TOPOGRAFIA- PLANIMETRIA

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TOPOGRAFIA - Planimetria
Alex Mota dos Santos
Unidades de Medida Linear
polegada = 2,75 cm = 0,0275 m 
polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m 
pé = 30,48cm = 0,3048 m 
jarda = 91,44cm = 0,9144m 
milha brasileira = 2200 m 
milha terrestre/inglesa = 1609,31 m 
Unidades de Medida de Superfície
are = 100 m2
acre = 4.046,86 m2
hectare (ha) = 10.000 m2
alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m2
alqueire mineiro (geométrico) = 4,84 ha = 48.400 m2
Unidades de Medida de Volume
m3 
litro = 0,001 m3
Exercícios
1.Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o
valor de 1.290,9078 polegadas. Qual seria o valor desta mesma
medida em quilômetros?
2.O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste
mesmo lado em polegadas inglesas?
3.Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância
horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras.
4.Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a
1224,567 metros quadrados.
5.Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678
metros quadrados.
6.Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires
paulista.
7.Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m3.
8.Determine o valor em m3, para um volume de 15.362,56 litros.
9. Quantas folhas de papel tamanho A4 serão necessárias para representar uma
superfície de 350m x 280m, na escala 1:500?
Erro de Graficismo ou Precisão 
do Levantamento
Segundo DOMINGUES (1979) o Erro de Graficismo (ɛ), também
chamado de Precisão Gráfica, é o nome dado ao raio do menor
círculo no interior do qual se pode marcar um ponto com os
recursos do desenho técnico. O valor de (ɛ), para os levantamentos
topográficos desenhados manualmente, é da ordem de 0,2mm
(1/5mm). Exemplo, a escala 1:5.000, o erro relativo permitido em
um levantamento seria de apenas 1m. (5.000x0,0002m)
Planimetria
Levantamento Planimétrico – estuda e estabelece os 
procedimentos e métodos de medida de distância 
e ângulos, no plano horizontal.
Distância Horizontal - Visada Horizontal 
A figura a seguir (GARCIA, 1984) ilustra um teodolito estacionado no ponto P
e a régua graduada no ponto Q. Do ponto P visa-se o ponto Q com o círculo
vertical do teodolito zerado, ou seja, com a luneta na posição horizontal.
Procede-se a leitura dos fios estadimétricos inferior (FI), médio (FM) e superior
(FS). A distância horizontal entre os pontos será deduzida da relação existente
entre os triângulos a'b'F e ABF, que são semelhantes e opostos pelo vértice.
Rumo e Azimute
Orientação: 45°
Sentido: de A para B.
Extensão: x metros.
Rumo é o menor ângulo formado entre a linha Norte-Sul e o alinhamento em questão.
ROA = 35º NE
ROB = 35º SE
ROC = 70º SW
ROD = 20º NW
Azimute
Azimute é o ângulo formado entre o Norte e o alinhamento em questão. É medido a
partir do Norte, no sentido horário, podendo variar de 0º a 360º.
AzOA = 35º
AzOB = 145º
AzOC = 250º
AzOD = 340º
Conversão de Rumo em Azimute e vice-
versa
Quadrante NE: Az = 180º
Quadrante SE: Az = 180º - R 
Quadrante SW: Az = 180º + R
Quadrante NW: Az = 360º - R
Rumo para Azimute
R = Az
R = 180º - Az
R = Az - 180º
R = 360º - Az
Até o momento, ao falar em rumos e azimutes não foi especificado a sua
referência, a partir do Norte Verdadeiro ou Magnético.
Quando o azimute é medido a partir da linha Norte-Sul verdadeira ou
geográfica, o azimute é verdadeiro; quando é medido a partir da linha
Norte-Sul magnética, o azimute é magnético. O mesmo se dá para os
rumos.
A diferença angular entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é a
Declinação Magnética local. A declinação magnética é sempre medida
do Norte verdadeiro para o magnético.
• Variação geográfica: numa mesma época, cada local apresenta um
determinado valor para a declinação. Os pontos da Terra que, num dado instante,
tem o mesmo valor de declinação, quando ligados por linhas imaginárias, formam
as linhas isogônicas.
• Variação secular: com o decorrer dos séculos, o pólo norte magnético caminha
em torno do
pólo norte verdadeiro, havendo grandes alterações no valor da declinação em um
lugar, mudando inclusive de sentido (de E para W, por ex.).
• Variação anual: esta variação não é bem definida e sua distribuição não é
uniforme pelos meses do ano, sendo pequena e sem importância para trabalhos
topográficos comuns. As linhas que unem locais de mesma varaiação annual da
declinação são ditas isopóricas.
Caminhamento à esquerda ou no sentido horário
Az23 = Az12 – Ai2 + 180°
Az34 = Az23 – Ai3 + 180°
Caminhamento à direita ou no sentido anti-horário
Az23 = Az12 + Ai2 - 180°
Az34 = Az23 + Ai3 - 180°
Generalizando tem-se a Fórmula geral dos azimutes:
Azn = Azn -1 ± Ai ± 180º
Onde:
Azn é o azimute do alinhamento;
Azn-1 é o azimute do alinhamento anterior; e
Ai é o ângulo horizontal interno.
Se (Azn-1 ± Ai) > 180º , subtrai-se 180º; se (Azn-1 ± Ai) < 180º , soma-se 180º.
Estação P. Visado Ai Lido
A B 90 49 50
B C 88 35 00
C D 90 45 10
D A 89 49 20 
Somatório 359 59 20
Médodo do Caminhamento
Perimétrico
a) Cálculo do Erro angular de fechamento da poligonal:
ΣAi = (n–2)180°
Onde:
Ai = ângulo lido = ângulo duplo/2
n = n° de vértices
Portanto:
ΣAi = (4-2)180° = 360°
ΣAi lidos =359°59’20”
EA=ΣAi lidos–ΣAi
Onde:
EA = erro angular
Portanto:
EA=359°59’20” – 360°= – 0° 00 ’40´´
EAT = ± 1’ √ n
Onde:
EAT = erro angular tolerável
n = n° de vértices
Portanto:
EAT = ± 1’ √ 4 = ± 2’
b) Distribuição do erro angular:
Normalmente o erro angular é distribuído por vértice em quantidades iguais,
embora a prática tem demonstrado que nas maiores distâncias os erros
angulares são menores.
Ai comp.=EA/n
c) Ângulo compensado:
O ângulo compensado é determinado pela adição ou subtração do erro no ângulo 
lido. O somatório do erro por vértice deverá ser igual ao erro total da poligonal. O 
sinal da correção deverá ser contrário ao do erro.
Ai compensado = ErroAngular (EA/n), onde n é o
número de vértices, ou seja, Aicomp. = 40´´/4 = 10´´
Estação P. Visado Ai Lido
A B 90 49 50
B C 88 35 00
C D 90 45 10
D A 89 49 20 
Somatório 359 59 20
Ai comp.
90 50 00
88 35 10
90 45 20
89 49 30
360 graus
Angulos compensados
d) Azimutes:
A partir do primeiro azimute, medido no campo, são calculados os azimutes dos demais alinhamentos.
Azn =(Azn-1 + Ai ) +180°
Onde:
Azn = azimute do alinhamento;
Azn-1 = azimute do alinhamento anterior; e
Ai = ângulo interno do vértice comum aos dois alinhamentos.
Se o caminhamento for à direita ou no sentido anti-horário, a fórmula fica:
Azn =(Azn-1 + Ai ) +-180°
Se o caminhamento for à esquerda ou no sentido horário a fórmula fica: 
Azn =(Azn-1 - Ai ) +-180°.
Se Azn-1 + Ai < 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) + 180°, porém, se Azn-1 + Ai > 
180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) - 180°.
Neste caso,
AzBC = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 88º35’10”) - 180º = 221º48’00”
AzCD = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 90º45’20”) - 180º = 132º33’20”
AzDA = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 89º49’30”) - 180º = 42º22’50”
Estação P. Visado Ai Lido
A B 90 49 50
B C 88 35 00
C D 90 45 10
D A 89 49 20 
Somatório 359 59 20
Ai comp. Azimute DH (m)
90 50 00 313 12 50 65,62
88 35 10 221 48 00 31,61
90 45 20 132 33 20 65,28
89 49 30 42 22 50 31,00
360 graus 313 12 50 193,51
?
Mira
O instrumento utilizado são os teodolitos providos de fios
estadimétricos, que além de medir ângulos, acumulam também a
propriedade de medir óticamente as distâncias horizontais e
verticais.
Da figura tem-se:
f =distância focal da objetiva 
F = foco exterior à objetiva 
c = distância do centro ótico do 
aparelho à objetiva 
C = c + f = constante do instrumento 
d = distância do foco à régua graduada 
H = AB = B - A = FS - FI = diferença entre as 
leituras 
M = FM = leitura do retículo médio 
Pelas regras de semelhança pode-se escrever que: 
Do triângulo AA'M -- MA' = MA . cos α
Do triângulo BB'M -- MB' = MB . cos α
MA' + MB' = (MA + MB) . cos α
MA' + MB' = A'B' 
MA + MB = AB = H 
Portanto, 
A'B' = H . cos 
Do triângulo OMR -- OR = OM . cos α
OM = 100 . A'B' + C 
OM = 100 . H . cos α + C 
OR = (100 . H . cos α + C ) . cos α
DH = OR 
portanto, 
DH = 100 . H . cos2 α + C . cos α
Distância Horizontal - Visada Inclinada 
e) Projeções:
As projeções são calculadas da seguinte forma:
x =DH . sem Az e y =DH . cos Az
Onde:
x = projeção no eixo x;
y = projeção no eixo y;
DH = distância horizontal do alinhamento; e
Az = azimute do alinhamento.
Neste caso:
xAB = DHAB . sen AzAB = 65,62 . sen 313º12’50” = - 47,82
yAB = DHAB . cos AzAB = 65,62 . cos 313º12’50” = 44,93
xBC = DHBC . sen AzBC = 31,61 . sen 221º48’00” = - 21,07
yBC = DHBC . cos AzBC = 31,61 . cos 221º48’00” = - 23,56
xCD = DHCD . sen AzCD = 65,28 . sen 132º33’20” = 48,09
yCD = DHCD . cos AzCD = 65,28 . cos 132º33’20” = - 44,15
xDA = DHDA . sen AzDA = 31,00 . sen 42º22’50” = 20,90
yDA = DHDA . cos AzDA = 31,00 . cos 42º22’50” = 22,90
Estação P. Visado Ai Lido
A B 90 49 50
B C 88 35 00
C D 90 45 10
D A 89 49 20 
Somatório 359 59 20
Ai comp. Azimute DH (m)
90 50 00 313 12 50 65,62
88 35 10 221 48 00 31,61
90 45 20 132 33 20 65,28
89 49 30 42 22 50 31,00
360 graus 313 12 50 193,51
X Y
-47,82 44,93
-21,07 -23,56
48,09 -44,15
20,90 22,90
DX = 0,10 DY = 0,12
Projeção Calculada DX = Somatório de X e DY = Somatório de Y
Cx Cy
Correções
f) Erro linear:
O erro linear é determinado pela fórmula:
EL = √ (Δx)2 + (Δy)2
Onde:
EL = erro linear;
Δx = somatório das projeções do eixo x; e
Δy = somatório das projeções do eixo y.
Neste caso, EL = 0,16 m
O erro linear tolerável é dado pela fórmula:
ELT = 0,8 . √ PERÍMETRO (km), e o Perímetro = 193,51 metros COMO?
Onde:
ELT = erro linear tolerável.
Neste caso, ELT = 0,35 m
0,1² + 0,12²
g) Correção das projeções:
A correção do erro linear, nos eixos x e y, é dada pela fórmula:
Cx = Δx . DH/perim.
Cy = Δy . DH/perim.
Onde:
Cx = correção da projeção no eixo x;
Cy = correção da projeção no eixo y;
DH = distância horizontal do alinhamento;
Δx = somatório das projeções do eixo x; e
Δy = somatório das projeções do eixo y.
Atenção, o sinal da correção é contrário ao sinal do erro.
Neste caso:
CxAB = Δx . DHAB / PERÍMETRO = 0,10 . 65,62 / 193,51 ≅ 0,03
CyAB = Δy . DHAB / PERÍMETRO = 0,12 . 65,62 / 193,51 ≅ 0,04
CxBC = Δx . DHBC / PERÍMETRO = 0,10 . 31,61 / 193,51 ≅ 0,02
CyBC = Δy . DHBC / PERÍMETRO = 0,12 . 31,61 / 193,51 ≅ 0,02
CxCD = Δx . DHCD / PERÍMETRO = 0,10 . 65,28 / 193,51 ≅ 0,03
CyCD = Δy . DHCD / PERÍMETRO = 0,12 . 65,28 / 193,51 ≅ 0,04
CxDA = Δx . DHDA / PERÍMETRO = 0,10 . 31,00 / 193,51 ≅ 0,02
CyDA = Δy . DHDA / PERÍMETRO = 0,12 . 31,00 / 193,51 ≅ 0,02
h) Projeções compensadas:
A projeção compensada é calculada adicionando ou subtraindo o erro na projeção 
calculada:
X’= x + |Cx|
Y’= y + |Cy|
Onde: X’ e Y’ = projeções compensadas nos eixos X e Y, respectivamente;
X e y = projeções calculadas nos eixos X e Y, respectivamente; e
Cx e Cy = correções das projeções nos eixos x e y, respectivamente.
Neste caso:
X’AB = xAB ± ⏐CxAB ⏐= - 47,82 - 0,03 = - 47,85
Y’AB = yAB ± ⏐CyAB ⏐= 44,93 - 0,04 = 44,89
X’BC = xBC ± ⏐CxBC ⏐= - 21,07 - 0,02 = - 21,09
Y’BC = yBC ± ⏐CyBC ⏐= - 23,56 - 0,02 = - 23,58
X’CD = xCD ± ⏐CxCD ⏐= 48,09 - 0,03 = 48,06
Y’CD = yCD ± ⏐CyCD ⏐= - 44,15 - 0,04 = - 44,19
X’DA = xDA ± ⏐CxDA ⏐= 20,90 - 0,02 = 20,88
Y’DA = yDA ± ⏐CyDA ⏐= 22,90 - 0,02 = 22,88
Obs: Se a correção está correta, o somatório das projeções deverá ser igual a zero.
Estação P. Visado Ai Lido
A B 90 49 50
B C 88 35 00
C D 90 45 10
D A 89 49 20 
Somatório 359 59 20
Ai comp. Azimute DH (m)
90 50 00 313 12 50 65,62
88 35 10 221 48 00 31,61
90 45 20 132 33 20 65,28
89 49 30 42 22 50 31,00
360 graus 313 12 50 193,51
X Y
-47,82 44,93
-21,07 -23,56
48,09 -44,15
20,90 22,90
DX = 0,10 DY = 0,12
Projeção Calculada
DX = Somatório de X e DY = Somatório de Y
Cx Cy
0,03 0,04
0,02 0,02
0,03 0,04
0,02 0,02
0,10 0,12
Correções
X´ Y´
-47,85 44,89
-21,09 -23,58
48,06 -44,19
20,88 22,88
0,00 0,00
Projeções Compensadas
Cálculo de Coordenadas
a) Coordenadas dos vértices da poligonal de apoio (Não acabou):
As coordenadas são calculadas por soma algébrica das projeções
compensadas, partindo das coordenadas do ponto inicial:
Xn= Xn-1+X’
Yn= Yn-1+Y’
Onde:
Xn= abcissa do ponto;
Yn= Ordenada do ponto;
Xn-1= abcissa do ponto anterior;
Yn-1 = ordenada do ponto anterior;
X’ = projeção compensada no eixo x; e
Y’ = projeção compensada no eixo y.
OBS: ponto conhecido é colocado na origem.
Neste caso:
Vamos arbitrar que XA = 0,00 e YA = 0,00.
XB = XA + X’AB = 0,00 + (- 47,85) = - 47,85
YB = YA + Y’AB = 0,00 + 44,89 = 44,89
XC = XB + X’BC = - 47,85 + (- 21,09) = - 68,94
YC = YB + Y’BC = 44,89 + (- 23,58) = 21,31
XD = XC + X’CD = - 68,94 + 48,06 = - 20,88
YD = YC + Y’CD = 21,31 + (- 44,19) = - 22,88
Estação P. Visado Ai Lido
A B 90 49 50
B C 88 35 00
C D 90 45 10
D A 89 49 20 
Somatório 359 59 20
X Y
-47,82 44,93
-21,07 -23,56
48,09 -44,15
20,90 22,90
DX = 0,10 DY = 0,12
Projeção Calculada
Cx Cy
0,03 0,04
0,02 0,02
0,03 0,04
0,02 0,02
0,10 0,12
Correções
Coordenadas (Poligona de Apoio)
X´ Y´
-47,85 44,89
-21,09 -23,58
48,06 -44,19
20,88 22,88
0,00 0,00
Projeções Compensadas
X Y
0,00 0,00
-47,85 44,89
-68,94 21,31
-20,88 -22,88
0,00 0,00
Cálculo das coordenadas dos vértices da poligonal de interesse:
Estação P. Visado Ai Lido
A a 19 23 40
B B 73 04 20
C c 16 08 10
D d 62 02 00
DH
8,07
8,46
5,83
6,00
Cálculo do Azimute.
Para todos os vértices
A para a, B para b e ... 
Vértice a:
AzAa = (AzDA + Ai) ± 180º = (42º22’50” + 19º23’40”) + 180º = 241º46’30”
X’Aa = DHAa . sen AzAa = 8,07 . sen 241º46’30” = - 7,11
Y’Aa = DHAa . cos AzAa = 8,07 . cos 241º46’30” = - 3,82
Xa = XA + X’Aa = 0,00 + (- 7,11) = - 7,11
Ya = YA + Y’Aa = 0,00 + (- 3,82) = - 3,82
Vértice b:
AzBb = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 73º04’20”) - 180º = 206º17’10”
X’Bb = DHBb . sen AzBb = 8,46 . sen 206º17’10” = - 3,75
Y’Bb = DHBb . cos AzBb = 8,46 . cos 206º17’10” = - 7,58
Xb = XB + X’Bb = - 47,85 + (- 3,75) = - 51,60
Yb = YB + Y’Bb = 44,89 + (- 7,58) = 37,31
Vértice c:
AzCc = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 16º08’10”) - 180º = 57º56’10”
X’Cc = DHCc . sen AzCc = 5,83 . sen 57º56’10” = 4,94
Y’Cc = DHCc . cos AzCc = 5,83 . cos 57º56’10” = 3,09
Xc = XC + X’Cc = - 68,94 + 4,94 = - 64,00
Yc = YC + Y’Cc = 21,31 + 3,09 = 24,40
Vértice d:
AzDd = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 62º02’00”) - 180º = 14º35’20”
X’Dd = DHDd . sen AzDd = 6,00 . sen 14º35’20” = 1,51
Y’Dd = DHDd . cos AzDd = 6,00 . cos 14º35’20” = 5,81
Xd = XD + X’Dd = - 20,88 + 1,51 = - 19,37
Yd = YD + Y’Dd = - 22,88 + 5,81 = - 17,07
Reconstituição de poligonais
É possível, a partir das coordenadas dos vértices de uma poligonal, calcular os seus elementos:
a) Cálculo da distância horizontal:
_________________
DH12 = √ (X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²
b) Cálculo de azimutes:
arc tg R12 = (X2 - X1) / (Y2 - Y1)
Definição do quadrante:
+/+ → NE Az = R
+/- → SE Az = 180º - R
-/- → SW Az = 180º + R
-/+ → NW Az= 360º - R
Após a definição do quadrante, transforma-se o rumo em azimute.
c) Cálculo dos ângulos internos:
Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º
Ai = Azn - Azn-1 ± 180º
Cálculo da Área
2 . S = {- 7,11 . [37,31 - (-17,07]} + {- 51,60 . [24,40 - (- 3,82)]} +
+ [64,00 . (- 17,07 - 37,31)] + [- 19,37 . (- 3,82 - 24,40)]
2 . A = - 386,6418 + (- 1456,1520) + 3480,3200 + 546,6214 = 2184,1476
S = 1092,0738 m2
ou
2 . S = {- 3,82 . [- 51,60 - (-19,37)]} + {37,31 . [- 64,00 - (- 7,11)]} +
+ {24,40 . [- 19,37 - (- 51,60)]} + {- 17,07 . [- 7,11 - (- 64,00)]}
2. S = - 2184,1476
S = 1092,0738 m2
1.De um piquete (A) foi visada uma mira colocada em um outro piquete (B). Foram feitas as seguintes 
leituras: 
fio inferior = 0,417m
fio médio = 1,518m
ângulo vertical = 5º30' em visada descendente (A B)
altura do instrumento (A) = 1,500m
Calcule a distância horizontal entre os pontos (AB) sabendo-se que a luneta é do tipo analática.
2.Considerando os dados do exercício anterior, calcule a distância vertical ou diferença de nível entre os
pontos e determine o sentido de inclinação do terreno.
3.Ainda em relação ao exercício anterior, determine qual é a altitude (h) do ponto (B), sabendo-se que a
altitude do ponto (A) é de 584,025m.
4.Um teodolito acha-se estacionado na estaca número (1) de uma poligonal e a cota, deste ponto, é
200,000m. O eixo da luneta de um teodolito encontra-se a 1,700m do solo. Para a estaca de número
(2), de cota 224,385; foram feitas as seguintes leituras:
retículo inferior = 0,325m
retículo superior = 2,675m
Calcule a distância horizontal entre as estacas.
5.De um ponto com altitude 314,010m foi visada uma régua, situada em um segundo ponto de altitude
345,710m. Com as leituras: α = 12º em visada ascendente; I = 1,620m; e sabendo-se que a distância
horizontal entre estes pontos é de 157,100m; calcule H, FM, FI, FS.
Boa Tarde, boa semana.