(1) MTM A

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Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 1 
UNIDADE 1 
 
ARITMÉTICA BÁSICA 
 
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO 
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é 
múltiplo de a e b. 
 
Exemplo: Múltiplos de 3 
 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} 
 
Observações: 
 O zero é múltiplo de todos os números. 
 Todo número é múltiplo de si mesmo. 
 Os números da forma 2k, k  N, são números 
múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. 
 Os números da forma 2k + 1, k  N, são números 
ímpares. 
 
DIVISOR DE UM NÚMERO 
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e 
b são divisores c. 
 
Exemplo: Divisores de 12 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 
Observações: 
 O menor divisor de um número é 1. 
 O maior divisor de um número é ele próprio. 
 
Quantidade de divisores de um número 
 Para determinar a quantidade de divisores de um número 
procede-se da seguinte forma: 
 
a) Decompõem-se em fatores primos o número 
dado; 
b) Tomam-se os expoentes de cada um dos fatores e 
a cada um desses expoentes adiciona-se uma 
unidade; 
c) Multiplicam-se os resultados assim obtidos. 
 
Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 
 90 = 21 . 32 . 51 
 
 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 
 
 Logo, 90 possui 12 divisores 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
Divisibilidade por 2 
Um número é divisível por 2 se for par. 
Exemplos: 28, 402, 5128. 
 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 se a soma dos valores 
absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. 
Exemplos: 18, 243, 3126. 
 
Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos 
forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 
00. 
Exemplos: 5716, 8700, 198200. 
 
 
Divisibilidade por 5 
Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 
ou 5. 
Exemplos: 235, 4670, 87210. 
 
Divisibilidade por 6 
Um número é divisível por 6 se for simultaneamente 
divisível por 2 e 3. 
Exemplos: 24, 288, 8460. 
 
Divisibilidade por 7 
Processo prático: Veja o número 4137 
 
1º Passo: separa-se o último algarismo e dobra-se o seu 
 valor. 
 4137  7  2 x 7 = 14 
 
2º Passo: subtrai-se o número assim obtido do número que 
 restou após a separação do último algarismo. 
 413 – 14 = 399 
 
3º Passo: procede-se assim até se obter um número 
 múltiplo de 7. 
 
 399  9  2 x 9 = 18 
 
 39 – 18 = 21 
 
 21  1  2 x 1 = 2 
 
 2 – 2 = 0 
 
 Logo 4137 é múltiplo de 7 
 
Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos 
forem divisíveis por 8 ou forem três zeros. 
Exemplos: 15320, 67000. 
 
Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus 
algarismos for um número divisível por 9. 
Exemplos: 8316, 35289. 
 
Divisibilidade por 10 
Um número é divisível por 10 se o último algarismo for 
zero. 
Exemplos: 5480, 1200, 345160. 
 
NÚMEROS PRIMOS 
Um número p, p  0 e p  1 é denominado número primo 
se apresentar apenas dois divisores, 1 e p. 
 
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..... 
 
Observação: Um número é denominado composto se não 
 for primo. 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) 
de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal 
que p seja o menor número divisível pelos números em 
questão. 
 
Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. 
 
Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} 
 M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} 
 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
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Processo 2: 
6 – 8 
3 – 4 
3 – 2 
3 – 1 
1 – 1 
2 
2 
2 
3 
 
 
 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou 
mais números o maior dos seus divisores comuns. 
 
Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 
 
Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 
 D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} 
 
 Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. 
 
Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 
 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 
 Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. 
 
Exercícios de Sala  
 
1. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites 
artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o 
desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos 
rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 
03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em 
uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. 
Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 
dias para darem uma volta completa em torno da Terra, 
então o número de dias para o próximo alinhamento é: 
 
2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, 
respectivamente. O valor de x. y é: 
 a) 240 c) 100 e) 230 
b) 120 d) 340 
 
3. O número de divisores naturais de 72 é: 
a) 10 c) 12 e) 14 
b) 11 d) 13 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. 
Determine: 
a) M.M.C entre A e B 
b) M.D.C entre B e C 
c) M.M.C entre A, B e C 
d) M.D.C entre A, B e C 
 
2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, 
respectivamente. O valor de x. y é: 
 a) 240 c) 120 e) 230 
b) 720 d) 340 
 
3. Determine o número de divisores naturais dos números 
 a) 80 b) 120 
 
4. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 
segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois 
ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se 
encontrar de novo no ponto de partida, levando em 
consideração ambas as velocidades constantes? 
 
5. Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 
324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. 
Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguais 
de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada 
faixa medirá na frente: 
a) 12 m c) 24 m e) 36 m 
b) 18 m d) 30 m 
 
Tarefa Complementar 
 
6. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a 
cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a 
cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro 
alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? 
a) 240 horas c) 32 horas e) 320 horas 
b) 120 horas d) 360 horas 
 
7. Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90 
cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim 
tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua 
medirá: 
a) 10 cm c) 8 cm e) 4 cm 
b) 6 cm d) 12 cm 
 
8. Sejam os números 
 A = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52 
 
Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem 
respectivamente: 
a) 180 e 60 d) 1800 e 60 
b) 180 e 600 e) n.d.a. 
c) 1800 e 600 
 
9. (Santa Casa-SP) Seja o número 717171x, onde x indica 
o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é 
divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir 
é: 
a) 0 c) 4 e) 8 
b) 2 d) 6 
 
10. (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo? 
a) 121 c) 362 e) n.d.a. 
b) 401 d) 201 
 
11. (PUC-SP) Um lojista dispõe de três peças de um 
mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. 
Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja 
vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a 
largura das peças e o maiorcomprimento possível, de 
modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos 
ele deverá obter? 
 
12. (UEL-PR) Seja p um número primo maior que 2. É 
verdade que o número p2 – 1 é divisível por: 
a) 3 c) 5 e) 7 
b) 4 d) 6 
 
13. Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o 
mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. 
O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale: 
 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
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14. (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de 
zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito 
é: 
a) 6 c) 15 e) 24 
b) 12 d) 18 
 
15. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais 
três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, 
42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos 
pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos 
com as três vigas é: 
a) 18 c) 210 e) 20 
b) 21 d) 180 
 
 UNIDADE 2 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Conjunto dos Números Naturais 
 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
 
Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto 
N* ( naturais sem o zero ) 
N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
 
 a, b  N, (a + b)  N e (a . b)  N 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
Os números inteiros surgiram com a necessidade de 
calcular a diferença entre dois números naturais, em que o 
primeiro fosse menor que o segundo. 
 
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 
 
Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros 
Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } 
Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } 
Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } 
Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} 
Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 } 
 
 a, b  Z, (a + b)  Z, (a . b)  Z e (a – b)  Z 
 
 
Conjunto dos Números Racionais 
Os números Racionais surgiram com a necessidade de 
dividir dois números inteiros, onde o resultado era um 
número não inteiro. 
 
 Q = { x | x

a
b
, com a  Z, b  Z* } 
 
Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de 
fração é um número racional. 
São exemplos de números racionais: 
a) Naturais 
b) Inteiros 
c) decimais exatos ( 0,2 = 
2
10
 ) 
d) dízimas periódicas ( 0,333... = 
1
3
 ) 
As quatro operações são definidas nos racionais. 
Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto 
quando o numerador for zero também). 
 
Geratrizes de uma dízima periódica 
Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se 
chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de 
uma dízima periódica, procedemos assim: 
 
a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário 
cujo numerador é o algarismo que representa a parte 
periódica e o denominador é um número formado por 
tantos noves quantos forem os algarismos do período. 
 
Exemplos: 
 
a) 0777...= 
9
7
 
b) 0,333....= 
3
1
9
3

 
c) 0,434343... = 
99
43
 
 
b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário 
cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica 
seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o 
denominador é um número formado de tantos noves 
quantos são os algarismos do período, seguido de tantos 
zeros quantos são os algarismos da parte não periódica. 
 
Exemplos: 
a) 0,3777... = 
45
17
90
34
90
337


 
 
b) 0,32515151... = 
3300
1073
9900
3219
9900
323251


 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
Apesar de que entre dois números racionais existir sempre 
um outro racional, isso não significa que os racionais 
preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. 
Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1. 
Calcular o valor da hipotenusa. 
 
 x 
1 
 
 1 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 
x2 = 12 + 12 
x = 
2
 
 
Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é 
natural, inteiro, nem racional, surge então os números 
irracionais. 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 4 
Os números irracionais são aqueles que não podem ser 
colocados em forma de fração, como por exemplo: 
a)  = 3,14... 
b) e = 2, 71... 
c) toda raiz não exata 
 
Conjunto dos Números Reais 
Os números reais surgem da união dos números racionais 
com os irracionais. 
 
QUADRO DE RESUMO 
  
 
 Q I 
 Z 
 N 
 
 
 
Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos 
reais. Porém, é necessário saber que existem números que 
não são reais, estes são chamados de complexos e serão 
estudados mais detalhadamente adiante. 
 
PROPRIEDADES EM  
 
 Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a 
 Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) 
 Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a 
 Simétrico: a + (– a) = 0 
 Inverso: a . 
a
1
 = 1, a  0 
 
INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE 
UM NÚMERO REAL 
 
INTERVALOS NUMÉRICOS 
Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de . 
Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos 
a seguir: 
 {x  R| p  x  q} = [p, q] 
 {x  R| p < x < q} = ]p, q[ 
 {x  R| p  x < q} = [p, q[ 
 {x  R| p < x  q} = ]p, q] 
 {x  R| x  q} = [q, [ 
 {x  R| x > q} = ]q, [ 
 {x  R| x  q} = ] -, q] 
 {x  R| x < q} = ] -, q[ 
 
Os números reais p e q são denominados, respectivamente, 
extremo inferior e extremo superior do intervalo. 
 
Observações 
 O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x} 
 O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { } 
 O intervalo (  , +  ) representa o conjunto dos 
números reais (R) 
 (x, y) = ]x, y[ 
Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras: 
 
Notação de conjunto. Exemplo: {x  R| 2 < x  3} 
 
Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3] 
 
Representação Gráfica. 
Exemplo: 
 
Veja outros exemplos: 
1) {x  R| x > 2} = ]2, [ 
 
 
 
2) {x  R| x  1} = ] -, 1] 
 
 
 
3) {x  R| 3  x < 4} = [3, 4[ 
 
 
 
 
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
Módulo ou valor absoluto de um número real x é a 
distância da origem ao ponto que representa o número x. 
Indicamos o módulo de x por | x |. 
 
Definição 
 






 0 x se x,-
0 x se ,x
x
 
 
Exemplos: 
a) como 3 > 0, então | 3 | = 3 
 
b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3 
 
Propriedades 
 | x |  0 
 | x |2 = x2 
 
||2 xx 
 
 |x – y| = |y – x| 
 |x . y| = | x |. | y | 
 
y
x
y
x

 
 
Equação Modular 
 
Equação Modular é a equação que possui a incógnita x 
em módulo. 
Tipos de equações modulares: 
 
Exemplo 1: | x | = 3 
 x = 3 ou x = -3 
 S = {-3, 3} 
 
Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 
 x + 2 = 6 ou x + 2= - 6 
 x = 4 ou x = - 8 
 S = {-8, 4} 
 | x | = k, com k > 0, então: x = k ou x =  k 
 
Inclusãopara a vida Matemática A 
 
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Exemplo 1: | x | = - 3 
 S =  
 
Exemplo 2: |x + 2| = -10 
 S =  
 
Inequação Modular 
 
Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x |  k, 
| x | > k, | x |  k denominam-se inequações modulares. 
 
Tipos de inequações modulares: 
 
 
Exemplos: | x | < 3  – 3 < x < 3 
 | x | < 10  – 10 < x < 10 
 
 
 
Exemplos: | x | > 3  x < – 3 ou x > 3 
 | x | > 10  x < –10 ou x > 10 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Calcule o valor das expressões abaixo: 
a) 













3
1
5
2
8
1
4
3
 
 
b) 













3
4
1:
5
3
2
 
 
2. (PUC-SP) Considere as seguintes equações: 
I - x2 + 4 = 0 
II - x2 – 4 = 0 
III - 0,3x = 0,1 
 
Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: 
a) II são números irracionais. 
b) III é um número irracional. 
c) I e II são números reais. 
d) I e III são números não reais. 
e) II e III são números racionais. 
 
3. Resolva em  as seguintes equações: 
 
a) | x | = 3 d) |x + 2| = –3 
 
b) |2x – 1| = 7 e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0 
 
c) |x2 –5x | = 6 
Tarefa Mínima  
 
1. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir: 
a) {x  N| x é divisor de 12} 
b) {x  N| x é múltiplo de 3} 
c) {x  N| 2 < x  7} 
d) {x  Z| - 1  x < 3} 
e) {x| x = 2k, k  N} 
f) {x| x = 2k + 1, k  N} 
 
2. As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717... 
são respectivamente: 
 
23 23 20 43 23 43
a) e b) e c) e
100 99 99 99 99 198
1 1 2 1
d) e e) e
3 10 10 5
 
 
3. (ACAFE) O valor da expressão ,
1
2.


c
cba
 quando 
a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a: 
 
4. Resolva em  as seguintes equações: 
 
a) |x| = 10 c) |x – 2| = -3 
 
b) |x + 1| = 7 d) x 2 + 3 x - 4 = 0 é: 
 
5. A solução da inequação 
5)12( 2 x
 
a) {x  | – 2  x  3} 
b) {x  | – 1  x  6} 
c) {x  | x  3} 
d) {x  | x  7} 
e) {x  | – 3  x  2} 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (FATEC-SP) Se a = 0,666..., b = 1,333... e 
c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a: 
 
7. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o 
irracional y, pode-se dizer que: 
a) x.y é racional. 
b) y.y é irracional. 
c) x + y racional. 
d) x - y + 
2
é irracional. 
e) x + 2y é irracional. 
 
8. (FUVEST) Na figura estão representados 
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a 
posição do número xy? 
 
a) à esquerda de 0 d) entre y e 1 
b) entre zero e x e) à direita de 1 
c) entre x e y 
 
9. Determine a soma dos números associados às 
proposições corretas: 
 
01. É possível encontrar dois números naturais, ambos 
divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro 
deixe resto 39. 
02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b 
sendo um número ímpar, então a é par. 
04. O número 
257 
 é real. 
 | x | = k, com k = 0, então: x = 0 
 
 | x | = k, com k < 0, então: não há solução 
| x | < k, com k > 0, então:  k < x < k 
| x | > k, com k > 0, então: x < k ou x > k 
 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 6 
08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos 
tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos 
outros dois. 
16. o número 247 é um número primo. 
 
10. A expressão|2x – 1| para x < 
2
1
 é equivalente a: 
a) 2x – 1 d) 1 + 2x 
b) 1 – 2x e) – 1 
c) 2x + 1 
 
11. Assinale a alternativa correta: 
a) Se x é um número real, então 
2x
 |x | 
b) Se x é um número real, então existe x, tal que 
 |x| < 0 
c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, 
 então |a + b| = |a| + |b| 
d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, 
 então |a + b| > |a| + |b| 
e) | x | = x, para todo x real. 
12. (UFGO) Os zeros da função f(x) = 
2 1
5
3
x 

 são: 
a) 7 e 8 c) 7 e 8 e) n.d.a. 
b) 7 e 8 d) 7 e 8 
 
13. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos está contida 
no conjunto solução da inequação 
1)1( 2  x
? 
a) {x  R  - 5  x  - 1} 
b) {x  R  - 4  x  0} 
c) {x  R  - 3  x  0} 
d) {x  R  - 2  x  0} 
e) Todos os conjuntos anteriores 
 
 UNIDADE 3 
 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES 
 
DEFINIÇÃO 
Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau 
quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a 
diferente de zero. 
 
RESOLUÇÃO 
Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9. 
Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O 
número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação 
 Duas equações que têm o mesmo conjunto solução 
são chamadas equivalentes. 
 
PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA 
IGUALDADE 
 
Se: a = b então para m  a + m = b + m 
Se: a = b então para m  0  a . m = b . m 
 
 
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Inequações são expressões abertas que exprimem uma 
desigualdade entre as quantidades dadas. 
Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita 
na forma: 
ax + b > 0 ax + b < 0 
ax + b  0 ax + b  0 
 
Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio 
aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: 
 
Se: a > b então para m  a + m > b + m 
Se: a > b então para m > 0  a . m > b . m 
Se: a > b então para m < 0  a . m < b . m 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Resolva em R as seguintes equações e inequações: 
 
a) ax + b = 0, com a  0 
 
b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) 
 
c) 
10
4
32
3
1



 xx
 
d) 502x = 500x 
 
e) 0.x = 0 
 
f) 0.x = 5 
 
g) 
8
3x
2
1x


 
 
2. Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da 
equação 5x + 2m = 20 
 
3. Resolva em R, o seguinte sistema: 





232
13
yx
yx
 
 
Tarefa Mínima 
 
1. Resolver em R as equações: 
a) 6x – 6 = 2(2x + 1) 
b) 2(x + 1) = 5x + 3 
c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 
d) 2(x – 2) = 2x – 4 
e) 3(x – 2) = 3x 
f) 
4
1
32
1

 xx
 
 
2. A solução da equação 
x
2
1x
3
x



 é: 
 
a) x = – 2 c) x = 3 e) x = 1 
b) x = – 3 d) x = 2 
 
3. (FGV–SP) A raiz da equação 
1
4
12x
3
1x




 é: 
a) Um número maior que 5. 
b) Um número menor que – 11. 
c) Um número natural. 
d) Um número irracional. 
e) Um número real. 
 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 7 
4. Determine a solução de cada sistema abaixo: 
a) 





3
32
yx
yx
 b) 





1
5
yx
yx
 c) 





122
13
yx
yx
 
 
5. Resolva em R as inequações: 
a) 3(x + 1) > 2(x – 2) c) 
4
1
2
x
3
1

 
b) 
2
3x
4
10x


 
Tarefa Complementar 
 
6. O valor de x + y em 





14y7x
213y2x
 é: 
 
7. Obtenha o maior de três números inteiros e 
consecutivos, cuja soma é o dobro do menor. 
 
8. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do 
intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x + 
3  2 e 2x - 1  17; é: 
 
9. As tarifas cobradas por duas agências de locadora de 
automóveis, para veículos idênticos, são: 
 Agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 
por quilômetro rodado. 
 Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 
por quilômetro rodado. 
Seja x o número de quilômetros percorridos duranteum 
dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que 
seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência 
AGENOR do que na agência TEÓFILO. 
 
10. (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal 
que 5 m + 24 > 5500 e 
5
8

m + 700 > 42 – m, é: 
11. (UFSC) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 
1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de 
123,50, independente da quantidade de objetos produzidos. 
O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número 
mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que 
recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é: 
 
12. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 
anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do 
filho. A idade do pai será: 
 
13. (UFSC) Na partida final de um campeonato de 
basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma 
diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe 
vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas 
equipes estão na razão de 23 para 21? 
 
14. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de 
bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si 
metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro 
menino também tirou para si metade dos bombons que 
encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule 
quantos bombons havia inicialmente na caixa. 
15. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em 
um de seus vagões um certo número de passageiros. Na 
primeira parada não subiu ninguém e desceram desse 
vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número 
de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda 
parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse 
vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de 
homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros 
no vagão no início da viagem? 
 
 UNIDADE 4 
 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode 
ser reduzida a forma: 
 
ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a  0. 
RESOLUÇÃO 
 
1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b 
 for igual a zero procede-se assim: 
 
 ax2 + c = 0 
 ax2 =  c 
 x2 = 
a
c

 
 x =  
a
c

 
 S = 







a
c
a
c
,
 
 
2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c 
 for igual a zero procede-se assim: 
 
 ax2 + bx = 0 
 x(ax + b) = 0 
 x = 0 ou ax + b = 0 
 S = {0, 
a
b

} 
3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c  0 
 aplica-se a fórmula de Bháskara 
 
 x = 
2a
Δb 
 onde: 

= b2 – 4ac 
 
 Nessa fórmula, 

= b2 – 4ac é o discriminante da 
 equação, o que determina o número de soluções 
 reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações: 
 
 

 > 0. Existem duas raízes reais e distintas 
 

 = 0. Existem duas raízes reais e iguais 
 

 < 0. Não há raiz real 
 
 
 
 
 
 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 8 
RELAÇÕES DE GIRARD 
 Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se: 
 
x1 + x2 = 
a
b

 x1 . x2 = 
a
c
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Resolva, em reais, as equações: 
 
a) 2x2 – 32 = 0 c) 2x2 – 5x – 3 = 0 
 
b) x2 – 12x = 0 
 
2. Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x. 
Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e 
iguais? 
a) 0 e 4 d) 1 e 3 
b) 0 e 2 e) 1 e 4 
c) 0 e 1 
 
3. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0, 
determine: 
a) x1 + x2 b) x1 . x2 
c) 
2x
1
1x
1

 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Resolva em R, as equações: 
a) x2 – 5x + 6 = 0 
b) – x2 + 6x – 8 = 0 
c) 3x2 – 7x + 2 = 0 
d) x2 – 4x + 4 = 0 
e) 2x2 – x + 1 = 0 
f) 4x2 – 100 = 0 
g) x2 – 5x = 0 
 
2. Os números 2 e 4 são raízes da equação: 
a) x2 – 6x + 8 = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0 
b) x2 + x – 6 = 0 e) x2 + 6x – 1 = 0 
c) x2 – 6x – 6 = 0 
 
3 (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação 2x2 
– 2x + 1 = 0? 
a) 0 c) 2 e) 4 
b) 1 d) 3 
 
4. A soma e o produto das raízes da equação 
2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente: 
a) 3 e 4,5 d) 4,5 e 5 
b) 2 e 4 e) n.d.a. 
c) – 3 e 2 
 
5. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0. 
Obtenha 
2x
1
1x
1

 
 
Tarefa Complementar  
6. Resolver em R a equação 
1
1x
1
1
2
x
2




 
 
7. A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é: 
a) 
3
 b) 2 c) 3 d) 1 e) 
2
 
 
8. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, 
determine a soma dos números associados às proposições 
verdadeiras: 
01. x1 e x2 são iguais 
02. x1 + x2 = 3 
04. x1 . x2 = 
2
3

 
08. 
2x
1
1x
1

= –2 
16. x12 + x22 = 12 
32. x12.x2 + x1.x22 = 
2
9

 
9. A solução da equação x – 3 = 
3x
 é: 
 
10. (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais 
que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6 
 
11. Determine a soma dos números associados às 
proposições corretas: 
 
01. Se a soma de um número qualquer com o seu 
 inverso é 5, então a soma dos quadrados desse 
 número com o seu inverso é 23. 
 
02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, 
 então o valor de x12.x2 + x1.x22 = 
2
9

 
04. Se x e y são números reais positivos, tais que 
 x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então, x + y vale 2 
 
08. Se x é solução da equação 
 x2 – 3 + 
32 x
 = 2, então, o valor de x4 = 16 
16. O valor de 2131 168  é 5 
 
12. Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2, 
raízes dessa equação, pode-se afirmar: 
01. x1  x2 
02. o produto das raízes dessa equação é 0,5 
04. a soma das raízes dessa equação é 3 
08. a soma dos inversos das raízes é 6 
16. a equação não possui raízes reais 
 
13. A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é: 
 a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1 
 
14. Assinale a soma dos números associados às 
proposições corretas: 
01. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3
2
 
02. A maior raiz da equação 3x2 – 7x + 2 = 0 é 2 
04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão 
 compreendidas entre 1 e 3 
08. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 9 
16. A equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais 
 
15. Determine o valor de x que satisfaz as equações: 
 a) 
xx  31
 
b) 
2123  xx
 
 
 UNIDADE 5 
 
ESTUDO DAS FUNÇÕES 
 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de 
A em B, essa relação será chamada de função quando todo 
e qualquer elemento de A estiver associado a um único 
elemento em B. 
 
Formalmente: 
 
f é função de A em B  (x  A,  y  B | (x, y)  f) 
 
Numa função podemos definir alguns elementos. 
 
 Conjunto de Partida: A 
 Domínio: Valores de x para os quais existe y. 
 Contra Domínio: B 
 Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x. 
 
 
 
Observações: 
 A imagem está sempre contida no Contra 
Domínio (Im  C.D) 
 Podemos reconhecer através do gráfico de uma 
relação, se essa relação é ou não função. Para 
isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada 
paralela interceptar o gráfico em apenas um 
ponto, teremos uma função. 
 O domíniode uma função é o intervalo 
representado pela projeção do gráfico no eixo das 
abscissas. E a imagem é o intervalo representado 
pela projeção do gráfico no eixo y. 
 
 
 Domínio = [a, b] Imagem = [c, d] 
 
 
 
 
Valor de uma Função 
Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor 
que a variável y assume quando a variável x é substituída 
por um valor que lhe é atribuído. 
Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor 
de x corresponde um único valor de y. 
Assim se x = 3, então y = 9. 
Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 
 
Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de 
 f(3) 
 
 Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 
 f(3) = 3 + 2 
 f(3) = 5 
 
Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o 
 valor de f(-1). 
 
 Resolução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos 
 fazer x = -1 
 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 
 f(-1) = 1 + 5 + 6 
 f(-1) = 12 
 
Exemplo 3: Dada a função f(x  1) = x2. Determine f(5). 
 
 Resolução: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6 
 f(6  1) = 62 
 f(5) = 36 
 
Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5). 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma 
dos números associados às proposições corretas: 
 
01. O domínio da função f é {x  R | - 3  x  3} 
02. A imagem da função f é {y  R | - 2  y  3} 
04. para x = 3, tem-se y = 3 
08. para x = 0, tem-se y = 2 
16. para x = - 3, tem-se y = 0 
32. A função é decrescente em todo seu domínio 
 
 
2. Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada 
função: 
a) y = 2x + 1 b) y = 
72
7
x
 
c) y = 
23 x
 d) y = 
22
3


x
x
 
 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 10 
3.
( )
2x -1, se x 0
5, se 0 x 5
2x 5x 6, se x 5
Seja f x


 



 
  
. 
 
Calcule o valor de: 
)6(
)()3(
f
ff 
 
 
Tarefa Mïnima  
 
1. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes gráficos não 
representa uma função f: R  R ? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
e) 
 
 
2. Assinale a soma dos números associados às proposições 
corretas: 
 
 
01. O domínio da função f é {x  R | - 2  x  2} 
02. A imagem da função f é {y  R | - 1  y  2} 
04. para x = -2 , tem-se y = -1 
08. para x = 2, tem-se y = 2 
16. A função é crescente em todo seu domínio 
 
3. Determine o domínio das seguintes funções: 
a) y = 
93
2
x
 b) y = 
3x
 
 
c) y = 
2
6


x
x
 d) y = 
3 5x
 
 
4. (UFSC) Considere as funções f: R  R e g: R  R 
dadas por f(x) = x2  x + 2 e g(x) =  6x + 
5
3
. Calcule 
f(
2
1
) + 
4
5
g(1). 
 
5. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e 
B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define 
uma função de A em B. 
a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} 
b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} 
c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} 
d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} 
e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)} 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFC) O domínio da função real y = 
7
2


x
x
 é: 
a) {x  R| x > 7} 
b) {x  R| x  2} 
c) {x  R| 2  x < 7} 
d) {x  R| x  2 ou x > 7} 
 
7. Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine: 
a) f(3) 
b) f(5) 
c) os valores de x, tal que f(x) = 0 
 
8. (USF-SP) O número S do sapato de uma pessoa está 
relacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu 
pé pela fórmula S = 
4
285 p
. Qual é o comprimento do 
pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41? 
 
a) 41 cm d) 29,5 cm 
b) 35,2 cm e) 27,2 cm 
c) 30,8 cm 
 
9. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago 
após um desconto de 3% sobre o valor x de uma 
mercadoria é: 
a) f(x) = x – 3 d) f(x) = - 3x 
b) f(x) = 0,97x e) f(x) = 1,03x 
c) f(x) = 1,3x 
 
10. ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = (a).f(b), 
quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é 
igual a: 
a) 3.f(x) d) [f(x)]3 
b) 3 + f(x) e) f(3) + f(x) c) f(x3) 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 11 
11. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preço da 
energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas: 
1ª . Parcela fixa de R$ 10,00; 
2ª . Parcela variável que depende do número de 
 quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa 
 R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor 
 pagou R$ 31,00, então ele consumiu: 
 
a) 100,33 kWh d) entre 65 e 80 kWh 
b) mais de 110 kWh e) entre 80 e 110 kWh 
c) menos de 65 kWh 
 
12. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxímetros 
marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT 
(unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro 
rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o 
taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros 
corridos foi: 
 
13. (UFSC) Dadas as funções f(x) = 3x + 5, 
g(x) = x2 + 2x  1 e h(x) = 7  x, o valor em módulo da 
expressão: 
  
1
4 4
2
1
h g
f ( )
  
  
  

 
 
14. (UFSC) Considere a função f(x) real, definida por f(1) 
= 43 e f(x + 1) = 2 f(x)  15. Determine o valor de f(0). 
 
15. (UDESC) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. 
Nessas condições, f(3x + 2) é igual a: 
 
UNIDADE 6 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x  R, 
associa o elemento ax + b. 
 
Forma: f(x) = ax + b com a  0. 
 
 a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. 
Gráfico 
 
O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e 
decrescente se a for negativo. 
 
 
Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é 
necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico. 
 
Interceptos: 
 Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer 
 x = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo y tem 
 coordenadas (0,b). 
 Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer 
 y = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem 
 coordenadas (

b
a
,0). O ponto que o gráfico corta o 
 eixo x é chamado raiz ou zero da função. 
 
RESUMO GRÁFICO 
 
 f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 
 
 
 
 Função crescente Função decrescente 
 
Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função 
 f(x) = – 3x + 1. 
 
Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o 
 gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o 
 eixo y em (0,1). 
 Para determinar o ponto que o gráfico corta o 
 eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0. 
 
 – 3x + 1 = 0 
 x = 
3
1
 
 Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem 
 coordenadas (
3
1
, 0) 
 
 
D =  C.D. =  Im =  
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função f de R em R é constantese, a cada x  R, 
associa sempre o mesmo elemento k  R. 
D(f) = R e Im (f) = k 
 
Forma: f(x) = k 
 
Gráfico: 
Exemplo: y = f(x) = 2 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 12 
 
D =  C.D. =  Im = {2} 
Exercícios de Sala  
 
1. Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais. 
Determine a soma dos números associados às 
proposições corretas : 
 
01. a reta que representa a função f intercepta o eixo 
 das ordenadas em (0,- 6) 
02. f(x) é uma função decrescente 
04. a raiz da função f(x) é 3 
08. f(-1) + f(4) = 0 
16. a imagem da função são os reais 
32. A área do triângulo formado pela reta que 
 representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18 
 unidades de área. 
 
2. (PUC-SP) Para que a função do 1º grau dada por f(x) = 
(2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter: 
 
) ) ) ) )    
2 2 2 2 2
a k b k c k d k e k
3 3 3 3 3
 
 
3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se 
que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8). 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Esboçar o gráfico das seguintes funções: 
a) f(x) = – x + 3 
b) f(x) = 2x + 1 
 
2. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa 
pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + 
n vale em módulo: 
 
3. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação 
gráfica correta para a função f(x) = ax + b é: 
 
 
4. (UFMA) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o 
eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, 
3), então f(x) é: 
a) f(x) = x  3 d) f(x) = 2x  1 
b) f(x) = x  4 e) f(x) = 3x  6 
c) f(x) = 2x  5 
 
5. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de 




t
ftf )()(
 
com t  . 
Tarefa Complementar  
 
6. (UCS-RS) Para que – 3 seja raiz da função 
f(x) = 2x + k, deve-se ter 
a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2 
 
7. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e 
intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a  2b é 
igual a: 
a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a. 
 
8. (Fuvest-SP) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em 
relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os 
eixos do sistema um triângulo cuja área é: 
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16 
 
9. O gráfico da função f(x) está representado pela figura 
abaixo: 
 
 Pode-se afirmar que f(4) é igual a: 
 
10. (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro 
gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de 
perfume, varia com a quantidade de perfume produzida 
(x). Assim, podemos afirmar: 
 
 
a) Quando a empresa não produz, não gasta. 
b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta 
 R$ 76,00. 
c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta 
 R$ 54,00. 
d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá 
 5 litros de perfume. 
e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa 
 gasta menos do que para fabricar o quinto litro. 
 
11. (UFSC) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 
como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é: 
 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 13 
12. O valor de uma máquina decresce linearmente com o 
tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 
R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu 
valor, em reais, daqui a três anos será: 
a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416 
 
13. (UFRGS) Considere o retângulo OPQR da figura 
baixo. A área do retângulo em função da abscissa x do 
ponto R é 
 
a) A = x2 – 3x d) A = - 2x2 + 6x 
b) A = - 3x2 + 9x e) A = 2x2 – 6x 
c) A = 3x2 – 9x 
 
14. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade, 
deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo 
apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função 
do tempo. 
Distância (em km)
Temp o (em horas)
 
Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu 
primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido 
exatamente: 
a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km 
 
 Estudo do vértice da parábola 
A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida 
em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo 
chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo 
com a parábola recebe o nome de vértice da parábola. 
 
 
 
 
 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0. 
 O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0. 
 
Coordenadas do vértice 
 
O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde 
 
 e
4a
=yv
2a
b
v
x


 
 
 
Imagem da função quadrática 
 Se a > 0, então Im = {y  R| y  


4a
} 
 Se a < 0, então Im = {y  R| y  


4a
} 
 
Resumo gráfico 
 
  > 0 
 
 
 
 
  = 0 
 
 
 
 
 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 14 
  < 0 
 
 
 
 
15. (UERJ) Considere a função f, definida para todo x real 
positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois meros 
positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), 
(b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2. f(x) = 
x
1
 
 
Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) 
e (3b, f(3b)) 
 
 UNIDADE 7 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 
 
Uma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada 
x  R associa o elemento ax2 + bx + c, com a  0 
 
Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a  0 
 
Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R 
é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada 
pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim, 
quando: 
 a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima 
 
 a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo 
 
Interceptos 
 O ponto que o gráfico corta o eixo y possui 
coordenadas (0,c) 
 Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, 
deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º 
grau ax2 + bx + c = 0, onde: 
 
ac4b onde ,
2a
Δb 2 

x
 
 Se  > 0  Duas Raízes Reais 
 Se  = 0  Uma Raiz Real 
 Se  < 0  Não possui Raízes Reais 
 
 
Estudo do vértice da parábola 
A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida 
em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo 
chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo 
com a parábola recebe o nome de vértice da parábola 
 
 
 
 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0. 
 O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0. 
 
Coordenadas do vértice 
 
O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde 
 
 e
4a
=yv
2a
b
v
x


 
 
Imagem da função quadrática 
 Se a > 0, então Im = {y  R| y  


4a
} 
 Se a < 0, então Im = {y  R| y  


4a
} 
 
 
Resumo gráfico 
 
  > 0 
 
 
 
 
 
  = 0 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 15 
 
  < 0 
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de 
 é correto afirmar: 
01. 2 e 4 são os zeros da função f 
02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1) 
04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos 
 números reais. 
08. A imagem da função é: { y  R| y   1} 
16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da 
parábola e seus zeros, é 4 unidades de área. 
 
2. Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu 
conjunto imagem. 
a) f:  , f(x) = x2 – 2x 
 
b)f:  , f(x) = – x2 + 4 
 
b) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x2 – 2x 
c) 
 
3. Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de  . 
Determine o valor de m para que o gráfico de f(x): 
a) tenha duas intersecções com o eixo 
b) tenha uma intersecção com o eixo x 
c) não intercepte o eixo x 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do 
vértice e a imagem de cada função. 
a) f:   , f(x) = x2 – 2x – 3 
b) f:   , f(x) = (x + 2)(x – 4) 
c) f:   , f(x) = – x2 + 2x – 1 
d) f:   , f(x) = x2 – 3x 
 
2. Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale 
as verdadeiras: 
01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de 
 coordenadas (0,12). 
02. As raízes de f são 2 e 6. 
04. O domínio de f é o conjunto dos números reais. 
08. O gráfico não intercepta o eixo x. 
16. A imagem da função é { y  R| y   4 } 
32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, 4) 
64. A função é crescente em todo seu domínio. 
 
3. (UFSC) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em 
R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da 
parábola e seus zeros, é: 
 
4. (ACAFE-SC) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de 
domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: 
a) [0, 3] c) ]-, 4] e) [-5, 3] 
b) [-5, 4] d) [-3, 1] 
 
5. ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x) 
= x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza-
se: 
a) no primeiro quadrante. 
b) no segundo quadrante. 
c) no terceiro quadrante. 
d) sobre o eixo das coordenadas. 
e) sobre o eixo das abscissas. 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFSC) Seja f: R  R, definida por: f(x) = - x2 , 
termine a soma dos números associados às afirmativas 
verdadeiras: 
01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem. 
02. f(x) é crescente em R. 
04. As raízes de f(x) são reais e iguais. 
08. f(x) é decrescente em [0, + ) 
16. Im(f) = { y  R  y  0} 
32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x. 
 
7. (ESAL-MG) A parabola abaixo é o gráfico da função 
f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta: 
 
a) a < 0, b = 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0 
b) a > 0, b = 0, c < 0 e) a > 0, b > 0, c > 0 
c) a > 0, b < 0, c = 0 
 
8. Considere a função definida em x dada por 
f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de 
f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto? 
 
9. (UFPA) As coordenadas do vértice da função 
y = x2 – 2x + 1 são: 
a) (-1, 4) c) (-1, 1) e) (1, 0) 
b) (1, 2) d) (0, 1) 
 
10. (UFPA) O conjunto de valores de m para que o 
gráfico de y = x2 mx + 7 tenha uma só intersecção com o 
eixo x é: 
a) {  7} c) {  2 } 
b) { 0 } d) { 
 2 7
} 
 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 16 
11. (Mack-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o 
ponto V(1, 4). O valor de k + m em módulo é: 
 
12. (UFSC) Dada a função f: R  R definida por f(x) = 
ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10. 
Determine o valor de a - 2b + 3c. 
 
13. A equação do eixo de simetria da parábola de 
equação y = 2x2 - 10 + 7, é: 
a) 2x - 10 + 7 = 0 d) y = 3,5 
b) y = 5x + 7 e) x = 1,8 
c) x = 2,5 
 
14. O gráfico da função f(x) = mx2 – (m2 – 3)x + m3 
intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem 
concavidade voltada para baixo. O valor de m é: 
 
a) – 3 c) – 2 e) – 1 
b) – 4 d) 2 
 
15. (UFSC) Marque no cartão a única proposição 
correta. A figura abaixo representa o gráfico de uma 
parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é: 
 
01. y = -2x + 2 
02. y = x + 2 
04. y = 2x + 1 
08. y = 2x + 2 
16. y = -2x – 2 
 
 UNIDADE 8 
 
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU 
INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO 
INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE 
 
INEQUAÇÕES DO 2O GRAU 
 
Inequação do 2º grau é toda inequação da forma: 











0
0
0
0
2
2
2
2
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
 com 
a
 0 
 
Para resolver a inequação do 2º grau se associa a expressão 
a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação 
de sinais em função da variável. Posteriormente, 
selecionam-se os valores da variável que tornam a 
sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-
solução. 
 
Exemplos: 
 
a) resolver a inequação x2 – 2x – 3  0 
 
 
 
 S = {x  R | x  -1 ou x  3} ou 
 S = ]-, -1]  [3, +[ 
 
b) resolver a inequação x2 – 7x + 10  0 
 
 
 S = { x  R | 2  x  5} 
 S = [2, 5] 
 
c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0 
 
 S = { x  R | 1 < x < 4} 
 S = [1, 4] 
 
Inequações Tipo Produto 
Inequação Produto é qualquer inequação da forma: 
a) f(x).g(x)  0 b) f(x).g(x) > 0 
c) f(x).g(x)  0 d) f(x).g(x) < 0 
 
Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário 
o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a 
regra da multiplicação. 
 
Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0 
 
 S = { x  R | x < 1 ou 2 < x < 3} 
 
Inequações Tipo Quociente 
Inequação quociente é qualquer inequação da forma: 
a) 
f(x)
g(x)
0 b) 
f(x)
g(x)
> 0 c) 
f(x)
g(x)
0 d) 
f(x)
g(x)
< 0  
 
 
Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se 
faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e, 
em seguida, se aplique a regra de sinais da divisão. É 
necessário lembrar que o denominador de uma fração não 
pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerar 
g(x)  0. 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 17 
Exemplo: Resolver a inequação 
0
2
342



x
xx
 
 
 S = { x  R | 1  x < 2 ou x  3} 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Resolver em  as seguintes inequações: 
a) x2 – 8x + 12 > 0 
b) x2 – 8x + 12  0 
c) x2 – 9x + 8  0 
 
2. O domínio da função definida por 
f(x) = 
x x
x
2 3 10
6
 

 é: 
a) D = {x  R| x  2 ou x  5}  {6}. 
b) D = {x  R| x  - 2 ou x  5}  {6}. 
c) D = {x  R| x  - 2 ou x  5} 
d) D = {x  R| x  - 2 ou x  7}  {6}. 
e) n.d.a. 
 
3. Determine o conjunto solução das seguintes 
inequações: 
 
a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0 
b) 
4
1072


x
xx  0 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Resolver em  as seguintes inequações: 
a) x2 – 6x + 8 > 0 
b) x2 – 6x + 8  0 
c) – x2 + 9 > 0 
d) x2  4 
e) x2 > 6x 
f) x2  1 
 
2. (Osec-SP) O domínio da função 
f(x) = 
  x x2 2 3
, com valores reais, é um dos conjuntos 
seguintes. Assinale-o. 
a) {x  R  -1  x  3 } d) { x  R  x  3} 
b) { x  R  -1 < x < 3 } e) n.d.a. 
c) { } 
 
3. Resolva, em R, as seguintes inequações: 
a) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) > 0 
 b) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4)  0 
 c) (x – 3) (x2 – 16) < 0 
 d) x3  x 
 e) x3 – 3x2 + 4x – 12  0 
 
4. Resolva, em R, as seguintes inequações: 
a) 
0
16
65
2
2



x
xx
 
b) 
0
16
65
2
2



x
xx
 
c) 
x
x
x
x



1 1
0
 
d) 
2
1x 
< 1 
 
5. (ESAG) O domínio da função y = 
1 2
12


x
x
 nos reais é: 
a) (-, -1 ) d) (-, -1)  [1/2, 1) 
b) (-1, ½] e) {} 
c) (-, ½] 
 
Tarefa Complementar  
 
6. Resolver em  as seguintes inequações: 
a) x2 – 6x + 9 > 0 c) x2 – 6x + 9 < 0 
b) x2 – 6x + 9  0 d) x2 – 6x + 9  0 
 
7. Resolver em  as seguintes inequações: 
a) x2 – 4x + 5 > 0 c) x2 – 4x + 5 < 0 
b) x2 – 4x + 5  0 d) x2 – 4x + 5  0 
 
8. (CESGRANRIO) Se x2 – 6x + 4  – x2 + bx + c tem 
como solução o conjunto {x  | 0  x  3}, então b e c 
valem respectivamente: 
a) 1 e – 1 d) 0 e 1 
b) – 1 e 0 e) 0 e 4 
c) 0 e – 1 
 
9. (UNIP) O conjunto verdade do sistema 





042
0892
x
xx
 é: 
 
a) ]1, 2] c) [2, 4[ e) [4, 8[ 
b) ]1, 4] d) [1, 8[ 
 
10. (PUC-RS) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é: 
a) { – 2
2
; 2
2
} d) (– ; 2
2
) 
b) [– 2
2
; 2
2
] e) (– ; 2
2
] 
c) (– 2
2
; 2
2
) 
 
11. (ACAFE) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 
100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste 
caso podemos afirmar que o lucro é: 
a) positivo para x entre 3 e 8 
b) positivo para qualquer que seja x 
c) positivo para x maior do que 8 
d) máximo para x igual a 8 
e) máximo para x igual a 3 
 
12. (FATEC) A solução real da inequação produto 
(x2 – 4).(x2 – 4x)  0 é: 
a) S = { x  R| - 2  x  0 ou 2  x  4} 
b) S = { x  R| 0  x  4} 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 18 
c) S = { x  R| x  - 2 ou x  4} 
d) S = { x  R| x  - 2 ou 0  x  2 ou x  4} 
e) S = { } 
 
 13. (MACK-SP) O conjunto solução de 
5
3
6

x
x
 é: 
a) { x  R  x > 15 e x < - 3} 
b) { x  R  x < 15 e x  - 3} 
c) { x  R  x > 0} 
d) {x  R  - 3 < x < 15} 
e) { x  R  - 15 < x < 15} 
 
14. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem a 
inequação (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 são: 
a) x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4 
b) x < 2 ou 4 < x < 5 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 
c) 4 < x < 2 ou x > 4 
 
15. (FUVEST) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que: 
a) 0 < x < 1 d) – 2< x < –1 
b) 1 < x < 2 e) x < –1 ou x > 1 
c) – 1< x < 0 
 
 UNIDADE 9 
 
PARIDADE DE FUNÇÕES 
FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA 
 
Função Par 
Uma função é par quando para valores simétricos de x 
temos imagens iguais, ou seja: 
 
 f(x) = f(x),  x  D(f) 
 
Uma consequência da definição é: Uma função f 
é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação 
ao eixo y. 
 
FUNÇÃO ÍMPAR 
Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x 
as imagens forem simétricas, ou seja: 
 
 f(x) =  f(x),  x  D(f) 
 
Como consequência da definição os gráficos das funções 
ímpares são simétricos em relação à origem do sistema 
cartesiano. 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Dadas as funções f: A  B e g: B  C, denomina-se 
função composta de g com f a função gof: definida de 
A  C tal que gof(x) = g(f(x)) 
 
 
f: A  B g: B  C gof: A  C 
 
Condição de Existência: Im(f) = D(g) 
 
Alguns tipos de funções compostas são: 
 
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) 
 
Exercício resolvido: 
Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x 
de modo que f(g(x)) = 0 
 
 Resolução: Primeiramente vamos determinar 
 f(g(x)) e, em seguida, igualaremos a zero. 
 
 f(x) = x2 - 5x + 6 
 f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6 
 Daí vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2. 
 Igualando a zero temos: 
 x2 - 3x + 2 = 0 
 
 Onde x1 = 1 e x2 = 2 
 
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E 
BIJETORA 
Função injetora: Uma função f: A  B é injetora se e 
somente se elementos distintos de A têm imagens distintas 
em B. Em Símbolos: 
 
 f é injetora   x1, x2  A, x1  x2  f(x1)  f(x2) 
 
 
Função sobrejetora: Uma função f de A em B é 
sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos 
elementos de A, ou seja: CD = Im 
 
 
Função bijetora: Uma função é bijetora se for ao mesmo 
tempo injetora e sobrejetora. 
 
 
DICA: De R  R, a função do 1º Grau é bijetora, e a 
 função do 2º Grau é simples. 
 
FUNÇÃO INVERSA 
Seja f uma função f de A em B. A função f 1 de B em A é 
a inversa de f, se e somente se: 
fof -1(x) = x, x  A e f -1o f (x) = x, x  B. 
Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f) 
 
IMPORTANTE: f é inversível  f é bijetora 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 19 
 
Para encontrar a inversa de uma função, o processo 
prático é trocar x por y e, em seguida, isolar y. 
 
Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f 1(x) são 
simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 
(f(x) = x) 
 
Exercício Resolvido: 
Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a 
sua inversa. 
 
Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela 
 admite inversa. Basta trocarmos x por y e 
 teremos: 
 
 f(x) = 2x + 4 
 x = 2y + 4 
 x - 4 = 2y 
  f -1(x) = 
x  4
2
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2. 
Determine: 
a) f(g(x)) c) f(g(3)) 
b) g(f(x)) d) g(f(-2)) 
 
2. (UFSC) Considere as funções f, g: R  R tais que 
g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7). 
 
3. Se x  3, determine a inversa da função 
3
12
)(



x
x
xf
 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter: 
 
a) f(g(x)) e) f(g(3)) 
b) g(f(x)) f) g(f(1)) 
c) f(f(x)) g) f(f(f(2))) 
d) g(g(x)) 
 
2. (UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 
2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domínio da 
função h(x) = 
  fog x
 é: 
a) {x  R  x  -5 ou x  0} b) {x  R  x  0} 
c) {x  R  x  -5} d) { } 
e) n.d.a. 
3. (UFSC) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e 
g definidas para todo x real, determine o valor numérico da 
função g no ponto x = 18, ou seja, g(18). 
 
4. Determine a função inversa de cada função a seguir: 
 
a) y = 2x – 3 c) y = 
4
12


x
x
, x  4 
b) y = 
4
2x
 
5. (UFSC) Seja a função f(x) = 


2
2
x
x
, com x  2, 
determine f -1(2). 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFSC) Sejam f e g funções de R em R definidas por: 
f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos números 
associados à(s) proposições verdadeiras. 
 
01. A reta que representa a função f intercepta o eixo 
 das ordenadas em (0,3). 
02. f é uma função crescente. 
04. -1 e +1 são os zeros da função g. 
08. Im(g) = { y  R  y  -1 }. 
16. A função inversa da f é definida por 
 f -1(x) = -x + 3. 
32. O valor de g(f(1)) é 3. 
64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0). 
 
7. Dadas as funções: f(x) = 
5 x
 e g(x) = x2 - 1, o 
valor de gof(4) é: 
 
8. (UEL-PR) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 
2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) é: 
 
9. (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x 
 2 e f(g(x)) = 2x  3. Então g(f(x)) é definida por: 
a) 2x  1 c) 2x  3 e) 2x  5 
b) 2x  2 d) 2x  4 
 
10. (F.C.Chagas-BA) A função inversa da função f(x) = 
2 1
3
x
x


 é: 
 anteriores das nenhuma e)
x-2
1+3x
=(x)
1-
f d) 
x-3
2x-1
=(x)
1-
f c)
3-x
1+2x=(x)
1-
f b) 
1-2x
3+x
=)(
1-
f a) x
 
11. Obtenha as sentenças que definem as funções inversas 
de: 
a) f: [ – 3; 5]  [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7 
b) g: [2, 5]  [0,9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4 
c) h: [3, 6]  [–1, 8] tal que h(x) = x2 – 6x + 8 
 
12. (MACK-SP) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 
2, então o valor de g(2) é: 
a) - 2 c) 0 e) 14 
b) 2 d) 6 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 20 
13. (UFSC) Seja f uma função polinomial do primeiro 
grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine 
a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x. 
 
14. (UDESC) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1. 
Calcule f(f(a)) 
 
15. (IME-RJ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim 
definidas: g(x) = 3x – 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1. 
Determine a função f(x). 
 
 UNIDADE 10 
 
EXPONENCIAL 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser 
reduzida a forma ax = b, com 0 < a  1. 
Para resolver tais equações é necessário transformar a 
equação dada em: 
 Igualdade de potência de mesma base. 
 af(x) = ag(x)  f(x) =g(x) 
 Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x)  a = b 
sendo a e b  1 e a e b  R*+. 
 
Função Exponencial f(x) = ax 
 
 (a > 1)  função crescente 
 
 
 (0 < a < 1)  função decrescente 
 
 
 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Para resolvermos uma inequação exponencial devemos 
respeitar as seguintes propriedades: 
 Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação 
de desigualdade se mantém. 
 af(x) > ag(x)  f(x) > g(x) 
 
 Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < 
< 1), a relação de desigualdade se inverte. 
 
 af(x) > ag(x)  f(x) < g(x) 
Exercícios de Sala  
 
1. (UFSC) Dado o sistema 7 1
5 25
2
2
x y
x
y








, o valor de 
y
x






4
é: 
 
2. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 - 
3.2x + 2 = 32, é: 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Resolva, em R, as equações a seguir: 
a) 2 x = 128 b) 2x = 
1
16
 
c) 3x  1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x é: 
e) 22x  2x + 1 + 1 = 0 
 
2. (PUC-SP) O conjunto verdade da equação 
3.9x  26.3x  9 = 0, é: 
3. Dadas f(x) = 
1
2






x e as proposições: 
I - f(x) é crescente 
II - f(x) é decrescente 
III - f(3) = 8 
IV- ( 0,1 )  f(x) 
 
podemos afirmar que: 
a) todas as proposições são verdadeiras. 
b) somente II é falsa. 
c) todas são falsas. 
d) II e III são falsas. 
e) somente III e IV são verdadeiras. 
 
4. Resolva, em R, as inequações a seguir: 
a) 22x  1 > 2x + 1 
b) (0,1)5x  1 < (0,1)2x + 8 
c) 
31
4
7
4
7
2












x
 
d) 0,5|x – 2| < 0,57 
 
5. (OSEC-SP) O domínio da função de definida por y = 
1
1
3
243





 
x
, é: 
a) ( , 5 [ b) ] 5, + ) 
c) ( , 5 [ d) ] 5, +  ) e) n.d.a. 
 
Tarefa Complementar  
 
6. Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos: 
 
a) x1 = 0 e x2 = 1 c) x1 = 0 e x2 = 2 
b) x1 = 1 e x2 = 4 d) x1 = x2 = 3 
 
7. (Unesp-SP) Se x é um número real positivo tal que 
2 2
2 2x x 
, então  x xx x 2 é igual a: 
 
8. A maior raiz da equação 4|3x  1| = 16 
 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 21 
9. (ITA-SP) A soma das raízes da equação 
9
4
3
1
1
2
1
x
x

  
 é: 
 
10. A soma das raízes da equação 
 
2
3
1
13 2
3
2 1
1





  


x x
x

é: 
 
11. (UFMG) Com relação à função f(x) = ax, sendo a e x 
números reais e 0 < a  1, assinale as verdadeiras: 
01. A curva representativa do gráfico de f está toda 
 acima do eixo x. 
02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1). 
04. A função é crescente se 0 < a < 1 
08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1. 
 
12. Determine o domínio da função abaixo: 
7
5
)4,1()( 5
2
 xxf
 
 
13. (UEPG-PR) Assinale o que for correto. 
01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x  R, intercepta o 
 eixo das abscissas no ponto (1,0) 
02. A solução da equação 2x.3x = 
3
36
 pertence ao 
 intervalo [0, 1] 
04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im = 
*
R
 
08. A função f(x) = 
 x2
 é crescente 
16. 
ba
ba
 











2
1
2
1
 
 
14. Determine o valor de x no sistema abaixo: 
1) y e 1(x 





35 yx
yx xy
 
 
15. Resolver, em reais, as equações abaixo: 
a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x 
 
 UNIDADE 11 
 
LOGARITMOS 
 
DEFINIÇÃO 
Dado um número a, positivo e diferente de um, e um 
número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao 
real x tal que ax = b. 
 (a > 0 e a  1 e b > 0) 
 
loga b = x  ax = b 
 
Em loga b = x temos que: 
a = base do logaritmo 
b = logaritmando ou antilogaritmo 
x = logaritmo 
 Observe que a base muda de membro e carrega x como 
expoente. 
 
Exemplos: 
1) log6 36 = x  36 = 6x  62 = 6x  x = 2 
2) log5 625 = x  625 = 5x  54 = 5x  x = 4 
 
Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém, 
dois deles se destacam: 
 
Sistemas de Logaritmos Decimais: 
É o sistema de base 10, também chamado sistema de 
logaritmos comuns ou vulgares, ou de Briggs (Henry 
Briggs, matemático inglês (1561-1630)). 
Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua 
representação. 
 
Sistemas de Logaritmos Neperianos 
É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de 
sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se 
a J. Neper (1550-1617). 
 
Condição de Existência 
Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab 
= x se tenha : 
logaritmando positivo
base positiva
base diferente de 1
 Resumindo 
b > 0 
a > 0 e a 1







 
 
 
Consequências da Definição 
 
Observe os exemplos: 
1) log2 1 = x  1 = 2x  20 = 2x  x = 0 
2) log3 1 = x  1 = 3x  30 = 3x  x = 0 
3) log6 1 = x  1 = 6x  60 = 6x  x = 0 
 
 loga 1 = 0 
 
4) log2 2 = x  2 = 2x  21 = 2x  x = 1 
5) log5 5 = x  5 = 5x  51 = 5x  x = 1 
 
 loga a = 1 
 
6) log2 23 = x  23 = 2x  x = 3 
7) log5 52 = x  52 = 5x  x = 2 
 
 loga am = m 
 
8) 
2 2 44 2log2     x x x
 
9) 
3 3 99 2log3     x x x
 
 
b
baloga 
 
 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
 
Logaritmo do Produto 
O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos 
fatores. 
 
loga (b . c) = loga b + loga c 
 
Exemplos: 
 a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 
 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3 
 
Logaritmo do Quociente 
O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo 
menos o logaritmo do divisor. 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 22 
 
 loga 

c
b
loga b  loga c 
 
Exemplos: 
 a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 
 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3 
 
Logaritmo da Potência 
O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente 
pelo logaritmo da base da potência.loga xm = m . loga x 
 
 
Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5 
 b) log3 4-5 = -5 log3 4 
 
Caso Particular 
a
n
aa b
n
b
n
b log.
1
loglog
1

 
 
Exemplo: log10 23 = log10 2
1
3  1
3
log10 2 
Exercício Resolvido: 
 
Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o 
valor de log 18. 
 
Resolução: log 18 = log(2.32) 
 log 18 = log 2 + log 32 
 log 18 = log 2 + 2log 3 
 log 18 = 0,30 + 2.0,47 
 log 18 = 1,24 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Com base na definição, calcule o valor dos seguintes 
logaritmos: 
 
a) log21024 
b) log 0,000001 
 
c) log2 0,25 
 
d) log4 13 128 
 
2. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o 
valor de: 
a) log 6 b) log 8 
 
c) log 5 d)log 18 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Determine o valor dos logaritmos abaixo: 
 
a) log2 512 b)log0,250,25 
 
c) log7 1 d)log0,25 
13 128
 
 
2. Determine o valor das expressões abaixo 
a) 3 loga a5 + loga 1 – 4 
l g aa
, onde 0 < a  1, é: 
b) 
5625.16
3
1
982 glglgl  
 é: 
3. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o 
valor dos logaritmos abaixo: 
 
a) log 12 b)log 54 
c) log 1,5 d) log 
5125
 
 
4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual 
será o valor de log 28? 
a) 1,146 b) 1,447 
c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 
 
5. (FEI-SP) A função f(x) = log (50  5x  x2) é definida 
para: 
a) x > 10 b) 10 < x < 5 
c) 5 < x < 10 d) x < 5 e) n.d.a. 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (PUC-SP) Se 
l g x
2 2
512 
, então x vale: 
 
7. (PUC-SP) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47, 
então log
6 2
5
 é igual a: 
a) 0,12 c) 0,32 e) 0,52 
b) 0,22 d) 0,42 
 
8. (ACAFE-SC) Os valores de m, com  R, para os quais 
a equação x2 – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros) 
reais e distintas são: 
a) 2 < m < 4 
b) m< 3 
c) m  3 
d) 1  m  3 
e) 1 < m < 3 
9. Se log a = r, log b = s, log c = t e E = 
3
3
cb
a
, então log E 
é igual a: 
 
10. (ANGLO) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d, 
Então E é igual a: 
 
11. (UFSC) Se 
3 125
14
l g x y l g
l gx l gy l g
 
  
  
 



 , então o valor de x 
+ y é 
 
12. Se x = 
3603
, log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, 
determine a parte inteira do valor de 20 log10 x. 
 
13. (UMC-SP) Sejam log x = a e log y = b. Então o log 
 yx.
 é igual a: 
a) a + b/2 b) 2a + b c )a + b d)a+2b e) a-b/2 
 
14. Determine o domínio das seguintes funções: 
 
a) y = logx – 1 (3 – x) b) y = log(5 – x) (x2 – 4) 
 
15. Se x é a solução da equação 
7
...

xxxx
, calcule o valor 
da expressão 2x7 + log7x – 
7
1
 
 UNIDADE 12 
Inclusão para a vida Matemática A 
 
Pró Universidade 23 
 
LOGARITMOS 
 
MUDANÇA DE BASE 
Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos 
ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser 
de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então 
um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de 
bases diferentes para bases iguais. Este processo é 
denominado mudança de base. 
 
loga b =
agl
bgl
c
c


 
 
Como consequência, e com as condições de existência 
obedecidas, temos: 
 
1) log
log
 log logB
A
A Ak
A
B
B
k
B 
1
2
1
 
 
 
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita 
aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando 
(antilogaritmo). 
Existem dois métodos básicos para resolver 
equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se 
necessário discutir as raízes. Lembrando que não existem 
logaritmos com base negativa e um, e não existem 
logaritmos com logaritmando negativo. 
 
1º Método: loga X = loga Y  X = Y 
 
2º Método: loga X = M  X = aM 
Função Logarítmica f(x) = loga x 
 
 (a > 1)  função crescente 
 
 
 (0 < a < 1)  função decrescente 
 
 
 
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 a > 1 
 
loga x2 > loga x1  x2 > x1 
 
 0 < a < 1 
 
loga x2 > loga x1  x2 < x1 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Resolver as equações abaixo: 
 
a) logx (3x2 - x) = 2 
 
b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x  1) 
 
c) log2 (x + 2) + log2 (x  2) = 5 
 
2. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) 
proposição(ões) verdadeira(s). 
01. O valor do 
32log 25,0
 é igual a – 
2
5
. 
02. Se a, b e c são números reais positivos e x = 
cb
a
2
3
, 
então log x = 3log a – 2log b – 
2
1
 log c. 
 
04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c 
diferentes de um, então tem-se 
alog
 blog
blog
c
c
a

. 
 
08. O valor de x que satisfaz à equação 4x – 2x = 56 é x = 
3. 
 
 
 
 
Tarefa Mínima  
 
1. (SUPRA) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é: 
a+b a b a+b
a) b) a+b c) d) e) 
a b a 2
 
 
2. (ACAFE) O valor da expressão log3 2. log4 3 é: 
a) ½ c) 4 e) 2 
b) 3 d) 2/3 
 
 
3. Resolver, em R as equações: 
a) log5 (1 – 4x) = 2 
b) log[x(x – 1)] = log 2 
c) 
09log6log
3
2
3
 xx
 
d) log(log(x + 1)) = 0 
e) log2 (x - 8)  log2 (x + 6) = 3 
f) log5 (x  3) + log5 (x  3) = 2 
 
4. (UFSC) A solução da equação: 
log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218, é: 
 
5. Resolver, em reais, as seguintes inequações: 
a) log2 (x + 2) > log2 8 
3 
2,3 
2 
 1,7 
3 
2 
 
> 
16. 
Matemática A Inclusão para a Vida 
 
Pró Universidade 24 
b) log1/2 (x  3)  log1/2 4 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFSC) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a  
1, determine a soma dos números associados às 
afirmativas verdadeiras. 
 
01. O domínio da função f é R. 
02. A função f é crescente em seu domínio quando 
 a  (1, + ) 
04. Se a = 1/2 então f(2) = 1 
08. Se a = 
3
 e f(x) = 6 então x = 27 
16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0). 
7. (ACAFE) Se log3 K = M, então log9 K2 é: 
a) 2M2 c) M + 2 e) M 
b) M2 d) 2M 
8. (UFSC) Se loga x = 2 e logx y = 3, então, loga
xy35
é 
igual a: 
 
9. (UFSC) Determine a soma dos números associados às 
proposições verdadeiras: 
 01. O valor do log0,25 32 é igual a 

5
2
. 
 02. Se a, b e c são números reais positivos e 
 x = 
a
b c
3
2
 então log x = 3 log a  2log b  1/2 log c. 
 04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c 
 diferentes de um, então tem-se loga b = log
c
log
c
b
a
 
 08. O valor de x que satisfaz à equação 4x  2x = 56 é 
 x = 3 
 16. 
2
3
2
3
2 3 1 7





 






  
 
 
10. (UFSC) O valor de x compatível para a equação 
log(x2  1) - log(x  1) = 2 é: 
 
11. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos 
números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 
01. O conjunto solução da inequação 
 log (x2 9)  log (3  x) é S = (, 4]  [3, +). 
02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex. 
04. A equação 2xx ee  não possui solução inteira. 
08. Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Para 
 a > 1, temos