Aula 06

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CÁLCULO III
AULA 6 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Tema da Apresentação
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS – AULA 6
CÁLCULO III
Conteúdo Programático
Introdução
Funções de Várias Variáveis
3. Limite
4. Continuidade
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO 
função de uma variável real a valores reais
Exemplo: f(x) = x2 - 2
 O valor de uma grandeza pode depender de valores de duas outras, ou mais. 
 
Exemplo: a quantidade de água em um reservatório pode depender, dentre outras coisas, da quantidade de chuva e da água consumida pelos moradores. 
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INTRODUÇÃO 
Podemos representar relações deste tipo como funções de duas variáveis a valores reais.
 
Agora vamos trabalhar com funções de varias variáveis.
Vejamos alguns exemplos.
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EXEMPLO 1
A demanda semanal de manteiga num supermercado depende de certos fatores, como preço unitário, preço unitário de bens substitutos(ex: margarina), renda familiar, gastos pessoais e outros.
 
Agora vamos supor que a demanda por manteiga dependa de seu preço unitário p1 e do preço unitário da margarina p2. 
Dizemos, então que a quantidade demandada q é função de p1 e p2 e escrevemos q = f(p1,p2).
 
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Seja:
 
q: a quantidade semanal demandada de manteiga num supermercado (em Kg)
x: o preço por Kg de manteiga
y: o preço por Kg de margarina
 
Suponha que q = 100 – 2x + 1 y. Temos assim uma função de duas variáveis em que f(x,y) = q e o domínio da função pode ser definido como:
 
D={(x,y)  R2| x ≥ 0, y ≥ 0 e 100 – 2x + 1 y ≥ 0
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Suponha que q = 100 – 2x + 1 y represente a quantidade semanal de manteiga demandada. Se o preço por Kg de manteiga é 10 e o preço por Kg de margarina é 8. Qual a quantidade semanal demandada de manteiga. 
 
Seja q = 100 – 2x + 1 y. 
Portanto q = 100 – 2 (10) + 1 (8) =88 kg
 
Para trabalhar com funções de várias variáveis necessitamos de algumas definições.
EXEMPLO 2
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Funções de duas variáveis reais a valores reais
 
1. Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f:A R, onde A é um subconjunto de R2. Tal função associa a cada par (x,y) A, um único numero f(x,y) R. 
 
O conjunto A é o domínio de f e será indicado por Df, ou seja, o domínio de uma função f(x,y) é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais para os quais f(x,y) pode ser calculada.
Imf={ f(x,y)  R / (x,y)  Df } é a imagem de f.
DEFINIÇÕES
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Exemplo 1: z = f(x,y) = x2 - 4xy 
Esta função tem como domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2.
Exemplo 2:
Esta função tem como domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2 , tais que 
Df={ (x,y)  R2/ x  y }
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2. Uma função real f de n variáveis associa a cada n-upla (x1,x2,..., xn)  D  Rn um único número real 
w = f(x1,x2,..., xn)
Definimos o subconjunto D de Rn como domínio da função f.
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO
Exemplo 1
Domínio D → todos os pares ordenados (x,y)  R2 , tendo 1 –x2 – y2 ≥ 0, ou ainda, x2 + y2 ≤ 1 (circunferência de raio 1). 
Representação gráfica do domínio.
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Note que um ponto (x,y,z) pertence ao gráfico de f, se e somente se, (x,y) pertence ao domínio D e z = f(x,y).
z ≥ 0
O gráfico da função f será representado pela porção da esfera acima do eixo xy.
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GRÁFICO DA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Definição
 
Seja f: D  Rn R uma função de n variáveis. 
Definimos o gráfico de f, denotado por Gf, como o subconjunto de Rn+1 formado por todos os pontos de forma (x1,x2,..., xn,f(x1,x2,..., xn)) Rn+1, onde (x1,x2,..., xn)  D.
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Observação
 
Quando a função é definida f(x,y), o gráfico é uma superfície em R3.
Exemplo: f(x,y) = x2 + y2
 Quando a função é definida f(x,y,z), o gráfico não será possível ser visualizado. 
Exemplo: w = f(x,y,z)= x2 + y2 + z
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CURVAS DE NÍVEL
Definição
 
Sejam z=f(x,y) uma função e c Imf. 
 
O conjunto de todos os pontos (x,y) de Df tais que f(x,y)=c, denomina-se curva de nível ou curva de contorno de f. Correspondente ao nível z=c. 
 
Assim, f é constante sobre cada curva de nível
 
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Observações
O gráfico de f é um subconjunto de R3.
Uma curva de nível é um subconjunto do domínio de f, portanto, de R2.
Exemplo 1
O gráfico da função constante k, neste exemplo k =3, f(x,y)=3 é um plano paralelo ao plano xy.
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 Figura: Feita no Winplot
Figura: Feita no Winplot
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Exemplo 2: Desenhe as curvas de nível e o gráfico de f(x,y) = x2+y2
 
Lembre-se f(x,y) = z. 
Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 
1 = x2+y2
Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 
4 = x2+y2
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Parabolóide de revolução
Curva de Nível
Observe que a curva de nível f(x,y)=c é a projeção no plano xy da interseção do gráfico de f com o plano z = c.
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Observações
 
Em economia, essas curvas de nível são denominadas curvas de isoprodução ou isoquantas de produção. 
Se f representa potencial elétrico, as curvas de nível de f são chamadas curvas equipotenciais.
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Exemplo 1
Considere a função de produção P = L 0,5 K0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. 
As curvas de nível c = 1 e c = 2 são:
C = 1 então L0,5 K0,5=1  L = 1/K
 
C = 2 então L0,5 K0,5=2  L = 4/K
 
Para fazer o gráfico da curva de nível, basta considerar L = y e K = x. A curva em vermelho é correspondente a c = 1 e a em azul a c = 2.
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Cada curva de nível fornece os pares (K,L) para os quais a produção é constante, sendo a primeira com produção igual a 1 e a segunda igual a 2.
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LIMITE E CONTINUIDADE
 
Limite
 
Vamos estender o conceito e as regras de limite para funções de uma variável real para funções de várias variáveis.
 
Lembre-se: Um ponto variável x no eixo coordenado, para funções de uma variável, e este era aproximado de um ponto x0 de dois modos, à direita e a esquerda.
 
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Como agora estaremos trabalhando com funções de duas variáveis estendemos esta ideia da seguinte forma, um ponto variável (x,y) no plano coordenado pode se aproximar de um ponto fixo (x0, y0) por um número infinito de caminhos, pois agora estamos no espaço.
 
Definiremos que (x,y) se aproxima de um ponto fixo (x0, y0) se a distância entre eles tende a zero, independente do percurso feito por (x,y). Esta distância é dada por:Tema da Apresentação
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OBSERVAÇÃO
Em funções de uma variável podemos falar do limite da f(x) quando x tende a x0, mesmo quando f não está definida em x0. 
 
De forma análoga podemos definir f(x,y) de duas variáveis reais, quando (x,y) tende a um ponto fixo (x0,y0), não sendo necessário que f(x,y) esteja definida em (x0,y0). 
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Agora basta que (x0,y0) seja um ponto de acumulação do domínio de f, isto é, que cada bola aberta de centro em (x0,y0) e raio r > 0, denotada por Bt(x0,y0), contenha pelo menos um ponto de D distinto de (x0,y0), onde:
De modo formal definimos:
Sejam f: A  2   uma função, (x0,y0) um ponto de acumulação de A e L um número real.
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TEOREMA DO CONFRONTO
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EXEMPLO
Suponhamos
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PROPRIDADES
As propriedades estudas para funções de uma variável são as mesmas para funções de várias variáveis.
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TEOREMA
 
Seja  uma curva em R2 continua e continua em t0. Se ocorrer 
Da mesma forma, tal limite não existirá se um dos limites não existir.
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EXEMPLO
Calcule caso exista 
Observe que no ponto (0,0) a função não esta definida, portanto deveremos calcular o limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado.
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Primeiro caminho: Sobre o eixo x, portanto y = 0
Portanto,
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Segundo caminho: Sobre o eixo y, portanto x =0
Portanto,
Podemos então concluir que o
Não existe.
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Perguntas...
Sempre calcularemos
 por caminhos o limite ?
Quantos caminhos devo
 tentar?
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Veja: 
 
Nem sempre é necessário calcular por caminhos o limite de uma função. 
Só utilizaremos este artifício se a função f(x,y) não está definida no caminho.
Exemplo
Calcule caso exista
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OBSERVAÇÕES
No material de estudo é sinalizado que só podemos afirmar que o limite existe se analisarmos as seguintes situações:
 
Primeiro caminho
Segundo caminho
Terceiro caminho
 
Mesmo com as três tentativas dando o mesmo resultado não podemos concluir que o limite existe. Nesse caso devemos analisar o Teorema do Confronto e a definição de limite.
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CONTINUIDADE
Definição
 
Seja f uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja (x0,y0)  Df, com (x0,y0) ponto de acumulação de Df. 
Se f for contínua em todos os pontos de um subconjunto A do Df, diremos que f é contínua em A. 
Também podemos dizer que a f é contínua se o for em todos os pontos de seu domínio.
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EXEMPLOS
1. A função constante f(x,y) = k é contínua , pois
2. A função f(x,y) = x é contínua , pois
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3. A função
é contínua em (0,0) ?
Calculamos anteriormente o limite dessa função e concluímos que o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) não existia.
 
Portanto, a função não é contínua no ponto (0,0).
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4. A função
é contínua em (0,0) ?
No material de estudo temos o desenvolvimento dessa questão onde fica provado que o limite da função existe e é igual a zero. 
 
Portanto, a função f(x,y) é contínua no (0,0).
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RESUMINDO
Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f:A R, onde A é um subconjunto de R2. Tal função associa a cada par (x,y) A, um único numero f(x,y) R.
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Limite
Continuidade
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
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