Gabarito Prova 2 Calculo3 (3)

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Instituto de Matemática - UFRJ
Gabarito 2aProva - Cálculo III - Profa Selene Alves Maia
Observação: Em cada uma da questões abaixo justi…que sua resposta.
Questão 1 : (2:5 pontos)
ConsidereW o sólido limitado pelo cilindrox2+y2 = 4;pelo plano z = 1e pelo parabolóide
z = 8� x2 � y2:
a)Esboce o sólido W :
De x2+y2 = 4\z = 8�x2�y2 obtemos que z = 4; ou seja, uma circunferência contida neste
plano. O sólido W é esboçado na Figura 1:
b)Calcule
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz:
Solução:
O sólido W é de…nido por:
W =
�
(x; y; z) 2 R3 ��1 6 z 6 8� x2 � y2; x2 + y2 6 4	 : (1)
Considere:
x = r cos �
y = r sin �
z = z
=) J(r; �; z) = r (2)
BDeterminar a equação do parabolóide z = 8�x2�y2 em coordenadas cilíndricas.
Substituindo (2)1 e (2)2 na equação do parabolóide obtemos:
z = 8� r2 cos2 � � r2 sin2 � =)
z = 8� r2 �cos2 � + sin2 �� =)
z = 8� r2: (3)
De z = 1 e de (3) obtemos:
1 6 z 6 8� r2: (4)
1
BDeterminar a variação de r:
Substituindo (2)1 e (2)2 na equação da circunferênciax2 + y2 = 4 resulta que:
r2 cos2 � + r2 sin2 � = 4 =)
r2
�
cos2 � + sin2 �
�
= 4 =)
r2 = 4 =) r = 2: (4)
Logo:
0 6 r 6 2: (5)
BDeterminar a variação de �:
Como x2 + y2 6 4 obtemos que:
0 6 � 6 2�: (6)
De (4); (5) e (6) obtemos um sólido W� de…nido por:
W� =
�
(r; �; z) 2 R3 ��0 6 r 6 2; 0 6 � 6 2�; 1 6 z 6 8� r2	 : (7)
BCálculo da integral
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz:
Do teorema de mudança de variáveis obtemos que:
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz =
ZZZ
W�
z(r2 cos2 � + r2 sin2 �)rd�dzdr =)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz =
Z 2
0
r3
Z 8�r2
1
z
�Z 2�
0
d�
�
dzdr =)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz =
Z 2
0
r3
Z 8�r2
1
z [�]
2�
0 dzdr =)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = 2�
Z 2
0
r3
"Z 8�r2
1
zdz
#
dr =)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = 2�
Z 2
0
r3 � 1
2
�
z2
�8�r2
1
dr =)
2
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = �
Z 2
0
r3
�
64� 16r2 + r4 � 1� dr =)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = �
Z 2
0
(63r3 � 16r5 + r7)dr =)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = �
�
63
Z 2
0
r3dr � 16
Z 2
0
r5dr +
Z 2
0
r7dr
�
=)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = �
�
63 � 1
4
�
r4
�2
0
� 16 � 1
6
�
r6
�2
0
+
1
8
�
r8
�2
0
�
=)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = �
�
63 � 4� 8
3
� 64 + 1
8
� 256
�
=)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = �
�
252� 512
3
+ 32
�
=)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz = �
�
756� 512 + 96
3
�
=)
ZZZ
W
(zx2 + zy2)dxdydz =
340�
3
: (8)
Questão 2 : (2:5 pontos)
SejaW =
(
(x; y; z) 2 R3
�����x2 + y2 + z2 6 2y; z 6
r
1
3
(x2 + y2); y > x; x > 0
)
:
a)Esboce o sólido W :
O sólido W é esboçado na Figura 2:
b)Calcule
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz:
3
Solução:
Considere:
x = � sin� cos �
y = � sin� sin �
z = � cos�
=) J(�; �; �) = �2 sin� (9)
BDeterminar a equação daesferax2 + y2 + z2 = 2y em coordenadas esféricas.
Substituindo (9)1; (9)2 e (9)3 na equação da esfera obtemos:
�2 sin2 � cos2 � + �2 sin2 � sin2 � + �2 cos2 � = 2� sin� sin � =)
�2 sin2 �
�
cos2 � + sin2 �
�
+ �2 cos2 � = 2� sin� sin � =)
�2 sin2 �+ �2 cos2 � = 2� sin� sin � =)
�2
�
sin2 �+ cos2 �
�
= 2� sin� sin � =)
�2 = 2� sin� sin � =)
� = 2 sin� sin �: (10)
De (10) obtemos:
0 6 � 6 2 sin� sin �: (11)
BDeterminar a variação de �:
Subsituindo (9)1; (9)2 e (9)3 na equação do cone obtemos:
� cos� =
r
1
3
�
�2 sin2 � cos2 � + �2 sin2 � sin2 �
�
=)
� cos� =
r
1
3
�2 sin2
�
sin2 �+ cos2 �
�
=)
� cos� =
r
1
3
�2 sin2 � =)
� cos� =
1p
3
� sin� =)
p
3 =
sin�
cos�
=)
p
3 = tan� =)
p
3 =)
4
� =
�
3
: (12)
De (12) e comopor hipótese z 6
r
1
3
(x2 + y2) resulta que:
�
3
6 � 6 �: (12)
BDeterminar a variação de �:
De y = x obtemos que:
r sin � = r cos � =) tan � = 1 =)
� =
�
4
: (13)
De (13);de y > x e dex > 0 obtemos que
�
4
6 � 6 �
2
: (14)
De (11); (12) e (13) obtemos um sólido W� de…nido por:
W�1 =
n
(�; �; �) 2 R3
����
4
6 � 6 �
2
; 0 6 � 6 2 sin� sin �; �
3
6 � 6 �
o
: (15)
BCálculo da integral
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz:
Do teorema de mudança de variáveis obtemos que:ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
ZZZ
W�
1
�2
� �2 sin�d�d�d1 =)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
Z �
�=3
sin�
Z �=2
�=4
"Z 2 sin� sin �
0
d�
#
d�d� =)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
Z �
�=3
sin�
Z �=2
�=4
[�]
2 sin� sin �
0 d�d� =)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz = 2
Z �
�=3
sin2 �
"Z �=2
�=4
sin �d�
#
d� =)
5
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz = 2
Z �
�=3
sin2 � � (�1) [cos �]�=2�=4 d� =)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz = �2
Z �
�=3
sin2 �
h
cos
�
2
� cos �
4
i
d� =)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
2
p
2
2
Z �
�=3
sin2 �d� =)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
p
2
Z �
�=3
�
1� cos 2�
2
�
d� =)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
p
2
2
(Z �
�=3
d��
Z �
�=3
cos 2�d�
)
=)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
p
2
2
�
[�]
�
�=3 �
1
2
[sin 2�]
�
�=3
�
=)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
p
2
2
��
� � �
3
�
� 1
2
�
sin 2� � sin 2�
3
��
=)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
p
2
2
(
2�
3
+
1
2
�
p
3
2
)
=)
ZZZ
W
1
x2 + y2 + z2
dxdydz =
p
2
2
(
2�
3
+
p
3
4
)
: (16)
Questão 3 : (2:5 pontos)
a)Veri…que se
!
F (x; y; z) = (2xz+y2; 2xy+3y2; ez+x2) é um campo conservativo.
Solução:
Temos que:
rot
!
F (x; y; z) =
�
@R
@y
� @Q
@z
;
@P
@z
� @R
@x
;
@Q
@x
� @P
@y
�
=)
rot
!
F (x; y; z) = (0� 0; 2x� 2x; 2y � 2y) = (0; 0; 0): (17)
6
Como
!
F é um campode classeC1 emuma região simplesmente conexa e
rot
!
F = (0; 0; 0); o campo vetorial
!
F é um campo conservativo em R3:
b) SejaC a curva obtida pela interseção do parabolóide z = 9� x2 � y2;
z > �4 comoplano y = 2:Calcule
I
C
!
F �dr; especi…cando a orientação escolhida.
Solução:
Temos que:
z = 9� x2 � y2 \ y = 2 =)
z = 9� x2 � 4 =) z = 5� x2: (18)
Substituindo z = �4 em (18) resulta que:
�4 = 5� x2 =) x2 = 9 =)
����� x = 3x = �3 (19)
Então, se: ����� x = �3 =) A = (�3; 2;�4)x = 3 =) B = (3; 2;�4) (20)
BCalculo da integral de linha
I
C
!
F � dr:
Solução:
Pelo item a) como
�!
F é um campo conservativo se 9 f tal que:
rf(x; y; z) =
�!
F (x; y; z) =)
�
@f
@x
(x; y; z);
@f
@y
(x; y; z);
@f
@z
(x; y; z)
�
= (2xz + y2; 2xy + 3y2; ez + x2) =)
�������������
@f
@x
(x; y; z) = 2xz + y2
@f
@y
(x; y; z) = 2xy + 3y2
@f
@z
(x; y; z) = ez + x2
(21)
Integrando (21)1 com respeito a x obtemos que:
7
Z
@f
@x
(x; y; z)dx =
Z
(2xz + y2)dx =)
f(x; y; z) + g1(y; z) = x
2z + g2(y; z) + xy
2 + g3(y; z) =)
f(x; y; z) = x2z + xy2 + g(y; z): (22)
Derivando parcialmente (22) com respeito a y obtemos que:
@f
@y
(x; y; z) = 2xy +
@g
@y
(y; z): (23)
Substituindo (23) em (21)2 resulta que:
2xy +
@g
@y
(y; z) = 2xy + 3y2 =)
@g
@y
(y; z) = 3y2: (24)
Integrando (24) com respeito a y obtemos que:Z
@g
@y
(y; z) =
Z
3y2dy =)
g(y; z) + h1(z) = y
3 + h2(z) =)
g(y; z) = y3 + h(z): (25)
Substituindo (25) em (22) resulta que:
f(x; y; z) = x2z + xy2 + y3 + h(z): (26)
Derivando parcialmente (26) com respeito a z obtemos que:
@f
@z
(x; y; z) = x2 + h0(z): (27)
Substituindo (27) em (21)3 resulta que:
x2 + h0(z) = ez + x2 =)
h0(z) = ez: (28)
Integrando (28) com respeito a z obtemos que:
8
Z
h0(z)dz =
Z
ezdz=)
h(z) + c1 = e
z + c2 =)
h(z) = ez + c: (29)
Substituindo (29) em (26) resulta que:
f(x; y; z) = x2z + xy2 + y3 + ez + c: (30)
Logo, da de…nição de integral de linha e de um resultado conhecido obtemos:I
C
!
F � dr = f(b)� f(A): (31)
Por outro lado temos que:����� f(3; 2;�4) = 3
2 � (�4) + 3 � 22 + 23 + e�4 + c
f(�3; 2;�4 = (�)32 � (�4)� 3 � 22 + 23 + e�4+
=)
����� f(3; 2;�4) = �36 + 12 + 8 + e
�4 + c
f(�3; 2;�4 = �36� 12 + 8 + e�4 + c =)����� f(3; 2;�4) = �16 + e
�4 + c
f(�3; 2;�4) = �40 + e�4 + c =)
f(3; 2;�4)� f(3; 2;�4) = 24: (32)
Substituindo (32) em (31) resulta que:I
C
!
F � dr = f(b)� f(A) = 24: (33)
Questão 4 : (2:5 pontos)
SejaS a superfície do sólido limitado pelo cilindrox2+y2 = 9; o plano z = 0 e o plano
z = x+ 4:
a)Parametrize a superfícieS:
Temos que, S = S1 [ S2 [ S3; onde:
�S1 a superfície lateral do cilindro x2 + y2 = 9; 0 6 z 6 x+ 4;
�S2 a superfície do plano z = 0; com x2 + y2 6 9:
�S3 a superfície do plano z = x+ 4; com x2 + y2 6 9:
BParametrizar a superfície S1:
Seja:
9
S1 :
��������
x = 3 cos �
y = 3 sin �
z = z
=)
!
�1(�; z) = (3 cos �; 3 sin �; z); (�; z) 2 D1; (34)
onde:
D1=
�
(�; z) 2 R2 j�� 6 � 6 �; 0 6 z 6 3 cos � + 4	 : (35)
BParametrizar a superfícieS2:
Seja:
S2 :
��������
x = x
y = y
z = 0
!
�2(x; y) = (x; y; 0); (x; y) 2 D2; (36)
onde:
D2=
�
(x; y) 2 R2 ��x2 + y2 6 9	 : (37)
BParametrizar a superfície S3:
Seja:
S3 :
��������
x = x
y = y
z = x+ 4
!
�3(x; y) = (x; y; x+ 4); (x; y) 2 D3; (38)
onde:
D3=
�
(x; y) 2 R2 ��x2 + y2 6 9	 : (39)
b)Determine o vetor normal à superfícieS e calcule seu comprimento.
Solução:
BDeterminar o vetor normal a S1 e seu comprimento.
Denotemos por
!
N1(�; z) o vetor normal exterior à superfície S1:Então:
!
N1(�; z) =
@
!
�1
@�
(�; z)� @
!
�1
@z
(�; z): (40)
10
De (34) temos que:���������
@
!
�1
@�
(�; z) = (�3 sin � ; 3 cos �; 0)
@
!
�1
@z
(�; z) = (0; 0; 1)
(41)
Substituindo (41)1 e (41)2 em (40) obtemos que:
!
N1(�; z) =
������������
!
i
!
j
!
k
�3 sin � 3 cos � 0
0 0 1
������������
=)
!
N1(�; z) =
!
i
���� 3 cos � 00 1
�����!j
����� �3 sin � 00 1
�����+!k
������
�3 sin � 3 cos �
0 0
������ =)
!
N1(�; z) = (3 cos �; 3 sin �; 0): (42)
De (42) obtemos que:
!N1(�; z)
 = p9 cos2 � + 9 sin2 � + 0 =)
!N1(�; z)
 = q9 �cos2 � + sin2 �� = 3: (43)
�Determinar o vetor normal a S2 e seu comprimento.
Denotemos por
!
N2(x; y) o vetor normal exterior à superfície S2:Então:
!
N2(x; y) = �@
!
�2
@x
(x; y)� @
!
�2
@y
(x; y): (44)
De (36) temos que: ���������
@
!
�2
@x
(x; y) = (1; 0; 0)
@
!
�2
@y
(x; y) = (0; 1; 0)
(45)
Substituindo (45)1 e (45)2 em (44) obtemos que:
11
!
N2(x; y) = �
������������
!
i
!
j
!
k
1 0 0
0 1 0
������������
=)
!
N2 (x; y) = �
(
!
i
����� 0 01 0
������!j
����� 1 00 0
�����+!k
����� 1 00 1
�����
)
=)
!
N2 (x; y) = (0; 0;�1) : (46)
De (46) obtemos que:
!N2 (x; y)
 = p0 + 0 + 1 = 1: (47)
�Determinar o vetor normal a S3 e seu comprimento.
Denotemos por
!
N3(x; y) o vetor normal exterior à superfície S2:Então:
!
N3(x; y) = �@
!
�3
@x
(x; y)� @
!
�3
@y
(x; y): (48)
De (38) temos que: ���������
@
!
�3
@x
(x; y) = (1; 0; 1)
@
!
�3
@y
(x; y) = (0; 1; 0)
(49)
Substituindo (49)1 e (49)2 em (48) obtemos que:
!
N3(x; y) =
������������
!
i
!
j
!
k
1 0 1
0 1 0
������������
=)
!
N3 (x; y) =
!
i
����� 0 11 0
������!j
����� 1 10 0
�����+!k
����� 1 00 1
����� =)
!
N3 (x; y) = (�1; 0; 1) : (50)
12
De (50) obtemos que:
!N3 (x; y)
 = p(�1)2 + 0 + 12 = p2: (51)
13