/m ⇒ φ 16 c/22 (φ 5/8” c/22 cm) 
 
 ⇒ φ 12,5 c/13 (φ 1/2” c/13 cm) 
 
As barras da armadura principal devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2*h ou 20 
cm, prevalecendo o menor desses dois valores 
 
As2 = 23,33/3,10 = 7,53 cm2/m ⇒ φ 12,5 c/16 (φ 1/2” c/16 cm) 
 
Detalhamento da armadura 
 
Figura 1.36 – Exemplo 1.1 - Detalhamento das armaduras 
 
Detalhamento da armadura em planta 
 
 
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Figura 1.37 – Exemplo 1.1 - Armaduras em planta 
 
Verificação do comprimento de ancoragem (dentro da sapata) 
 
lb,nec = lb,min é o maior entre (0,3lb, 10φ, 100 mm) 
 
ldiponível = 75 cm; fck = 20 MPa 
 
 
(φ armadura do pilar) 
A título de ilustração – cálculo da armadura do pilar curto 
 
Nk = 2.640 KN 
Concreto: fck = 20 MPa (2 KN/cm2) 
Aço CA50: fyk = 500 MPa (50 KN/cm2) 
 
Peça totalmente comprimida 
Nd*γn = Rcd + Rscd ∴ γn = 1 + 6/h = 1 + 6/30 = 1,2 
Rcd = 0,85*fcd*Ac ∴ Rscd = Asc * σscd ∴ σscd = 355,6 MPa 
 
A�p = N� ∗ γJ − 0,85 ∗ fp� ∗ Apσ�p� = 2640 ∗ 1,4 ∗ 1,2 − 0,85 ∗ ›
21,4œ ∗ 30 ∗ 8035,6= 42,72 cm> 
 
Obtendo 22 φ de 16 ou 34 φ 12,5 
 
Utilizando-se de barras retas 
 „d = φ4 ∗ fk�fd� = φ4 ∗ 5001,15(0,338 ∗ 20>/?) = 44φ 
 
lb = 44φ = 44*1,25 = 55 cm > (0,3*lb; 10φ;100 mm) < 75 cm OK 
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Comprimento de arranque ou emenda (acima da sapata) 
 
l0c = lb,nec ≥ l0c,min 
 
loc = lbnec = 44φ = 55 cm 
 
Onde: l0c,min é o maior entre (0,6*lb; 15φ; 200mm) 
 
 
Figura 1.38 – Exemplo 1.1 - Ancoragem – Espera 
 
 
 
 
Exemplo 1.3 - Sapara Corrida - Rígida 
Dimensionar e detalhar a armadura da sapata corrida para suportar gk = 330 KN/m e 
qk=120, sabendo-se que: 
 
Figura 1.39 – Exemplo 1.3 - Sapata rígida 
 
 
 
 
 
Aço: fyk = 500 MPa (5.000 Kgf/cm2 = 50KN/cm2) 
Concreto: fck = 20 MPa 
Solo: Rd,solo = 0,153 MPa (153 KN/m2) 
A carga “Fsk” é uma carga por unidade de 
comprimento correspondendo a “g+q”. 
 
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Cálculo da Ação solicitante de cálculo 
 
Fsd = Nsd = γf*(gk+qk) = 1,4*(330+120) = 630 KN/m 
(Carga por unidade de comprimento) 
 
Dimensão da sapata - Geometria: 
 
B � 1,4 ∗ [F�. + (0,1 ∗ gk)]R�,�Y'Y = 630 + 1,4 ∗ 0,1 ∗ 330153 = 4,42 ≅ 4,45 m 
 
Condições para sapata rígida 
 h ≥ (B − b)3 = (4,45 − 0,20)3 = 1,45 m 
 
Para não ser necessário formas a inclinação da parte superior da sapata deve ser inferior a 1:3 (ângulo 
de inclinação α=0,33) a 1:4 (α=0,25) 
 
 
Figura 1.40 – Exemplo 1.3 - Dimensões da sapata 
 
Cálculo da armadura principal 
 
Figura 1.41 – Exemplo 1.3 - Peso próprio 
 Rsd = F��d ∗ (B − b)8 = 6301,4 ∗ 4,258 = 239,06 KN/m 
 
O peso próprio da sapata caminha 
diretamente para o solo não provocando 
abertura de carga e, conseqüentemente, não 
sendo considerado no cálculo da força de 
tração na armadura “Rsd” 
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A� � R��fk� = 239,06 ∗ 1,1550 = 5,50 cm>m → Ver tabela 2.5 
 
Espaçamento 
 
 
Figura 1.42 – Exemplo 1.3 - Espaçamento das barras 
 
Para bitola de 12,5 mm (ver tabela 2.5) 
 e = A��φA� = 1,227 ∗ 1005,5 = 22 cm ∴ φ12,5 c/22 
 
As barras da armadura principal devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2*h ou 20 
cm, prevalecendo o menor desses dois valores (ABNT: NBR 6118 – item 20.1). 
 
Para bitola de 10 mm (ver tabela 2.5) 
 e = A��φA� = 0,785 ∗ 1005,5 = 14 cm ∴ φ10 c/14 
Logo, a melhor solução será utilizar φ10 c/14 
 
Armadura de distribuição 
 A��ƒ��. = A�£¤ƒ¥†.5 = 1,1 cm>m → φ 8 cada 33 (NBR 6118 − 20.1) 
 
 
- Verificação das tensões nas Bielas – Ruptura por compressão diagonal 
Na superfície C (pilar – sapata) 
τsd = Fsd/(µ*d) = 630/[2*(0,2+1,0)*1,40] =187,5 KN/m2/m = 0,187 MPa/m 
αv = (1-fck/250) = (1- 20/250) = 0,92 
τRd2 = 0,27αvfcd = 0,27*0,92*20/1,4 = 3,55 MPa > τsd 
τsd ≤ τRd2 → OK 
- Detalhamento 
 
Número de barras 
N.ºb = As/As1φ 
 
Espaçamento 
e = 100 cm/n.ºb = 100*As1φ/As 
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Figura 1.43 – Exemplo 1.3 - Detalhamento das armaduras da sapata 
 
 
iii) Sapatas Flexíveis 
Embora de uso mais raro, essas sapatas são utilizadas para fundação de cargas pequenas e 
solos relativamente fracos. Segundo a ABNT: NBR 6118 (2003 – item 22.4.2.3) seu 
comportamento se caracteriza por: 
c) Trabalho à flexão nas duas direções, não sendo possível admitir tração na flexão 
uniformemente distribuída na largura correspondente da sapata. A concentração de tensão 
devido à flexão junto ao pilar deve ser, em princípio, avaliada; 
Seção tronco pirâmide (chanfrada) Seção constante (Bloco) 
 
 
Figura 1.44 - Concentração de tensão devido à flexão 
 
Pode-se observar que a sapata troco pirâmide tem a compressão devido à flexão aplicada 
somente em uma faixa, correspondente à largura do pilar, mais, os 5 cm para apoio da forma, 
enquanto que, no caso de sapata corrida (B2=1m) e, no caso de bloco, a largura comprimida é 
largura total da sapata (bloco), conforme indicado na figura 
 
d) Trabalho ao cisalhamento pode ser analisado utilizando o fenômeno da punção (ABNT 
NBR 6118 - 19.5 – Dimensionamento de laje à punção). 
A distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada. 
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No caso das sapatas flexíveis o caminhamento das cargas se faz de forma análoga ao esquema 
da treliça clássica, com diagonais comprimidas e tracionadas (montantes inclinados) e os 
banzos comprimidos (superiores) e tracionados (inferiores). Deve-se verificar o concreto 
devido à Força cortante e colocar armadura para levantamento de carga, devido à cortante, 
caso Vsd seja maior do que Vc. 
 
 
Figura 1.45 - Sapata flexível - comportamento estrutural 
 
a) Sapata Corrida - Flexível 
 
 
Figura 1.46 - Sapata flexível corrida 
a.1) Cálculo das ações de cálculo 
 
Fsd = Nsd 
 
a.2) Determinação de “B” 
 
B � UR∗(M�NO<,<;∗+N)��,�STS 1.47 
 
a.3) Cálculo dos Esforços Solicitantes (Momento e Cortante) 
Deve-se, inicialmente, acrescentar de 3 
a 5% da carga atuante, para compensar 
o peso próprio da sapara. 
 
A tensão admissível no solo será 
especificada por especialista em solo 
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Figura 1.47 - Seções utilizadas no cálculo dos esforços 
Seção I-I 
 
σ#(&,�Y'Y = UR∗M�N[∗�,< ≤ R�,�Y'Y 1.48
 R� = R&'( γ$	 
M(ncn)� = σ�Y'Y ∗ [> ∗ [h − M��d ∗ d> ∗ dh = M��[ ∗ [\� − M��∗d� 1.49
 
A tensão no solo não considera o peso próprio, pelo fato de que a carga correspondente ao 
peso próprio descarrega diretamente no solo e o peso próprio não provoca momento na sapata. 
 M(ncn)� = F�� ∗ ([cd)� [unidade ›F. §§œ (KN. m/m) 1.50 
 V(ncn)� = σ�Y'Y ∗ [> − M��d ∗ d> = M��[ ∗ [> − M��d ∗ d> = 0 1.51
 
Para dimensionamento da seção I-I admiti-se um aumento da altura da sapata na relação de 1: 
3 até o eixo da parede 
 dn = dnn + ›�?œ ∗ ›d>œ = dnn + b/6 1.52
 
Seção II-II 
 M(nncnn)� = σ�Y'Y ∗ ([cd)> ∗ ([cd)h = M��[ ∗ ([cd)\� G›KN. $$œK 1.53
 V(nncnn)� = σ�Y'Y ∗ ([cd)> [unidade ›M§œ ›C�$ œ] 1.54
 
Seção III – III 
 
Verificação para se dispensar armaduras transversais de levantamento de carga devido 
à força cortante 
 
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Raramente se utilizam nas sapatas armaduras transversais para transportar e resistir à força 
cortante. Deve-se, portanto, dimensionar as sapatas de modo que os esforços cortantes sejam 
resistidos apenas pelo concreto, dispensando-se as armaduras transversais. 
 
Usualmente, a verificação da força cortante é feita numa seção de referência III-III, conforme 
figura 2.32. O valor dessa força cortante é dado pela expressão: 
 
Vnnncnnn � σ�Y'Y ∗ ([cdc�rr)> Gunidade ›M§œ ›C�$ œK 1.55
 M(nnncnnn)� = σ�Y'Y ∗ ([cdc�rr)> ∗ ([cdc�rr)h 1.56 
 M(nnncnnn)� = M��[ ∗ ([cdc�rr)\� G›KN. $$œK 1.57 
 
 
Diagramas 
 
Figura 1.48- Diagramas de Fletor e Cortante 
O cálculo dos momentos nas seções I, II considerando a linearização da carga, ou seja, 
multiplicando a tensão do solo, pelo lado B2, pode ser adotado com razoável precisão, 
todavia, quando se lineariza a carga (nas duas direções), observa-se uma superposição de 
cargas e isso leva a valores muito acima do real. Dessa forma será considerado, para o cálculo 
da cortante, o quinhão de carga correspondente a área delimitada conforme indicado na figura 
2.37. 
 
Figura 1.49 - Quinhão de carga para cálculo da cortante 
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Portanto, a cortante nas seções II-II e II-III serão calculadas multiplicando a tensão no solo 
pela carga distribuída na área de influência do pilar, em cada direção, conforme figuras 
apresentadas acima. 
 
Vnnn,. = σ�Y'Y ∗ AAJ¨',nn 1.58 
 Vnnn,. = σ�Y'Y ∗ AAJ¨',nnn 1.59 
 
 
 
a.4) Dimensionamento à flexão – ConsideraçõesNo dimensionamento das peças fletidas deve-se dimensionar a peça à flexão a ao esforço 
cortante. 
 
O cálculo das armaduras será feito de acordo com as equações desenvolvidas em 1.4 
 
a) Dimensionamento de seção retangular com armadura simples 
 
 
Figura 1.50 - Sistema de equilíbrio - flexão simples 
- Equações de equilíbrio 
 (0,272 ∗ fp� ∗ b©) ∗ x> − (0,68 ∗ fp� ∗ b© ∗ d) ∗ x + M� = 0 1.60 
 
Sendo: 
 a = 0,272 ∗ fp� ∗ b©; b = − 0,68 ∗ fp� ∗ b© ∗ d; c = M� 1.61
 
Para as sapatas corridas tomar bw = 1,0 m = 100 cm 
 
Portanto, 
 x = cd ±√d\c h#p># 1.62 
 
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Da equação do 2.º grau acima se obtém “x” – a posição da LN. De posse de “x” calcula-se 
Rcd, Rstd e, conseqüentemente a área de armadura 
 
• O estado limite último é caracterizado, quando a distribuição das deformações na seção 
transversal, pertencer a um dos domínios abaixo 
 
 
Figura 1.51 - Distribuição das deformações na seção transversal 
Qualquer que seja a resistência do concreto, o encurtamento específico de ruptura vale 3,5‰ 
na flexão pura e 2‰ na compressão axial; 
 
O alongamento máximo permitido na armadura é de 10‰ a fim de prevenir deformações 
plásticas excessivas. 
 
 
- cálculo da armadura 
 
A� � ���� ��� � !� "	 ��� 1.63
 
Ou com o uso da tabela de Kx, Kz, Kc e Ks, conforme equações também apresentadas em 1.4. 
Calculando-se 
 Kp = d∗�\!� → tabela e se obtem Ks; b = 100 cm 1.64
 
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Em seguida calcula-se 
 
A� � K� ∗ !�� 1.65 
 
a.5) Dimensionamento à força cortante 
 
Na prática procura-se evitar o uso de armadura de cortante (cisalhamento) em sapatas, em 
conseqüência das limitações das tensões devido à força cortante, ou melhor, da capacidade do 
concreto devido à força cortante. 
 
Em conseqüência aumenta-se a seção para não armar à cortante e, na maioria das vezes, recai-
se em alturas que estão dentro das condições de sapatas rígidas. 
 
- Verificação da ruptura por compressão diagonal 
 
Verifica-se de forma idêntica à sapata rígida, visto que se consideram as bielas inclinadas de 
450 e a cortante de cálculo dada pela expressão: 
 V�� ≤ V��> = 0,27 ∗ αu> ∗ fp� ∗ b© ∗ d 1.66
 
- Dispensa de armaduras transversais para força cortante 
 
As sapatas podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração, 
oriundos da força cortante, quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão (ABNT: 
NBR 6118 – 2003 - item 19.4.1): 
 V�� ≤ V��� 1.67
 
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Vsd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção III – III (Vsk*γf). O motivo de se fazer 
esta verificação na seção III-III é pelo fato de que a cortante, a partir dessa seção, não mais 
precisa ser levantada, pois, a força de compressão já está entrando diretamente no pilar. 
 
- Largura efetiva, na seção III-III 
 
Figura 1.52 - Largura efetiva para a verificação de tensão devido ao corte 
p\
p� � p\¬�rr >	 ∴ c>® = ¯\°ˆ\\¯�°ˆ�\ ∗ �rr> 1.68 b©>,nnn = b> + 2 ∗ c>® 1.69 b©>,nnn = b> + ([\cd\)([�cd�) ∗ dnn 1.70 b©�,nnn = b� + ([�cd�)([\cd\) ∗ dnn 1.71 
 
- Valor da força cortante. 
 
Poderá ser calculado das seguintes maneiras: 
 
a) Como uma viga em balanço, nas duas direções 
 
 
Figura 1.53 - Seção III-III 
 
- Seção III – III Vnnn,. = σ�Y'Y ∗ ([�cd� c �rr)> = ��[�∗[\ ∗ ([�cd�c�rr)> 1.72 
 
Quando a sapata for corrida, faz-se B2 igual à unidade. 
 
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b) Pela carga distribuída na área de influência do pilar, em cada direção. 
 
Vnnn,. = σ�Y'Y ∗ AAJ¨'. 1.73 
 
A força cortante, neste caso, é igual à componente normal das forças aplicadas na área de 
influência do pilar, hachurada na figura abaixo, ou seja, é a área hachurada, multiplicada pela 
tensão no solo, existente naquela respectiva área. É a somatória de forças naquela área. 
 
Figura 1.54 – Área de Influência da Cortante 
- A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: 
 V��� = [τ�� ∗ K ∗ 1,2 + 40ρ�) + 0,15σp]] ∗ b©d 1.74
 
Onde: 
τRd = 0,25*fctd (tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento) 1.75 
 fp(� = fp(.,AJ� γp	 = 0,21 ∗ �†N\ Š	U† 1.76 
ρ� = A�� (b© ∗ d)	 , não maior do 0,02 (2%) 1.77 
bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil “d” (NBR 6118 – 2003 – 
item 17.4.2.2), no caso bw = bwIII 
 σp] = N�� Ap	 1.78 
Nsd é a força longitudinal na seção devida a protensão ou carregamento (compressão positiva) 
 
 
 
 
 
 
 
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Quadro 1.4 - Parâmetros para o cálculo de Nsd - Devido á Protensão 
Nsd = Rsd,p (Força devido à protensão) 
 
Figura 1.55 - Ac na Sapata Isolada 
 
Figura 1.56 - Ac no Bloco Isolado 
 
K é um coeficiente que tem os seguintes valores: 
 
Para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: K = 1,0 
Para os demais casos: K = 1,6 - d , não menor que 1,0, com d em metros. 
 
No caso de não se aumentar a altura da peça e, optar por armar ao cisalhamento, essa 
armadura será calculada conforme especifica a ABNT: NBR 6118 (2003 – item 17.4.2.2 ou 
17.4.2.3): 
 
Outros autores, dentre eles Menegotto e Pilz (2010) sugerem que a verificação também possa 
ser feita considerado: 
 
- Verificação considerando somente a parcela de cortante que o concreto resiste, na seção III 
resiste. 
 
V�� ≤ Vp 1.79 
 Vp = VpY = 0,6 ∗ fp(� ∗ b© ∗ d 1.80 
 
Sendo que bw = bw2,III ou bw = bw1,III apresentadas nas equações 2.71 e 2.72 
 fp(� = fp(.,AJ� γp	 = <,‰∗�†�,Rγ† = 0,21 ∗ �†N\/ŠU† 1.81 
 
- Verificação considerando somente a parcela de cortante que o concreto resiste, na seção III 
resiste, de acordo com as expressões de modelos europeus, onde: 
 V�� ≤ V�� 1.82 
 
Onde VRd é o menor entre os dois valores: ²V�� = <,h‰∗d³,rrr∗�rrrU† gfp. V�� = h,‰∗d³,rrr∗�rrrU† gρ ∗ gfp.
´ 1.83 
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ρ � f�,TS¥µd³,rrr∗�rrr < 0,02 1.84 
 
 
a.5.3) Cálculo da armadura para levantamento da cortante. 
 V�� ≤ V��? = Vp + V�© 1.85
 
 
Sendo: 
VSd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção; 
 
VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal. 
 
A ABNT: NBR 6118 (2003 – item 17.4.2) define as condições de verificação no ELU para os 
elementos lineares solicitados à força cortante, estabelecendo dois critérios: 
 
- No Modelo de cálculo I: admite-se diagonais de compressão inclinadas de θ = 45° em 
relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural considerando que a parcela complementar 
Vc tenha valor constante, independente de VSd. 
 
Sendo Vc a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça 
e igual Vc0, na flexão simples, com a linha neutra cortando a seção. 
 Vp = VpY = 0,6 ∗ fp(� ∗ b© ∗ d 1.86
 fp(� = fp(.,AJ� γp	 = <,‰∗�†�,Rγ† = <,>�∗�†N\/ŠU† 1.87 
Vsw é a parcela resistida pela armadura transversal (ABNT: NBR 6118 – 2003 – 17.4.2.2) 
 
V�© = vA�© s	 w ∗ 0,9 ∗ d ∗ fk©� ∗ (sin α + cos α) 1.88
 
Sendo α o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do 
elemento estrutural, podendo-se tomar valores entre 450 e 900. 
 
Conforme desenvolvido no capítulo I, resulta: 
› f�³�∗�AJ ·œ≥ ¸ ¹��(ˆ³∗�) c <,=∗�†��<,º∗��³�∗�AJ ·(�AJ ·OpY� ·)» ∗ b© = ρ© ∗ b© 1.89 
Sendo ρw a taxa de armadura transversal 
 
- Armadura mínima 
 f�³� ≥ ρ�© ∗ b© ≥ ρ�©,$AJ ∗ b© 1.90 
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ρ�© ≥ ρ�©,$AJ = 0,2 fp(,$fk©. = 0,6 ∗ fp.
>/?fywk fct,m = 0,3 ∗ fck2/3 
 
A resistência dos estribospode ser considerada com os seguintes valores máximos, sendo 
permitida interpolação linear (ABNT: NBR 6118 – 2003 – item 19.4.2): 
 
- 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; 
- 435 MPa (fywd ), para lajes com espessura maior que 35 cm. 
 
- O Modelo de caçulo II admite as bielas variando entre 300 e 450 em relação ao eixo 
horizontal, normalmente utilizado para sapatas mais esbeltas, ou seja, de menor altura. 
 
Também neste caso será mantido Vp = Vp< = 0,6 ∗ fp(� ∗ b© ∗ d 
fp(� = fp(.,AJ� γp	 = <,‰∗�†�,RU† = <,‰∗<,?∗�†N\/Š�,h = 0,15 ∗ ifp.>Š 
V�© = vA�© s	 w ∗ 0,9 ∗ d ∗ fk©� ∗ (cot α + cot θ) ∗ sin α 1.91 
f�³� ≥ ¸ ›¾�� d³∗�	 œc<,=∗�†��<,º∗��³�∗(pY(·OpY(¿)» ∗ b© 1.92 
α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do 
elemento estrutural, podendo-se tomar 450 ≤ a ≤ 900 
 
θ é o ângulo da diagonal de compressão inclinada em relação ao eixo longitudinal do 
elemento estrutural, variando livremente entre 30° e 45°. 
 
Logo: 
V�� ≤ 0,6 ∗ fp(� ∗ b© ∗ d + (A�© s	 ) ∗ 0,9 ∗ d ∗ fk©� ∗ (cot α + cot θ) ∗ sin α 1.93 
V�� − 0,6 ∗ fp(� ∗ b© ∗ d ≤ (A�© s	 ) ∗ 0,9 ∗ d ∗ fk©� ∗ (cot α + cot θ) ∗ sin α 1.94 
f�³� ≥ ¾��c<,=∗�†��∗d³∗�<,º∗�∗��³�(pY( ·OpY(θ)∗�AJ · 1.95 
f�³� ≥ ¸ ›¾�� d³∗�	 œc<,=∗�†��<,º∗�∗��³�∗(pY(·OpY(¿)» ∗ b© ∗ d 1.96 
f�³� ≥ ¸ ›¾�� d³∗�	 œc<,=∗�†��<,º∗��³�∗(pY(·OpY(¿)» ∗ b© 1.97 
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f�³
� ∗�AJ · ≥ ρ�© ∗ b© ≥ ρ©,$AJ ∗ b© 1.98 
ρ�© ≥ ρ©,$AJ = 0,2 fp(,$fk©. = 0,6 ∗ fp.
>/?fywk 
 
Figura 1.57 - Detalhamento do estribo 
 
 
b) Sapata Flexível Isolada 
 σ�Y'Y = M��[�∗[\ 1.99 
 
- Cálculo da área da sapata 
 
Procedimento idêntico ao realizado para sapata rígida 
 
- Cálculo da armadura utilizando as expressões de Momento Fletor 
 
Figura 1.58 - Sapata Flexível isolada 
O cálculo do momento fletor nas seções I-I e II-II é feito considerando-se todas as cargas que 
ficam a esquerda da seção. 
 Mn = σ�Y'Y ∗ B> ∗ ([�/>)\> − M��∗d\d�∗d\ ∗ (d�/>)\> = 2.32 
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Mn � M��∗[\[�∗[\ ∗ [�\� − M��d� ∗ d�\� = Fsd8 ∗ (B1 − b1) 2.33 Mnn = σ�Y'Y ∗ B> ∗ (¯�°ˆ�\ )\> = M��[� ∗ ([�cd�)\� 2.34 
Conhecendo-se ξ; b; d e Md, calcula-se a posição da LN → X. Em seguida determina-se o 
valor de Z e, dessa forma, o valor de As 
 R�� = M�Z A� = ������ = !�"∗��� 1.100 
 
c) Detalhamento 
 
c.1) Armaduras mínimas 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1.9 – Taxas de Armaduras 
Armaduras Armaduras Negativas 
Armaduras 
positivas de 
lajes armadas 
nas duas 
direções 
Armadura 
positiva 
(principal) e 
lajes armadas 
em uma 
direção 
Armadura positiva 
(secundária) de 
lajes armadas em 
uma direção 
Elementos 
estruturais sem 
armaduras ativas 
ρs ≥ ρmin ρs ≥ 0,67ρmin ρs ≥ ρmin 
ρs ≥ 0,5ρmin 
As/s ≥ 20% da 
armadura principal; 
As/s ≥ 0,9 cm2/m 
Sendo: 
ρs= As/(bwh) 
Os valores de ρmin. constam da tabela 
Fonte: Tabela 19.1 NBR 6118 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 
 
 
Tabela 1.10 - Taxa mínima de armadura á flexão 
Forma da 
seção 
Valores de ρρρρmin.(*1) (As,min./Ac) 
fck 20 25 30 35 40 45 50 
ωmin. 
Retangular 0,035 0,15 0,15 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
(*1) Os valores de ρmin. apresentados nesta tabela referem-se ao aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 
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1,15. Caso esse valores sejam diferentes Αs,min. será calculado utilizando ωmin.. Dessa forma 
As,min. = ωmin.*Ac*fcd/fyd 
Fonte: Tabela 17.3 da NBR 6118 – taxas mínimas de armaduras à flexão 
 
Detalhamento semelhante ao utilizado em Sapatas rígidas 
 
Figura 1.59 - Detalhamento da sapata flexível, corrida 
 
Figura 1.60 - Distribuição das armaduras principais – sapatas isoladas 
Elementos estruturais armados com estribos - NBR 6118 - 18.3.3.2 
 
O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento 
estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom 
adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições: 
 
- se Vd ≤ 0,67 VRd2 , então smáx = 0,6 d ≤ 300 mm; 
- se Vd > 0,67 VRd2 , então smáx = 0,3 d ≤ 200 mm. 
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O espaçamento transversal entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos não 
deve exceder os seguintes valores: 
 
− se Vd ≤ 0,20 VRd2 , então st,máx = d ≤ 800 mm; 
− se Vd > 0,20 VRd2 , então st,máx = 0,6 d ≤ 350 mm. 
 
A necessidade de se levar a armadura de flexão, da sapata, até as extremidades se deve ao 
efeito de arco que se desenvolve quando a peça está próxima da ruptura. Colocando-se as 
armaduras até as extremidades proporciona-se o aparecimento de efeito de arco, aumentando-
se a capacidade resistente da peça. 
 
Recomenda a ABNT NBR 6118, em seu item 20 que: a) qualquer armadura de flexão, nas 
lajes (será adotado o mesmo procedimento para as sapatas) que o diâmetro máximo seja no 
máximo igual a h/8; b) as barras da armadura principal devem apresentar espaçamento 
máximo de 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor, na região do maior momento fletor; c) que 
armadura secundária seja superior a 20% da armadura principal e seu espaçamento, no 
máximo de 33 cm. 
 
d) Sapata isolada com pilar alongado 
 
No caso de sapata isolada com pilar alongado recomenda-se o cálculo dos esforços 
solicitantes na seção 0,15*b1, sendo b1 o lado alongado. Outro critério seria o de se calcular o 
momento considerando o alívio que a carga aplicada ao longo de b1 proporciona ao momento 
fletor, ou seja, o arredondamento do diagrama, conforme indicado na figura. 
 
 
Figura 1.61 - Arredondamento do diagrama em pilar alongado 
 
Exemplo 1.4 - Sapata corrida flexível 
Dimensionar e detalhar a sapata corrida L> 3B 
 
Dados: 
Carga da Parede: pd = 600 KN/m 
Solo: Argila Rija – Tensão resistente de projeto do solo 
Rd,solo = 0,2 MPa (200 KN/m2) 
Largura do pilar b = 20 cm 
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Concreto: C20 - fck = 20 MPa; Aço CA50: fyk = 500 MPa 
 
 
Figura 1.62 – Exemplo 2.3 - Sapata Corrida Flexível 
 
a) Cálculo da dimensão “B” da sapata 
 
A�#]#(# � B ∗ 1m (área da sapata por metro) 
 B = p� + pp�#]R�,�Y'Y 
 
Como de antemão não se consegue determinar o peso próprio da sapata será admitido como 
5% da carga da parede. 
 
Portanto, 
 B = (p� + 0,05 ∗ p)R�,�Y'Y = 1,05 ∗ p�R�,�Y'Y = 1,05 ∗ 600200 = 3,15 m 
 
b) Cálculo dos Esforços Solicitantes (Momento e Cortante), nas seções I, II e III 
 
 
Figura 1.63 – Exemplo 2.3 - Seções para o cálculo dos momentos e cortantes 
 
Seção I-I 
 
 
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Mn,. = p ∗ (B − b)8 = 600 ∗ (3,15 − 0,20)8 = 221,25 KN. m/m 
 Vn,. = 0 
 
Seção II-II 
 Mnn,. = pB ∗ (B − b)>8 = 6003,15 ∗ (3,15 − 0,2)>8 = 207,86 KN. m/m 
 Vnn,. = pB ∗ (B − b)2 = 6003,15 ∗ (3,15 − 0,2)2 = 280,95 KN/m 
 
 
Seção III – III 
 Vnn,. = pB ∗ (B − b − dnn)2 = 
 Mnn,. = pB ∗ (B − b − dnn)>8 
 
 
Será calculado oportunamente ao se dimensionar à cortante 
 
c) Dimensionamento à flexão 
Concreto: fck = 20 MPa; Aço CA50: fyk = 500 MPa 
 
c.1) Seção II-II 
 
MII,k = 207,86 KN.m/m ∴ MII,d = 207,86*1,4 = 291,0 KN.m/m 
 
Adotando um Kc econômico ( limite entre sub-domínio 2b e domínio 3) 
 
Kc = 4,43 (cm2/KN.cm) – ver tabela 
 
 
 Kp = 100 ∗ d>M� ∴ d> = 4,43 ∗ 291,0 ∗ 100 (KN. cm)100 
 d> = 1.289,13 ∴ d = 35,9 ≅ 36 cm 
 A� = K� ∗ M�d = 0,0257 ∗ 2910036 = 20,77 cm> m 	 > ÁÂ, min = 0,15%bw ∗ h 
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Tabela 1.11 - Especificações das barras 
Barras 
(φ - mm) 
Área da 
seção 
(mm2) 
Perímetro 
(mm) 
Barras 
(φ -mm) 
Área da 
seção 
(mm2) 
Perímetro 
(mm) 
10,0 78,5 31,4 20,0 314,2 62,8 
12,5 122,7 39,3 22,0 380,1 69,1 
16,0 201,1 50,3 25,0 490,9 78,5 
Fonte: ABNT NBR 7840 (2007) 
 
Escolhendo φ 16 mm (ver tabela 2.1) 
 
e � 100 ∗ A��φA� = 100 ∗ 2,020,77 = 9,6 ~ φ 16 c/9,5 
 
Escolhendo φ 20 mm 
 e = 100 ∗ A��φA� = 100 ∗ 3,1520,77 = 15,1 ~ φ 20 c/15 
 
Obs: espaçamento máximo 20 cm ou 2h (o menor) 
 
Detalhamento da seção transversal da sapata 
 
Considerando o cobrimento mínimo nominal 
Cnom.= 40 mm ≥ φ barra (20 a 50 mm) 
 
h = d + 4 cm = 36 + 4 = 40 cm 
 
Adota-se, normalmente, para h0 valores entre h/3 a 30 cm 
 
Para o exercício em questão h0 = 40/3 = 13,3 ≅ 15 cm 
 
tgα = h/[(B-b)/2,0] = 40*2/(315-20) = 0,27 (α = 15,20 < 33,70 – Flexível) 
 
Para não ser necessário colocar formas a inclinação deve ficar entre 1:3 (0,33) a 1:4 (0,25) 
No caso a inclinação é de 25/145 = 0,17 < 0,33 (Ok) 
 
 
Figura 1.64 – Exemplo 2.3 - Dimensões para cálculo do peso próprio 
 
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Verificação do peso próprio da sapata e do solo sobre ela 
 
Vsap. = (0,20*3,15) + 2*(0,20*1,45)/2 + (0,2+0,05)*0,20 = 0, 97 m3/m 
Gsap. = 0,97 m3/m*25 KN/m3 = 24,25 KN/m 
G�Y'Y � ˜B ∗ 1,0 ∗ h − V�#].š ∗ ρ�Y'Y = (3,15 ∗ 1,0 ∗ 0,4 − 0,97) ∗ 18 = 5,22 
Gsap. + Gsolo = 24,25 + 5,22 = 29,47 < 5%*P = 0,05*600 = 30 KN/m 
 
c.2) Seção I- I 
 
MI,K = 221,25 KN.m/m ∴ MI,d = 221,25*1,4 = 309,75 KN.m/m 
 
Para dimensionamento da seção I-I pode-se admitir um aumento da altura da sapata na relação 
de 1: 3 até o eixo da parede 
 
dI = dII+b/6 = 36 + 20/6 = 39 cm 
 Kp = b ∗ dn>Mn,� = 100 ∗ 39>30975 = 4,91 → Tabela → Ks = 0,0254 
 A�,n = K� ∗ M�d = 0,0254 ∗ 3097539 = 20,17 cm>m < A�,nn 
 
 
d) Dimensionamento ao cisalhamento 
 
d.1) Verificação das tensões nas Bielas – Ruptura por compressão diagonal 
 
d.1.1) Na superfície C (pilar – sapata) 
τ�� = F��(u ∗ d) = 1,4 ∗ 600[2 ∗ (0,2 + 1,0) ∗ 0,36] = 972,22 KN/m> m	 
τ�� = 0,972 MPa/m 
αu = Æ1 − fp.250Ç = ›1 − 20 250	 œ = 0,92 
τ��> = 0,27 ∗ α¾ ∗ fp� = 0,27 ∗ 0,92 ∗ 20 1,4	 = 3,55 MPa > τ�� τ�� < τ��> ∴ OK 
 
- Na seção II-II 
V�� ≤ V��> = 0,27 ∗ αu> ∗ fp� ∗ b© ∗ d 
 
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Vnn,. = pB ∗ (B − b)2 = 6003,15 ∗ (3,15 − 0,2)2 = 280,95 KN/m V�� = Vnn,� = 1,4 ∗ 280,95 = 393,33 KN/m 
V��> = 0,27 ∗ α¾ ∗ fp� ∗ b© ∗ d = 0,27 ∗ 0,92 20 ∗ 10?1,4 ∗ 1,0 ∗ 0,36 V��> = 1.277 KN/m > V�� 
 
d.1.2) Verificação para se dispensar a armadura a cortante 
 
Seção III-III (dII = 36 cm, dIII = 33,86 cm ) 
 Mnnn,. = pB ∗ (B − b − dnn)>8 = 6003,15 ∗ (3,15 − 0,2 − 0,36)>8 = 159,72 KN. m/m 
 Vnnn,. = pB ∗ (B − b − dnn)2 = 600 ∗ (3,15 − 0,2 − 0,36)3,15 ∗ 2 = 246,67 KN/m 
 
Vsd = γf*VIII,k = 1,4*246,67 = 345,33 
 Para não armar V�� deve ser ≤ V��� 
 
A resistência de projeto ao cisalhamento vale: 
 V��� = [τ�� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρ�) + 0,15σp]]b©d 
 
Onde: τ�� = 0,25 ∗ 0,21 ∗ �†N\/Š�,h = 0,0375 ∗ fp.>/? = 0,2763 MPa (fck = 20 MPa) 
 ρ� = A��(b© ∗ d) < 0,02 ∴ ρ� = 20,77(100 ∗ 36) = 0,0058 < 0,02 
 σp] = N��Ap = o 
 
σcp = 0 (força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão 
positiva) 
 
Valores de K 
 
− Como 100% das armaduras chegam até o apoio: 
 
K = 1,6 - d , não menor que 1,0, com “d” em metros. 
 
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K � (1,6 − 0,3386) = 1,2614 > 1,0 V��� = [τ�� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρ�) + 0,15σp]] ∗ b©d V��� = [276,3 ∗ 1,2614 ∗ (1,2 + 40 ∗ 0,0058) + 0,15 ∗ 0] ∗ 1,00 ∗ 0,3386 = V��� = 168,99 ≅ 169,00 KN/m < V�� = 345,33 KN/m 
 
No caso de seção variável pode-se reduzir a cortante a ser levantada de (M/d)*tgα, quando a 
seção cresce e o momento cresce. 
 
Quando acontecer o inverso, essa parcela é somada. Isso se explica pela analogia da treliça, 
onde parte da cortante desce diretamente pela biela de compressão. 
 
Figura 1.65 - Exemplo 2.3 - Força cortante na seção II 
Vnnn,C,�…�&"A�Y = Vnnn,. − Mnnn,Cdnnn ∗ tgα = cortante reudzida 
 Vnnn,C,�…� = 246,67 − 159,720,3386 ∗ 20145 = 181,61 KN/m 
 
Vsd = 1,4*181,61 = 254,25 KN/m > VRd1 = 169,00 KN/m 
 
Diante dos valores calculados, existem duas alternativas: 
 
1.º - Aumentar a altura 
2.º - Dimensionar como sapata rígida 
3.º - Calcular a armadura para levantamento da carga (armadura para cortante) 
 
d.1.3) Cálculo da nova altura para se dispensar a armadura a cortante 
 
Cálculo do novo valor de “dIII”, impondo VRd1 = 254,25 KN/m 
 
Para valores de “d” acima de 0,60, K=1,0 
 254,25 = [276,3 ∗ 1,0 ∗ (1,2 + 40 ∗ 0,0058) + 0,15 ∗ 0] ∗ 1,00 ∗ d 
 dnnn = 254,25/395,66 = 0,64 
 
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dIII ≥ 0,64 m ≅ 65 cm, conseqüentemente, dII = 70; h = 75 cm (tem-se uma melhora em todas 
as condições), porém, aumento de peso da sapata, o que exige uma nova verificação da tensão 
no solo. 
 
Portanto, 
 
Adota-se, normalmente, para h0 valores maiores que h/3, (h-h1) e 20 cm 
 
h1 = 145/3 = 48,33 ≅ 50 cm (utilizando a inclinação de 1:3, para não se colocar forma) 
 
Logo, para o exercício em questão h0 será o maior entre: 75/3 = 25 cm; h-h1 = 75 -145/3 ≅ 
30; ou 20 cm 
 
 
Figura 1.66 – Exemplo 2.3 - Dimensões para cálculo do peso próprio 
tgα = h/[(B-b)/2,0] = 75*2/(315-20) = 0,508 (α = 26,950 < 33,70 – Flexível) 
 
h � (315 − 20)3 = 98 ≅ 100 cm 
 
 
- Verificação do peso próprio da sapata 
 
Vsap. = (0,25*3,15) + 2*(0,5*1,45)/2 + (0,2+0,05)*0,50 = 1,64 m3/m 
 
Gsap. = 1,64 m3/m*25 KN/m3 = 40,94 KN/m 
 
 Gsolo = (B*1,0*h - Vsap.)*ρsolo = (3,15*1,0*0,75-1,64)*18 = 13,0 KN /m 
 
Gsap. + Gsolo = 40,94 + 13 = 53,94 KN/m > 5%*P = 0,05*600 = 30 KN/m 
 
Necessário recalcular alguns parâmetros 
 
- Cálculo de um novo B 
 B = (p� + pp)R�,�Y'Y = 600 + 53,94R�,�Y'Y = 653,94200 = 3,25 m (3,2% de acréscimo) 
 
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Observa-se que, com o aumento da dimensão será necessário recalcular momentos e 
cortantes e, recalcular as armaduras, todavia, como o acréscimo foi pequeno, próximo 
de 3,2%, e houve um acréscimo considerável de altura, as armaduras serão inferiores às 
calculadas anteriormente: 
 
- Verificações: 
 
- à flexão: 
 
Mnn,. = pB ∗ (B − b)>8 = 6003,25 ∗ (3,25 − 0,2)>8 = 214,67 KN. m/m 
Kp = b ∗ dnn>Mnn,� = 100 ∗ 70>1,4 ∗ 21467 = 16 → Tabela → Ks = 0,0238 
(ver tabela de Kc e Ks no anexo) 
 A�,nn = K� ∗ Mnn,�dnn = 0,0238 ∗ 1,4 ∗ 2146770 = 10,22 cm>m As, min = 0,15% ∗ bw ∗ h = 0,15 ∗ 70 = 10,5 cm>/m 
Escolhendo φ 12,5 mm (ver tabela 2.1) 
e = 100 ∗ A��φA� = 100 ∗ 1,22710,22 = 12,0 ~ φ 12,5 c/11 
Escolhendo φ 16 mm 
e = 100 ∗ A��φA� = 100 ∗ 2,0110,22 = 19,7 ~ φ 16 c/19 
Obs: espaçamento máximo 20 cm ou 2h (o menor) 
Armadura de distribuição (1/5*As = 2,1 cm2/m - φ8) 
e = 100 ∗ A��φA� = 100 ∗ 0,50272,1 = 24 ~ φ 8 c/24 
Obs: espaçamento máximo 33 cm 
 
- à cortante (seção III) 
 Vnnn,. = pB ∗ (B − b − dnn)2 = 6003,25 ∗ (3,25 − 0,2 − 0,7)2 = 216,92 KN/m 
Mnnn,. = pB ∗ (B − b − dnn)>8 = 6003,25 ∗ (3,25 − 0,2 − 0,70)>8 = 127,44 KN. m/m 
Vnnn,C,�…�&"A�Y = Vnnn,. − Mnnn,Cdnnn ∗ tgα = cortante reudzida 
VC,nn,�…� = 216,92 − 127,440,65 ∗ 50150 = 151,56 KN/m 
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Vsd = 1,4*151,56 = 212,18 KN/m 
A resistência de projeto ao cisalhamento vale: 
V��� � Lτ�� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρ�) + 0,15σp]]b©d 
Onde: 
τ�� = 0,25 ∗ 0,21 ∗ �†N\/Š�,h = 0,0375 ∗ fp.>/? = 0,2763 MPa (fck = 20 MPa) 
ρ� = A��(b© ∗ dnnn) < 0,02 ∴ ρ� = 10,5(100 ∗ 65) = 0,0016 < 0,02 
σp] = N��Ap = o 
σcp = 0 (força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão 
positiva) 
Valores de K 
Como 100% das armaduras chegam até o apoio: 
 K = 1,6