Lista de Exercícios 1

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LISTA 1
UFSCar CCET DM
Ca´lculo Diferencial e Integral 1
Nu´meros reais
1. Usando as propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (O4), (OA) e (OM), supondo
x e y reais, prove que:
(a) z > 0⇐⇒ −z < 0
(b) x.0 = 0
(c) (−x)y = −xy, x(−y) = −xy, (−x)(−y) = xy
(d) x.y = 0⇐⇒ x = 0 ou y = 0
(e) x2 ≥ 0
(f) 1 > 0
(g) x > 0⇐⇒ x−1 > 0
(h) x2 = y2 ⇐⇒ x = y ou x = −y
(i) Se x ≥ 0 e y ≥ 0, x2 = y2 ⇐⇒ x = y
(j) 0 < x < y ⇐⇒ 0 < y−1 < x−1
2. Prove que a soma de um racional com um irracional e´ irracional.
3. Prove que o produto de um racional diferente de zero por um irracional e´ irracional.
4. Prove que
√
6 e´ irracional.
5. Resolva as inequac¸o˜es
(a) 2x−1
x+1
< 0
(b) x
2−4
x2+4
> 0
(c) x2 − 3x + 2 < 0
(d) x2 + x + 1 > 0
(e) |x + 1| < |2x− 1|
(f) |x− 2|+ |x− 1| > 1
6. Mostre que
(a) |x− y| ≥ |x| − |y|
(b) |x− y| ≥ |y| − |x|
(c) |x− y| ≥ ||x| − |y||
(d) |x + y| = |x|+ |y| ⇐⇒ xy = 0
(e) |x + y + z| ≤ |x|+ |y|+ |z|
7. Lembrando que Vr(4) = (4− r, 4 + r), determine r > 0 de modo que Vr(4) ⊂ (2, 5).
8. Verifique que
(a) x− y = (√x−√y)((√x +√y)
(b) x− y = ( 3√x− 3√y)( 3√x2 + 3√xy + 3√y2)
(c) x− y = ( 4√x− 4√y)( 4√x3 + 4√x2y + 4√xy2 + 4√y3)
(d) x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax + a2)
(e) x4 − a4 = (x− a)(x3 + ax2 + a2x + a3)
(f) x5 − a5 = (x− a)(x4 + ax3 + a2x2 + a3x + a4)
(g) Deˆ a expressa˜o para xn − an
9. Indique sup, inf,max e min dos seguintes conjuntos, caso existam.
(a) A = {n ∈ Z | |n| < 10}
(b) B = {n ∈ Z | |n| ≤ 10}
(c) C = {x ∈ Q | |x| ≤ √3}
(d) D = [−1, 1) ∪ (√3, 4)
(e) E = {x ∈ R | x2 − 4x + 4 > 0 e x2 − 3x < 0}
(f) F = {x ∈ Q | |x−√2| < 2}
(g) G = {x ∈ R | x = 1
n
, n = 1, 2, 3, . . .}
10. Dado um conjunto P de nu´meros reais, denotamos por P ′ o conjunto de todos os seus pontos
de acumulac¸a˜o. Indique quais sa˜o os conjuntos A′, B′, C ′, D′, E ′, F ′, G′.
(a) A = {n ∈ Z | |n| < 10}
(b) B = {n ∈ Z | |n| ≤ 10}
(c) C = {x ∈ Q | |x| ≤ √3}
(d) D = [−1, 1) ∪ (√3, 4)
(e) E = {x ∈ R | x2 − 4x + 4 > 0 e x2 − 3x < 0}
(f) F = {x ∈ Q | |x−√2| < 2}
(g) G = {x ∈ R | x = 1
n
, n = 1, 2, 3, . . .}