PA PG Trigonometria e Estatstica

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Matemática
Professor Responsável: Marcos Britto
Coordenação: Letícia Couto Bicalho 
PA, PG, Trigonometria e Estatística
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SUMÁRIO 
1.Progressão Aritmética 
1.1. Definição 1 a 3 
 1.2. Termo Geral da P.A 4 
 1.3. Termo Central de uma P.A 5 
 1.4. Termos desconhecidos de uma P.A 5 
 1.5. Interpolação Aritmética 5 
 1.6. Soma dos Termos da P.A, e Pintou no Enem 6 
2. Progressão Geométrica 
2.1. Definição 6 a7 
2.2. Termo Geral da P.G, e Pintou no Enem 8 
2.3. Termos desconhecidos da P.G. 9 
2.4. Interpolação Geométrica e Exercícios 9 a 10 
2.5. Soma dos termos da P.G. 10 
2.6. Soma dos termos de uma P.G. infinita 10 a 12 
2.7 Exercício 12 
2.8 Textos curiosos sobre P.a. e P.g 13 
3. Estatística 
3.1. Definições 13 
3.2. Distribuição de freqüência 14 
3.3 Representação gráfica de uma distribuição 14 
3.4. Medidas de Posição e Pintou no Enem 15 a 18 
3.5 Exercícios 19 a 27 
4. Trigonometria 
4.1.Triângulo Retângulo 28 
4.2. Razões Trigonométricas 29 
4.3. Ângulos Notáveis 29 a 32 
4.4. Exercício de Fixação 31 a 33 
4.5. Círculo Trigonométrico 35 a 37 
4.6. Redução ao 1° Quadrante 37 a 40 
4.7. Funções Trigonométricas / Curiosidades sobre a trigonometria _______41 a 47 
 
 
4.8. Relação Fundamental da trigonometria e Pintou no Enem _ 47 a 48 
4.9. Fórmulas de Adição de Arcos ____ 51 a 53 
4.10 Exercícios de Fixação ___ 49 a 51 
4.11.Fórmulas de Arcos Duplos e Arcos Metade ___ 51 a 54 
4.12. Exercício __ 55 a 57 
 
REFERÊNCIAS____________________________________________________________58
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Capítulo I 
 
PROGRESSAO ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
1.1) Progressão Aritmética 
 
Definições 
 
É uma seqüência numérica, onde cada termo, a partir do segundo termo, é o anterior somado de 
uma constante denominada razão 
 
Exemplos: 
 
i) 2,4,6,8, P.a de razão 2 
ii) 20,17,14,11, ..... P.a de razão -3 
iii) 100,100,100 P.a de razão 0 
 
 
Tipos de P.A 
 
Finita: Quando o número de termos for limitado 
Ex: i- ( 12, 15, 18, 21, 24) 
ii-( 24,25,26,27, 28) 
 
 
Infinita:Quando o número de termos da P.A não for limitado. 
 
Ex: i-(π, 2 π, 3 π, 4 π, ......) 
 
ii-( log2, 2log2, 3log2,4log2, 5log2,.....) 
 
 
Crescente: Quando a razão da P.a, for maior que zero 
 
 
EX: i- ( 20, 40, 60, 80) P.a de razão 20 
4 
 
 
 
ii- (-6, -3,0,3) P.a de razão 3 
 
Decrescente: Quando a razão da P.a é menor que zero 
 
EX: i-( 10, 7,4, 1) P.a de razão -3 
 
Ex: ii-( 20, 18, 16, 14, 12) P.a de razão -2 
 
Constante: Quando a razão da P.a é igual a zero 
 
Ex: ( 100, 100, 100, 100, 100) 
Ex: (-2,-2-,-2,-2,-2) 
 
1.2- Termo Geral da P.a 
 
Ex: Determine o 14º termo da P.a( 9, 18, 27....) 
Ex: Quantos termos têm a P.a ( 12, 14, 16.....,120) 
Ex:Qual é o27º termo da P.a ( -13, -14, -15.....) 
 
Exemplos: 
1) Calcule o a6, a10 e 0 a12 sabendo que:{ 
 
} 
 
2) Dada a P.a ( -10,-6,-2....) , determine: 
 
a) Razão b) 12º termo c) Qual a posição do termo de numero 64? 
 
1.3-Termo central de uma P.a: 
Dada uma P.a, com número ímpar de termos, definimos o termo central como sendo o termo que 
divide a P.a, em dois conjuntos de números de elementos iguais. 
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Calculo do termo central de uma P.a: O cálculo do termo central de uma P.a, é feito através da 
média aritmética do extremos da P.a. 
 
 
Ex: Determine x em cada caso sabendo que estão em P.a. 
 
a) (7,x,-3) 
 
b) (4x+5, x, -2x-1) 
 
c) (2x+1,7,x) 
 
1.4- TERMOS DESCONHECIDOS DE UMA P.A 
 
i- Para P.a de três termos: (x-r,x,x+r) 
 
ii- Para P.a de cinco termos: (x-2r,x-r,x,x+r,x+2r) 
 
 
1.5- INTERPOLAÇAO ARITMÉTICA: 
 
Interpolar meios aritméticos em uma P.a significa, inserir termos, em uma P.a, onde determinados termos 
dessa P.a, já são conhecidos. 
 
Ex: Insira 5 meios aritméticos entre 17 e 72 
 
 
 
6 
 
 
1.6- Soma dos Termos (Sn): 
 
Chamamos de Sn a soma de N termos em P.a e é dado por: 
 
 
 
Exemplos: 
Em uma seqüênciaaritmética de 17 termos sabe-se que o a5=3 e o a13=7, então a soma de todos os 
termos dessa P.a é: 
a) 102 b)68 c) 85 d)78 e) 90 
Pintou no Enem: 
1. (Enem) Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma progressão aritmética de 
razão r . O valor de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça 128 é: 
 
a) 10 b) 15 c) 20 d) 27 e) 36 resp: a 
2. (Enem) Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão 4, 
então o cosseno do maior ângulo agudo desse triângulo é: 
 
a) 0,6 b) 
3
2
 c) 0,8 d) 
2
2
 e) 1 resp: a 
 
Capítulo II 
 
2.Progressão Geométrica 
 
 
2.1- Definições: 
 
É uma sequência numérica, onde cada termo a partir do segundo termo, é o anterior multiplicado por uma 
constante denominada razão (q). 
 
Exemplos: 
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7 
 
 
 
 I) ( 2,4,8,16,32,64) P.g de razão:2 
II) ( -3,9,-27,81) P.g de razão: -3 
III) ( 4,4,4,,4,4) P.g de razão:1 
 
 
2.2- Tipos de PG: 
 
Finita: Quando os termos dessa Pg forem finitos: 
 
Ex: ( 12,24,48,96) 
Ex: ( -1,-2,-4,-8) 
 
Infinita: Quando o número de termos dessa P.g é infinito 
 
Ex: ( 2,10,50,.............) 
Ex: ( 3π, 9 π, 27 π, 81 π, 243 π.......) 
 
Crescente: Quando a razão (q) for maior que zero. 
 
Ex: ( 5,15,,45,135) 
 
Ex: ( log100, log²1oo, log³100,.....) 
 
Decrescente: Quando a razão da P.g estiver entre 0 e 1 
 
Ex: ( 20, 10, 5) 
 
Ex: ( 1,1/3, 1/9, 1/27) 
 
 
Constante: Quando a razão da P.g for igual a 1 
 
Ex: (2,2,2,2,2,2,2,2,2) 
Ex: (-10, -10, -10, -10, -10) 
8 
 
 
 
Oscilante: Quando a razão da Pg for menor que zero 
 
Ex: ( -1, 2,-4,8,-16) 
Ex: ( 12,-24,48, -96) 
 
Termo Geral da P.G 
 
2)Dada a Pg ( 2,4,8,.....) Determine, sua razão e seu décimo segundo termo. 
3) Os três primeiros termos de uma Pg, são respectivamente 
 
a1=√ a2=√ a3=√ 
 
Determine o 4º termo dessa Pg. 
 
 
4) Determine a P. G que verificam as relações: 
a2+a4+a6=10 e a3+a5+a7=3 
5) 0 5º e o 7º termos de uma Pg de razão positiva são respectivamente, 10 e 16. Qual é o sexto termo 
dessa P.g? 
PINTOU NO ENEM: 
1) (ENEM) Um biólogo sabe que o número de bactérias de uma determinada cultura dobra a 
cada 20 minutos. Supondo que as perdas sejam nulas, pode-se afirmar que o número de 
vezes que a cultura terá aumentado, em relação ao número inicial, ao fim de duas horas é: 
 
a) 12 b) 32 c) 36 d) 64 e) 128 
2) (ENEM) Uma bola de borracha cai de uma altura de 30 m. Após o choque com o solo, a bola 
sobe a uma altura igual a 1/3 da altura anterior. Se deixarmos a bola subir e descer sem 
interrupção qual será a distância total percorrida por ela? R: 60 m 
 
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a) 60 b) 80 c) 30 d) 50 e) 20 resp.: 60 
 
 
 
 
 
2.3- TERMOS DESCONHECIDOS DE UMA P.G 
Para 3 termos desconhecidos: ( 
 
 ) 
Para 5 termos desconhecidos:( 
 
 
 
 
 ) 
 
EXEMPLOS: 
1) Qual é o numero que deve ser somado a 1,9 e 15 para termos, nessa ordem, três números em 
P.G? 
2) Qual é o numero X que deve ser somado aos números a-2 e a+3 para que a-2+x, a+x e a+3+x 
formem uma P.G? 
3) Sabendo que x, x+9 e x+45 formam uma P.G, qual o valor de x? 
4) Há 10 anos o preço de certa mercadoria de 1+x cruzeiros. Há 5 anos era de 13+x cruzeiros e hoje é 
de 49+x cruzeiros. Sabendo que tal aumentou deu-se em progressão geométrica e de 5 em 5 anos , 
determine a razão do aumento. 
 
2.4- INTERPOLAÇAO GEOMÉTRICA 
 
É quando inserimos valores em P.G ( meios geométricos) no interior de um intervalo finito de termos. 
 
1) Interpole 6 meios geométricos reais entre 640 e 5. 
2) Sendo A e B números dados, ache outros dois X e Y tais que a,x,y,b, formem uma P.G 
 
2.5- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G 
 
Exemplos: 
1) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da serie: 1+3+9+27 
2) Calcule a soma das 10 primeiras parcelas da sequência : 1+ 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
2.6 Soma dos termos de uma P.g. infinita: 
10 
 
 
 
Exemplos: 
Calcule a soma dos termos das sequências abaixo: 
a) ( 
 
 
 
 
 
 
 
) b) ( 
 
 
 
 
) c) ( 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
2.7 EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 
 
Progressão Aritmética 
1) Obter o vigésimo temo da P.a( 1, 6 , 11 ) 
 
2) Obter o valor de x de modo que a sequência( x-5, 8, ,2x-6) seja uma P.a 
 
3) Determinar uma P.A crescente de três termos, sabendo que a soma do seus termos vale 27 e a 
soma dos quadrados de seus termos é 315 
 
4) Quantos múltiplos de 7 existem entre 20 e 510 
 
5) Determinar a razão da P.A quando são inseridos 7 meios aritméticos entre 4 e 52 
 
6) Qual o sétimo termo da P.a obtida ao se inserir oito meios aritméticos entre 2 e 74 
 
7) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da P.a seja 8 
8) Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A ( -7,-3,1....) 
 
9) Resolva a equação 3+7+11+.....+ x= 465 
 
10) Um ônibus percorre no primeiro dia uma distancia x, no segundo dia uma distancia o dobro do que 
percorreu no dia anterior, e no terceiro dia o triplo que percorreu no primeiro dia, no final de dez dias 
foram percorridos 5500 k m. qual a distância percorreu no primeiro dia? 
 
11) Três números estão em P.A crescente sua soma é 15 e a soma de seus quadrados é 107 o primeiro 
desses números é 
 
12) Em uma P.A a soma do primeiro termo com o quarto termo é 16 e a soma do terceiro com o quinto 
termo é 22 a soma dos 6 primeiros termos dessa P.A 
 
13) Se x= (1+3+.....49) é a soma dos números impares e Y=(2+4+6+.....+50) a soma dos números 
pares então X-Y vale 
 
14) O valor da soma 1+2+3.......+97+98+99 é: 
 
15) Numa cerimônia os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triangulo com 1, 
na primeira fila 3 na segunda fila e 5 na terceira fileira formando assim uma P.A o número de 
formando é: 
 
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16) Os lados de um triângulo estão em P.A de razão 3 o número de unidades quadradas que expressa 
a área desse triangulo é 
 
17) Um teatro foi construído da seguinte maneira: 16 cadeiras na primeira fileira, 18 cadeiras na 
segunda fileira e assim por diante sabendo-se que são 20 fileiras, o número total de cadeiras para a 
platéia é igual a 
 
18) Um garoto vai comprar um vídeo game que custa 420 reais vai guardar 2 reais nessa semana, 4 na 
segunda semana, seis na terceira semana o número de semanas necessárias para poder comprar o 
vídeo game é 
 
Resp.: 1) 96 2) 9 3) (3,915) 4) 70 5) 6 6) 50 7) 7 8) 620 9) X=15 
10) 100m 11) 4 12) 60 13) -25 14) 4950 15) 400 16) 54 17) 700 
18) 20 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
 
1) Numa P.g crescente o 5º termo e o 7º termo são respectivamente 24 e 216. Qual a razão da P.G? Qual 
o décimo termo da P.G? 
2) Obter o número de termos da P.G em que o 1º termo é 1/81, a razão é 3 e o termo geral é 243.3) Determine o número de termos da P.G( 128,64......,1/256). 
 
 
4) Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15, para que se tenha nessa ordem uma P.G? 
 
5) Qual é o numero que deve ser subtraído de 1,11 e 31, para que se tenha nessa ordem uma P.G? 
 
6) Dada a P.G (1,3,9,27....) sua soma é 3280. Quantos termos tem essa P.G? 
 
7) Numa plantação de eucaliptos, uma praga atingiu as árvores, sendo que uma arvore adoeceu na 
primeira semana, duas na segunda semana, 4 na terceira semana, ate que toda plantação ficou doente 
com exceção de 7 arvores. Qual o numero total de árvores dessa plantação? 
 
8) Dada a PG ( 2,4,8....) calcule seu 10º termo 
 
9) Determine a geratriz da dizima periódica 4,88888.......... 
 
10) Encontre x em: x +x/3+x/9 +......=12 
 
11) O terceiro e o sétimo termo da pg valem respectivamente 10 e 18 o quinto termo dessa pg vale? 
 
12) Se x e y são positivos se X, XY e 3X estão nessa ordem em pg então o valor de Y é: 
 
12 
 
 
13) São dadas duas progressões uma P.A e uma P.G sabe-se que a razão da P.G É 2, em ambas o 
primeiro termo vale é igual a 1e ambas tem 5 termos, a soma dos termos da P.A é igual a soma dos 
termos da P.G então a razão da P.A vale: 
 
14) Uma P.A e uma PG tem ambas o primeiro termo igual a 4, seus quartos termos são estritamente 
positivos e iguais. O segundo termo da P.A excede o segundo termo da P.G em 2, o terceiro termo das 
progressões é: 
 
15) São dados 3 números em P.G cuja soma é 26, determinar esses números sabendo que o primeiro o 
dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma P.A. 
 
16) Em um triangulo a medida da base sua altura e a medida da área formam nessa ordem uma P.G de 
razão 8 então a medida da base vale: 
 
17) Sejam A,B,C números naturais tais que a sequência ( A,B,C ) é uma P.A e ( B, 28, 2 ( a+c) ) é uma P.G 
então B vale: 
 
18) A solução da equação x +x/3+ x/9 + x/27 ....= 60 
 
19) Os números 3,x, 9 formam nessa ordem uma P.A e os números 4,y, 16 formam nessa ordem uma P.G 
se x>o e y>o então : 2x+ y vale: 
 
20) Numa p.g de termos positivos o primeiro é igual a razão e o segundo termo é 3 qual o oitavo termo da 
P.G 
 
21) (UFJF/95) Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma progressão aritmética de razão 
r . O valor de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça 128 é: 
 
a) 10 b) 15 c) 20 d) 27 e) 36 
23A soma de 1/100 + 1/10000 + 1/1000000 vale: 
 
24Inserindo-se 4 meios geométricos entre K e 3125 obtemos uma P.G de razão 5 qual o valor de K: 
 
25Uma cultura de certa bactéria mantida em condições ideais triplica seu volume a cada dia, se o volume 
no primeiro dia é de 9 U.V o volume no quinto dia é ? 
 
26) Se em uma P.G a soma do terceiro com o quinto termo vale 45 e a soma do quarto com sexto vale 135 
então a razão é igual a: 
 
RESP : 1) 10º=5832 Q=3 2) N=10 3) N=16 4) x=33 5) x=-9 6) N=8 7)1030 
8) 10249) 44/9 10) 8/9 11) x=√ 
 
 12) √ 13) 
 
 14)11/6 15) 10 16) 18,6,3 
17) 14 18) 14 19) 40 20) 20 21) 81 22) 10º 23) 1/99 24) 1 25) 729 
26) 3 
 
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2.8 TEXTOS CURIOSOS SOBRE P.A E P.G 
 : 
 
A sequência de Fibonacci: 
 
Leonardo de Pisa, chamado Fibonacci, discutiu discutiu no seu Liber Abaci (1202 e 1208) este problema: 
Um certo homem pôs um par de coelhos num local rodeado por uma parede. Quantos pares de coelhos 
podem ser produzidos por esse par num ano, supondo que todos os meses cada par tem um par, que a 
partir do segundo mês se torna produtivo? 
Assumindo que todos os coelhos são imortais, o número ao fim de cada mês segue esta sequência: 
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233… 
(Leonardo omitiu o primeiro termo supondo que o par procriava imediatamente) 
Ela foi baptizada sequência de Fibonacci, por Eduard Lucas, em 1877, quando a utilizou, e também outra 
sequência, a que foi atribuída o seu nome, ao procurar primos entre os números de Mersenne. 
 
A sua primeira e mais simples propriedade é que cada termo é a soma dos dois que o antecedem. Assim 
sendo, o próximo será 144 + 233 = 377. 
 
 
 
 
Capítulo III 
 
INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA ELEMENTAR 
 
 
14 
 
 
 
 
 
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18 
 
 
 
PINTOU NO ENEM: 
1) O Quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A 
coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em 
quantos jogos o time marcou aquele número de gols. 
 
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 a) X=y b) Z c) Z d) e) Z 
 
resp:E 
 
2) (F. I. Antônio Eufrásio de Toledo) Para verificar a veracidade de uma denúncia, enviada à rádio 98 
FM, sobre o excesso de mercúrio em um certo produto enlatado, examinou-se um lote de 10 latas 
do produto. Foram constatadas as seguintes massas de mercúrio nas latas: 0,4g; 0,5g; 0,3g; 
0,35g; 0,45g; 0,5g; 0,45g; 0,4g; 0,45g e 0,5g, por 1000 gramas de produto. Sabe-se que uma 
remessa é confiscada quando, em média, a massa do mercúrio ultrapassa 0,42g. Serão 
colocadas mais 5 latas nesse lote, com igual massa de mercúrio em cada lata. Qual das 
alternativas é o valor máximo do mercúrio que dee haver em cada nova lata para que a remessa 
não seja confiscada? 
 
a) 0,38g b) 0,39g c) 0,40g RESP: E 
d) 0,41g e) 0,42g 
3) (UFSCAR) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o 
sexo, é dada pelo gráfico seguinte. 
Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que: 
 
a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos 
é maior que o número de meninos nesse mesmo 
intervalo de idades. 
b) o número total de alunos é 19. 
c) a média de idade das meninas é 15 anos. 
d) o número de meninos é igual ao número 
de meninas. 
e) o número de meninos com idade maior que 15 anos é maior que o número de meninas 
nesse mesmo intervalo de idades. 
Resp: D 
 
 
 
20 
 
 
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Bibliografia: 
Moreira, Filipe.Apostila de trigonometria do Instituto Tecnológico da Aeronáutica. São Paulo 2005 
BEZERRA, M.J. & JOTA, J.C. Bezerra:Matemática. São Paulo: Scipione, 1996. 4ª Edição. 
GARBELINI, Ramalho. Apostila de Matemática do Curso Pré-Universitário da Universidade Federal de Juiz 
de Fora. Juiz de Fora, 2005 
YOSSEF, A.N., FERNANDES, V.P. & SOARES, E. Matemática: ensino médio.São Paulo: Scipione, 2005. 1ª 
Edição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Capítulo IV 
 
TRIGONOMETRIA 
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: Tri ( três), gonos (ângulos) e metron 
( medir). Daí vem seu significado mais amplo: medidas dos triângulos. Dizemos então que a 
trigonometria é a parte da Matemáticacujo o objetivo é calculo das medidas dos elementos do 
triangulo ( lados e ângulos). 
Inicialmente considerada como uma extensão da Geometria, a trigonometria já era estudada 
pelos Babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia de 
navegação e de agrimensura, aliás, foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos 
da trigonometria, poisse sabe que o famoso astrônomo grego Hiparco( 190 a.c. 125 a.c) foi 
quem empregou pela primeira vez relações entre lados e os ângulos de um triangulo retângulo. 
Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se 
estende a outros campos da Matemática, como Analise, e a outros campos da atividade 
humana como eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topografia, a Engenharia Civil 
etc. 
. 
4.1 OTRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Chamamos de triangulo retângulo, o que tem um ângulo igual á de 90º( ângulo reto). Num 
triangulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo reto são chamados de “ catetos” e o 
lado em frente ao ângulo reto é a Hipotenusa 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 4.2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
São relações que existem entre os lados e os ângulos de um triangulo retângulo. 
. 
Seno: Num triangulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é dado pelo quociente ( razão) 
entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa 
 
Cosseno: Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é dado pelo quociente ( 
razão) entre o cateto adjacente a esse ângulo e a Hipotenusa 
 
Tangente:Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é dado pelo quociente 
(razão) entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Podemos também dividir 
valor do Seno de um ângulo pelo valor do cosseno do mesmo angulo 
 
 
 
4.3 Ângulos Notáveis da Trigonometria 
. 
Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e 60°, 
é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos. 
 
Observe o triângulo eqüilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a 
x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar a bissetriz do 
ângulo A e a mediatriz da base BC. 
30 
 
 
 
Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC: 
 
Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos 
determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC. 
 
 
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Como o triângulo eqüilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal do 
quadrado formando dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o 
ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como: 
 
Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d. 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, iremos descobrir um valor para a diagonal 
(d) em função de x. 
 
 
32 
 
 
 
Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do 
triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°. 
 
Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular 
as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º do 
triângulo retângulo. A partir dos cálculos efetuados construímos a seguinte tabela de relações 
trigonométricas: 
 
4.4 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
 
1) Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: 
 
 
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34 
 
 
 
Resp: e 
 
Resp: a 
PINTOU NO ENEM 
1) Um barco atravessa um rio em um trecho cuja largura é 100 m, seguindo uma direção 
que forma um ângulo de 30° com uma das margens. Qual a distância percorrida pelo 
barco na travessia? 
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2) A medida de ED na figura abaixo é: 
 
3) 
 
4.5 Círculo Trigonométrico 
A circunferência trigonométrica é de extrema importância para o nosso estudo da 
Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos. Trata-se de uma 
circunferência com centro na origem do sistema de eixos coordenados e de raio 1, como é 
mostrado na figura abaixo: 
 
 
III.1 – Ângulo central 
Qualquer ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chamamos de ângulo central. Como 
exemplo temos o ângulo (AÔB). 
III.2 – Unidades de medidas de ângulos; 
36 
 
 
Existem algumas unidades conhecidas comas quais podem medir um ângulo. A mais 
conhecida é o grau, mas há algumas outras que podem aparecer no nosso vestibular!!!! Vamos 
entender como cada uma dessas unidades foram definidas. 
• Grau: Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses 
pontos marcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 360 
ângulos centrais. Cada um desses ângulos é chamado de 1 grau. 
• Grado: Da mesma forma que foi feita a definição de um grau, faremos para definir um grado. 
A única diferença entre essas medidas é que para o grau dividimos a circunferência em 360 
arcos iguais e para o grado dividiremos essa mesma circunferência em 400 partes iguais. 
• Radiano: Outra unidade é chamada de radiano. Essa é uma das mais importantes e é a que 
mais faremos uso no nosso curso de trigonometria. Sejamos práticos: Desenhamos no chão 
uma circunferência de raio r. Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferência 
(sobre a curva) o equivalente à r. Marcamos o lugar que ela pára. Agora marcamos o ângulo 
central que corresponde à esse arco que a formiga andou. Esse ângulo central formado mede 
1 radiano (1 rd). 
Faça a seguinte experiência!!!! 
1. Com o auxílio de um compasso, desenhe uma circunferência de raio R = 10cm. 
2. Pegue um pedaço de barbante e cubra essa circunferência por inteiro. 
3. Estique esse barbante e meça o seu tamanho (L) com uma régua. 
4.Calcule o valor da razão expressa por:k= 
 
 
5. Anote o resultado em uma tabela. 6. Repita esse procedimento para circunferências de raios 
5cm e 8cm. 7. Compare a sua tabela com a tabela abaixo. 
R = 10cm k= 
 
 R = 8cm k= 
 
 R = 5cm k= 
 
 
L = 62,8cm ≈6,28 L = 50,4 cm ≈6,28 L = 31,4cm ≈6,28 
Repare que não importa o valor de R que você use, quando você calcular o valor de 
k= 
 
, o resultado surpreendentemente, é sempre o mesmo e aproximadamente igual à 6,28. 
Essa constante pode ser calculada com exatidão, mas para isso é necessário o uso de uma 
matemática mais pesada, essa constante chamamos de 2π. Assim, o comprimento de qualquer 
circunferência é dado por L = 2 π R.No caso do nosso estudo, o raio vale 1 por definição. 
Assim, a nossa circunferência mede 2π. Como foi dito acima, 1(um) radiano é o valor de um 
ângulo que equivale à um arco que mede r (no nosso caso r = 1). Como nossa circunferência 
mede 2π, cabem nela 2π radianos. Assim, dizemos que na circunferência inteira temos: 
º360 ............equivale à.............2 π radianos........... que equivale à...........400 grados 
Unidades de medidas de arcos 
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2πR ............ 2π 
C..............ϴ 
C =R θ , em que c é o comprimento do arco. 
OBS.: No caso da circunferência trigonométrica, por definição, ela tem raio 1, logo a expressão 
acima fica reduzida à: C=ϴ 
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 
1) Determine os menores arcos côngruos dos arcos mostrados abaixo bem como quantas voltas na 
circunferência foram dadas para que cada um desses arcos fossem gerados. 
a-) 3000º b) 5200º 
 
 d) 
 
 e) 3 760 π f-) 20000º g-) 720º 
 
 
Resp: a) 
 
 b) 
 
 c) 45600º d) 1044º 
2) Determine: 
a-) sen (2000π) b-) cos 
 
 c) tg 
 
 d) Sen 25π 
 
 f) sen 
 
 
 
4.6 REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 
O que é redução ao 1º quadrante? 
Reduzir um ângulo ao 1º quadrante consiste em determinar um ângulo positivo do 1º quadrante, cujas 
razões trigonométricas tenham, em valor absoluto, valores iguais às do ângulo dado. 
Ou seja, dado um ângulo de amplitude α qualquer, procura-se um ângulo do primeiro quadrante que 
apresente os mesmos valores para as razões trigonométricas, a menos do sinal. 
Porém... 
Não se está a dizer que os ângulos vão ter os mesmos valores para as razões trigonométricas ou que o 
sinal das mesmas vai ser obrigatoriamente diferente! 
Apenas se afirma que pode, ou não, haver diferença de sinal na comparação de cada uma das razões 
trigonométricas 
Para isso vamos relembrar algumas coisas. 
Relembrando o Círculo Trigonométrico 
Para nos referir a ângulos utilizamos duas notações: em graus e em radianos; 
Dois ângulos, de amplitudes α e β, são complementares se α + β = 90° ou α + β = π/2 rad. 
Dois ângulos, de amplitudes α e β, são suplementares se α + β = 180° ou α + β = π rad 
RELEMBRANDO OS QUADRANTES NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
38 
 
 
 
Redução do segundo para o primeiro quadrante: 
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Redução do terceiro para o primeiro quadrante 
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Redução do quarto para o primeiro quadrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO: 
Características da função seno 
 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O 
sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 
3º e 4º quadrantes. Observe: 
 PARIDADE: A função f: R→R dada por F(x)= Sem(x) é dita ímpar, ou seja, F(-x)= -Sen(x) 
Crescimento/ decrescimento: A função cresce no 1º e 4º quadrantes, decresce no 2º e 3º 
quadrantes 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO: f(X)= Sen(x) 
42 
 
 
 
 
 
 FUNÇÃO COSSENO 
Características da função cosseno 
 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O 
sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 
2º e 3º quadrantes. Observe: 
Paridade: A função Cosseno, é uma função par, ou seja, F(x)= Cos(-x) 
Crescimento/decrescimento: A função Cosseno cresce no 3º e 4º quadrantes, e decresce no 
1º e 2º quadrante. 
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 FUNÇÃO TANGENTE 
Características da função tangente 
 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. 
Sinais da função tangente 
.Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
.Valores negativos nos quadrantes pares Crescente em cada valor 
 
 
 
 
 
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Curiosidades sobre a Trigonometria 
Aplicações da trigonometria na vida real! 
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 Trigonometria e arquitetura 
Não é possível separar a arquitetura da trigonometria, o que é fundamental para superfícies curvas em 
materiais de construção como aço e vidro. A ciência é utilizada para determinar a altura de prédios ou criar 
objetos dimensionais para utilizar em construções. A trigonometria é utilizada para fazer demarcações de 
cubículos em um prédio de escritórios, além de ser útil na predeterminação de padrões geométricos e da 
quantidade de material e mão-de-obra necessários para erguer uma estrutura. Quando ela estiver erguida, 
não só será forte, mas também terá medidas precisas. 
 Imagem digital 
A mesma ciência é utilizada na indústria musical. O som viaja em ondas que são utilizadas no 
desenvolvimento de música pelo computador. Um computador não entende a música como o ser humano; 
ele a representa matematicamente pelas suas ondas constituintes. Precisamente, engenheiros de som que 
trabalham no avanço da música digital e compositores de alta tecnologia precisam aplicar a lei básica da 
trigonometria, como as funções de seno e cosseno. Os padrões das ondas de música não são tão regulares 
como as das funções seno e cosseno, mas elas ainda são úteis no desenvolvimento da música digital. 
 Navegação, geografia e astronomia 
A triangulação, que é a aplicação da trigonometria, é utilizada por astrônomos para calcular a distância 
entre a Terra e estrelas próximas. Em geografia, ela é utilizada para medir a distância entre pontos de 
referência, além de ser também utilizada em sistemas de navegação por satélite. Por exemplo, um piloto 
decolando do aeroporto de Guarulhos em São Paulo deverá saber qual o ângulo de decolagem e quando 
deve virar a um certo ângulo no céu para chegar até o aeroporto Heathrow em Londres. 
 
EXERCICIOSDE FIXAÇÃO 
1)Determine todos os valores de m para que 2senx=2-m e cosx=√ 
2)Quantas e quais as soluções entre o intervalo [0,2π] a equação senx = 0 admite? 
3)Quantas e quais as soluções entre o intervalo [0,2π],a equação cosx = 1 admite? 
4)Quantas e quais as soluções entre o intervalo [0,2π ] a equação cos3x=−1 admite? 
5)(UNITAU-95) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; Im=[-1, 1] e período π que é 
representada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir: a) y = 1 + cos x. 
b) y = 1 - sen x. c) y = sen (-2x). d) y = cos (-2x). e) y = - cos x. 
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6) (PUC) Todos os valores de x, de modo que a expressão senθ= 
 
 são : a) 
–1 ≤ x < 1 b) –1 < x ≤ 0 c) –1 ≤ x ≤ 2 d) –1 ≤ x ≤ ½ e) –1 ≤ x < 1/3 
 7)(CESCEM) Se x ∈ ] π; 3π/2[ e cos x = 2k-1, então k varia no intervalo: 
a)]-1,0[ b) [-1,0[ c) ]0, ½[ d) ]0,1[ e) ] ½ ,1[ 
 8) (PUC) O valor numérico da expressão : y = cos 4x + sen 2x + tg 2x – sec 8x para x = 
π/2 é: 
a) 2 b) 1 c) 3 d) 0 e) 4 
 9) (CESCEM) O menor valor que assume a expressão (6 - senx), para x variando de 0o a 
360o é: 
a) 7 b) 6 c)5 d) 1 e) -1 
 10) (FEI) Se 0 < x < π/4, é válido afirmar-se que: 
a) sen (π/2 - x) = sen x c) sen (π + x) = sen x e) cos (π + x) = sen x 
b) cos (π - x) = cos x c) sen (π + x) d) sen (π/2 - x) = cos x 
11) (MACK) Sendo 4sen x = 3 cos x , para qualquer valor real de x então tg x vale : 
a) ¾ b) 4/3 c) 1 d) – ¾ e) – 4/3 
 12) 12) (FUVEST) O menor valor de 
 
, com x real, é: 
a) 1/6 b) ¼ c) ½ d) 1 e) 3 
GABARITO: 1) 
 
 2) 0 3) 3 4) 3 5) c 6) c 7) 8) d 9) a 10) d11) a 12) C 
4.8 RELAÇAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 
No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é representado pelo seno e o eixo vertical, pelo 
cosseno. A determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do círculo, temos sua 
projeção no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traçarmos um segmento de reta do eixo das 
48 
 
 
origens do círculo até o ponto determinado, formamos um ângulo Ө, como mostram os 
esquemas a seguir: 
 
 
 
 
 
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PINTOU NO ENEM 
 
1)Uma mulher sobe numa mesa quando vê um rato no chão. A altura da mesa é de 50 cm e a altura da 
mulher é de 1,50 m. O rato se encontra parado, rindo da cara dela, à 5 metros da mesa. Calcule a distância 
dos olhos da mulher ao rato. Resp:√29 
2) Um poste de luz de 5 metros de altura produz uma sombra no chão de 8 metros. Qual a distância da 
ponta do poste à ponta da sombra deste no chão? Resp: d=√ 
3)A figura mostra a posição de um avião observado a partir de dois pontos, A e B, localizados no solo e 
distantes 1 Km um do outro. Sabe-se que, nesse instante, o avião dista, respectivamente, √88 km e 9km, 
dos pontos A e B. Nessas condições, determine a altura do avião, em relação ao solo, no instante 
considerado. Resp: 6√2 km 
 
 EXERCICIO DE FIXAÇÃO 
1) Se senx= -
 
 
 e x for pertecente ao 4º quadrante, então Secx vale: 
a) 3/5 b) -5/3 c) 5/3 d) 2/5 e)-2/5 resp: C 
 
2) Se senx= 
 
 e X, pertence ao 1º quadrantee, entao cosx vale: 
a) 1/3 b)5/9 c) √ 
√ 
 d)√ 
 
 e) N.D.A resp: D 
03.Sendo Senx= 1/3, 0˂ x ˂ π/2, calcule: Cosx, Tgx, Secx, Cossecx 
Resp: √ 
 
; Tgx=√ 
 
; Secx= √ 
 
; Cossecx=3 
04. Determine a, de forma que se tenha simultaneamente senx=
 
 
ecosx=√ 
 
 
Resp: a =2 
05. Se 2senx+ cosx=1 então senx vale: 
a) ½b) 3/5 c) 4/5 d) 6/5 e) n.d.a resp: 4/5 
6) simplificando a expressão 
50 
 
 
a) 
 
 b) 
 
 c) 
 
 d) 
 
 
resp: 1) (a) senx (b) cos² x (c) tg²x 
7)Sabendo que Senx=√ 
 
 e que X, está no 2º quadrante, então o valor de Tgx é: 
a) √ b) √ c)√ d)2√ e) nd.a resp: e 
8) Simplifique a expressão: 
 
 
 
 
 
a) Sec³x b) Sen²x c) Tg³x d) 
 
 e) 1- tg²x resp: C 
9) Dados Senx= 
 
 
 e x 
 
 
 determine o valor de: -32tgx+1 resp:25 
10) Sendo X um número real em que as funções são definidas e o denominador é diferente de zero, a 
expressão: 
 
 
 
a) 1 – cosx b) 1 c) 1+ cosx d) Senx e) –Senx resp: e 
 11) Se senx=
 
 
e 
 
 , então o valor de Tgx é: 
 a) 2√ b) √ 
 
c) - √ 
 
 d) 
 
 resp: b 
12) Sendo Senx= 
 
, com 0 
 
 qual o valor da expressão: 
Y= 
 
 resp: √ 
 
 
13) Se X é tal que 
 
 e Secx=√ , então o valor de Senx é: 
a)√ 
 
 b) √ 
 
 c) √ 
 
 d) - √ 
 
 e) √ 
 
 resp:b 
14)Sendo Senx= 
 
 e X está no 2º quadrante então Cosx=√ 
 
, 
( ) verdadeiro ( ) Falso resp: Verdadeiro 
15) Sendo Tgx= 
 
 e x pertence ao 2º quadrante então cosx, vale 
a) 
 
 b) 
 
 c) 
 
 d) 
 
 e) n.d.a resp:C 
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4.9 FÓRMULAS DE ADIÇAO DE ARCOS E ARCOS DUPLOS 
Demonstração 
 
Baseados nas construções geométricas mostradas na representação acima, concluímos que 
os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e muito parecidos, ou seja: 
I) OM = cos a 
PM = sen a 
OS = cos b 
QS = sen b 
ON = cos (a + b) 
52 
 
 
 
Como: 
ON = OV – NV = OV – TS, resulta em: cos (a + b) = cos a .cos b – sen a . sen b 
• Cosseno de (a – b) 
Cos( a- b)=cós a.cos b+ sena.sem b 
 
Demonstração 
Como cos ( – b) = cos b sen ( – b) = sen b, temos: cos (a – b) = cos [a + (– b)] = = cos a . cos (– b) – sen a . 
sen (– b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
• Seno de (a + b) 
Sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa 
 
• Seno de (a – b)=sen a . cós b – sem b. cós a 
 
Demonstração : 
Como cos (– b) = cos b sen (– b) = – sen b temos: sen (a – b) = sen [a + (– b)] = sena .cos (– b) + 
cosasen(– b) = sen a . cos b – cos a . sen b 
• Tangente de (a + b) 
Tg(a+b)=
 
 
 
 
 
• Tangente de (a – b) 
Tg( a- b)= 
 
 
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Demonstração: Como Tg(-b)=-tg(b), temos que tg(a – b)= tg[a+(-b)] 
 = 
 
= 
 
 
 
 4.10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
1) Utilize as fórmulas de adição e subtração de arcos e calcule: 
 
a) º75sen b) º120sen c) º105cos 
resp: a)√ 
 
 
√ 
 
 b) √ 
 
 c)√ 
 
 
√ 
 
 
 
2)Se 98,0)( batg e 1tgb , calcule tga resp: 49 
 
3) Sabendo que 
5
42 asen , calcule gatga cot . 
Resp: C 
 
4) Sendo 
2
5cos  asena , calcule o valor de asen2 . 
Resp: 
 
 
 
5) (CESGRANRIO) Se 
2
1cos  xsenx , calcule o valor de xsenx cos.. 
6) (PUC) Se 
3
1
tg , calcular 2tg . 
Resp: 
 
 
 
7)(PUC) Se 33)(  yxtg e 3tgx , determine o valor de ytg2 . 
54 
 
 
Resp: 
 
 
 
8) (MACK) Se 4sec x , com 
2
0  x , quanto vale xtg2 ? √ 
 
 
 
9) (FUVEST) Calcule o valor de   º20.º10cotº10 sengtg  . 
Resp: 2 
 
4.11. FÓRMULAS DE ARCOS DUPLOS E ARCO METADE 
Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas 
relações trigonométricas para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são conseqüências 
imediatas das fórmulas de soma de arcos. 
Como: 
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) 
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
tan(a+b)= 
sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) 
 
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) 
Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula: 
Tg(a+b)=
 
 
 
Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo: 
sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a) 
cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a) 
 
de onde segue que: Tg(2a)=
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com 
o cosseno do arco: 
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) 
= cos²(a) - (1-cos²(a) 
= 2 cos²(a) - 1 
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55 
 
 
 Fórmulas de arco metade 
Partindo das fórmulas do arco duplo 
cos(2a) = 2cos²(a) - 1 
cos(2a) = 1 - 2sin²(a) 
e substituindo 2a=c, obtemos: 
cos(c) = 2cos²(c/2) - 1 
cos(c) = 1 - 2sin²(c/2) 
Assim: Sen(
 
 
) √
 
 
e Cos(
 
 
) √
 
 
 
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por: 
 Assim temos que:Tg(
 
 
) √
 
 
 
 
 4.12. Exercício de Fixação 
Caiu no Enem: 
1) Simplifique as expressões abaixo: 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
resp: (a) semx ( b) cos² x (c) tg²x 
2) Calcule o valor numérico de I tal que: 
I 
 
 
 
 
 
 
 
01- Calcule os valores de: 
a) cos15 
b) 105sen  
c) 75tg  
d) sec285 
 
56 
 
 
03- Calcule cot 165g  ,sec255 e cossec15 . 
04- Se 2tgA  e 1tgB  , ache ( )tg A B .resp: 
 
 
05- Calcule o valor da expressão 105 cos75sen   .Resp:√ 
 
 
06- Dados: 
3
5
senx  e 5cos
13
y  , calcule o  cos x y , sabendo que 
0
2
x   e 3 2
2
y   .Resp : 
 
 
07- Sabendo que 
2
3
tga  e 4
5
senb  com 
2
x   , calcule 
( )tg a b . Resp:18 
08- Simplifique cada expressão: 
a) 70 .cos20 20 .cos70A sen sen     
b) cos70 .cos20 70 . 20B sen sen     
c) 70 .cos20 20 .cos70C sen sen     
d) cos70 .cos20 70 . 20D sen sen     
resp: a) Sen90º b) cos90º c) sen50º d) cós 50º 
09- Sabendo que 
4
x y   , calcule o valor da expressão abaixo: 
resp: √ 
   
2 2cos cossenx seny x y  
 
10- Se 50a sen  , qual é, em função de a, o valor da expressão 
5 cos5E sen  ? Resp : √ 
 
 
11- Se x é a medida de um arco do 1º quadrante e se 3cossenx x , 
então quanto vale 2sen x ? Resp: 
 
 
12- Calcule o valor de 
2
cos
12 12
sen       
  
.resp: 
 
 
 
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57 
 
 
13- O valor da expressão abaixo é: 
34 .cos 26 26 .cos34
cos57 .cos 27 57 . 27
sen sen
sen sen
   
    
 
a) 3 b) 1 c) 3
4
 d) 
6
2
e) 
2
4 resp:a
 
14- Se sec 4x  , com 0
2
x   , então quanto vale 2tg x ? 
resp √ 
 
 
15)- Dado 2
2
xtg  , quanto vale tgx ? 
a) 
3
5
 b) 
4
5
c) 
4
3
 d) 
4
3
e) 
5
3

 
resp: c 
16)- Se 5tgt  e 0
2
t   , então quanto vale 2sen t ? 
Resp:√ 
 
 
17-Qual o valor de 2y xz para o qual os números , , ,
12
sen x y z e 
75sen  , nesta ordem, formam uma progressão aritmética? 
18- Qual o valor máximo da função ( ) 3cos 2f x x senx  para x real? 
Resp: 5 
 
 
 
 
 
58 
 
 
REFERÊNCIAS: 
Moreira, Filipe. Apostila de trigonometria. Instituto Tecnológico da Aeronáutica. 
São Paulo 2005 
BEZERRA, M.J. & JOTA, J.C. Bezerra. Matemática. 4. Ed. São Paulo: Scipione, 
1996. 
GARBELINI, Ramalho. Apostila de Matemática. Curso Pré-Universitário da 
Universidade Federal de Juiz de Fora. Juiz de Fora, 2005. 
YOUSSEF, A.N., FERNANDES, V.P. & SOARES, E. Matemática: ensino médio. 1. 
Ed. São Paulo: Scipione, 2005. 
 
 
 
 
Bons estudos! 
Marcos Vinício de britto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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