Exercícios de Física: Corrente Elétrica, Potência e Campo Elétrico

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1. 
Uma corrente elétrica flui de um condutor cilíndrico de uma liga de cobre com 
condutividade 𝜎 = 6,17 × 106 𝑆/𝑚 e 1 𝑚𝑚 de raio, para um resistor cilíndrico de 
carbono de 𝜎 = 61 × 10−3 𝑆/𝑚 e seção reta de raio de 3 𝑚𝑚, como pode ser 
visto na figura abaixo. Considerando que todos os meios são homogêneos e que 
o campo elétrico no resistor é de 579,80 𝑘𝑉/𝑚, qual será a corrente no cobre? 
 
 
a) 4 𝐴 
b) 3 𝐴 
c) 2 𝐴 
d) 1 𝐴 
e) 0,5 𝐴 
Solução: A resposta certa é a letra d 
Não existem fontes de corrente entre os três meios. Ou seja, a corrente neste 
sistema é idêntica em todos os meios. Também sabemos que, para qualquer 
condutor, podemos relacionar o campo 𝑬 com a densidade de corrente por: 
𝑬 =
𝑱
𝜎
 
Sendo assim, podemos achar a densidade de corrente no resistor: 
𝑱 = 𝑬𝜎 = 579,80 × 103(61 × 10−3) = 35,37 𝑘𝐴/𝑚2 
Tendo a densidade de corrente em um condutor podemos achar a corrente 
facilmente já que: 
𝑱 =
𝑰
𝑆
∴ 𝑰 = 𝑱𝑺 
Sabemos que a corrente atravessa uma seção reta circular cuja área pode ser 
calculada por: 
𝑆 = 𝜋𝑅2 
Para o resistor de carbono: 
𝑆 = 𝜋𝑅2 = 𝜋(0,003)2 = 28,27 × 10−6 𝑚2 
Sendo assim a corrente será: 
𝑰 = 𝑱𝑺 = 35,37 × 103(28,27 × 10−6 ) = 0,999 𝐴 ≅ 1 𝐴 
 
2. 
Se uma barra de um composto de carbono de condutividade dada por 𝜎 = 3 ×
104 𝑆/𝑚 , raio de 5 𝑚𝑚 e 80 𝑐𝑚 de comprimento, não isolada nos seus terminais, 
mas no espaço livre, está submetido a um campo elétrico 𝑬 = 120 × 10−3 𝑉/𝑚 
encontre a potência que será dissipada nesta barra. 
 
Solução: 
Podemos começar encontrando a corrente que atravessa este condutor 
lembrando que podemos relacionar o campo elétrico com a densidade de 
corrente. Sendo assim: 
𝑱 = 𝑬𝜎 = 120 × 10−3(3 × 104) = 3,6 × 103 𝐴/𝑚2 
Também podemos relacionar a corrente com a densidade por meio da área da 
seção reta atravessada por essa corrente. Ou seja: 
𝑱 =
𝑰
𝑆
∴ 𝐼 = 𝐽𝑆 = 3,6 × 103(𝜋(5 × 10−3)2) = 282,7 × 10−3 𝐴 
Logo: 
Também sabemos que a potência pode ser obtida apenas com a corrente e a 
resistência. 
𝑃 = 𝑅𝐼2 
Como a resistência pode ser calculada apenas com as características 
geométricas e físicas do condutor. 
𝑅 =
𝑙
𝜎𝑆
=
800 × 10−3
3 × 104(𝜋(5 × 10−3)2)
= 339,5 × 10−3 Ω 
Logo: 
𝑃 = 𝑅𝐼2 = (339,5 × 10−3)(282,7 × 10−3)2 = 27,14 × 10−3 𝑊 
Ou como: 
𝑰
𝑆
= 𝑬𝜎 ∴ 𝐼 = 𝑆𝑬𝜎 
Então: 
𝑃 = 
𝑙
𝜎𝑆
(𝑆𝑬𝜎)2 =
𝑙𝑆2𝐸2𝜎2
𝑆𝜎 
= 𝑙𝑆𝐸2𝜎 
𝑃 = 800 × 10−3(𝜋(5 × 10−3)2)(120 × 10−3)2(3 × 104) = 27,14 × 10−3 𝑊 
 
3. 
Duas cargas pontuais localizadas no espaço livre, exercem entre si uma força 
de 4 𝜇𝐶. Quando o espaço entre elas é totalmente preenchido com um material 
dielétrico com permissividade relativa de 0,5. Encontre a nova força entre estas 
cargas. 
Solução: 
Trata-se da aplicação da Lei de Coulomb e de uma única consideração sobre o 
enunciado. Sabemos que a Lei de Coulomb para cargas no espaço livre é, na 
sua forma escalar: 
𝐹 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅2
= 𝐹1 
Também sabemos que em qualquer dielétrico esta Lei terá a forma: 
𝐹 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖𝑅2
= 𝐹2 
Onde 𝜖 = 𝜖𝑟𝜖0, sendo assim podemos equacionar a Lei de Coulomb em 
materiais dielétricos: 
𝐹2 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖𝑟𝜖0𝑅2
∴ 𝐹2𝜖𝑟 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅2
 
Observe que o valor que temos do lado direito do igual é 𝐹1, sendo assim: 
𝐹2𝜖𝑟 = 𝐹1 
Logo a segunda força, 𝐹2 será dada por: 
𝐹2 =
𝐹1
𝜖𝑟
=
4 × 10−6
0,5
= 8 𝜇𝑁 
 
4. 
Uma esfera de material condutor e raio de 10 𝑐𝑚 está centrada na origem e 
envolvida por um material dielétrico com 𝜖 = 2,5𝜖0. Sabendo que esta esfera 
carrega uma densidade superficial de cargas de 4 𝑛𝐶/𝑚2 e que a área da 
superfície da esfera é dada por 𝑆 = 4𝜋𝑅2 encontre o valor do campo elétrico 𝑬 
a distância de 12 𝑐𝑚 do centro da esfera na direção 𝒂𝑟 
 
Solução: 
Primeiro, sabemos que a densidade será uma grandeza dividido por uma 
dimensão. Então: 
𝐷 =
𝑄
𝑆
 
Como temos a densidade superficial e o raio, será fácil calcular a carga. Neste 
caso, consideraremos a esfera como uma carga pontual colocada na origem, 
centro da esfera. Sendo assim: 
𝐷 =
𝑄
𝑆
∴ 𝑄 = 𝐷𝑆 = 4 × 10−9(4 × 𝜋(100 × 10−3)2) = 502,7 × 10−12𝐶 
Sabemos que o campo elétrico tem origem na carga e se espalha de forma radial 
até o infinito. Então esta densidade de cargas é normal a superfície da esfera 
em todos os pontos e, em coordenadas esféricas segue o sentido 𝒂𝑟 que 
coincide com a direção pedida no enunciado. 
Também sabemos que podemos relacionar a densidade de cargas com o campo 
elétrico em meios dielétricos: 
𝑫 = 𝜖𝑬 
Já vimos também que o campo elétrico devido a uma carga pontual em qualquer 
ponto do espaço será dado por: 
𝑬 = 
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
 𝒂𝑟 
Neste caso, como estamos em um dielétrico teremos: 
𝑬 = 
𝑄
4𝜋2,5𝜖0𝑟2
 𝒂𝑟 
Logo, substituindo os valores que temos: 
 
𝑬 = 
502,7 × 10−12
4𝜋 (2,5
10−9
36𝜋 )
(120 × 10−3)2 
 𝒂𝑟 
 
𝑬 = 125,7 𝑉/𝑚 
5. 
Dados os pontos 𝐶(2, −2, 3) e 𝑃(2, −1, 2) e considerando que um elemento 
diferencial de corrente 𝐼𝑑𝑳 = 10−4(4, −3, 1)𝐴 ⋅ 𝑚 no ponto 𝐶 produz um campo 
𝑑𝑯 no ponto 𝑃. Especifique a direção do elemento diferencial 𝑑𝑯 em relação a 
um vetor unitário 𝒂𝐻. 
Solução: 
Usando a Lei de Biot-Savart, em forma diferencial, encontraremos: 
𝑑𝑯 =
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃
4𝜋𝑅𝐶𝑃
2 
𝒂𝐶𝑃 = (2, −1, 2) − (2, −2, 3) = (0, 1, −1) = 𝒂𝑦 − 𝒂𝑧 
|𝒂𝐶𝑃| = 𝑎𝐶𝑃 = √12 + 12 = √2 
Logo: 
𝑑𝑯 =
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃
4𝜋𝑅𝐶𝑃
2 =
10−4(4𝒂𝑥 − 3𝒂𝑦 + 𝒂𝑧) × (𝒂𝑦 − 𝒂𝑧)
4𝜋(√2)
2
(√2)
 
Fazendo o produto vetorial temos: 
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃 = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
4 −3 1
0 1 −1
| = |
−3 1
1 −1
| 𝒂𝑥 − |
4 1
0 −1
| 𝒂𝑦 + |
4 −3
0 1
| 𝒂𝑧 
 
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃 = [(−3)(−1) − (1)(1)]𝒂𝑥 
− [(4)(−1) − (1)(0)]𝒂𝑦 
+[(4)(1) − (−3)(0)]𝒂𝑧 
 
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃 = [3 − 1]𝒂𝑥 − [−4 − 0]𝒂𝑦 + [4 − 0]𝒂𝑧 
𝑨 × 𝑩 = 2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧 
𝑑𝑯 =
10−4(2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧)
4𝜋(23/2)
 
𝑑𝑯 = 2,813 × 10−6(2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧) 
Tudo que precisamos agora é encontrar o vetor unitário na direção 𝑑𝑯 
𝒂𝐻 =
2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧
√22 + 42 + 42
=
2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧
6
 
𝒂𝐻 = 0,333𝒂𝑥 + 0,667𝒂𝑦 + 0,667𝒂𝑧 
 
6. 
Considere o campo 𝑯 = 𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦 𝐴/𝑚 no plano 𝑧 = 0 usando a lei de Ampère, 
calcule a corrente na superfície definida por 𝑧 = 0; 0 < 𝑥 < 3; −1 < 𝑦 < 4 
(SADIKU, 2014). 
Solução: 
Antes de qualquer coisa, precisamos observar 
esta superfície com cuidado. Veja a figura ao 
lado, neste caso, o sentido positivo do eixo 𝑧 está 
saído da tela na sua direção. 
Segundo a Lei de Ampére 
∮ 𝑯 ⋅ 𝑑𝒍 = 𝑰 
Então, para acharmos a corrente teremos 
que fazer a integral de linha de todo este 
percurso. Fazendo, neste caso, o produto 
escalar entre campo e o elemento 
diferencial de comprimento neste percurso assim podemos, por 
exemplo, resolver quatro integrais cada uma em relação a uma das 
linhas do retângulo que representa a superfície. 
Para o percurso 1 teremos que fazer a integral de linha, na linha que 
vai de zero a três, na direção positiva de 𝒂𝑥 em 𝑦 = −1 neste caso, 
o elemento diferencial de comprimento será 𝒂𝑥𝑑𝑥: 
𝐼1 = ∫ (𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦) ⋅ 𝒂𝑥𝑑𝑥
3
0
= ∫ 𝑦𝑑𝑥(𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑥) − 𝑥𝑑𝑥(𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑥)
3
0
 
𝐼1 = ∫ 𝑦𝑑𝑥(1) − 𝑥𝑑𝑥(0) = 
3
0
 ∫ 𝑦𝑑𝑥|𝑦=−1 = −1[3 − 0] = −3 𝐴
3
0
 
Poderíamos ter usado apenas o componente do campo nesta 
direção, mas resolvi fazer toda a integral para mostrar o processo. 
Para o percurso 2 teremos que fazer a integral de linhana linha que 
vai de −1 a 4 no sentido positivo de 𝒂𝑦 para 𝑥 = 3 logo: 
𝐼2 = ∫ (𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦) ⋅ 𝒂𝑦𝑑𝑦
4
−3
= ∫ 𝑦𝑑𝑦(𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑦) − 𝑥𝑑𝑦(𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑦)
4
−3
 
𝐼2 = ∫ 𝑦𝑑𝑦(0) − 𝑥𝑑𝑦(1)
4
−1
= ∫ −𝑥𝑑𝑦|𝑥=3 = −3[4 + 1] = −15 𝐴
4
−1
 
Para o percurso 3 teremos que fazer a integral de linha na linha que 
vai de 3 até zero, no sentido negativo de 𝒂𝑥 para 𝑦 = 4, logo 
𝐼3 = ∫ (𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦) ⋅ 𝒂𝑥𝑑𝑥
0
3
= ∫ 𝑦𝑑𝑥(𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑥) − 𝑥𝑑𝑥(𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑥)
0
3
 
𝐼3 = ∫ 𝑦𝑑𝑥(1) − 𝑥𝑑𝑥(0)
0
3
= ∫ 𝑦𝑑𝑥|𝑦=4
0
3
= 4[0 − 3] = −12 𝐴 
Para o percurso 4 teremos que fazer a integral de linha entre 4 e −3 
na direção negativa de 𝒂𝑦 para 𝑥 = 0 
𝐼4 = ∫ (𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦) ⋅ 𝒂𝑦𝑑𝑦
−3
4
= ∫ 𝑦𝑑𝑦(𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑦) − 𝑥𝑑𝑦(𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑦)
−3
4
 
𝐼4 = ∫ 𝑦𝑑𝑦(0) − 𝑥𝑑𝑦(1)
−3
4
= ∫ −𝑥𝑑𝑦|𝑥=0
−3
4
= 0[−3 − 4] = 0 𝐴 
Somando estas correntes chegamos que a corrente total que 
atravessa a superfície dada será de −30 𝐴 
 
7. 
Um filamento infinito de corrente, no espaço livre, carrega uma corrente de 2 𝐴 
na direção positiva de 𝒂𝑧. Calcule a intensidade do campo magnético 𝑩 no ponto 
𝑃(−3, 4, 7). 
 
Solução: 
Partimos do formulário para encontrar a fórmula do campo magnético 𝑩 em torno 
de uma distribuição linear de corrente. Contudo, precisamos fazer algumas 
considerações antes de começar. 
Sabemos de antemão que o campo magnético será dado pela regra da mão 
direita com o polegar apontado no sentido da corrente, na direção positiva de 𝒂𝑧 
então este campo se propaga na forma de círculos por todo o espaço. 
Como o filamento está no eixo 𝑧, este e este propaga a corrente o campo existirá 
em um plano 𝑥𝑦 em um determinado 𝑧, neste caso segundo o enunciado, 𝑧 = 7 
O campo 𝑩 irá variar apenas no sentido de 𝜙 lembre-se que em coordenadas 
cilíndricas a coordenada 𝜙 é a coordenada relacionada ao ângulo. Logo: 
𝑩 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝜌
 𝒂𝜙 
Temos todas a variáveis exceto este 𝜌. Trata-se da distância entre o ponto 
desejado e o filamento. Sobre um plano 𝑥𝑦, o 𝜌, raio do círculo que passa pelo 
ponto desejado pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras onde cada 
coordenada é um lado e o raio, 𝜌, a hipotenusa. Sendo assim a distância entre 
o filamento e o ponto desejado será: 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 = √32 + 42 = 5 
 Sendo assim: 
𝑩 =
(4𝜋 × 10−7)(2)
2𝜋(5)
 𝒂𝜙 
𝑩 = 80 𝑛𝑊𝑏/𝑚2