Potência CA

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Potência CA 
 
 
A.C. 
APLICAÇÕES E PROBLEMAS 
PROF. VIVIANA RAQUEL ZURRO 
 
 
 
1 
Sumário 
POTÊNCIA ELÉTRICA ................................................................................................................... 2 
Potência em contínua .................................................................................................................. 2 
Potência em corrente alternada ................................................................................................... 2 
Triângulo de potências: ............................................................................................................ 2 
Potência instantânea ................................................................................................................... 3 
Potência média............................................................................................................................ 4 
POTÊNCIA COMPLEXA E FATOR DE POTÊNCIA ........................................................................ 5 
Potência aparente ....................................................................................................................... 6 
Fator de potência ........................................................................................................................ 6 
Potência complexa ...................................................................................................................... 7 
Correção do fator de potência ..................................................................................................... 8 
Cargas indutivas ...................................................................................................................... 9 
Cargas capacitivas ................................................................................................................. 11 
Selos de eficiência energética ................................................................................................... 11 
Conclusões ............................................................................................................................... 12 
PROBLEMAS RESOLVIDOS........................................................................................................ 13 
Referências ................................................................................................................................... 18 
 
 
 
 
 
2 
POTÊNCIA ELÉTRICA 
Podemos dizer que ainda hoje uma das maiores preocupações mundiais refere-se ao 
consumo de energia elétrica. Além de a energia elétrica aumentar o orçamento das famílias, sua 
produção e sua distribuição constituem um grande desafio para todos os países. 
A potência é por definição a variação da energia (liberada ou absorvida) em função do 
tempo e é medida em watts [W]. Também podemos dizer que é uma grandeza física que mede a 
energia que está sendo transformada na unidade de tempo, ou seja, mede o trabalho realizado 
por uma determinada máquina na unidade de tempo. Mas existem diferenças entre a potência 
elétrica em corrente contínua e em corrente alternada. 
Potência em contínua 
Em tensão (corrente) contínua a potência é medida em 
Watts [W] e é calculada pela Lei de Ohm: 
𝑃 = 𝑉. 𝐼 = 𝐼2. 𝑅 =
𝑉2
𝑅
 [𝑊] 
Onde V é a tensão medida em Volts [V], e I a corrente 
medida em Amperes [A]. 
 
Potência em corrente alternada 
Quando a tensão e a corrente são alternadas e encontramos 3 tipos de potência: 
▪ Potência ativa: potência que efetivamente realiza trabalho gerando calor, luz, movimento, 
etc. Medida em W. 
▪ Potência reativa: potência usada apenas para criar e manter os campos eletromagnéticos 
das cargas reativas. Medida em VAR. 
▪ Potência aparente: módulo da soma vetorial das potências ativa e reativa, ou seja, é a 
potência total fornecida pelo gerador. Medida em VA. 
Triângulo de potências: 
A Figura 1 mostra a representação das três potências no chamado triângulo de potências. 
 
Figura 1: Triângulo de potências. P: potência real ou ativa. Q: potência reativa. S: 
potência aparente. 
 
 
 
3 
Uma analogia das potências em corrente alternada pode ser vista na Figura 2, resumindo 
graficamente as três potências definidas anteriormente 
 
Figura 2: Analogia das potências em corrente alternada. 
Potência instantânea 
Potência é a “velocidade” com que se consome ou absorve energia: 
 𝑝 ≜
𝑑𝑤
𝑑𝑡
 (1) 
Onde p é a potência em Watts [W], w a energia em Joules [J] e t o tempo em segundos [s]. 
Por definição 𝑣 =
𝑑𝑤
𝑑𝑞
 e 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
, portanto: 
 𝑝 =
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝑑𝑤
𝑑𝑞
.
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 𝑣. 𝑖 (2) 
Considerando uma tensão senoidal aplicada a uma impedância de carga, a corrente que 
circulará por essa carga dependerá do valor da impedância (módulo e ângulo). 
𝑣(𝑡) = �̂�. cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑣) 
𝑖(𝑡) = 𝐼. cos (𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) 
Onde �̂� e 𝐼 são a tensão máxima e a corrente máxima aplicadas à impedância, 𝜑𝑣 e 𝜑𝑖 são 
os ângulos iniciais da tensão e da corrente respectivamente, e 𝜔 é a frequência angular da senoide. 
Cabe lembrar que sendo uma impedância 𝑍 = |𝑍|∠𝜑, a diferença entre os ângulos de tensão e 
corrente será 𝜑, portanto, quem determina o ângulo entre tensão e corrente é a impedância: 𝜑 =
𝜑𝑣 − 𝜑𝑖. 
 𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡). 𝑖(𝑡) = �̂�. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑣) . 𝐼. 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) (3) 
Aplicando identidade trigonométrica: 
 
 
 
4 
 𝑐𝑜𝑠𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝐵 =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) + 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)] (4) 
Trabalhando com as equações (3) e (4): 
 𝑝(𝑡) = �̂�𝐼.
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑣 − 𝜔𝑡 − 𝜑𝑖) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝜑𝑣 + 𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)] (5) 
 𝑝(𝑡) = �̂�𝐼.
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜔𝑡 + 𝜑𝑣 + 𝜑𝑖)] (6) 
 𝑝(𝑡) = �̂�𝐼.
1
2
𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) + �̂�𝐼.
1
2
𝑐𝑜𝑠 (2𝜔𝑡 + 𝜑𝑣 + 𝜑𝑖) (7) 
A potência instantânea é composta por uma parte é constante e independente do tempo que 
depende somente da diferença de fase entre a tensão e a corrente, e uma parte senoidal com 
frequência igual a 2ω. 
A Figura 3 mostra a variação da potência instantânea. Quando p(t) é positiva, a potência é 
absorvida pelo circuito. Se p(t) é negativa, a potência é absorvida pela fonte. Isto é, a potência é 
transferida do circuito para a fonte. Isto é possível por causa dos elementos armazenadores do 
circuito (capacitores e indutores). 
 
Figura 3: Variação da potência instantânea em função do tempo. O valor médio da 
potência instantânea é a potência média. 
Potência média 
A potência instantânea muda com o tempo, portanto é difícil de medir. A potência média é 
mais conveniente de ser medida com um wattímetro. Ela é a média da potência instantânea ao 
longo de um período e é calculada com o termo em vermelho da equação (7) 
É possível calcular também a potência média quando a tensão e a corrente estão no domínio 
da frequência. 
Sendo 𝑽 = �̂�∠𝜑𝑣 e 𝑰 = 𝐼∠𝜑𝑖 
 
1
2
𝑽𝑰∗ =
1
2
�̂�. 𝐼. [cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) + 𝑗𝑠𝑒𝑛 (𝜑𝑣 − 𝜑𝑖)] (8) 
Onde P é a parte real desta expressão 
 
 
 
5 
 𝑃 =
1
2
𝑅𝑒[𝑽𝑰∗] =
1
2
�̂�. 𝐼. cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) (9) 
Considerando dois casos especiais: 
• Quando 𝜑𝑣 = 𝜑𝑖 o circuito é puramente resistivo. 
 𝑃 =
1
2
�̂�. 𝐼. cos(0𝑜) =
1
2
�̂�. 𝐼 =
1
2
. 𝐼2𝑅 (10) 
Mostrando que um circuito puramente resistivo absorve potência o tempo todo. 
• Quando 𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 = ±90
𝑜 o circuito é puramente reativo. 
 𝑃 =
1
2
�̂�. 𝐼. cos(90𝑜) = 0 (11) 
Mostrando que um circuito puramente reativo não absorve potência. 
Em resumo, uma carga puramente resistiva (R) absorve potência o tempo todo e uma carga 
puramente reativa (L, C) não absorve nenhuma potência média. 
POTÊNCIACOMPLEXA E FATOR DE POTÊNCIA 
Foi aplicado um esforço considerável ao longo dos anos para expressar as relações de 
potência da forma mais simples possível. Os engenheiros de sistemas de potência criaram o termo 
Potência Complexa para determinar o efeito total das cargas em paralelo. A potência complexa é 
importante na análise de potência por conter todas as informações pertinentes à potência absorvida 
por uma determinada carga. 
Vamos definir primeiramente o que é valor eficaz de um sinal. Por definição, o valor eficaz 
de uma corrente alternada é o valor da intensidade de uma corrente contínua que produziria, numa 
resistência, a mesma dissipação de potência que a corrente alternada em questão. O valor eficaz 
de um sinal periódico é a raiz quadrada do valor médio quadrático RMS (root mean square). Este 
valor é calculado segundo a equação (12): 
 𝐼𝑅𝑀𝑆 = √
1
𝑇
∫ 𝑖(𝑡)2𝑑𝑡
𝑇
0
 (12) 
Para sinais senoidais 𝐼𝑅𝑀𝑆 =
𝐼
√2
 e 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
�̂�
√2
. Na Figura (4) podemos ver uma senoide com 
seus valores de interesse. 
 
 
 
6 
 
Figura 4: Senoide de tensão com seus valores de interesse. 
Potência aparente 
A potência aparente é assim chamada porque parece que deve ser o produto da tensão pela 
corrente, por analogia com circuitos resistivos em CC mas na realidade é o módulo da potência 
complexa. Ela é medida em Volt Ampere [VA] para diferenciá-la da potência média, real ou ativa 
que é medida em W. 
Sendo 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
�̂�
√2
 e 𝐼𝑅𝑀𝑆 =
𝐼
√2
 
 𝑃 =
1
2
�̂�. 𝐼. cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) = 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) (13) 
A potência aparente é definida como: 
 𝑆 =
1
2
�̂�. 𝐼 = 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 [𝑉𝐴] (14) 
Fator de potência é: 
𝐹𝑃 = 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) 
Portanto: 
𝑃 = 𝑆. 𝐹𝑃 
Fator de potência 
O fator de potência (FP) é uma medida do aproveitamento da energia e é a razão entre a 
potência ativa e a potência aparente. 
 𝐹𝑃 =
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑉. 𝐼
= 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑃
𝑆
 (15) 
𝜑 = 𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 
 
 
 
7 
Onde φ é o ângulo de fase da impedância de carga ou ângulo do fator de potência. O 
ângulo da impedância determina a defasagem entre tensão e corrente. 
O fator de potência é um número adimensional entre 0 e 1. Quando o FP é igual a zero (0), o 
fluxo de energia é inteiramente reativo, e a energia armazenada é devolvida totalmente à fonte em 
cada ciclo. Quando o fator de potência é unitário, toda a energia fornecida pela fonte é consumida 
pela carga. Resumindo: 
• O fator de potência afeta a tarifação da energia elétrica. 
• Dependendo do tipo de carga do sistema o mesmo pode ser: 
o Atrasado para cargas indutivas. 
o Adiantado para cargas capacitivas. 
• O ângulo do fator de potência é o ângulo da impedância de carga. 
Fator de potência indutivo 
A corrente (i) está atrasada em relação à tensão (v). A carga possui característica indutiva. 
FP<1 (atrasado). 
Fator de potência capacitivo 
A corrente (i) está adiantada em relação à tensão (v). A carga possui característica capacitiva. 
FP<1 (adiantado). 
Na Figura 5 podemos ver sinais de tensão e corrente em cargas predominantemente indutivas 
e predominantemente capacitivas. 
 
(a) (b) 
Figura 5: (a) Relação entre tensão e corrente em uma carga predominantemente 
indutiva, a corrente está atrasada em relação à tensão. (b) Relação entre tensão e 
corrente em uma carga predominantemente capacitiva, a corrente está adiantada em 
relação à tensão. 
Potência complexa 
A potência complexa contém todas as informações relativas à potência absorvida por uma 
determinada carga. 
Dada a forma fasorial da tensão e da corrente: 
𝑽 = �̂�∠𝜑𝑣, 𝑰 = 𝐼∠𝜑𝑖 e 𝑰
∗ = 𝐼∠−𝜑𝑖 
 
 
 
8 
𝑽𝑹𝑴𝑺 =
�̂�∠𝜑𝑣
√2
=
𝑽
√2
 e 𝑰𝑹𝑴𝑺 =
𝐼∠𝜑𝑖
√2
=
𝑰
√2
 
A potência complexa é: 
 𝑺 =
1
2
𝑽𝑰∗ = 𝑽𝑹𝑴𝑺𝑰𝑹𝑴𝑺
∗ (16) 
Em função da potência aparente: 
 𝑺 = 𝑆∠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) (17) 
Na forma retangular: 
 𝑺 = 𝑆𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) + 𝑗𝑆𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) (18) 
 𝑺 = 𝑃 + 𝑗𝑄 (19) 
 𝑃 = 𝑆𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) (20) 
 𝑄 = 𝑆𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) (21) 
Sendo 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 
 𝑃 = 𝑅𝑒(𝑺) = 𝑰𝟐𝑹𝑴𝑺. R (22) 
 𝑄 = 𝐼𝑚(𝑺) = 𝑰𝟐𝑹𝑴𝑺. X (23) 
Onde P é a potência média, real ou ativa e depende a resistência de carga. Q é a potência 
reativa e depende da reatância de carga e é uma medida da troca de energia entre a fonte e a parte 
reativa da carga. Q é medida em VAR, Volt Ampere reativo. 
• Q=0 para cargas resistivas (FP unitário). 
• Q<0 para cargas capacitivas (FP adiantado). 
• Q>0 para cargas indutivas (FP atrasado). 
 
Figura 6: Triângulo de potências para cargas resistivas, indutivas e capacitivas. 
Correção do fator de potência 
A maioria das cargas de eletrodomésticos (máquinas de lavar roupa, aparelhos de ar 
condicionado, refrigeradores etc.) e também industriais (como motores de indução) são indutivas e 
operam com fator de potência baixo e com atraso. Não é possível mudar isto devido a que o campo 
eletromagnético é inerente a sistemas indutivos e a qualquer sistema elétrico. Mas é possível corrigir 
esse fator de potência usando alguns artifícios. 
 
 
 
9 
Frequentemente é possível corrigir o fator de potência para um valor próximo ao unitário. Essa 
prática é conhecida como correção do fator de potência e é conseguida mediante o acoplamento 
de bancos de indutores ou capacitores, com uma potência reativa Q contrário ao da carga, tentando 
ao máximo anular essa componente. Por exemplo, o efeito indutivo de motores pode ser anulado 
com a conexão em paralelo de um capacitor (ou banco) junto ao equipamento. No Brasil, a Agência 
Nacional de Energia Elétrica - ANEEL estabelece que o fator de potência, indutivo ou capacitivo, 
nas unidades consumidoras, não deve ser inferior a 0,92. Esse limite é determinado pelo Artigo nº 
64 da Resolução ANEEL nº456 de 29/11/2000. 
Cargas indutivas 
Sendo uma carga indutiva o fator de potência é aumentado ou corrigido colocando um 
capacitor ou um banco de capacitores em paralelo com a carga como mostra a Figura 7. Pelo 
diagrama de fasores, é possível observar que a corrente drenada pela carga indutiva é maior que a 
corrente entregue pela fonte após a correção do FP. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 7: (a) Carga indutiva sem e com capacitor de correção do FP. (b) Diagrama de 
fasores com correção do FP (ALEXANDER e SADIKU, 2006). 
As concessionárias de energia cobram mais por correntes maiores, pois resultam em perdas 
de potência maiores (𝑃 = 𝐼𝐿
2𝑅). 
 
 
 
10 
 
Figura 8: Correção do fator de potência. 
Considerando uma carga predominantemente indutiva e verificando as equações (20) e (21): 
𝑃 = 𝑆. 𝑐𝑜𝑠𝜑 
𝑄 = 𝑆. 𝑠𝑒𝑛𝜑 
Sendo 𝜑 o ângulo entre tensão e corrente (ângulo da impedância): 𝜑 = 𝜑𝑣 − 𝜑𝑖. Onde P é a 
potência média dissipada pela carga e Q é a potência reativa consumida pela carga. A partir da 
equação (20) a potência aparente é: 
 𝑆 =
𝑃
𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖)
=
𝑃
𝑐𝑜𝑠𝜑
 (24) 
Substituindo na equação (21) 
 𝑄 =
𝑃
𝑐𝑜𝑠𝜑
. 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 𝑃. 𝑡𝑔𝜑 (25) 
Como a carga é indutiva, para corrigir o ângulo para um ângulo próximo de zero é necessário 
colocar capacitores em paralelo com a mesma. O ângulo final após a correção será φ1. 
 𝑄1 = 𝑃. 𝑡𝑔𝜑1 (26) 
A redução da potência reativa é proporcionada pelo capacitor de shunt. A potência reativa 
necessária do capacitor será calculada considerando: 
 𝑄𝐶 = 𝑄 − 𝑄1 = 𝑃. (𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔𝜑1) (27) 
Onde Q é a potência reativa inicial da carga sem correção, Q1 é a potência reativa 
correspondente ao FP corrigido e QCé a potência reativa do capacitor de correção. A partir da 
equação (23): 
 𝑄𝐶 = 𝐼𝑚(𝑺) = 𝑰
𝟐
𝑹𝑴𝑺. 𝑋𝐶 =
𝑽𝟐𝑹𝑴𝑺
𝑋𝐶
 (28) 
 
 
Q 
S1 
P [W} 
+ ind 
Q [Var] 
- cap 
Q1 
S 
Qcap 
1 
 
P 
 
 
 
11 
Como 𝑋𝐶 =
1
𝜔𝐶
: 
 𝑄𝐶 =
𝑉𝑅𝑀𝑆
2
𝑋𝐶
= 𝜔𝐶. 𝑉𝑅𝑀𝑆
2 (29) 
Portanto: 
 𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔𝑉𝑅𝑀𝑆
2 =
𝑃. (𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔𝜑1)
𝜔𝑉𝑅𝑀𝑆
2 (30) 
Como 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
�̂�
√2
⟹ 𝑉𝑅𝑀𝑆
2 =
�̂�2
2
 
Então: 
 𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔(�̂�2 2⁄ )
=
2. 𝑄𝐶
𝜔�̂�2
=
2. 𝑃. (𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔𝜑1)
𝜔�̂�2
 (31) 
A potência P não é afetada pela correção do FP. 
Cargas capacitivas 
Embora a situação mais comum seja uma carga indutiva, também é possível que a carga 
seja capacitiva. Para isso, o elemento de correção será um indutor. 
𝑄𝐿 = 𝑄 − 𝑄1 = 𝑃. (𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔𝜑1) 
Como 𝑄𝐿 =
𝑉𝑅𝑀𝑆
2
𝑋𝐿
=
𝑉𝑅𝑀𝑆
2
𝜔𝐿
 
Então: 
 
𝐿 =
𝑉𝑅𝑀𝑆
2
𝜔𝑄𝐿
=
𝑉𝑅𝑀𝑆
2
𝜔𝑃. (𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔𝜑1)
=
�̂�2
2𝜔𝑄𝐿
=
�̂�2
2𝜔𝑃. (𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔𝜑1)
 
 
(32) 
A potência P não é afetada pela correção do FP. 
Selos de eficiência energética 
Os produtos etiquetados que apresentam o melhor desempenho energético em sua categoria 
poderão também receber um selo de eficiência energética. Isto significa que estes produtos foram 
premiados como os melhores em termos de consumo específico de energia e faz a distinção dos 
mesmos para o consumidor. Para os equipamentos elétricos domésticos etiquetados é concedido 
anualmente o Selo Procel. 
 
 
 
12 
 
Figura 9: Selo Procel de consumo de energia (eficiência energética). 
Conclusões 
As perdas de energia aumentam com o aumento da corrente elétrica transmitida. Quando a 
carga tem fator de potência menor do que 1, mais corrente é requerida para suprir a mesma 
quantidade de potência útil. As concessionárias de energia estabelecem que os consumidores, 
especialmente os que possuem cargas maiores, mantenham os fatores de potência de suas 
instalações elétricas dentro de um limite mínimo, caso contrário serão penalizados com cobranças 
adicionais. Engenheiros frequentemente analisam o fator de potência de uma carga como um dos 
indicadores que afetam a eficiência da transmissão e geração de energia elétrica. 
 
 
 
 
13 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
1. A corrente 𝑖(𝑡) resulta da aplicação da tensão 𝑣(𝑡) numa determinada carga. Para este caso 
se pede para: 
a. Calcular a potência ativa dissipada. 
b. O tipo de carga: valor e fator de potência. 
𝑣(𝑡) = 120 cos(377𝑡 + 45𝑜) [𝑉] 
𝑖(𝑡) = 10 cos(377𝑡 − 10𝑜) [𝐴] 
Resolução: 
a) Potência ativa: 
𝑃 =
1
2
�̂�. 𝐼. cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) =
120.10
2
𝑐𝑜𝑠(45𝑜 − (−10𝑜)) 
𝑷 = 𝟑𝟒𝟒, 𝟐 [𝑾] 
b) Como a tensão está adiantada em relação à corrente, a carga é indutiva. Para calcular o valor 
da carga, calcularemos primeiramente os fasores da tensão e da corrente: 
𝑉 = �̂�∠𝜑𝑣 = 120∠45
0 
𝐼 = 𝐼∠𝜑𝑖 = 10∠ − 10
0 
𝑍 =
𝑉
𝐼
=
120∠450
10∠ − 100
 
𝒁 = 𝟏𝟐∠𝟓𝟓𝟎 
𝑭𝑷 = 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝟓𝟎) = 𝟎, 𝟓𝟕𝟑 𝒂𝒕𝒓𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. Calcule a potência média absorvida por uma impedância 𝑍 = 30 + 𝑗70 [𝛺] quando é aplicada 
uma tensão 𝑉 = 120∠00. 
Resolução: 
𝐼 =
𝑉
𝑍
=
120∠00
30 − 𝑗70
= 𝐼 =
𝑉
𝑍
=
120∠00
30 − 𝑗70
=
120∠00
76,16∠ − 66,80
= 1,576∠66,80 
𝑃 =
�̂�𝐼
2
⋅ cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) =
120.1,576
2
cos(00 − 66, 80) 
𝑷 = 𝟑𝟕, 𝟐𝟒 [𝑾] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
14 
3. Uma carga ligada em série drena uma corrente 𝑖(𝑡) quando a tensão aplicada é 𝑣(𝑡). 
Determine a potência aparente e o fator de potência da carga. Estabeleça os valores dos 
elementos que compõem a carga. 
𝑣(𝑡) = 120 cos(100𝜋𝑡 − 20𝑜) [𝑉] 
𝑖(𝑡) = 4 cos(100𝜋𝑡 + 10𝑜) [𝐴] 
Resolução: 
𝑆 =
�̂�𝐼
2
= 𝑉𝑅𝑀𝑆 ⋅ 𝐼𝑅𝑀𝑆 =
120.4
2
 
𝑺 = 𝟐𝟒𝟎 [𝑽𝑨] 
𝐹𝑃 = cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) = cos(−20
𝑜 − 10𝑜) 
𝑭𝑷 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 (𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜) 
𝑍 =
𝑽
𝑰
=
120∠−20𝑜
4∠10𝑜
= 30∠−30𝑜 = 𝟐𝟓, 𝟗𝟖 − 𝒋𝟏𝟓 [𝜴] 
A carga pode ser representada por um resistor de 25,98Ω em série com um capacitor de: 
𝑋𝐶 =
1
𝜔𝐶
= 15 ⟹ 𝐶 =
1
𝜔𝑋𝐶
 
Então: 
𝐶 =
1
15𝜔
=
1
15.100𝜋
= 𝟐𝟏𝟐, 𝟐 [𝝁𝑭] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4. Determine o fator de potência do circuito visto pela fonte. Calcule a potência média liberada 
pela fonte (NATIONAL INSTRUMENTS, 2016). 
 
Resolução: 
𝑍𝑒𝑞 = 6 + (4 ∥ (−𝑗2)) = 6,8 − 𝑗1,62 [𝛺] = 7∠−13,4
𝑜 [𝛺] 
 
 
 
15 
𝑭𝑷 = 𝒄𝒐𝒔(−𝟏𝟑, 𝟒𝒐) = 𝟎, 𝟗𝟕𝟑 𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 
Como a carga é capacitiva, a corrente adianta à tensão, portanto, o FP é adiantado. oO valor 
RMS da corrente é: 
𝑰𝑹𝑴𝑺 =
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝑍
=
30∠0𝑜
7∠−13,4𝑜
= 4,286∠13,4𝑜 [𝐴] 
𝑃 = 𝑽𝑹𝑴𝑺. 𝑰𝑹𝑴𝑺. 𝐹𝑃 = 𝑰
𝟐
𝑹𝑴𝑺. 𝑅 
Onde R é a parte resistiva da impedância. 
𝑃 = 𝑽𝑹𝑴𝑺. 𝑰𝑹𝑴𝑺. 𝐹𝑃 = 30 . 4,286 . 0,973 = 𝟏𝟐𝟓 [𝑾] 
ou 
𝑃 = 𝑰𝟐𝑹𝑴𝑺. 𝑅 = 4,286 
2 . 6,8 = 𝟏𝟐𝟓 [𝑾] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
5. Quando conectada à rede elétrica de 120V (RMS), 60 Hz, uma carga indutiva absorve 4kW 
com um fator de potência igual a 0,8. Determine o valor da capacitância necessária para elevar 
o FP para 0,95. 
Resolução: 
𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0,8 ⟹ 𝜑 = 36,87𝑜 
𝑄 = 𝑃. 𝑡𝑔𝜑 = 4. 103𝑡𝑔(36,87𝑜) = 3000 [𝑉𝐴𝑅] 
𝑐𝑜𝑠 𝜑1 = 0,95 ⟹ 𝜑1 = 18,19
𝑜 
𝑄1 = 𝑃. 𝑡𝑔𝜑1 = 4. 10
3𝑡𝑔(18,19𝑜) = 1314,4 [𝑉𝐴𝑅] 
𝑄𝐶 = 𝑄 − 𝑄1 = 1685,6 [𝑉𝐴𝑅] 
𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔𝑉𝑅𝑀𝑆
2 =
1685,6
120𝜋. 1202
 
𝑪 = 𝟑𝟏𝟎, 𝟓µ𝑭 
Nota: Os capacitores são dimensionados de acordo com a tensão que vão suportar. Neste caso a 
tensão que deverá suportar será igual ao valor de pico da tensão (120. √2) que é aproximadamente 
170V portanto, será necessário colocar um capacitor com tensão nominal acima de 170V. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
6. Sendo 𝑍1 = 124∠0
𝑜 [𝛺], 𝑍2 = 20 − 𝑗25 [𝛺] e 𝑍3 = 90 + 𝑗80 [𝛺], calcular: 
a. P e Q. 
b. Verificar e calcular o elemento necessário para aumentar o FP para 0,98. 
 
 
 
16 
 
Resolução: 
a) Cálculo das potências ativa e reativa 
𝑍𝑒𝑞 = 124 ∥ (20 − 𝑗25) ∥ (90 + 𝑗80) 
𝑍𝑒𝑞 = 22,55 − 𝑗12,60 = 25,83∠−29,2
𝑜 
𝐼𝑅𝑀𝑆 =
220∠−120𝑜
25,83∠−29,2𝑜
= 8,51∠−90,8𝑜 [𝐴] 
𝑃 = 220 . 8,51 𝑐𝑜𝑠(−29,2𝑜) = 𝟏𝟔𝟑𝟓 [𝑾] 
𝑄 = 220 . 8,51 𝑠𝑒𝑛(−29,2𝑜) = −𝟗𝟏𝟑, 𝟑𝟕 [𝑽𝑨𝑹] 
b) A carga é predominantemente capacitiva, portanto é necessário um indutor para corrigir o FP. 
𝐹𝑃 = cos(−29,2𝑜) = 0,55 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 
𝜑 = 𝑐𝑜𝑠−1(0,98) = −11,47𝑜 
𝑄1 = 𝑃. tg(−11,47
𝑜) = −331,75 [𝑉𝐴𝑅] 
𝑄𝐿 = 𝑄 − 𝑄1 = |−913,37 + 331,75| = 581,62 [𝑉𝐴𝑅] 
𝐿 =
𝑉𝑅𝑀𝑆
2
𝜔𝑄𝐿
=
2202
120𝜋. 581,62
 
𝑳 = 𝟐𝟐𝟎, 𝟕 [𝒎𝑯] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
7. Um circuito RLC está conectado à rede elétrica como indica a figura, calcular o elemento 
necessário para elevar o fator de potência do mesmo para 0,97. 
 
 
 
17 
 
Resolução: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 120𝜋 [𝑟𝑎𝑑
𝑠
] 
𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 = 120𝜋 ⋅ 100.10
−3 ≅ 37,7 [𝛺] 
𝑋𝐶 =
1
𝜔𝐶
=
1
120𝜋 ⋅ 10−3
= 2,65 [𝛺] 
𝑍𝑒𝑞 = 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐶
) = 10 + 𝑗(37,7 − 2,65) 
𝑍𝑒𝑞 = 10 + 𝑗35,04 = 36,44∠74,07
𝑜 [𝛺] 
Ângulo positivo, portanto, a carga é predominantemente indutiva. Será necessário um 
capacitor para corrigir o FP. Para um FP de 0,97 o ângulo final deverá ser: 
𝜑1 = cos
−1(0,97) = 14,07𝑜 
Para poder calcular o capacitor, primeiramente devemos calcular a potência ativa. 
𝐼 =
𝑉
𝑧𝑒𝑞
=
180∠0𝑜
3 6, 44∠74,07𝑜
= 4,94∠ − 74,07𝑜 [A] 
𝑃 =
�̂�𝐼
2
𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) =
180.4,94
2
⋅ 𝑐𝑜𝑠(74,070) = 122,017 [𝑊] 
𝑄𝐶 = 𝑃(𝑡𝑔 𝜑 − 𝑡𝑔 𝜑1) = 211,341 [𝑉𝐴𝑅] 
𝑪 =
𝟐𝑸𝑪
𝝎�̂�𝟐
= 𝟑𝟒, 𝟔 [𝝁𝑭] 
 
 
 
 
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Referências 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. Tradução de 
Gustavo Guimarães Parma. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
NATIONAL INSTRUMENTS. MultisimLive. Beta Multisim, 2016. Disponivel em: 
<https://beta.multisim.com/>.