APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 2: Determinantes

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Capítulo 2: Determinantes 
 1 
 
CAPÍTULO 2: 
DETERMINANTES 
 
2.1 DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE 
 
A definição de determinante de uma matriz quadrada A , denotado por )det(A , pode ser dada de diversas 
maneiras. Aqui vai ser adotada uma definição que ajuda ao cálculo do determinante e está baseada em 
termos de determinantes de matrizes de menor ordem; em outras palavras, dar-se-á uma definição 
recursiva. 
 
Definição 2.1: 
1. Se [ ]α=A é uma matriz de ordem 11× , então α=)det(A . 
2. O menor jiM é o determinante da sub-matriz de ordem )1()1( −×− nn , obtida a partir da matriz 
A pela retirada da i -ésima linha e da j -ésima coluna da matriz. 
3. O cofator jiC associado ao menor jiM é definido como 
ji
ji
ji MC
+
−= )1( . 
4. Sendo 












=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
A uma matriz quadrada de ordem nn × , com 1>n , então o 
determinante da matriz A é dado por 
niniiiii
n
j
jiji CaCaCaCa +++==∑
=
L2211
1
)det(A para qualquer ni ,,2,1 K= fixo, 
denominado o desenvolvimento de Lagrange do determinante pelos cofatores da i-ésima linha de 
A , ou, equivalentemente, 
jnjnjjjj
n
i
jiji CaCaCaAa +++===∑
=
L2211
1
)det(A para qualquer nj ,,2,1 K= fixo, 
denominado o desenvolvimento de Lagrange do determinante pelos cofatores da j-ésima coluna de 
A . Estas fórmulas para o determinante são conhecidas como o desenvolvimento de Lagrange. 
Cabe salientar que em ambos desenvolvimentos, a escolha do i fixo ou do j fixo produz o mesmo 
valor para )det(A . 
Exemplo 2.1: Seja 





=
dc
ba
A . Tem-se que 
ddM == ])det([11 , ccM == ])det([12 , 
bbM == ])det([21 , aaM == ])det([22 , 
e então 
dMC =−= + 111111 )1( , cMC −=−= + 122112 )1( , 
bMC −=−= + 211221 )1( , aMC =−= + 222222 )1( . 
Se 1=i , cbdacbdaCaCaCa
j
jj −=−+=+== ∑
=
)()det( 12121111
2
1
11A . 
Se 2=i , cbdaadbcCaCaCa
j
jj −=+−=+==∑
=
)()det( 22222121
2
1
22A . 
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Capítulo 2: Determinantes 
 2 
Se 1=j , cbdabcdaCaCaCa
i
ii −=−+=+== ∑
=
)()det( 21211111
2
1
11A . 
Se 2=j , cbdaadcbCaCaCa
i
ii −=+−=+== ∑
=
)()det( 22221212
2
1
22A . 
Como foi afirmado na definição, note que os quatro somatórios fornecem o mesmo valor para o 
determinante 
cbda
dc
ba
−=












det . 
Exemplo 2.2 Seja 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A . Para calcular )det(A , vai ser utilizada, neste exemplo, a seguinte 
expressão 
131312121111
3
1
11)det( CaCaCaCa
j
jj ++==∑
=
A 
conhecida pelo nome de desenvolvimento do determinante pelos cofatores da primeira linha. 
 Assim 
32233322
3332
2322
11 aaaa
aa
aa
M −== , 
31233321
3331
2321
12 aaaa
aa
aa
M −== , 
31223221
3231
2221
13 aaaa
aa
aa
M −== , 
e então 
3223332211
11
11 )1( aaaaMC −=−= + , 
3123332112
21
12 )1( aaaaMC +−=−= + , 
3122322113
31
13 )1( aaaaMC −=−= + . 
Logo 
( ) ( ) ( )
.
)det(
322311332112312213322113312312332211
312232211331233321123223332211
131312121111
3
1
11
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
CaCaCaCa
j
jj
−−−++=
−++−+−=
++== ∑
=
A
 
 
Devido à dificuldade deste desenvolvimento algébrico, existe uma maneira de lembrá-lo, conhecida como 
a regra de Sarrus 
 
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Capítulo 2: Determinantes 
 3 
onde são somados os produtos de três elementos que vão de esquerda para direita e são subtraídos os 
produtos de três elementos que vão de direita para esquerda, como mostra o esquema da figura acima(1). 
(1) Tomado de http://matematica134.zip.net/ 
Notação 2.1: Alternativamente, o determinante da matriz 












=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
A pode ser denotado por 
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
det =(A) . 
Exemplo 2.3: Seja 










−
−−=
245
342
013
A . Aqui, calcular-se-á )det(A pelo desenvolvimento dos cofatores 
da segunda coluna. 
Assim, 
.1362411)9()6()()11(
32
03)1(
25
03)1()(
25
32)1()det( 232221
−=−+=⋅−−⋅−+−⋅−=
−
−⋅+
−
−⋅−+
−
−
−⋅=
+++
441
441A
 
Exemplo 2.4: Para calcular 
1002
1201
2213
1001
−
−
 pode-se escolher o desenvolvimento pelos cofatores da 
segunda coluna como 
( ) 621)2(
12
11)1()(
102
121
101
)1(
1002
1201
2213
1001
)2(
22
)1(
22
−=+⋅−=
−
−⋅−=−
−
−⋅=
−
−
−=
+
=
+
443442143421
21 . 
Observa-se que foram escolhidas propositalmente as colunas com a maior quantidade de zeros possível. 
Escolher colunas ou linhas com a maior quantidade de zeros possível constitui uma boa estratégia para o 
cálculo de um determinante pelo desenvolvimento de Lagrange. 
 
Em geral, o determinante de uma matriz de ordem nn × tem no seu desenvolvimento por cofatores ao 
todo !n produtos. Este fato dificulta enormemente o cálculo de determinantes de matrizes de ordem maior 
que 33× . Observe que o desenvolvimento de Lagrange para o determinante de uma matriz de ordem 
55× possui 120 produtos de cinco fatores cada! 
Pelo motivo acima exposto, procura-se realizar o cálculo dos determinantes de ordem maior que 33× 
mediante propriedades simplificativas detalhadas na seção seguinte. 
 
2.2 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
Propriedades 2.1: 
1. O determinante da matriz nula é zero, ou seja, 0)det( =O . 
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 4 
2. O determinante da matriz identidade é igual a 1, ou seja, 1)det( =I . 
3. O determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou 
seja, se 












=
nnd
d
d
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
D , então 
nn
nn
ddd
d
d
d
⋅⋅== L
L
MOMM
L
L
2211
22
11
00
00
00
det(D) . 
4. O determinante de uma matriz triangular superior é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal, ou seja, se 












=
mn
n
n
u
uu
uuu
L
MOMM
L
L
00
0 222
11211
U , então 
nn
mn
n
n
uuu
u
uu
uuu
⋅⋅== L
L
MOMM
L
L
2211
222
11211
00
0
det(U) . 
5. O determinante de uma matriz triangular inferior é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal, ou seja, se 












=
mnnn lll
ll
l
L
MOMM
L
L
21
2221
11
0
00
L , então 
nn
mnnn
lll
lll
ll
l
⋅⋅⋅== L
L
MOMM
L
L
2211
21
2221
11
0
00
det(L) . 
6. Se uma matriz quadrada A possui uma linha ou coluna nula, então 0)det( =A . 
7. Dada uma matriz quadrada A , tem-se que 
)det()det( AAt = . 
8. O determinante de uma matriz quadrada A muda de sinal quando são permutadas duas linhas ou 
duas colunas de A ; 
9. Se B é formada a partir de uma matriz quadrada A mediante a multiplicação de uma linha ou 
coluna de A por um escalar α , então 
)det()det( AB α= . 
Nesses termos, 
)det()det( AA nαα = , 
sendo A de ordem nn × . 
10. O determinante do produto de duas matrizes A e B das mesmas ordens é igual ao produto dos 
determinantes dessas matrizes, ou seja, 
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 5 
)det()det()det( BABA = . 
11. Se uma matriz A possui duas linhas ou colunas proporcionais, então 0)det( =A . 
12. Se, numa matriz quadrada A , uma linha (ou coluna) é obtida a partir da combinação linear das 
demais linhas (ou colunas) então 0)det( =A . 
13. Se, numa matriz quadrada A , adiciona-se a uma linha (ou coluna) uma combinação linear de 
outras linhas (ou colunas, respectivamente), então o determinante da matriz resultante é igual ao 
determinante da matriz A . 
 
Exemplo 2.5: O valor de 
2000
33313
2290
12200
3
1
−
 pode ser calculado como segue 
4. prop. pela ,42)2(
3
13
linhas terceirae primeira a permutadas foram pois 8, prop. pela ,
2000
12200
2290
33313
2000
33313
2290
12200
=⋅−⋅⋅−=
−
−=
−
3
1
3
1
 
Exemplo 2.6: O valor de 
1062
1784
531
−
−
 é zero, pela prop. 11, pois a terceira linha é o dobro da primeira. 
 
Uma forma comum de calcular o determinante de uma matriz A é usar as operações elementares para 
reduzir a matriz a uma matriz triangular superior, como pode ser visto nos dois exemplos seguintes. 
Exemplo 2.7: Vai ser calculado o determinante 
1682
2621
3695
1321
−−−
−
−
. 
} } }
4. prop. pela ,39)13()3(11
13000
1300
2910
1321
2310800
1300
2910
1321
10120
1300
2910
1321
1682
2621
3695
1321
32 36122
5
=−⋅−⋅⋅=
−
−−
−−
−
=
−−
−−
−
=
−
−−
−−
−
=
−−−
−
−
+−−
+
−
LLLLLL
LL
LL
4414
13
12
 
Exemplo 2.8: Vai ser calculado o determinante 
00
0
1
1110
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
2
1
2
1
2
1
−
. 
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 6 
 Observe que 9, prop. pela 
0021
0112
1211
1110
18
1
 
0021
0112
1211
1110
3
1
3
1
2
1
00
0
1
1110
−
=
−
⋅⋅=
− 3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
2
1
2
1
2
1
 e assim, 
} }
} }
.
6
1
2
3)2(11
18
1
000
1200
1110
1211
18
1
2100
1200
1110
1211
18
1
1230
2310
1110
1211
18
1
0021
0112
1110
1211
18
1
0021
0112
1211
1110
18
1
00
0
1
1110
3
2
2
−=





−⋅−⋅⋅⋅−=
−
−−
−=
−−
−−
−=
−−−
−=
−
−=
−
=
−
−
−
+
+
−
↔
2
3
LLLL
LL
LL
LL
LL
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
2
1
2
1
2
1
32
1
424
23
14
13
1
 
Propriedade 2.2: Seja A uma matriz quadrada invertível. Então 0)det( ≠A . Mais ainda, 
)det(
1)det( 1
A
A =− . 
Prova: Se A é uma matriz quadrada invertível, então IAA =⋅ −1 . Assim, ( ) 1det 1 =⋅ −AA , ou seja, 
1)det()det( 1 =⋅ −AA . Se fosse 0)det( =A , não seria possível 1)det()det( 1 =⋅ −AA . Logo, 0)det( ≠A . 
 
Aqui, esta sendo feita a afirmação que se A é invertível, então 0)det( ≠A . 
A afirmação recíproca da propriedade anterior também é verdadeira, ou seja, é verdade que se 0)det( ≠A , 
então A é invertível. Mas, a prova desta recíproca precisa de ferramentas adicionais. 
 
2.3 IDENTIDADE DE CRAMER 
 
Definição 2.2: Seja 












=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
A uma matriz quadrada de ordem nn × . 
1. Define-se a matriz de cofatores como [ ]
nnjiCcof ×=)(A . 
2. Define-se a matriz adjunta como [ ] ( )tAA )()( cofCadj
nnij == × . 
 
Exemplo 2.9: Se 





=
dc
ba
A , então a matriz de cofatores é 






−
−
=
ab
cd
cof )(A 
e a matriz adjunta é 






−
−
=
ac
bd
adj )(A . 
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 7 
Também, observe que 
IAIAA )det()(
0
0)( =−=





−
−
=





−
−






= bcad
bcad
bcad
ac
bd
dc
ba
adj . 
Similarmente, verifica-se que IAAA )det()( =adj . 
 
Exemplo 2.10: Vai-se determinar a matriz de cofatores )(Acof e a matriz adjunta )(Aadj , sendo 










=
987
654
322
A . 
Tem-se que 










−
−−
−−
=


















−
−−
−
=
203
236
363
54
22
64
32
65
32
87
22
97
32
98
32
87
54
97
64
98
65
)(Acof . 
Logo, ( )










−−
−
−−
==
223
036
363
)()( tAA cofadj . 
Pode-se verificar que 3)det( −=A . 
Também, observe que 
IAIAA ⋅=⋅−=










−
−
−
=










−−
−
−−
⋅










=⋅ )det()3(
300
030
003
223
036
363
987
654
322
)(adj . 
Similarmente, verifica-se que IAAA ⋅=⋅ )det()(adj . 
 
O resultado obtido nos dois últimos exemplos pode ser generalizado: 
Propriedade 2.3: Seja A uma matriz quadrada. Então tem-se a seguinte igualdade, 
 
IAAAAA ⋅=⋅=⋅ )det()()( adjadj , 
 
conhecida como a identidade de Cramer, 
Prova: 
Considere o produto 












⋅












=⋅
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AAA
AAA
AAA
adj
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
21
22212
12111
)( AA . 
Observe que o elemento kj, de tal produto é da forma 
njnkjkjkjk AaAaAa +++= L2211δ . 
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 8 
Se, na matriz A , a j -ésima coluna 














=
nj
j
j
a
a
a
M
2
1
ja é substituída pela k -ésima coluna 












=
nk
k
k
k
a
a
a
M
2
1
a , formando a 
matriz jkB , tem-se que 



≠
=
=
.se0,
,se),det()det( jk
jkA
B jk Por outro lado, calculando o )det( jkB mediante o 
desenvolvimento pelos cofatores da k -ésima coluna, tem-se que 
jknjnkjkjk AaAaAa δ=+++= L2211)det( jkB , 
desde que os cofatores dessa coluna não mudam em relação à matriz A . Assim, 
IA
A
A
A
AA ⋅=












=












=⋅ )det(
)det(00
0)det(0
00)det(
)(
21
22221
11211
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
nnnn
n
n
adj
δδδ
δδδ
δδδ
. 
Similarmente, pode-se provar que IAAA ⋅=⋅ )det()(adj . 
 
A igualdade anterior nos fornece um resultado importante: 
Propriedade 2.4: Seja A uma matriz quadrada. Se 0)det( ≠A , então a matriz A é invertível e 
)()det(
11 A
A
A adj=− . 
 
A propriedade anterior fornece uma condição suficiente para saber quando uma matriz possui matriz 
inversa e também dá uma maneira de calcular tal inversa. 
 
Exemplo 2.11: Sendo 





=
dc
ba
A , tem-se que 





−
−
=
ac
bd
adj )(A e bcad −=)det(A . Se 
0)det( ≠−= bcadA , então 





−
−
−
=
−
ac
bd
bcad
11A . 
 
Exemplo 2.6: Sendo 










=
987
654
322
A , tem-se que 










−−
−
−−
=
223
036
363
)(Aadj
 e 3)det( −=A . Logo, 










−
−
=










−−
−
−−
−=⋅=
−
−
3
2
3
2
1
1
012
121
223
036
363
3
1)()det(
1 A
A
A adj . 
 
A pesar da identidade de Cramer determinar a matriz inversa de qualquermatriz quadrada invertível, o 
método que fornece tal identidade é imprático, pois requer o cálculo de 12 +n determinantes de ordem 
)1()1( −×− nn . Em termos de complexidade computacional, pode-se dizer que a identidade de Cramer é 
de ordem )!(nn ⋅ . Inclusive com o uso de supercomputadores, esta complexidade gera tempos 
computacionais impressionantes; por exemplo, utilizando um computador com uma velocidade de 3 
gigaflops por segundo, seriam necessárias pelo menos duas décadas para calcular a inversa de uma matriz 
ordem 2020 × . 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 2: Determinantes 
 9 
 
Prova da Propriedade 1.8: Seja A uma matriz quadrada. Então as três afirmações seguintes são 
equivalentes; 
1. uma forma escalonada por linhas de A é a matriz identidade I ; 
2. a matriz A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares; 
3. a matriz A é invertível. 
1.⇒2. Como a matriz na forma escalonada de A é obtida pela aplicação de várias operações elementares 
e cada uma das últimas tem uma matriz elementar associada, então tem-se que 
AEEEI 12k ⋅⋅⋅⋅= K . 
Logo, ( ) ( ) ( ) 111 −−− ⋅⋅⋅= kEEEA 21 K , e como cada matriz elementar é invertível, e mais ainda, cada inversa 
é, por sua vez, uma matriz elementar, tem-se 2. 
2.⇒3. Se kEEEA 21 ⋅⋅⋅= K para certas matrizes elementares, então ( ) ( ) ( ) 1111 −−−− ⋅⋅= 12k EEEA K . 
3.⇒1. Suponha agora que a matriz A é invertível. Pela propriedade 1.8, uma forma escalonada de A é 
uma matriz R igual à matriz identidade ou uma matriz com linhas nulas, ou seja, AEEER 12k ⋅⋅⋅⋅= K . 
Como 0)det( ≠iE e 0)det( ≠A , então 
.0)det()det()det()det()det( ≠⋅⋅⋅⋅= AEEER 12k K 
Necessariamente IR = , caso contrário se teria 0)det( =R . 
 
2.4 INTERPRETAÇÂO E APLICAÇÃO DIRETA DOS DETERMINANTES 
 
Área de um triângulo e de um paralelogramo formados por dois vetores no plano cartesiano: 
Se 





=
2
1
u
u
u e 





=
2
1
v
v
v são dois vetores com ponto inicial na origem do plano cartesiano, então a área do 
paralelogramo formado por estes dois vetores é )det(A , sendo 





=
22
11
vu
vu
A . Veja a figura abaixo à 
esquerda. 
Similarmente, os vetores 





=
2
1
u
u
u e 





=
2
1
v
v
v podem também formar um triângulo, cuja área é igual a 
)det(
2
1 A , sendo, como antes, 





=
22
11
vu
vu
A . Veja a figura abaixo à direita. 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 2: Determinantes 
 10 
Área de um triângulo no plano cartesiano dadas as coordenadas 
dos seus três vértices: 
Se um triângulo no plano cartesiano tem seus vértices nos pontos 
),( 11 yxA = , ),( 22 yxB = e ),( 33 yxC = , então ele tem área igual a 
)det(
2
1 A sendo 










=
1
1
1
33
22
11
yx
yx
yx
A . Para fins de ilustração, veja a 
figura ao lado. 
 
 
Volume de um paralelepípedo determinado por três vetores no 
espaço cartesiano: 
Se 










=
3
2
1
u
u
u
u , 










=
3
2
1
v
v
v
v e 










=
3
2
1
w
w
w
w são três vetores com ponto 
inicial na origem de coordenadas do espaço cartesiano, então o 
volume do paralelepípedo determinado por estes três vetores é 
)det(A , sendo 










=
333
222
111
wvu
wvu
wvu
A . Veja a figura ao lado. 
 
Produto vetorial de dois vetores de ordem 3: 
Se 










=
3
2
1
u
u
u
u e 










=
3
2
1
v
v
v
v são dois vetores de ordem 3, o produto vetorial de u e v , denotado por vu × , 
define-se como 
321
321
33
22
11
vvv
uuu
vu
vu
vu kji
k
j
i
vu ==× , sendo 










=
0
0
1
i , 










=
0
1
0
j e 










=
1
0
0
k . Em termos dos 
cofatores, usando os vetores i , j e k , tem-se que 


















−=+−=×
22
11
33
11
33
22
22
11
33
11
33
22
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
kjivu , ou 
ainda, ( )










−
−−
−
=×
1221
1331
2332
vuvu
vuvu
vuvu
vu . 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 2: Determinantes 
 11 
Verifica-se que o vetor vu × é sempre perpendicular aos vetores u e v , simultaneamente. Por exemplo, 
se 










−=
1
3
2
u e 










=
1
2
1
v , então 










−
−
=


















−
−
−=×
7
1
5
23
12
11
12
11
23
vu , e tem-se que 
( ) 071)1()3()5(2 =⋅+−⋅−+−⋅=×⋅ vuu e 
( ) 071)1(2)5(1 =⋅+−⋅+−⋅=×⋅ vuv . Estes fatos são 
mostrados na figura ao lado. 
 
 
 
Área de um triângulo no espaço cartesiano dadas as 
coordenadas dos seus três vértices: 
Se um triângulo no espaço cartesiano tem seus vértices nos pontos ),,( 111 zyxA = , ),,( 222 zyxB = e 
),,( 333 zyxC = , então ele tem área igual a ACAB ×2
1
. 
Por exemplo, se )0,2,1(=A , )1,2,2(−=B e )4,2,2( −−=C , então 









−
=
1
0
3
AB e 










−
−
=
4
4
3
AC . 
 Assim, 










=


















−
−−
−−
−
−=×
12
9
4
40
33
41
33
41
40
ACAB e a área do triângulo 
ABC é 71443616
2
1
2
1
=++=× ACAB . Veja a figura ao 
lado. 
 
2.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Encontre os valores de θ para os quais a matriz 





−
= )cos()(sen
)(sen)cos(
θθ
θθ
A é invertível e nesses 
casos determine 1A− . 
2. Encontre todos os valores de λ para os quais 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 2: Determinantes 
 12 
a. 0
45
12
=
+−
−
λ
λ
; b. 0
500
01
044
=
−
−
−
λ
λ
λ
. 
3. Usando o desenvolvimento por cofatores, calcule )det(A , sendo 
a. 










−
−=
531
401
133
A ; b. 












−
−
=
23102
0314
2022
5033
A ; c. 
















−
=
3
3
3
0
0
2
2
2
1
1
4
6
4
3
0
2
4
2
3
0
2
9
1
3
4
A . 
4. Usando operações elementares para reduzir a matriz a uma matriz triangular, calcule os 
determinantes a seguir: 
a. 
423
211
130
; b. 
510
272
963
−−
−
; c. 
3210
0120
1101
1312
; d. 
1
1
1
2
3
1
1
0
4
5
0
2
1
0
1
0
0
0
7
3
0
0
0
2
1
−−−
. 
5. Encontre o determinante 
a
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
a
. 
6. Diga se as seguintes matrizes são invertíveis e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa pela 
identidade de Cramer: 










=
200
000
003
A , 










−=
3
100
010
003
A , 










−
=
101
010
001
A , 









=
000
010
003
A . 
7. Utilizando a identidade de Cramer, encontre a matriz inversa de 
a. 





=
23
35
A 
b. 










=
101
010
001
A c. 










−
=
101
010
101
A 
d. 










=
222
111
zyx
zyxA
 e. 










=
567
408
321
A
 f. 










=
5
1
4
1
3
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
11
A
 
8. Mediante o algoritmo por operações elementares do capítulo anterior, calcule a matriz inversa de 
cada uma das matrizes do exercício anterior. 
9. Verifique que se A é uma matriz tal que OAk = , para algum inteiro positivo k , e AI − é 
invertível, então 1k21 AAIA)(I −− +++=− L . 
10. Utilizando o exercício anterior, calcule 1A)(I −− sabendo que 
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Capítulo 2: Determinantes 
 13 
a. 





−
=
01
00
A b. 





=
00
20
A 
c. 










−
=
012
001
000
A d. 










=
000
700
410
A