Aula 32 - Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos - Menor

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Unidade 3 ± Cálculo de Probabilidades 
Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços 
Amostrais Finitos 
Estatística I 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 1 
Cálculo de Probabilidades 
Unidade 3 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 2 
‡ Descrever os conceitos básicos de probabilidade 
aplicáveis à estatística. 
‡ Determinar a probabilidade associada a um resultado de 
um experimento aleatório. 
‡ Determinar a probabilidade associada a um evento. 
‡ Determinar a probabilidade de eventos relacionados. 
‡ Aplicar o Teorema de Bayes para determinar 
probabilidades condicionais. 
Objetivo da Unidade 3 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 3 
‡ Aula 3.1 ± Experimentos Aleatórios, Regras de 
Contagem e Atribuição de Probabilidades. 
‡ Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços 
Amostrais Finitos. 
‡ Aula 3.3 ± Probabilidade Condicional e Regra de 
Bayes. 
Aulas da Unidade 3 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 4 
Cálculo de Probabilidade em 
Espaços Amostrais Finitos 
Aula 3.2 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 5 
‡ Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 
± Definir evento. 
± Determinar a probabilidade associada a um evento. 
± Aplicar as relações básicas de probabilidade. 
Objetivo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 6 
‡ Eventos e suas probabilidades. 
‡ Eventos complementares. 
‡ Eventos mutuamente excludentes. 
‡ Complemento de um evento. 
‡ Lei da Adição. 
Roteiro 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 7 
Eventos e suas Probabilidades 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 8 
‡ Evento: 
± É um conjunto de pontos amostrais. 
‡ Exemplo: 
± Jogo de um dado: 
9 Pontos amostrais: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
9 Evento 1: {1, 2, 3} 
9 Evento 2: {3, 4} 
9 Evento 3: {2, 3, 5, 6} 
Eventos e suas Probabilidades 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 9 
‡ Probabilidade de um Evento: 
± É a soma das probabilidades dos pontos amostrais 
do evento. 
‡ Exemplo: 
± Jogo de um dado: 
9 Cada ponto amostral possui probabilidade de 1/6. 
9 Probabilidade do Evento 1: P(1) + P(2) + P(3) = 1/2 
9 Probabilidade do Evento 2: P(3) + P(4) = 1/3 
9 Probabilidade do Evento 3: P(2) + P(3) + P(5) + P(6) = 2/3 
Eventos e suas Probabilidades 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 10 
‡ Relembre o projeto de uma empresa de 
construção de um empreendimento em duas 
etapas que vimos na última aula. 
‡ Vamos considerar que o gerente deseje saber 
as seguintes probabilidades: 
± 1ª: a do projeto terminar em até 10 meses; 
± 2ª: a do projeto terminar em menos de 10 meses; e 
± 3ª: a do projeto terminar em mais de 10 meses. 
Eventos e suas Probabilidades 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 11 
Relembrando os prazos de término e 
probabilidades de cada ponto amostral do projeto: 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 12 
Eventos e suas Probabilidades 
Exemplo 
Ponto Amostral Prazo de término do projeto Probabilidade do ponto amostral 
(2, 6) 8 meses P(2, 6) = 6 / 40 = 0,15 
(2, 7) 9 meses P(2, 7) = 6 / 40 = 0,15 
(2, 8) 10 meses P(2, 8) = 2 / 40 = 0,05 
(3, 6) 9 meses P(3, 6) = 4 / 40 = 0,10 
(3, 7) 10 meses P(3, 7) = 8 / 40 = 0,20 
(3, 8) 11 meses P(3, 8) = 2 / 40 = 0,05 
(4, 6) 10 meses P(4, 6) = 2 / 40 = 0,05 
(4, 7) 11 meses P(4, 7) = 4 / 40 = 0,10 
(4, 8) 12 meses P(4, 8) = 6 / 40 = 0,15 
Total: 1,00 
‡ Consultando a tabela anterior, podemos 
selecionar os pontos amostrais correspondentes 
a cada um dos eventos desejados: 
± 1º evento ± prazo até 10 meses: 
9 C = {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)} 
± 2º evento ± prazo menor que 10 meses: 
9 L = {(2, 6), (2, 7), (3, 6)} 
± 3º evento ± prazo maior que 10 meses: 
9 M = {(3, 8), (4, 7), (4, 8)} 
Eventos e suas Probabilidades 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 13 
‡ Deste modo, a probabilidade de cada evento 
será: 
± 1º evento ± prazo até 10 meses: 
9 P(C) = P(2, 6) + P(2, 7) + P(2, 8) + P(3, 6) + P(3, 7) + P(4, 6) 
9 P(C) = 0,15 + 0,15 + 0,05 + 0,10 + 0,20 + 0,05 = 0,70 
± 2º evento ± prazo menor que 10 meses: 
9 P(L) = P(2, 6) + P(2, 7) + P(3, 6) 
9 P(L) = 0,15 + 0,15 + 0,10 = 0,40 
± 3º evento ± prazo maior que 10 meses: 
9 P(M) = P(3, 8) + P(4, 7) + P(4, 8) 
9 P(M) = 0,05 + 0,10 + 0,15 = 0,30 
Eventos e suas Probabilidades 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 14 
‡ A partir dos resultados anteriores, podemos 
afirmar que: 
± Existe uma probabilidade de 0,70 do projeto ser 
concluído em até 10 meses; 
± Existe uma probabilidade de 0,40 do projeto ser 
concluído em menos de 10 meses; 
± Existe uma probabilidade de 0,30 do projeto ser 
concluído em mais de 10 meses. 
Eventos e suas Probabilidades 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 15 
Eventos Complementares 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 16 
‡ Dado um espaço amostral S e um evento A 
pertencente ao espaço amostral, definimos o 
complemento de A como sendo o evento 
constituído por todos os pontos amostrais que 
não estão em A. 
‡ Símbolo: Ac 
‡ A partir da definição acima: 
± P(A) + P(Ac) = 1 
Eventos Complementares 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 17 
Ac 
A 
S 
‡ Suponha que a probabilidade de um fabricante 
enviar um lote defeituoso ao seu cliente seja de 
0,10. 
‡ Deste modo, fazendo de A a eventualidade de 
envio de um lote defeituoso: 
± P(A) = 0,10. 
‡ Em consequência, a probabilidade de enviar um 
lote sem defeito será: 
± P(Ac) = 1 ± P(A) = 1 ± 0,10 = 0,90. 
Eventos Complementares 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 18 
Eventos Mutuamente Excludentes (Disjuntos) 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 19 
S 
A B 
S 
‡ Dois eventos são mutuamente excludentes (ou 
disjuntos) caso não possuam elementos (isto é, 
resultados experimentais) comuns. 
‡ Representação: 
± A ŀ B = ׎ 
‡ A partir da definição acima: 
± P(A ŀ B) = 0 
Eventos Mutuamente Excludentes (Disjuntos) 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 20 
A B 
‡ Suponha que um determinado espaço amostral 
possua cinco resultados experimentais 
diferentes: a, b, c, d, e. 
‡ Sejam os seguintes eventos: 
± E1 = {a, b, c} 
± E2 = {a, b, d} 
± E3 = {d, e} 
‡ Então, E1 e E3 são mutuamente excludentes, 
pois E1 ŀ E3 = ׎. 
Eventos Mutuamente Excludentes (Disjuntos) 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 21 
Lei da Adição 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 22 
‡ Vamos agora procurar saber como determinar a 
probabilidade de pelo menos um de dois 
eventos ocorrer. 
‡ Em outras palavras, dados os eventos A e B, 
desejamos saber qual a probabilidade de 
ocorrência de A, de B ou de ambos. 
‡ Para isto vamos lançar mão da Lei da Adição. 
Lei da Adição 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 23 
‡ União de dois eventos: 
± é o evento que contém todos os 
pontos amostrais que pertencem a 
A ou B ou a ambos. 
± símbolo: A ׫ B 
‡ Interseção de dois eventos: 
± é o eventoque contém os pontos 
amostrais que pertencem tanto a 
A quanto a B. 
± símbolo: A ŀ B 
Lei da Adição 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 24 
A B $�ŀ�% 
S 
S 
‡ Lei da Adição: 
± Sejam dois eventos A e B de um espaço amostral S. 
± A probabilidade de que o evento A, o evento B ou 
ambos ocorram é dada por: 
± P(A ׫ B) = P(A) + P(B) ± P(A ŀ B) 
Lei da Adição 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 25 
‡ Sejam A e B dois eventos em um dado espaço 
amostral, sendo: 
± P(A) = 0,3 
± P(B) = 0,2 
± P(A ŀ B) = 0,1 
‡ Deste modo, P(A ׫ B) será dado pela Lei da 
Adição: 
± P(A ׫ B) = P(A) + P(B) ± P(A ŀ B) = 0,3 + 0,2 ± 0,1 
± P(A ׫ B) = 0,4 
Lei da Adição 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 26 
‡ Nota 1: Se A e B forem mutuamente excludentes ou 
disjuntos então: 
± P(A ׫ B) = P(A) + P(B) 
‡ Nota 2: Se os eventos A e B forem complementares em 
relação ao espaço amostral S: 
± P(A ׫ B) = 1 ֜ P(A) = 1 ± P(B) 
‡ Nota 3: Se tivermos três conjuntos A, B e C: 
± P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) ± [P(A ŀ B) + P(A ŀ C) + 
P(B ŀ C)] + P(A ŀ B ŀ C) 
Lei da Adição 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 27 
‡ Determine P(A ׫ B) sabendo que os conjuntos 
são disjuntos e as probabilidades abaixo: 
± P(A) = 0,3 
± P(B) = 0,2 
‡ Solução: 
± P(A ŀ B) = 0,0 
± Logo: P(A ׫ B) = 0,5 
Lei da Adição 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 28 
‡ Determine P(B), sabendo que A e B são 
complementares e P(A) = 0,3. 
‡ Solução: 
± P(A) = 0,3 
± P(A ׫ B) = 1,0 
± Logo, P(B) = 1 ± P(A) = 1 ± 0,3 = 0,7 
 
Lei da Adição 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 29 
‡ Determine P(A ׫ B ׫ C) dadas as probabilidades abaixo: 
± P(A) = 0,40 
± P(B) = 0,30 
± P(C) = 0,20 
± P(A ŀ B) = 0,20 
± P(A ŀ C) = 0,15 
± P(B ŀ C) = 0,10 
± P(A ŀ B ŀ C) = 0,05 
‡ Solução: 
± P(A ׫ B ׫ C) = 0,40 + 0,30 + 0,20 ± (0,20 + 0,15 + 0,10) + 0,05 = 0,50 
Lei da Adição 
Exemplo 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 30 
Exercícios 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 31 
‡ Ler Capítulos 4.2 e 4.3 do livro ³(VWDWtVWLFD Aplicada à 
Administração e (FRQRPLD´ do Anderson, Sweeney e 
Williams. 
‡ Fazer exercícios da Lista 3.2. 
Exercícios 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 32 
‡ Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço 
amostral, ³WUDGX]D´ em linguagem de conjuntos as 
seguintes situações: 
a) Pelo menos um dos eventos ocorre; 
b) O evento A ocorre, mas B não; 
c) Nenhum deles ocorre; 
d) Exatamente um dos dois ocorre. 
Exercício 1 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 33 
S 
A 
B 
Solução 1 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 34 
S 
A 
B 
S 
A 
B 
S 
A 
B 
S 
A 
B 
A U B 
A ± �$�ŀ�%�� �$�ŀ�Bc 
S ± (A U B) = Ac ŀ�Bc 
�$�ŀ�Bc) ׫ (Ac ŀ�%� 
a) 
b) 
c) 
d) 
‡ Uma universidade tem 10 mil alunos, dos quais 4 mil são 
considerados esportistas. Possui ainda 500 alunos de 
biologia diurno, 700 de biologia noturno, 100 são 
esportistas e de biologia diurno e 200 são esportistas e 
de biologia noturno. 
‡ Um aluno é escolhido ao acaso e pergunta-se a 
probabilidade de: 
a) Ser esportista; 
b) Ser esportista e aluno de biologia noturno; 
c) Não ser de biologia; 
d) Ser esportista nem aluno de biologia 
e) Não ser esportista nem aluno de biologia. 
Exercício 2 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 35 
‡ Dando nomes aos conjuntos: 
± S = todos os alunos 
± E = alunos esportistas 
± B = alunos de biologia 
± BD = alunos biologia diurno 
± BN = alunos biologia noturno 
‡ Respondendo ao solicitado: 
a) P(E) = 4000 / 10000 = 0,40 
b) P(E ŀ BN) = 200 / 10000 = 0,02 
c) P(Bc) = [10000 ± (700 + 500)] / 10000 = 0,88 
d) P(E׫B) = [10000 ± 5100] / 10000 = 0,49 
e) P[(E׫B)c] = 1 ± P(E׫B) = 1 ± 0,49 = 0,51 
Solução 2 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 36 
S 
E 
BD BN 
S 
E 
BD BN 
100 200 
400 500 
3.700 
5.100 
‡ Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, 
tais que P(A) = 0,2, P(B) = p, P(A ׫ B) = 0,5 e P(A ŀ B) 
= 0,1. 
‡ Determine o valor de p. 
Exercício 3 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 37 
‡ Lembrando da Lei da Adição: 
± P(A ׫ B) = P(A) + P(B) ± P(A ŀ B) 
± 0,5 = 0,2 + p ± 0,1 
± p = 0,4 
Solução 3 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 38 
‡ Dois processadores tipos A e B são colocados em teste 
por 50 mil horas. A probabilidade de que um erro de 
cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 
1/30, no tipo B é de 1/80 e em ambos é de 1/1000. 
‡ Qual a probabilidade de que: 
a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? 
b) Nenhum processador tenha apresentado erro? 
c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? 
Exercício 4 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 39 
‡ Dando nomes aos eventos: 
± Erro A: EA P(EA) = 1/30 
± Erro B: EB P(EB) = 1/80 
± Erro $ŀ%: AB P(AB) = 1/1000 
‡ Respondendo ao solicitado: 
a) P(EA ׫ EB): 1/30 + 1/80 ± 1/1000 = 0,0448 
b) P[(EA ׫ EB)c] = 1 ± 0,0448 = 0,9552 
c) P[A ± (A ŀ B)] = 1/30 ± 1/1000 = 0,0323 
Solução 4 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 40 
Fechamento 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 41 
‡ Nesta aula você aprendeu a: 
± Definir evento. 
± Determinar a probabilidade associada a um evento. 
± Aplicar as relações básicas de probabilidade. 
‡ Na Aula 3.3 vamos aplicar os conceitos acima para 
determinar probabilidades condicionais. 
‡ Até a Aula 3.3! 
Fecho da Aula 3.2 
14/10/2013 Aula 3.2 ± Cálculo de Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos 42