Lista 1 de funções vetoriais

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LISTA I – Funções vetoriais 
 
1) Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas esboce a curva e determine sua equação 
cartesiana: 
a) 𝑥 = −1 + 𝑡 ; 𝑦 = 2 − 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ 
b) 𝑥 = −1 + 𝑡² ; 𝑦 = 2 − 𝑡² , 𝑡 ∈ ℝ 
c) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠²(𝑡) ; 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛²(𝑡) , 𝑡 ∈ ℝ 
d) 𝑥 = 𝑡² ; 𝑦 = 𝑡³ , 𝑡 ∈ ℝ 
e) 𝑥 = 𝑡² − 4 ; 𝑦 = 1 − 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ 
f) 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ; 𝑦 = cos(2𝑡) , 𝑡 ∈ [0; 2𝜋] 
g) 𝑥 = cos(𝑡) ; 𝑦 = −3 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) , 𝑡 ∈ [0; 2𝜋] 
h) 𝑥 = 3 cos(𝑡) ; 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑡) , 𝑡 ∈ [0; 2𝜋] 
i) 𝑥 = sec (𝑡) ; 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑡) , 𝑡 ∈ (−
𝜋
2
;
𝜋
2
) 
 
2) Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais: 
a) 𝑟(𝑡) =< 2 , 1 , 𝑡 > , 𝑡 ∈ ℝ 
b) 𝑟(𝑡) =< 𝑡, 𝑡, 𝑡 > , 𝑡 ∈ [−1; 1] 
c) 𝑟(𝑡) =< 2 𝑐𝑜𝑠(𝑡) , 3𝑠𝑒𝑛(𝑡) , 5 > , 𝑡 ∈ [0; 2𝜋] 
d) 𝑟(𝑡) =< 3 , 𝑐𝑜𝑠(𝑡) , 𝑠𝑒𝑛(𝑡) > , 𝑡 ∈ [0; 𝜋] 
e) 𝑟(𝑡) =< 𝑡² − 1 , 2 , 𝑡 > , 𝑡 ∈ [0; +∞) 
3) Dê uma parametrização para cada uma das curvas e escreva a função vetorial 𝑟(𝑡). 
a) A reta 2𝑥 − 3𝑦 = 6 
b) A parábola 𝑥² = 4𝑎𝑦 
c) A circunferência (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟² 
d) A elipse 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1 , 𝑥 ≥ 0 
e) O ramo da hipérbole 
𝑥²
𝑎²
−
𝑦²
𝑏²
= 1 , 𝑥 ≥ 𝑎 
f) A reta 
𝑥−1
2
=
𝑦+1
3
=
𝑧−1
2
 
g) O segmento de reta que liga os pontos 𝐴 = (−1,0,2) e 𝐵 = (2,3,3) 
 
4) Seja a função vetorial 𝑟(𝑡) =<
2𝑡
1+𝑡²
,
1−𝑡²
1+𝑡²
 , 1 >, mostre que o ângulo entre 𝑟(𝑡) e 𝑟 ′(𝑡) é constante, isto é, 
independe do parâmetro 𝑡. 
Ângulo entre vetores 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑢.𝑣
|𝑢|.|𝑣|
. 
 
5) Seja 𝐶 uma curva parametrizada pela função vetorial 𝑟(𝑡) = cos(𝑡) 𝑖 + sen(𝑡) 𝑗 + (1 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑡))�⃗⃗� no 
intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 
a) Determine o vetor 𝑟 ′(𝑡). 
b) Determine a equação da reta tangente à curva 𝐶 no ponto (−1,0,1). 
 
 
6) Escreva as equações da reta tangente à curva do ℝ³ parametrizada por 𝑟(𝑡) =< 𝑡 , 1 − 𝑡² , 1 > no ponto 
(0,1,1). 
 
7) Seja 𝐶 uma curva definida por 𝑟(𝑡) = 2 cos(𝑡) 𝑖 + (1 + 2𝑠𝑒𝑛(𝑡))𝑗. Determine uma equação da reta normal à 
curva no ponto (√3, 2). 
 
8) A astróide 𝑥
2
3 + 𝑦
2
3 = 2
2
3 tem equações paramétricas 𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠³(𝑡) e 𝑦(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛³(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 
Escreva uma equação da reta tangente à astróide no ponto correspondente a 𝑡 =
𝜋
4
. 
 
9) Se 𝑟 ′(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛²(𝑡) 𝑖 + 2𝑐𝑜𝑠²(𝑡)𝑗 e 𝑟(𝜋) =< 0,0 >, determine 𝑟(𝑡). 
 
10) Considere a curva definida por 𝑟(𝑡) =< 1 + 2 ln(1 + 𝑡) , 1 + (1 + 𝑡)2 > , 𝑡 > −1. 
a) Determine uma equação da reta tangente à curva no ponto (1,2). 
b) Dê uma equação cartesiana da curva e uma da reta tangente. 
c) Esboce a curva. 
 
 
Para esboçar as curvas de equações vetoriais: 
 No Winplot 
Digite F2 para equação em 2-D ou F3 para 3-D. 
Gráfico em 2-D: Vá em “equação”. Escolha a opção “paramétrica”. 
Gráfico em 3-D: Vá em “equação”. Escolha a opção “curva”. 
 
 
 
 
 
 No Microsoft Mathematics 
Vá em representação gráfica. 
 
Clique no sinal de + na opção “paramétrica”. Escolha entre as opções 2-D ou 3-D. Insira as equações X(t), Y(t) e Z(t). 
Feito isso, clique logo abaixo na opção “gráfico”, a qual estará disponível após digitar as equações. 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS (exceto as que envolvem representação gráfica) 
Questão 1: 
 
Questão 3: 
 
Questão 5: 
 
Questão 6: 
 
Questão 7: 
 
Questão 8: 
 
Questão 9: 
 
Questão 10: