lista limites notaveis trigonometricos e exponenciais

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LIMITES NOTÁVEIS OU FUNDAMENTAIS 
 Os limites fundamentais auxiliam no cálculo de limites indeterminados do tipo 
0
0
, 
1

 e 0. 
I) Proposição 
1
)sen(
lim
0






 x
x
x
 
 
II) Proposição 
0
)(
))((cos1
lim
0)(





 
 xf
xf
xf
 
 
III) Proposição 
   ex x
x


1
1lim
0
 
 
IV) Proposição 
e
x
x
x








1
1lim
 
 
V) Proposição 
)ln(
)(
1
lim
)(
0)(
a
xf
a xf
xf



 
LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: 
 
(1) 
e
x
x
x 






1
1lim
 
 
 
 
(2) 
ey yy 
1
0 )1(lim
 
 
 
(3) 
kly
l
y eky  )1(lim 0
 
 
 
 2 
(4) 
kl
lx
x e
x
k






 1lim
 
 
 
(5) 
a
x
a x
x ln
1
lim 0 


 
 
 
(6) 
1
1
lim 0 


x
e x
x
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) 

x
xsen
x
2
3
lim 0
 
2) 

x
senx
x
4
lim 0
 
3) 

x
xtg
x
3
2
lim 0
 
4)

xsen
xsen
x
3
4
lim 0
 
5) 

xtg
xtg
x
5
3
lim 0
 
6) 



xsenx
x
x
cos1
lim 0
 
7) 


 20
sec1
lim
x
x
x
 
8) 



x
senxtgx
x 0lim
 
9) 




tgx
xsenx
x
1
cos
lim 0
 
10) 



xsen
senxtgx
x 20
lim
 
11) 




senxx
senxx
x 0lim
 
12) 



xsen
xx
x
4
3cos5cos
lim 0
 
13) 



senx
xsenxsen
x
23
lim 0
 
14) 



x
senaaxsen
x
)(
lim 0
 
 3 
15) 


 20 3
2cos1
lim
x
x
x
 
Respostas: 
1) 3/2 
2) ¼ 
3) 2/3 
4) 4/3 
5) 3/5 
6) ½ 
7) – ½ 
8) 2 
9) -1 
10) 0 
11) 0 
12) 0 
13) 1 
14) cos a 
15) 2/3 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) 



2
4
2
2
3lim x
x
x
 
2) 



1
1
1lim
x
x
x e
 
3) 





 


2
45
4
2
1
lim
x
xx
x
e
 
4) 




45
23
loglim
2
2
31
xx
xx
x
 
5) 




21
3
lnlim 3
x
x
x
 
6) 




xx
xx
x 2
3
0 loglim
 
7) 







x
x
x
2
1
1lim
 
8) 







31
1lim
x
x
x
 
9) 









2
1
1lim
x
x
x
 
10) 









3
1
1lim
x
x
x
 
11) 







x
x
x
4
1lim
 
 4 
12) 







x
x
x
3
2
1lim
 
13) 







x
x
x
3
2
1lim
 
14) 

x
x x
1
0 )41(lim
 
15) 

x
x x
2
0 )31(lim
 
16) 










3
1
4
lim
x
x
x
x 
17) 









2
3
1
lim
2
2
x
x
x
x 
18) 









x
x
x
x
12
32
lim
 
19) 



x
x
x
2
)1ln(
lim 0
 
20) 



x
x
x
3
)21ln(
lim 0
 
Respostas 
 
1) 81 
2) e2 
3) e-12 
4) -1 
5) ln4 
6) 0 
7) e2 
8) e1/3 
9) e 
10) e 
11) e4 
12) e6 
13) e-6 
14) e4 
15) e-6 
16) e-3 
17) e4 
18) e 
19) ½ 
20) 2/3 
 
Calcule os seguintes limites, usando a regra de L`Hospital: 
a) 
x
x
x
)5sen(
lim
0
 resp: 5 
b) 
)15sen(
)9sen(
lim
0 x
x
x
 resp: 
5
3
 
 5 
c) 
)2sen(
)8sen(
lim
0 x
x
x
 resp: 4 
d) 
x
x
x 7
)sen(
lim
0
 resp: 0 
e) 
30
)()(
lim
x
xsenxtg
x


 resp: ½ 
f) 
2
)2()(
lim
2 

 x
senxsen
x
 resp: cos(2) 
g) 
x
ex x
x 2
1
lim
2
0


 resp: 3/2 
h) 
20
)2cos()cos(21
lim
x
xx
x


 resp: -1 
i) 
)2(
1
lim
)(
0 xsen
e xsen
x


 resp: ½ 
j) 
)()cos(
)(1
lim
4
xsenx
xtg
x 



 resp: 
2
 
l) 
1
1
lim
55
22
1 



 x
x
x e
e
 resp: 2/5 
m) 
x
xsenx
x
)(3
lim
2
0


 resp: -3 
n) 
3
)3ln()ln(
lim
3 

 x
x
x
 resp: 1/3 
o) 
)()2(
52
lim
0 xsenxsen
xx
x 


 resp: 






5
2
ln
 
p) 
)(
5434
lim
0 xsen
xx
x


 resp: 






5
3
ln4
 
q) 
1
16316
lim
0 

 x
x
x e
 resp: 16 ln(3) 
r) 
)1ln(
93
lim
2
0 

 x
x
x
 resp: 9 ln(3)