03 4 Cinemática Vetorial

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Cinemática Vetorial
1. Vetores e escalares
 Grandezas Escalares: São grandezas que ficam completamente definidas quando informamos um número e uma unidade.
	Ex: Temperatura, Tempo, Pressão, ... 
 Grandezas Vetoriais: São grandezas que necessitam de informações complementares, além do número e a unidade, como a direção e o sentido.
	Ex: Posição, Deslocamento, Velocidade, Aceleração, Força, ... 
1.1. Característica de um Vetor
 Módulo ou Intensidade: Corresponde ao comprimento do vetor.
 Direção: Dada pela linha suporte ao vetor. Ex: Norte-sul ou sul-norte, leste-oeste ou oeste-leste, sudoeste-nordeste ou nordeste-sudoeste , horizontal, vertical, ... .
 Sentido: Dado pela escolha de uma orientação sobre a reta suporte (indicação na extremidade da seta). Ex: (de sul para o norte ou somente norte, ...)
Módulo
Direção
Sentido
1.2. Vetores
Definição: São segmentos de reta orientados, que possuem módulo, direção e sentido.
1.3. Vetores – Operações e Propriedades
 Adição de vetores – Método gráfico
 Regra do polígono: Ligam-se os vetores origem com extremidade: O vetor soma ( ) é então tomado ligando-se a origem do 1º vetor com a extremidade do último vetor. 
Dados os três vetores:
Dados os três vetores
 Propriedade comutativa.
Soma de vetores.
O vetor soma é dado por
Utilizando o método do polígono, temos
Representando agora o vetor 
Verifica-se que os vetores e são idênticos. Portanto a ordem dos vetores não altera a soma.
Regra do paralelogramo: Os dois vetores a serem somados devem estar unidos pela origem. 
Dados os dois vetores:
Portanto, verifica-se que a diferença entre dois vetores é igual a soma 1º vetor com o vetor oposto do 2º .
O vetor oposto possui, mesmo módulo, mesma direção, porém com sentido contrário. Ele deve atender a condição:
Isto implica que
Dados os três vetores:
Podemos escrever: 
O vetor diferença é dado por:
 Subtração (diferença) de vetores.
 Vetor oposto e vetor nulo.
O vetor nulo possui módulo (tamanho) igual a zero.
 Uma Breve revisão de Matemática.
Definições:
Teorema de Pitágoras:
Lei dos cossenos:
Lei dos cossenos:
Podemos colocar o ponto de encontro da origem dos vetores na origem de um sistema cartesiano, assim 
Como vimos podemos representar a soma de dois vetores e como
Utilizando funções trigonométricas podemos escrever
Adotando um referencial qualquer ,temos:
 Decomposição de vetores.
Soma de vetores - Decomposição de vetores
OBS: Nesta última relação não foram ainda considerados os sentidos de cada componente
Seja 
A soma desses vetores é 
Portanto 
Define-se o vetor deslocamento como sendo o vetor com origem na posição inicial e com extremidade na posição final, ou seja 
A trajetória é representada pelo caminho percorrido pelo corpo. 
Vetor Deslocamento
(trajetória)
Velocidade Vetorial Média
Define-se como
Velocidade Escalar Média
Define-se como
Velocidade Vetorial Instantânea
Define-se como:
Velocidade Escalar
Define-se como sendo o módulo da velocidade instantânea.
Aceleração Vetorial Média
Define-se aceleração como a medida da rapidez com que a velocidade varia com o passar do tempo. 
(aceleração média)
(velocidade instantânea)
Aceleração Vetorial Instantânea
Define-se como
(aceleração instantânea)
Classifica-se o movimento em (em um único sentido):
 acelerado se o módulo v  v0 
 desacelerado/retardado se o módulo v  v0 
Casos Particulares
Aceleração constante – Movimento Uniformemente Variado 
Integrando temos
Por comodidade utilizaremos que t0 = 0s, assim
Mas ainda temos que:
Integrando temos
(Função horária da posição)
(Função horária da velocidade)
Equação de Torricelli
Em geral todas as situações para o MUV podem ser tratadas somente a partir das equações de movimento:
(função horária da posição)
( função horária da velocidade)
Más em alguns casos (quando não se tem o tempo), os problemas podem ser resolvidos mais rapidamente com o uso da Equação de Torricelli. Das equações acima temos:
Multiplicando as equações, temos:
(equação de Torricelli)
e
Para o caso em que a aceleração é nula (velocidade constante) – Movimento Uniforme
O movimento uniforme é aquele no qual a velocidade escalar instantânea é constante, ou seja, um corpo percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais.
Neste caso teremos:
(Função horária da posição)
Gráfico no MU
v
t0
t
s  A
(m/s)
(s)
v2
t0
t
v1
s1  A1
s2  A2
(s)
(m/s)
t1
v
t0
t
(m/s)
(s)
s  A
A expressão
v versus t.
s
t0
t
(m)
(s)
s0


(velocidade média é igual a instantânea)
(velocidade média)
(velocidade instantânea)
s
t0
t
(m)
(s)
s0



Aceleração de queda livre