11 Simulação Linearização

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Controle de Processos
Laplace
Curso de Graduação em Engenharia Química
Professora – Mariana Lima Acioli Murari
SISTEMAS NÃO LINEARES
Nas aulas anteriores, vimos a transformada de Laplace como uma poderosa ferramenta para solução de equações diferenciais, que no caso específico de controle, associa o comportamento de sistemas dinâmicos no tempo.
Uma das restrições dá-se pelo fato de que sistemas reais são, por natureza, não lineares.
Exemplos de funções não lineares (Corripio 2.6 ,3ª Ed.):
Entalpia H com função da temperatura T
Equação de Antoine para a pressão de vapor de uma substância pura em função de T
SÉRIE DE TAYLOR
Utilizada para aproximar uma função em torno de um ponto de equilíbrio.
A expressão acima (igual) é válida para n infinito
Na prática, não conseguimos fazer as contas até infinito, logo, a expressão será truncada numa ordem n , sendo n um número inteiro e limitado. Assim, a forma correta de escrevermos é: 
Linearizar uma função é sinônimo de truncar a Série de Taylor na primeira ordem (n = 1)
Resumindo, 
Esclarecendo,
Mas erros são cometidos quando nos afastamos do 
Para mais de uma variável (já truncando na primeira ordem):
Linearização
Lembrando que os termos avaliados no estado de referência são constantes e que uma expansão semelhante pode ser feita para a segunda equação:
Onde:
Linearização
Ou, matricialmente
que é claramente um modelo linear, alcançando o objetivo desejado.
Linearização
Deve ficar claro que a linearização é uma aproximação
Graficamente:
Tangente que passa pelo ponto de referência
Quanto mais se afasta do ponto de referência, maior o erro de aproximação
Exemplo (Corripio 2.6.1 , 3ª Ed.)
Linearize a equação de Arrhenius, considerando constantes k0, E, R
Solução:
Considerando a série de Taylor de primeira ordem, podemos escrever:
(1)
Da eq. (1), temos que
(2)
Substituindo na Eq. (2)
(3) Representando a fç linearizada 
Para efeito didático, considere:
Da equação (1) em , temos:
Conhecido k0, temos a expressão geral para k(T) e fazemos T variar de 285 a 315oC (valor real da função)
Vamos avaliar a função linearizada em torno do ponto T=300oC
Vamos então resgatar a eq. (3) 
Equação de uma reta 
Observe que no ponto T=300oC a aproximação é perfeita, no entanto, comete erros maiores quanto mais se distancia do ponto. Analisar ...
(4)
Fazemos T variar de 285 a 315oC (valor da função linearizada)
Da situação anterior, analise o erro cometido para  10oC em torno do ponto de equilíbrio.
Equação real:
Equação linearizada:
Para T=290oC 
k(290) = 70,9488
k(290)  66,2778
Para T=310oC 
k(310) = 139,2969
k(310)  133,7222


LINEARIZAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Considere uma equação diferencial escrita na forma:
Onde “g” é uma fção não linear da entrada “x” e da saída “y” e “b” é uma constante
Admita que o sistema está num estado estacionário definido por e
Assim, podemos afirmar que
(5)
(6)
Considere que o estado estacionário é a condição inicial do seu sistema e subtraia (6) de (5) para obter:
(7)
Aplicando aproximação por série de Taylor, temos:
Usando o conceito de variável desvio (Corrípio):
Que é a equação de um plano (linear)
(8)
Exemplo 2.6.4 (Corrípio 3ª Ed.) Trazer na próxima aula! 
Equação diferencial que associa um balanço de massa reagente de um reator sob agitação
Onde:
	é o volume do reator (constante no tempo)
	é o fluxo de entrada dos reagentes
	é a concentração na entrada
	é a temperatura do reator
	é a concentração do reagente (que desejamos controlar)
	vem da Eq. de Arrhenius (exemplo 2.6.1 anterior)
	
Obter a equação diferencial linearizada e as funções de transferência que relacionam a saída com as respectivas entradas
Vc pode comparar com a Eq. (8) do exemplo anterior (pg 11), com Taylor com n (n=4) variáveis, ou simplesmente saber que a aproximação é uma função linear e que já usamos o conceito de variável desvio. Em qualquer dos casos, obtém-se:
Onde:	
As constantes ai, por sua vez, são avaliadas através das derivadas parciais da função g:
Solução	
(9)
(11)
(10)
De (8):	
Conhecida a equação linearizada, busquemos as funções de transferência
OBS: 
Lembrar que a fç de transferência é a relação entre entrada e a saída.
Lembrar que fç de transferência associa sistema linear, ou seja, f(a+b) = f(a) + f(b) o que quer dizer que podemos ter o nosso problema dividido em 3 partes (associadas as 3 entradas)
S 
Para isso, vamos reescrever a equação (10) isolando a saída	 CA
Façamos:
Substituindo na Eq. (12):
(12)
Aplicando Laplace:
S 
Derivadas Não Lineares
Se existem não linearidades dentro das derivadas, é necessário linearizá-las (resolver a diferencial) antes da função
Exemplos:
Variáveis Desvio
Diferença entre o valor real da variável e o seu valor no estado estacionário de referência
Retratam o desvio sofrido pela variável, em relação ao estado estacionário
Consiste em uma simples translação, apresentando, portanto, o mesmo comportamento dinâmico da variável original
Ou seja, estudar e conhecer o comportamento da variável desvio é idêntico a estudar e conhecer o comportamento dinâmico da variável original
Variáveis Desvio - Vantagens
A equação resultante é
A aplicação da transformada de Laplace é imediata 
No entanto, o modelo agora contém 2 outras equações:
Variáveis Desvio - Vantagens
Se o estado de referência é um estado estacionário não nulo
O estado estacionário da variável desvio é nulo
Os modelos Linearizados simplificam bastante:
Pela definição de variável desvio:
Os termos constantes desaparecem
F.T. - Resumo
Obter o modelo do processo
Linearizar o modelo
Aplicar variável Desvio
Fazer a transformada de Laplace
Definir a entrada
Fazer a transformada da entrada e substituir no modelo
Expandir em frações parciais
Calcular os coeficientes
Sugestões:
Utilizar os recursos o Matlab para mostrar funções não lineares e respectivas funções linearizadas em torno de diferentes pontos.
Avaliar erros cometidos pelas funções linearizadas como aproximação de uma função não linear
Encontrar funções de transferência de sistemas linearizados
Usar o Matlab/Simulink para ver a resposta no tempo de funções de transferência
Usar o Matlab/Simulink para fazer gráficos e comparar a resposta no tempo das equações diferenciais não-lineares e das respectivas equações diferenciais linearizadas. 
Bibliografia
Luyben, W. L., “Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers”, 2nd edition, McGraw-Hill, (1990)
Coughanowr, D. R. e Koppel, L. B., “Análise e Controle de Processos”, Editora Guanabara, (1978).
Smith, C. A. e Corripio, A. B., “Principles and Practice of Automatic Process Control”, John Wiley & Sons, (1985).
www.lacoi.ufba.br
Coelho, A. A.R.; Coelho, L. S., Identificação de Sistemas Dinâmicos Lineares, Editora da UFSC.
Aguirre, L. A., Introdução à Identificação de Sistemas Lineares e Não-Lineares
Slides professor Yuri Guerrieri