Problemas resolvidos 2B TermoI

Prévia do material em texto

1 
2° BIMESTRE – TERMODINÂMICA I 
 
Ex.1) Uma planta de potencia com capacidade nominal de 800 MW, gera vapor 
de água a 585 K e descarrega calor para um rio a 295 K. Se a eficiência é 70% 
do máximo possível, que quantidade de calor é descarregada para o rio na 
operação com a capacidade nominal ? (res. pág. 141 – ITEQ) 
- 1° Etapa : calcular a eficiência máxima possível do sistema em questão: 
%57,494957,0
585
2951
1
max
max
≅=





−=
−=
η
η
Q
F
T
T
 
- 2° Etapa : multiplicar pela eficiência dada de 70% para encontrar a eficiência 
real do sistema: 
%70,343470,04957,070,0%70 ≅=×=η 
- 3° Etapa : isolar QF, na formula do rendimento de Carnot, encontrando o calor 
rejeitado pelo sistema: 
1
.5,15055,1505
||1
||||
||||||
||||
||
||
||||
||
||
−≅=
×




 −
=
−





=
=+
+
=
−
==
sMJMWQ
WQ
ou
WWQ
WQW
QW
W
Q
QQ
Q
W
F
F
F
F
F
Q
FQ
Q
η
η
η
η
η
η
 
Quantidade de Calor rejeitado pelo sistema. 
 
Ex.2) Um molde de aço (Cp = 0,5 kJ kg-1K-1) com 40 kg e a uma temperatura 
de 450 °C é resfriado por imersão em 150 kg de óleo (Cp = 2,5 kJ kg-1K-1) a 
25°C. Se não houver perdas térmicas, qual á a varia ção da entropia (a) do 
molde; (b) do óleo; (c) do conjunto molde/óleo ? (res. pág. 151 – ITEQ) 
 
 2 
1° Etapa : a temperatura final t do óleo e do molde de aço é encontrada através 
de um balanço de energia. Como a variação da energia do conjunto óleo e aço 
deve ser nula: 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Ct
tt
tt
tCpmtCpm
final
óleoóleomoldemolde
°==
=−−+
=−××+−××
=−××+−××
52,46
395
18375
093759000)37520(
0)25()5,2150()450()5,040(
0)25()()450()(
 
 
(a) 2° Etapa : variação de entropia no molde, considerando Cp = k: 
1
1
2
.33,16
45015,273
52,4615,273ln)5,0()40(
ln
2
1
−
−=∆






°+
°+
××=∆






=∆
==∆ ∫∫
KkJS
CK
CKS
T
T
mCpS
T
CpdT
m
T
dQS T
T
 
 
(b) 3° Etapa : variação de entropia do óleo,considerando Cp = k: 
1
1
2
.13,26
2515,273
52,4615,273ln).5,2).(150(
ln
2
1
−
=∆






°+
°+
=∆






=∆
==∆ ∫∫
KkJS
CK
CKS
T
T
mCpS
T
CpdT
m
T
dQS T
T
 
 
(c) 4° Etapa : variação de entropia total no sistema molde /óleo: 
1
.80,913,2633,16 −=+−=∆ KkJS total 
 
Portanto, o sistema molde/óleo, é irreversível. 
 
Ex.3) 100 kg/s de vapor de água a 10 MPa, 500 °C a 60 m/s , sofre uma 
expansão até 400 kPa, 160 °C a 50 m/s. Qual a potên cia gerada. Qual a 
potência se a máquina for adiabática: 
 
1° Etapa: balanço de potência, através da 1° lei – este problema se verifica em 
uma turbina real: 
 3 
HVPVPU
WQEEVPVPU
PVWQEEU
WQEEU
SPC
SPC
PC
∆=−+∆
+=∆+∆+−+∆
∆++=∆+∆+∆
+=∆+∆+∆
)(
)(
)(
2211
2211
 
 
2° Etapa: existindo fluxo, então usar a entalpia – sendo então, uma balanço de 
potencia: 
ldespreziveQ
ldespreziveE
realsistHQ
QEEHmW
WQEEHm
P
PCS
SPC
→=
→=∆
→∆≠
−∆+∆+∆=
+=∆+∆+∆
0
0
.
.
.
......
 
 
3° Etapa: rearranjando a equação de W s, e calculando a energia cinética: 
kWkWkWE
s
mg
s
mgE
s
mg
s
mgE
umE
EHmW
C
C
C
C
CS
55)125180(
10125
2
)50(100000
10180
2
)60(100000
2
6
2
2
6
2
1
2
=−=∆
×
×=
×
=
×
×=
×
=
×
=
∆+∆=
 
 
4° Etapa: achando H no diagrama de Mollier (H x S): 
kWHm
MollierDiag
kg
kJH
kg
kJH
60000)27803380()100(
.
2780
3380
2
1
=−×=∆







=∆
=∆
 
 
0=∆= CEQ . São desprezados, devido ao isolamento térmico e a alta 
velocidade de fluxo – não trocando calor, devido ao pequeno tempo de contato. 
 
5° Etapa: calcular W s: 
kWW
kWkWW
EHmW
S
S
CS
60055
5560000
=
+=
∆+∆=
 
 
Porem, se tratando de uma máquina real – a energia cinética calculada é muito 
pequena em relação a entalpia, como mostrado: 
 4 
%092,0100
60000
55% =×=∆
kW
kWE C 
 
Portanto, o resultado real de Ws será: 
kWW
HmW
S
S
60000=
∆=
 
 
6° Etapa: calculando a potencia de uma maquina adia bática – essa maquina 
será isoentropica: 
Verificar o diagrama de Mollier para S = k – achando, assim um novo valor para 
2H∆ : 
kWHm
MollierDiag
kg
kJH
kg
kJH
77000)26103380()100(
.
2610
3380
2
1
=−×=∆







=∆
=∆
 
 
7° Etapa: calculando o rendimento do sistema em rel ação a máquina real – não 
adiabática: 
%92,77100
77
60
=×=
MW
MWη 
 
Ex. 4) Deseja-se mostrar que a água super-resfriada à pressão de 1 bar em 
contato com um reservatório térmico a 268 K congela espontaneamente: 
Cpm (H2Oliq) = 75 J.K-1.mol-1 
Cpm (H2Ogelo) = 38 J.K-1.mol-1 
L (calor latente de fusão a 0 °C) = 6026 J/mol 
1. Imagine a seqüência de mudanças reversíveis que trazem um mol de 
água do estado liquido a 268 K ao estado sólido na mesma temperatura, 
para obter a mudança de entropia do sistema líquido-sólido (assumir que 
a uma pressão de 1 bar, o equilíbrio líquido-sólido ocorre a 273 K); 
1° Etapa: Esboçar o ciclo proposto pelo problema; 
 
 5 
(1 – 2): Aquecimento do líquido de 268 K até 273 K; 
(2 – 3): Congelamento reversível em 273 K; 
(3 – 4): Resfriamento do gelo de 273 K até 268 K; 
 
2° Etapa: Calcular o ∆S(1 – 4) do ciclo completo; 






=∆
⇒=∆
=⇒
∆
=∆
∆+∆+∆=∆
∫ ∫
−−−−
1
2
)43()32()21()41(
ln
2
1
T
TCpS
T
CpdT
T
dQS
T
dQdS
T
QS
SSSS
T
T
 
molK
J
K
K
molK
JS
T
TCpS
molK
J
K
mol
J
T
LS
molK
J
K
K
molK
JS
T
TCpS
solido
liquido
.
7024,0
273
268ln
.
38
ln
.
0732,22
273
6026
.
3863,1
268
273ln
.
75
ln
)43(
3
4
)43(
)32(
)21(
1
2
)21(
−=











=∆






=∆
−=







−=





−=∆
=











=∆






=∆
−
−
−
−
−
 
 
3° Etapa: Somando o ∆S total do ciclo; 
molK
JS
S
.
3893,21
7024,00732,223863,1
)41(
)41(
−=∆
−−=∆
−
−
 
 
2. Ao longo do mesmo caminho, calcule a variação de entalpia do 
reservatório térmico durante o congelamento irreversível; 
1° Etapa: Calcular da mesma forma que )41( −∆S para a entalpia; sendo que a 
entalpia varia porque o sistema recebeu calor; 
)( 12)21(
)43()32()21()41(
21
TTCpH
HHHH
LH
HH
m −=∆
∆+∆+∆=∆
=∆
>
−
−−−−
 
 6 
mol
JH
mol
JKK
molK
JH
solidoliquido
mol
JLH
mol
JKK
molK
JH
58411906026375
190)273268(
.
38
)(6026
375)268273(
.
75
)41(
)43(
)32(
)21(
−=−−=∆
−=−





=∆
−⇒−=−=∆
=−





=∆
−
−
−
−
 
Q(água – gelo) = 5841 J/mol 
 
3. A partir dos resultados, concluir sobre a espontaneidade do processo. 
Assumir que as capacidades caloríficas molar do gelo e da água são 
constantes na faixa de temperatura do processo. 
Considerando que: 
∆Stotal > 0; para que o processo seja espontâneo 
Calculando ∆Srev 
molK
J
K
mol
J
T
QS rev
.
7947,21
268
5841
===∆ 
 
Pode-se calcular ∆Stotal 
molK
JS
SSS
Total
ioreservatoráguaTotal
.
4,07947,213894,21 =+−=∆
∆+∆=∆
 
Pode-se concluir, portanto, que o processo é irreversível pois a variação 
total de entropia encontrada foi maior que zero.Ex. 5) Calcular uma equação para a variação da energia interna com a 
pressão enquanto a temperatura esta constante: 
dT
T
Udp
P
UpdVTdS
dT
T
UdP
p
Udu
pdVTdSdu
Tpu
p
U
pT
pT
T






∂
∂
+





∂
∂
=−






∂
∂
+





∂
∂
=
−=
⇔





∂
∂ ),(
 
 7 
TTT
T
pT
p
V
p
ST
p
U
ou
dp
pdV
dp
TdS
p
U
kdT
dp
dT
T
U
dp
pdV
dp
TdS
p
U






∂
∂
−





∂
∂
=





∂
∂
→−=





∂
∂
∴==






∂
∂
−−=





∂
∂
0
 
 
- Usando as relações de Maxwell: 
T
p
T
TpT
p
V
V
T
V
V
onde
VpVT
p
U
p
Vp
T
VT
p
U






∂
∂
−=






∂
∂
=
+−=





∂
∂






∂
∂
−





∂
∂
−=





∂
∂
1
1
:
κ
α
κα
 
Sendo que: 
α=Coeficiente Isobárico de expansão térmica 
k= Coeficiente Isotérmico de Compressibilidade 
 
Ex. 6) Um pedaço de cobre é comprimido, à temperatura constante de 300 K 
desde 6,89 bar até 1380 bar. Calcular o trabalho, a variação de entropia, o 
calor trocado e a variação de energia interna para 1 kg de metal: 
Dados: kT = 0,776 x 10-11 m2/N 
 β = 49,6 x 10-6 K-1 
 ρ = 8890 kg/m3 
 
1° Etapa: considerando o processo reversível e isot érmico: 
VdTVdpdV
dT
T
Vdp
p
VdV
TpVdV
pdVW
pT
βκ +−=






∂
∂
+





∂
∂
=
=
= ∫
),(
 
 
- Tendo uma isotérmica: 
VdpdV
VdT
κ
β
−=
= 0
 
 8 
2° Etapa: calculando o trabalho, substituindo dV; 
[ ] ∫∫ −=−= 2
1
p
p
pdpVVdppW κκ 
V = k; pois varia muito pouco em relação à pressão. 
( )21222 pp
VW −−= κ 
- No entanto, para calcular o trabalho é necessário conhecer o volume através 
da densidade fornecida pelo problema: 
[ ]
JW
PaPamW
m
m
kg
kgV
mV
V
m
N
m
305,8
)1089,6()1038,1(
2
)10124,1()10776,0(
10124,1
8890
1
2528
3411
34
3
2
=
×−××




 ×××
−=
×==
=⇒=
−−
−
ρ
ρ
W (+) → por se tratar de uma compressão 
 
3° Etapa: calcular a variação de entropia através d a relação de Maxwell: 
( )
kgK
JS
PaPam
K
S
ppVS
dpVS
VdpdS
dp
p
SdS
T
V
dp
dS
p
S
T
V
p
p
T
pTT
×
−≅∆
×−××





××
×
−=∆
−−=∆
−=∆
−=






∂
∂
−=






∂
∂
−=⇒





∂
∂
−=





∂
∂
−
−
∫
77,0
1089,61038,110124,1106,49
)(
5834
6
12
2
1
β
β
β
 
 
 4° Etapa: calcular o calor trocado: 
JQQ
TSQ
T
QS
23130077,0 −=×−==∆
×∆=∆
∆
=∆
 
 
5° Etapa: calcular a variação da energia interna at ravés da 1 Lei da 
termodinâmica: 
 9 
JJJU
QWU
QWEpEcU
7,222231305,8 −=−=∆
+=∆
+=∆+∆+∆
 
 
Ex. 7) Derive a relação para
Tp
H






∂
∂
e avalie a derivada para a água a 20 °C 
onde
Kg
cm
T
V
p ×
×=





∂
∂
−
3
41007,2 e barg
cm
p
V
T ×
×−=





∂
∂
−
3
5109,4
 : 
3998,0 cm
g
=ρ 
 
1° Etapa: usando a equação fundamental para a ental pia: 
V
p
ST
p
H
p
pV
p
ST
p
H
VdpTdS
p
H
TT
TTT
T
+





∂
∂
=





∂
∂






∂
∂
+





∂
∂
=





∂
∂
+=





∂
∂
 
 
2° Etapa: calculando o volume através da densidade: 
3
3
004,1002
998,0
1000
cm
cm
g
gmV ===
ρ
 
3° Etapa: usando as relações de Maxwell: 
gKcm
cm
gK
p
H
dosubstituin
V
T
VT
p
H
T
pT
/94,1001004,10021007,215,293
:
3
3
4
=+





××−=





∂
∂
+





∂
∂
−=





∂
∂
−
 
 
Ex. 8) Derive
TP
H






∂
∂
e
TP
U






∂
∂
em termos de propriedades mensuráveis 
(p,T,V), usando as relações de Maxwell: 
 10 
pT
T
p
pT
T
pp
T
p
S
p
Sp
p
pSpS
T
pSpS
pSpS
pS
pS
pS
pS
T
T
VTV
p
H
p
STV
S
T
S
T
p
S
TV
p
H
S
T
pS
pT
pT
ST
TV
S
T
Sp
pT
pT
ST
TV
pS
PT
Sp
ST
TV
p
H
S
T
p
T
TV
S
T
p
TT
S
TV
S
T
S
H
p
T
S
T
p
H
p
H
S
p
p
T
S
T
p
p
S
H
p
T
S
T
p
H
S
T
p
T
S
p
p
p
S
T
p
T
S
H
p
H
Sp
Tp
Sp
TH
Tp
TH
p
H






∂
∂
−=





∂
∂
=





∂
∂
+=






∂
∂






∂
∂






∂
∂
+=





∂
∂
=






∂
∂






∂
∂
−





∂
∂
−=






∂
∂






∂
∂






∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
−=





∂
∂
=






∂
∂






∂
∂
−=






∂
∂






∂
∂
−





∂
∂
=






∂
∂






∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂
=





∂
∂
=






∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂
=






∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=





∂
∂
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
 
=











∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂
×











∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂
=





∂
∂
=






∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂
×






∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂
=





∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=





∂
∂
PTPTSVSVT
PT
PT
SV
SV
T
T
T
S
P
V
T
V
P
S
V
U
S
T
V
T
S
U
P
U
T
V
P
V
T
S
P
S
V
T
S
T
V
U
S
U
P
U
TP
VS
VS
TU
TP
TU
P
U
),(
),(
),(
),(
),(
),(
 
 11 
( )
TTT
T
TPT
TSPVTPT
TPVPTS
PPVPPS
T
PTPPVST
P
VPV
P
U
P
H
VTP
P
U
P
VP
T
VT
P
U
P
V
V
ST
T
V
S
VP
P
VP
T
VT
P
U
P
V
T
S
S
TP
T
S
P
V
V
TT
T
V
T
V
S
TP
TV
T
V
V
TT
P
U
T
S
P
V
T
V
T
V
S
TP
V
TT
P
U






∂
∂
+=





∂
∂
−





∂
∂
−=





∂
∂






∂
∂
−





∂
∂
−=





∂
∂












∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂
−





∂
∂
−





∂
∂
−=





∂
∂


















∂
∂






∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂






∂
∂
−
=





∂
∂
=











∂
∂






∂
∂
−





∂
∂






∂
∂
−×











∂
∂
+





∂
∂
=





∂
∂
βκ
 
 
Ex.9) dH = dU + d(PV) da definição de H. Aplicar a regra da expansão para mostrar 
a diferença entre
TP
H






∂
∂
 e
TP
U






∂
∂
: 
V
P
VP
P
U
P
H
P
PV
P
VP
P
U
P
H
P
PV
P
U
P
H
TTT
TTTT
TTT
+





∂
∂
=





∂
∂
−





∂
∂






∂
∂
+





∂
∂
=





∂
∂
−





∂
∂






∂
∂
+





∂
∂
=





∂
∂ )(
 
 
Ex. 10) Valores divulgados para os coeficientes do virial do vapor do isopropanal a 
200°C são: (res. pág. 70 – ITEQ) 
B = - 388 cm3/mol 
C = - 26000 cm6/mol2 
Calcular V e Z para o vapor do isopropanal a 200°C e 10 bar, através: 
a) da equação do gás ideal: 
( ) ( )
( )( ) molcmmolKbar
Kbarcm
P
RTV
RT
PVZ
33
77,3933
10
15,47314,83
1
===
==
 
 
 
 12 
b) RT
BP
RT
PVZ +== 1 : 
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
901,0
15,47314,83
77,354510
77,3545388
10
)(15,47314,83
1
3
3
333
=






==
=−=
+=
+=
molK
molK
barcm
cmbar
RT
PVZ
mol
cm
mol
cm
molKbar
KbarcmV
B
P
RTV
RT
BP
RT
PV
 
 
c) 21 V
C
V
B
RT
PVZ ++== : 
Para resolver este problema, deve-se usar o método da Iteração para o V: 
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 8866,015,47314,83
7423,348710
7423,3487
7439,3487
26000
7439,3487
3881
10
15,47314,83
7439,3487
7566,3487
26000
7566,3487
3881
10
15,47314,83
7566,3487
8538,3487
26000
8538,3487
3881
10
15,47314,83
8538,3487
6,3488
26000
6,3488
3881
10
15,47314,83
6,3488
3424,3494
26000
3424,3494
3881
10
15,47314,83
3424,3494
1598,3539
26000
1598,3539
3881
10
15,47314,83
1598,3539
77,3933
26000
77,3933
3881
10
15,47314,83
77,39330
1
3
3
)7(
3
27
3
26
3
25
3
24
3
23
3
22
3
21
3
0
21
===
=





−−



=
=





−−



=
=





−−



=
=





−−



=
=





−−



=
=





−−



=
=





−−



=
=⇒=






++=+
K
molK
barcm
mol
cmbar
RT
PV
Z
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmVi
V
C
V
B
P
RTV
melhor
ii
i
 
 
 
 
 13 
 
Ex. 11) Sabendo-se que a pressão de vapor do cloreto de metila a 60°C é de 13,76 
bar, use a equação de Redlich/Kwong para estimar os volumes molares do vapor 
saturado e do líquido saturado nestas condições. Dados Tc = 416,3°C; P c = 66,8 bar. 
(res. pág. 75 – ITEQ). 
 
- 1° Etapa: calcular os valores das constantes a e b, através dos valores de Tc e Pc: 
( )( ) ( )
( )
( )( )( )
( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) 428,53040515,33376,13 105641,176,13
15,33314,83891,44891,44
891,44
80,66
3,41614,8308664,008664,0
8
105641,1
80,66
3,41614,8342748,042748,0
64
27
8
2
2
3
2
6
8
5,225,2222
3
2
1
3
2
1
3
−=
×
−+=
=−+=
====
×====
Kbarbar
K
c
PT
a
P
bRTbc
mol
cm
bar
K
P
RT
P
RTb
Kmol
barcm
bar
K
P
TR
P
TR
a
molK
barcm
molK
barcm
C
C
C
C
molK
barcm
C
C
C
C
 
- 2° Etapa: calcular o valor do volume molar do vap or saturado através do método 
da iteração, substituindo na formula: 
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
i
mol
cm
i
i
i
ii
i
molK
barcm
i
ii
i
i
V
V
V
V
V
V
V
V
P
RTVVonde
mol
cmVVbarK
mol
cmV
Kmol
barcm
mol
cm
bar
KV
bVPVT
bVab
P
RTV
3
33
33
3
3
33
33
3
3
33
33
3
3
33
33
3
3
3
2
1
2
13
2
1
13,1713
891,4453,1714
891,4453,1714
53,1714
45,62278383,2057
53,1714
891,4493,1721
891,4493,1721
93,1721
45,62278383,2057
93,1721
891,4494,1761
891,4494,1761
94,1761
45,62278383,2057
94,1761
891,449426,2012
891,449426,2012
9426,2012
45,62278383,2057
891,44
891,4445,62278383,2057
9426,2012:
891,4476,1315,333
891,44105641,1
891,44
76,13
15,33314,83
4
3
2
1
1
0
3
3
2
6
8
3
1
1
=





+
−
−=
=





+
−
−=
=





+
−
−=
=





+
−
−=
=





+
−
−=
===






−






−×
−+=
=
+
−
−+=
+
+
 
 
 
 14 
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
V
V
3
33
33
3
3
33
33
3
81,1712
891,4486,1712
891,4486,1712
86,1712
45,62278383,2057
86,1712
891,4413,1713
891,4413,1713
13,1713
45,62278383,2057
5
5
=





+
−
−=
=





+
−
−=
 
Após 5 iterações, o melhor valor obtido foi de 1712,81 cm3/mol com erro relativo de 
2,98 x 10-3 %. 
 
- 3° Etapa: calcular o valor do volume molar do líq uido saturado através do método 
da iteração, substituindo na formula: 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
mol
cmV
molcmbVVonde
VVV
PT
abV
P
RTV
c
V
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
mol
cm
i
ii
i
iii
3
23
10
3
23
9
3
23
8
3
23
7
3
23
6
3
23
5
3
23
4
3
23
3
3
23
2
3
231
3
0
23
1
23
1
31,71
428,530405
0,2795731629,7194,201229,71
29,71
428,530405
0,2795731625,7194,201225,71
25,71
428,530405
0,2795731616,7194,201216,71
16,71
428,530405
0,2795731699,7094,201299,70
99,70
428,530405
0,2795731667,7094,201267,70
67,70
428,530405
0,2795731602,7094,201202,70
02,70
428,530405
0,2795731672,6894,201272,68
72,68
428,530405
0,2795731604,6694,201204,66
04,66
428,530405
0,2795731618,6094,201218,60
18,60
428,530405
0,279573169,4494,20129,44
/9,44:
428,530405
0,2795731694,2012
1
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
2
1
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
===
=
−
−−
=






−−=
+
+
 
Após 10 iterações, o melhor valor obtido foi de 71,31 cm3/mol com erro relativo de 
3,14 x 10-2 %. 
 15 
Ex. 12) Determine o volume molar do n-butano a 510 K e 25 bar, através dos 
seguintes procedimentos: (a) Equação do gás ideal. ( )( )
mol
cm
bar
K
molK
barcm
P
RTV
3
3
1,1696
25
51014,83
===
 
 
(b) Correlação generalizada para o fator de compressibilidade. 
- Usando os valores de Tc = 425,1K e Pc = 37,96 bar, tabelados, para o calculo de Pr 
e Tr: 
659,0
96,37
25200,1
1,425
510
===⇒===
bar
bar
P
PP
K
K
T
TT
C
r
C
r 
- Interpolando os valores tabelados de Z0 e Z1, para isso pode-se usar um polinômio 
de primeira ordem afim de reduzir o esforço de calculo com relativa precisão: 
( )
( )
( )
( ) =−
−
+
−
−
=
12
21int
21
12int
xx
yxx
xx
yxx
xnovo 
- Encontrando, assim Z0 = 0,865 e Z1 = 0,038, calcular Z com ω = 0,200: 
( )( ) 873,0038,0200,0865,010 =+=+= ZZZ ω
 
- Agora sim é possível calcular o volume através de: 
 
( )( )( )
mol
cm
bar
K
mol
barcm
P
ZRTV
3
3
7,1480
25
51014,83873,0
===
 
 
(c) Correlação generalizada para o coeficiente do virial. 
- Calcular os valores de B0 e B1, através de: 
( )( )( )
mol
cm
bar
K
mol
barcm
P
ZRTV
T
P
RT
BPZ
BB
RT
BP
T
B
T
B
r
r
C
C
C
C
r
r
3
3
10
2,42,4
1
6,16,1
0
8,1490
25
51014,83879,0
879,0
200,1
659,0220,011
220,0)059,0)(200,0(232,0
059,0
659,0
172,0139,0172,0139,0
232,0
2,1
422,0083,0422,0083,0
===
=−=





+=
−=+−=+=
=−=−=
−=−=−=
ω
 
EX. 13) Estudando o seguinte ciclo reversível de 4 etapas de 1 kg de ar,assumindo 
que se comporta como gás ideal. 
• compressão isotérmica do estado 1 (p1= 1 bar, T1 = 350 K) para o estado 2(p2 
= 8 bar, T1) 
• aquecimento isobárico do estado 2 para o 3 (T3 = 1400 K) 
• expansão adiabática do estado 3 para o estado 4 
 16 
• resfriamento isobárico do estado 4 para o estado inicial 1 
1. Calcule a capacidade calorífica da unidade de massa do ar à pressão 
constante e a pressão, o volume e a temperatura dos quatro estados. 
2. Encontre a eficiência eη de uma máquina baseada neste processo cíclico. 
Compare o resultado com a eficiência de uma máquina de Carnot operando 
com duas fontes de calor correspondendo às temperaturas extremas do gás no 
ciclo estudado. 
3. Encontre para cada etapa do ciclo as variações de 4U e 4S. Verifique que 
4Uciclo = 0 e 4Sciclo = 0 
 
Em 0oC e 1 atm, um mol de gás tem volume de 22,415 l e 1 l de ar pesa 1,29 g. 
1) a capacidade calorífica de 1 kg de ar a pressão constante é: 
 
 
 17 
 
2) o trabalho realizado sobre o sistema durante o ciclo proposto é: 
 
O trabalho é negativo, o que indica que o sistema fornece trabalho para a 
vizinhança. O gás recebe calor durante o processo 2 para 3: 
 
A eficiência do ciclo é: 
 
A eficiência de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas 
extremas é: 
 
 
 
 
 18 
3) a capacidade calorífica do ar a volume constante é: 
 
A variação da energia interna em cada etapa é: 
 
A variação da entropia em cada etapa é: 
 
 
EX. 14) Usando a equação de estado de um gás ideal e algumas das relações 
de Maxwell, escreva a expressão diferencial para a entropia, dS considerada 
sendo uma função de V e T. Assumindo que CV é independente da 
temperatura, escreva a equação para S como uma função de V e T. 
Solução: 
A expressão diferencial para a entropia é: 
 19 
 
De relações de Maxwell e da equação de estado de gases ideais: 
 
Substituido-se na equação diferencial, obtém-se em função de V e T: 
 
A equação para S vem da integração da equação diferencial. Assumindo-se 
que Cv é independente da temperatura: