Teoria EletromagnÇtica I_06

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3.2) Divergente de um Campo Vetorial
Sabemos que uma carga pontual q positiva e isolada induz um campo elétrico E no espaço em volta dela, sendo a direção de E para fora da carga.
Além disso, a intensidade (módulo) de E é proporcional a q e diminui com a distância R a partir da carga segundo 1/R2.
Na forma gráfica, um campo vetorial é geralmente representado por linhas de campo, conforme mostra a Figura.
As setas indicam a direção do campo no ponto onde a linha de campo é desenhada e o comprimento da linha fornece uma ilustração quantitativa da intensidade do campo.
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
O fluxo total que atravessa uma superfície fechada S, tal como uma superfície fechada de uma esfera imaginária, é:
Vamos considerar agora o caso de um paralelepípedo retangular diferencial, como um cubo, cujas arestas estão alinhadas com os eixos de um sistema de coordenadas cartesianas
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
Os comprimentos das arestas são Δx ao longo de x, Δy ao longo de y e Δz ao longo de z.
Um campo vetorial E(x, y, z) existe na região do espaço que contem o paralelepípedo e queremos determinar o fluxo de E através de toda a superfície S.
Como S inclui seis faces, precisamos somar os fluxos de todas elas e, pela definição, o fluxo através de qualquer face é direcionado para fora a partir do volume Δv através daquela face.
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
Analogamente:
A soma dos fluxos F1 até F6 nos dá o fluxo total através de S:
onde Δv = Δx Δy Δz e div E é a função diferencial denominada divergente de E
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
Em coordenadas cartesianas:
Fazendo o volume Δv tender para zero, definimos o divergente de E em um ponto como o fluxo líquido para fora por unidade de volume ao longo de uma superfície incremental fechada. Portanto:
onde S envolve o volume elementar Δv
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
Em vez de indicar o divergente de E por div E, é comum indicá-lo como ∇ • E. Ou seja:
o campo E tem uma divergência positiva se o fluxo líquido que sai da superfície S for positivo, o qual pode ser observado se o volume Δv contiver a fonte de fluxo.
Se o divergente for negativo, Δv pode ser visto como um volume de absorção porque o fluxo líquido está para dentro do volume Δv
Para um campo E uniforme, a mesma quantidade de fluxo que entra no volume sai dele: portanto, sua divergência é zero e o campo é dito não-divergente
3.2) Divergente de um Campo Vetorial
O divergente é um operador diferencial que opera apenas com vetores sendo o resultado dessa operação um escalar.
Isso contrasta com o operador gradiente, que pode operar apenas com escalares, tendo como resultado um vetor.
O operador divergente admite a propriedade distributiva. Ou seja, para qualquer par de vetores E1 e E2:
Se ∇ • E = 0, o campo vetorial E é denominado solenoidal.
3.2.1) Teorema da Divergência
O resultado para um volume diferencial Δv pode ser estendido para relacionar a integral de volume de ∇ • E de ao longo de um volume v qualquer para o fluxo de E através da superfície fechada S que limita v. Ou seja,
Se torna:
Essa relação, conhecida como teorema da divergência é usada extensivamente em eletromagnetismo.