Artigo Científico - EMPREGO DE FERRAMENTAS NUMÉRICAS E ANALÍTICAS NA DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS EM VIGAS

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A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 
EMPREGO DE FERRAMENTAS NUMÉRICAS E ANALÍTICAS NA 
DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS EM VIGAS 
 
Daniel Lombardi Resende
(1)
 (daniel.ufsj@gmail.com), Samuel Alves de Freitas
(2)
 
(samuelengmec@gmail.com), André Luis Christoforo
(3)
 (alchristoforo@yahoo.com.br) 
 
UniversidadeFederal de São João Del Rei (UFSJ); Departamento de Mecânica 
 
RESUMO:Vigas são elementos estruturais projetados para suportar carregamentos aplicados 
perpendicularmente ao seu eixo longitudinal. A aplicação deste carregamento resulta em um 
deslocamento da mesma. Duas teorias analíticas são utilizadas para calcular tal deslocamento, sendo 
elas a Teoria de Vigas de Bernoulli e a Teoria de Vigas de Timoshenko. Nessas teorias, o 
deslocamento é obtido à partir da força aplicada, das propriedades do material e das dimensões do 
perfil transversal da viga. Entretanto, as teorias baseiam seus cálculos em elementos de barra, 
fugindo um pouco da realidade física da viga, que é tridimensional. Para testar a validade das 
teorias, os resultados dos deslocamentos obtidos por elas serão colocados em paralelo com resultados 
de deslocamentos obtidos por simulação numérica, utilizando um software computacional 
(HyperWorks), que utiliza o método de elementos finitos, aproximando mais à realidade. Com os 
resultados em mãos, é possível perceber que as teorias, quando aplicadas a vigas longas, se 
aproximam dos resultados numéricos e, a medida em que a viga diminui, os resultados se afastam. 
Para vigas curtas, a Teoria de Vigas de Timoshenko é mais aceita que a de Bernoulli, por considerar 
o efeito de cisalhamento da barra em seus cálculos. 
 
PALAVRAS-CHAVE:Método dos elementos finitos, teoria de vigas de Bernoulli, teoria de vigas de 
Timoshenko. 
 
ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODOLOGIES USED TO DETERMINE 
THE DISPLACEMENTS IN STRUCTURAL BEAMS 
 
ABSTRACT:. Beams structural elements are designed to withstand loads applied perpendicularly to 
its longitudinal axis. The application of this load results in a displacement of the same. Two analytical 
theories are used to calculate such displacement, these being the Bernoulli Beam Theory and the 
Theory of Timoshenko beams. In these theories, the displacement is obtained from the force applied, 
the material properties and dimensions of the cross section of the beam. However, theories based their 
calculations on bar elements, fleeing some of the physical reality of the beam, which is three-
dimensional. To test the validity of the theories, the displacement results obtained for them are placed 
in parallel with displacement results obtained by numerical simulation using a computer software 
(HyperWorks), which uses the finite element method, closer to reality. With the results in hand, one 
can see that the theories when applied to beams long, approaching the numerical results and the extent 
to which the beam decreases, the results deviate. For short beams, the Timoshenko theory of beams is 
more accepted than Bernoulli, by considering the effect of shear bar in their calculations. 
 
KEYWORDS:Finite element method, Bernoulli teory beams, Timoshenko teory beams. 
 
 
2°COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
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1. INTRODUÇÃO 
 
A análise de flexão de viga tem sido um tema de interesse para os investigadores há 
mais de um século, podendo ser encontrada como um capítulo padrão na maioria dos livros-
texto de resistência dos materiais. A engenharia almeja a possibilidade de reduzir os gastos de 
matéria prima. Sendo assim, este tema desperta grande interesse por parte dos pesquisadores e 
estudantes, pois quanto mais conhecermos sobre os efeitos da flexão em vigas, melhor 
podemos trabalhar com os materiais e proporcionar uma redução de custos em um projeto. 
Existem inúmeras teorias de vigas que relacionam tensões e deslocamentos. No 
presente trabalho, a teoria de vigas de Euler – Bernoulli e a teoria de vigas de Timoshenko são 
comparadas com resultados advindos de simulação numérica feita no software HyperWorks. 
Esse software utiliza o método dos elementos finitos para plotagem de seus resultados. 
Segundo Azevedo (2003) o Método dos Elementos Finitos (MEF) tem como objetivo 
a determinação do estado de tensão e de deformação de um sólido de geometria arbitrária 
sujeito a ações exteriores. Mazzieiro et al define o MEF como um método matemático, no 
qual um meio contínuo é discretizado (subdividido) em elementos que mantém as 
propriedades de quem os originou. Esses elementos são descritos por equações diferenciais e 
resolvidos por modelos matemáticos para que sejam obtidos os resultados desejados. 
Maurizi e Bellés (1991) estudaram as frequências naturais de um sistema massa – viga 
de uma viga uniforme utilizando a teoria de Timoshenko. Rossi et al (1993) apresentou a 
vibração livre da viga de Timosheko elasticamente montada com massas concentradas. 
Posiadala (1997) examinou a vibração livre de uma viga uniforme de Timoshenko com 
anexos, por meio da abordagem de Lagrange. Wang e Lee (1974) introduziu o método 
deflexão dinâmica para a análise de plano forçado pela vibração de uma viga circular de 
Bernulli-Euler com extremidades fixas. Silva e Urgueira (1988) estudaram a resposta em 
estado estacionário fora do plano de uma viga de Timoshenko curva, usando o método da 
matriz de rigidez dinâmica. 
Até o presente momento, não se encontrou, na literatura, estudos sobre uma análise 
comparativa entre as duas teorias com análise numérica. Com isto, o trabalho tem como 
objetivo analisar a validade das teorias analíticas, por meio de comparação de resultados 
encontrados em um software que considera elementos tridimensionais da viga. Sabe-se que as 
relações explícitas demonstram que existe uma diferença entre os resultados dos 
deslocamentos apresentados nos métodos teóricos e numérico, portanto, apresentaremos um 
conjunto de resultados para avaliar a validade dessas teorias. 
 
 
 
 
 
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12° CONEMI 
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2. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
 2.1. Teoria de vigas de Timoshenko 
 
O Método das Forças Virtuais (MFV) é empregado sobre o modelo estrutural de 
flexão estática a três pontos (Figura 1), objetivando-se encontrar a expressão para o cálculo do 
deslocamento abaixo do ponto de aplicação da força, considerando-se para tanto, a parcela 
dos esforços momento fletor e cortante. 
 
FIGURA 1 - Flexão estática a três pontos. 
 
De forma genérica, considerando-se apenas os esforços fletores e cisalhantes, o 
deslocamento em um ponto de interesse para uma estrutura constituída por elementos de barra 
é expresso pela Equação 1, em que: 
1
( ) ( )( ) ( )
1
i i
n
s
i
f Q x q xM x m x
dx dx
E I G A  
  
   
   
  
 (1) 
 – deslocamento linear ou rotação a ser calculado mediante o emprego da força ou momento 
virtual de módulo 1; 
M(x) – variação do momento fletor para um trecho daestrutura segundo o real histórico de 
cargas; 
m(x) – variação do momento fletor para um trecho da estrutura segundo o emprego de uma 
força ou momento unitário aplicado em um ponto de interesse; 
Q(x) – variação do esforço cortante para um trecho da estrutura segundo o real histórico de 
cargas; 
q(x) – variação do esforço cortante para um trecho da estrutura segundo o emprego de uma 
força ou momento unitário aplicado em um ponto de interesse; 
fs – fator de forma da seção transversal (dependente da geometria das seções transversais); 
E – módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young; 
I – momento de inércia da seção transversal; 
 
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12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
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G – módulo de elasticidade transversal; 
A – área da seção transversal; 
L – comprimento da viga; 
b – medida da base da seção transversal; 
h – medida da altura da seção transversal. 
Os esforços solicitantes determinados entre as seções AB e BC da Figura 1 são 
expressos respectivamente pelas Equações 2, 3, 4 e 5, segundo a convenção de sinais 
explicitada na Figura 2. 
 
 
FIGURA 2 - Convenção positiva para os esforços. 
( ) ; ( )
2 2
AB AB
F 1
M x x m x x   
 (2) 
   ( ) 2 ; ( ) 2
4 4
BC BC
F 1
M x x L m x x L         
 
(3) 
( ) ; ( )
2 2
AB AB
F 1
Q x q x 
 
(4) 
( ) ; ( )
2 2
BC BC
F 1
Q x q x   
 
(5) 
 
Explicitando-se a Equação 1 para o caso do ensaio de flexão estática a três pontos 
(Figura 1), chega-se a expressão do cálculo do deslocamento (ΔB) abaixo do ponto de 
aplicação da força, assim como expressa a Equação 6. 
/ 2 / 2
0 0
/ 2 / 2
0 0
( ) ( )( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
L L
BC BCAB AB
B
z z
L L
s AB AB s BC BC
M x m xM x m x
dx dx
E I E I
f Q x q x f Q x q x
dx dx
G A G A

   
 
   
 
 
 
 
 (6) 
O fator de forma (fs) para seções retangulares é igual a 6/5 (HIBBELER, 2010). 
Substituindo este valor assim como os das Equações de 2 a 5 na Equação 6 e fazendo-se 
 
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algumas manipulações algébricas chega-se a Equação 7, que permite determinar o 
deslocamento vertical no ponto B da viga (Figura 1). 
3 3
48 10
B
z
F L F L
E I G A
  
  
   
 (7) 
O primeiro termo do lado direito da igualdade apresentada na Equação 7 contabiliza a 
parcela de deslocamento referente ao momento fletor e, a segunda, do esforço cortante. 
Utilizando-se da relação entre módulo de elasticidade longitudinal e transversal para materiais 
isotrópicos juntamente com a substituição do momento de inércia da seção retangular e da 
área de seção transversal, de medidas b e h, chega-se a expressão analítica final (Equação 8) 
utilizada para o cálculo do deslocamento vertical no ponto médio da viga. 
3
3
3 (1 )
4 5
B
F L F L
E b h E b h
    
  
     
 (8) 
 
2.2 – Método dos Elementos Finitos 
 
O Método dos Elementos Finitos (MEF) mostra-se como uma excelente ferramenta de 
cálculo utilizada para analisar o comportamento dos materiais empregados em projetos 
estruturais, assim como o de avaliar o desempenho mecânico dessas estruturas. 
Historicamente, o MEF surgiu em 1955, como evolução da análise matricial de 
modelos reticulados, motivado pelo advento do computador e elaborado com o intuito de se 
projetar estruturas de modelos contínuos. 
O MEF pode ser considerado como uma técnica de gerar funções de aproximação, que 
podem ser utilizadas para interpolar deslocamentos, esforços, tensões e deformações ao longo 
do domínio do elemento. 
Para a resolução aproximada de problemas estruturais segundo o MEF, as funções de 
forma podem ser aplicadas diretamente à sua equação diferencial (Resíduos Ponderados) ou a 
princípios energéticos, tais como o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). 
O deslocamento em problemas estruturais elásticos é tido como incógnita 
fundamental, obtido por intermédio da resolução de um sistema de equações lineares, assim 
como expressa a equação 1, sendo que a sua construção fica em função da disposição da 
malha, e conseqüentemente, dos nós dos elementos finitos na estrutura, como pode ser visto 
na figura 3. 
 
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12° CONEMI 
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FIGURA 3 - Exemplo de discretização de uma malha de elementos finitos em uma treliça. 
[K]{U}={F} (1) 
Em que: 
[K] - matriz de rigidez da estrutura; 
{U} - vetor dos deslocamentos nodais da estrutura; 
{F} - vetor das forças equivalentes nodais da estrutura. 
Com relação ao emprego do MEF na avaliação do desempenho mecânico de estruturas 
alguns trabalhos podem ser citados, como os de CHRISTOFORO, 2007; BRAESS, 2007; 
GÓES, 2004; KAOUA, 2008; LOPES, 2010; YAO e BAI, 2009 entre outros. 
 
2.3 Problema Modelo 
 
Para comparar os resultados dos deslocamentos obtidos a partir das teorias analíticas 
de Bernoulli e Timoshenko, em paralelo a resultados advindos de software computacional, 
foram utilizadas vigas tridimensionais com seção transversal retangular cujas dimensões são 
apresentadas na Figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 4 - Viga a ser simulada. 
 
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São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
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Esta seção retangular é mantida e varia-se o comprimento da viga, alterando a relação 
L/h. A Tabela1 apresenta como esta relação varia com o comprimento. 
 
TABELA 1 – Comprimento L e relação L/h das vigas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois materiais foram utilizados para realização dos cálculos, sendo o Aço USI-SAC 
41, cujo módulo de elasticidade longitudinal (E) equivale a 205GPa (JAVARONI, 1999). 
Outro material utilizado foi a liga de alumínio AA2024-T351, com módulo de elasticidade 
longitudinal igual a 73,1GPa (Aires, 2007). Outras propriedades destes materiais estão 
detalhadas na Tabela 2. 
TABELA 2 – Propriedade dos materiais trabalhados. 
 Aço Usi-sac 41 Liga AA2024-
T351 
Módulo de 
Elasticidade 
Longitudinal (E) 
205GPa 73,1GPa 
Módulo de 
Elasticidade 
Transversal (G) 
80GPa 23,6GPa 
Coeficiente de 
Poisson 
0,3 0,33 
 
Relação 
L/h 
Comprimento 
(cm) 
30,0000 360 
28,3333 340 
26,6667 320 
25,0000 300 
23,3333 280 
21,6667 260 
20,0000 240 
18,3333 220 
16,6667 200 
15,0000 180 
13,3333 160 
11,6667 140 
10,0000 120 
8,3333 100 
6,666780 
5,0000 60 
3,3333 40 
1,6667 20 
 
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 As forças a serem aplicadas foram obtidas a partir da condição de pequenos 
deslocamentos. Da equação analítica de Bernoulli fixou-se deslocamento à medida L/300 para 
todas as geometrias estudadas, encontrando os respectivos valores de força. 
 As simulações numéricas foram feitas no HyperMesh, uma das extensões do 
HyperWorks, utilizando vigas bi apoiadas. Um dos apoios é fixo e o outro é móvel. 
Assim como nas teorias analíticas da resistência dos materiais, na simulação numérica 
também é utilizada flexão na qual uma força pontual é aplicada no centro da face superior da 
viga, na direção negativa do eixo Y. A Figura 5 ilustra a força aplicada e a referência dos 
eixos cartesianos. 
FIGURA 5 – Força pontual no centro da viga. 
 
 O elemento finito utilizado no HyperMesh foi tetraédrico isoparamétrico de 4 nós com 
5mm de distância entre um nó e outro (Figura 6). A natureza da simulação foi linear tanto 
física como geometricamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 6 – Elemento finito tetraédrico isoparamétrico de 4 nós. 
 
 
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3. RESULTADOS E CONCLUSÕES 
 
Tanto para o Aço Usi – Sac 41, quanto para a liga AA2024-T351, o maior valor de 
deslocamento é encontradoem vigas mais longas, com relação L/h igual a 30. A Figura 7 
ilustra o resultado da simulação para o aço. Como se trata de uma viga bi apoiada com uma 
força pontual no centro, o maior deslocamento coincide com o local da força, representado na 
figura pela cor vermelha. 
 
FIGURA 7 – Viga de 360cm de comprimento - Aço Usi – Sac 41. 
 
Para vigas curtas, o maior deslocamento também coincide com o local da força 
pontual, mas diferentemente das teorias analíticas, o software computacional analisa a viga 
tridimensionalmente. Sendo assim, com uma viga muito curto e uma força pontual elevada, o 
software considera a endentação sofrida pelo material. A Figura 8 retrata este fato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 8 – Viga de 20cm de comprimento - Aço Usi – Sac 41. 
 
 
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 De maneira análoga ao Aço Usi – Sac 41, a Figura 9 ilustra o resultado da simulação 
para uma viga de relação L/h igual a 30 para a liga AA2024-T351. 
 
FIGURA 9 – Viga de 360cm de comprimento – Liga AA2024-T351. 
 
 A questão da endentação sofrida pelo aço, também é percebida na liga de alumínio. A 
profundidade desta endentação varia de um material para outro. A Figura 10 apresenta o 
resultado da simulação para uma viga de relação L/h igual a 1,667 para a liga AA2024-T351. 
 
FIGURA 10 – Viga de 20cm de comprimento – Liga AA2024-T351. 
 
 
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As Tabelas 2 e 3 apresentam os valores dos deslocamentos encontrados nas teorias 
analíticas de Bernoulli e Timoshenko em paralelo aos resultados encontrados através de 
simulação numérica no HyperWorks, tanto para o aço, quanto para a viga de alumínio. 
 
TABELA 2 – Deslocamentos numéricos e analíticos do problema modelo para o Aço 
Usi – Sac 41. 
Relação 
L/h 
Força 
(N) 
Deslocamento 
Bernoulli 
(cm) 
Deslocamento 
Timoshenko (cm) 
Deslocamento 
software (cm) 
30,0000 18222,222222 1,200000 1,204100 1,170000 
28,3333 20429,065744 1,133333 1,137675 1,105000 
26,6667 23062,500000 1,066667 1,071279 1,041000 
25,0000 26240,000000 1,000000 1,004920 0,977600 
23,3333 30122,448980 0,933333 0,938605 0,913800 
21,6667 34934,911243 0,866667 0,872344 0,850200 
20,0000 41000,000000 0,800000 0,806150 0,786700 
18,3333 48793,388430 0,733333 0,740042 0,723100 
16,6667 59040,000000 0,666667 0,674047 0,660700 
15,0000 72888,888889 0,600000 0,608200 0,598800 
13,3333 92250,000000 0,533333 0,542558 0,536500 
11,6667 120489,795918 0,466667 0,477210 0,477600 
10,0000 164000,000000 0,400000 0,412300 0,419700 
8,3333 236160,000000 0,333333 0,348093 0,363300 
6,6667 369000,000000 0,266667 0,285117 0,315400 
5,0000 656000,000000 0,200000 0,224600 0,288200 
3,3333 1476000,000000 0,133333 0,170233 0,314400 
1,6667 5904000,000000 0,066667 0,140467 0,786100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA 3 - Deslocamentos numéricos e analíticos do problema modelo para a liga 
AA2024-T351. 
 
Foi feito o teste 2 sample-t para analisar os resultados dos deslocamentos. Este método 
é usado para realizar um teste de hipóteses e calcular um intervalo de confiança da diferença 
entre duas médias populacionais quando os desvios padrão da população são desconhecidos. 
A Tabela 4 mostra os resultados do teste. 
Tabela 4 – Intervalo de confiança entre médias para os deslocamentos encontrados. 
 Teoria de Timoshenko 
e Bernoulli 
Teoria de Timoshenko e 
software 
Teoria de Bernoulli e 
software 
Aço Usi-Sac 
41 
-0,251606; 0,222946 
 
-0,252343; 0,177881 
 
-0,271184; 0,168062 
 
Liga 
AA2024-
T351 
-0,253771; 0,219128 
 
-0,265868; 0,166355 
 
-0,288818; 0,154663 
 
 
À partir desses resultados, é possível concluir com 95% de certeza, que os 
deslocamentos encontrados estão relacionados. Todos os intervalos de confiança variam de 
Relação 
L/h 
Comprimento 
(cm) 
Força 
(N) 
Deslocamento 
Bernoulli 
(cm) 
Deslocamento 
Timoshenko(cm) 
Deslocamento 
software (cm) 
30,0000 360 6497,777778 1,200000 1,204956 1,198000 
28,3333 340 7284,705882 1,133333 1,138581 1,132000 
26,6667 320 8223,750000 1,066667 1,072242 1,066000 
25,0000 300 9356,800000 1,000000 1,005947 1,001000 
23,3333 280 10741,224490 0,933333 0,939705 0,935800 
21,6667 260 12457,278107 0,866667 0,873529 0,870600 
20,0000 240 14620,000000 0,800000 0,807434 0,805500 
18,3333 220 17399,008264 0,733333 0,741443 0,740400 
16,6667 200 21052,800000 0,666667 0,675587 0,676500 
15,0000 180 25991,111111 0,600000 0,609912 0,612800 
13,3333 160 32895,000000 0,533333 0,544484 0,549300 
11,6667 140 42964,897959 0,466667 0,479410 0,488900 
10,0000 120 58480,000000 0,400000 0,414868 0,429500 
8,3333 100 84211,200000 0,333333 0,351175 0,371800 
6,6667 80 131580,000000 0,266667 0,288968 0,322500 
5,000060 233920,000000 0,200000 0,229736 0,294400 
3,3333 40 526320,000000 0,133333 0,177937 0,320000 
1,6667 20 2105280,000000 0,066667 0,155873 0,792400 
 
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um valor negativo até um positivo, ou seja, o 0 (zero) está contido no intervalo, justificando a 
relação dos resultados. 
Os erros percentuais relativos aos deslocamentos tanto para o aço quando para a liga 
de alumínio estão visualizados na tabela 5. 
 
TABELA 5 - Erros percentuais relativos entre os deslocamentos analíticos e numéricos. 
Aço Usi-Sac 41 Liga AA2024-T351 
Erro 
relativo 
Numérico e 
Bernoulli 
Erro relativo 
Numérico e 
Timoshenko 
Erro relativo 
Timoshenko e 
Bernoulli 
 Erro 
relativo 
Numérico e 
Bernoulli 
Erro relativo 
Numérico e 
Timoshenko 
Erro relativo 
Timoshenko e 
Bernoulli 
2,56 2,91 0,34 
 
0,17 0,58 0,41 
2,56 2,96 0,38 
 
0,12 0,58 0,46 
2,47 2,91 0,43 
 
0,06 0,59 0,52 
2,29 2,79 0,49 
 
0,10 0,49 0,59 
2,14 2,71 0,56 
 
0,26 0,42 0,68 
1,94 2,60 0,65 
 
0,45 0,34 0,79 
1,69 2,47 0,76 
 
0,68 0,24 0,92 
1,42 2,34 0,91 
 
0,95 0,14 1,09 
0,90 2,02 1,09 
 
1,45 0,13 1,32 
0,20 1,57 1,35 
 
2,09 0,47 1,63 
0,59 1,13 1,70 
 
2,91 0,88 2,05 
2,29 0,08 2,21 
 
4,55 1,94 2,66 
4,69 1,76 2,98 
 
6,87 3,41 3,58 
8,25 4,19 4,24 
 
10,35 5,55 5,08 
15,45 9,60 6,47 
 
17,31 10,40 7,72 
30,60 22,07 10,95 
 
32,07 21,96 12,94 
57,59 45,85 21,68 
 
58,33 44,39 25,07 
91,52 82,13 52,54 
 
91,59 80,33 57,23 
 
 
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Analisando a Tabela 5, conclui-se que o material influencia nos erros comparativos 
entre a teoria e a simulação numérica. Para a liga de alumínio, o erro relativo é inversamente 
proporcional ao tamanho da viga. Já para o aço, não se observa uma proporção, o erro cai até 
certo ponto, e depois cresce á medida em que a viga diminui. 
Adotando 2% como limite aceitável para o erro relativo da liga AA2024-T351, pode-
se concluir que a relação L/h mínima para a qual a Teoria de Vigas de Bernoulli é aceitável é 
15. Já para a Teoria de Vigas de Timoshenko, essa relação mínima é de 12. Era de se esperar 
que a relação mínima referente a teoria de Timoshenko fosse menor, uma vez que as tensões 
de cisalhamento são consideradas. 
Como os erros relativos referentes ao Aço Usi – Sac 41 não assumem ordem 
crescente, o limite para as teorias será o momento em que os erros aumentam. Com isso, para 
a teoria de Bernoulli, a relação L/h mínima é 13,333. Já para a teoria de Timosehnko, essa 
relação mínima é de 10. 
Para vigas longas, ou seja, com relação L/h maiores que 20, as duas teorias analíticas e 
os resultados obtidos pela simulação numérica se aproximam de uma forma considerável. À 
medida que a relação de comprimento por altura diminui, os valores de deslocamentos obtidos 
se diferem mais. A teoria de Timoshenko estende a teoria de Bernoulli pela incorporação do 
efeito transversal de cisalhamento diferenciando os deslocamentos encontrados pelas duas 
teorias, já que as tensões de cisalhamento são maiores em vigas com relação L/h baixa. A 
Figura 11 mostra um gráfico comparativo entre as duas teorias analíticas e o resultado 
numérico para o Aço Usi – Sac 41. A discrepância de resultados entre o software e as teorias 
se dá pelo aparecimento da endentação na viga. De acordo com Brancheriau (2002) et al, as 
endentações causadas por efeito de carga não são insignificantes. A endentação depende da 
dureza do material. 
 
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FIGURA 11 – Comparação entre as teorias analíticas e simulação numérica. 
 
 A Figura 12, apresenta um gráfico comparativo entre as teorias analíticas e 
simulação numérica, para aliga AA2024 T351. 
 
FIGURA 12 -Comparação entre as teorias analíticas e simulação numérica. 
0,000000 
0,200000 
0,400000 
0,600000 
0,800000 
1,000000 
1,200000 
1,400000 
D
e
sl
o
ca
m
e
n
to
 
L/h x Deslocamento - Liga AA2024-T351 
Bernoulli 
Timoshenko 
Software 
0,000000 
0,200000 
0,400000 
0,600000 
0,800000 
1,000000 
1,200000 
1,400000 
D
e
sl
o
ca
m
e
n
to
 (
cm
) 
L/h x Deslocamento - Aço Usi - Sac 41 
Bernoulli 
Timoshenko 
Software 
 
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AGRADECIMENTOS 
 
Agradecimento à empresa Altair por disponibilizar o software HyperWorks, 
possibilitando a geração de resultados através do método de elementos finitos. 
Agradecimento também à empresa Ômega Júnior por disponibilizar o espaço e os 
computadores para que o trabalho pudesse ser concluído. 
 
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