Segunda Lista de Exercícios de Física 1 (Com Soluções) - UnB

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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Segunda Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
A posição de um objeto é dada pela equação x(t) = 2+10t2−t3.
(a) Calcule a posição do objeto nos instantes 0, 2 s, 4 s e 6 s.
(b) Calcule o deslocamento e a velocidade média entre os ins-
tantes 0 e 6s. (c) Calcule a velocidade média entre os instantes
2 s e 4 s. (d) Pode-se afirmar que a velocidade média é igual à
velocidade instantânea no instante médio?
Solução
a) Substituindo-se os tempos pedidos na equação horária temos:
x(0) = 2 + 10× 02 − 03 = 2 m
x(2) = 2 + 10× 22 − 23 = 34 m
x(4) = 2 + 10× 42 − 43 = 98 m
x(6) = 2 + 10× 62 − 63 = 146 m
b) Utilizando-se as posições calculadas no item anterior:
∆x = 146− 2 = 144 m
vm =
∆x
∆t
=
144
6− 0 = 24 m/s.
c)
vm =
∆x
∆t
=
98− 34
4− 2 = 32 m/s.
d) Não, pois o instantes médios na letra b ((0 + 6)/2 = 3) na le-
tra c ((2 + 4)/2 = 3) iguais, logo, se a velocidade média fosse igual
à velocidade instantânea no instante médio, as velocidades médias
calculadas nas letras b e c deveriam ser iguais.
Questão 2
Você parte de Brasília com destino a Goiânia (200 km) e di-
rige metade da distância com velocidade média de 80 km/h e
a outra metade com velocidade média de 100 km/h. Ao re-
tornar, dirige metade do tempo a 80 km/h e a outra metade
a 100 km/h. (a) Qual é a velocidade média durante a viagem
de ida? (b) Qual é a velocidade média durante a viagem de
volta? (c) Qual é a velocidade média durante a viagem com-
pleta? (d) Podemos dizer que a velocidade média é igual à
média das velocidades?
Solução
a) A viagem pode ser dividida em dois trechos de 100 km. O tempo
necessário para percorrer cada trecho é calculado a partir da fórmula
da velocidade média:
vm =
∆x
∆t
⇒ ∆t = ∆x
vm
O tempo total é igual à somado tempo gasto em cada trecho:
∆t
ida
= ∆t1 + ∆t2 =
100
80
+
100
100
= 2, 25 h
Portanto, a velocidade média durante a ida é
v
ida
=
∆x
∆t
=
200
2, 25
= 88, 9km/h
b) O velocidade média na viagem de volta é
v
volta
=
∆x
volta
∆t
volta
=
∆x3 + ∆x4
∆t3 + ∆t4
A distância percorrida em cada trecho pode ser calculada a partir
da fórmula
vm =
∆x
∆t
⇒ ∆x = vm∆t.
Substituindo na equação para a velocidade média
vm =
v3∆t3 + v4∆t4
∆t3 + ∆t4
Como os dois intervalos de tempo são iguais a ∆t/2, podemos es-
crever
vm =
v3 + v4
2
=
80 + 100
2
= 90 km/h
.
c) O tempo necessário para a viagem de volta é
∆t
volta
=
∆x
v
volta
=
200
90
= 2, 22 h.
Portanto, a velocidade média total é
v
total
=
∆x
total
∆t
total
=
∆x
ida
+ ∆x
volta
∆t
ida
+ ∆t
volta
=
200 + 200
2, 25 + 2, 22
= 89, 5 km/h.
d) Apenas na letra (b) aconteceu da velocidade média ser igual à
média das velocidades. A equação para a velocidade média mostra
que ela é igual à média das velocidades ponderada pelo tempo em
que o corpo viajou em cada velocidade. No caso da letra (b), os
tempos foram iguais, por isso, a velocidade durante a viagem de
volta virou uma média aritmética simples.
Questão 3
A linha grossa no gráfico abaixo mostra a posição em função
do tempo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x. (a)
Encontre a velocidade média durante o intervalo de tempo de
1,0 s a 3,0 s. (b) Calcule a velocidade instantânea no instante
2,0 s. (c) Em que instante a velocidade do corpo é nula? (d)
Pode-se dizer que a velocidade média é igual à velocidade ins-
tantânea no instante médio? (e) Pode-se dizer que a aceleração
é sempre positiva?
Solução
a) Do gráfico concluímos que, no instante 1,0 s, a posição da partí-
cula é 11,0 m, e, no instante 3,0 s, sua posição é 3,0 m. Usando a
fórmula da velocidade média:
vm =
∆x
∆t
=
3− 11
3− 1 = −4 m/s.
b) A reta mostrada tangencia o gráfico no instante 2 s, logo, sua
inclinação é igual à velocidade instantânea naquele momento. Os
valores de ∆x = −13, 3 m e ∆t = 3, 5 s podem ser obtidos dos cate-
tos do triângulo formado pela reta e os seguimentos dos respectivos
eixos. Dessa forma:
v(2) =
−13, 3
3, 5
= −3, 8 m/s.
c) A velocidade é nula quando a inclinação da curva é nula, ou seja,
em t = 4 s.
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d) O instante médio entre 1,0 s e 3,0 s é 2,0 s. Comparando-se
a resposta do item (b) com a resposta do item (c) vemos que as
velocidades não são iguais.
e) Se traçarmos uma reta tangente em diferentes pontos do gráfico,
veremos que a inclinação dessa reta cresce com o tempo, logo, a
velocidade aumenta sempre. Logo, a aceleração é sempre positiva.
Questão 4
O movimento de certa partícula é descrito pela equação x(t) =
3 + 2t2 − 5t3. (a) Determine os intervalos de tempo nos quais
a velocidade é positiva e negativa. (b) Faça o mesmo para a
aceleração.
Solução
a) A equação horária da velocidade pode ser encontrada derivando-
se a equação horária da posição:
v(t) =
dx(t)
dt
= 4t− 15t2.
A equação acima é uma parábola com concavidade para baixo, cu-
jos zeros são 0 e 4/15 s. Logo a velocidade é positiva quando
0 < t < 4/15 s e negativa para t < 0 s e 4/15 s < t.
b) A equação horária da aceleração pode ser encontrada derivando-
se a equação horária da velocidade:
a(t) =
dv(t)
dt
= 4− 30t.
Essa é uma reta inclinada para baixo que cruza o eixo dos x em
2/15 s. Logo a aceleração é positiva para t < 2/15 s e negativa para
2/15 s < t.
Questão 5
Utilizando a equação horária da questão anterior, (a) deter-
mine a aceleração média entre os instantes 1,0 s e 2,0 s. (b)
Encontre a aceleração instantânea em t = 1, 5 s.
Solução
a) Usando e equação horária para a velocidade obtida na equação
anterior, encontramos a velocidade instantânea em t = 1 s e em t =
2 s.
v(1) = 4× 1− 15× 12 = −11 m/s
v(2) = 4× 2− 15× 22 = −52 m/s
A aceleração média é dada por
v
med
=
∆v
∆t
=
v(2)− v(1)
2− 1 =
−52− (−11)
2− 1 = −41 m/s
2.
b) A aceleração instantânea também pode ser calculada a partir da
equação obtida na questão anterior.
a(1, 5) = 4− 30× 1, 5 = −41 m/s.
Questão 6
Um carro parte do repouso e atinge a velocidade de 41,4 km/h
após 10 segundos, durante os quais ele percorre 60 m. São ne-
cessários mais 15 segundos para que o carro atinja a velocidade
de 72 km/h, 280 m à frente do ponto de partida. Calcule a
velocidade média e a aceleração média entre as posições 60 m
e 280 m.
Solução
v
med
=
∆x
∆t
=
280− 60
15
= 14, 7 m/s,
a
med
=
∆v
∆t
=
72/3, 6− 41, 4/3, 6
15
= 0, 567 m/s2.
Questão 7
Certa bola de tênis é lançada verticalmente contra o solo a 90
km/h. Após uma colisão que dura cerca 3,0 ms, a bola sobe
até atingir a altura máxima de 25 m. Desprezando o efeito do
atrito com o ar, calcule a aceleração da bola durante a colisão.
Solução
Antes da colisão com o solo, a velocidade da bola é de 90/3,6 = 25
m/s. A partir da altura máxima, é possível concluir que a velocidade
da bola imediatamente após a colisão é:
v =
√
2gh =
√
2× 9, 82× 25 = 22, 2 m/s.
Tomando como positiva a velocidade para cima, a aceleração média
durante a colisão pode ser calculada como
a
med
=
∆v
∆t
=
22, 2− (−25)
3× 10−3 = 15 733 m/s.
Questão 8
Considere que, para não causar muito desconforto a seus ocu-
pantes, um carro não deva ser freado com aceleração de módulo
maior que 0,3 g. Imagine também que o tempo transcorrido
entre o instante em que o motorista vê o sinal amarelo e o o
momento em que pisa no freio é de cerca de 1 s. Se velocidade
máxima em determinada via é de 60 km/h, por quanto tempo
o sinal deve ficar amarelo de forma que nenhum motorista te-
nha que frear o carro com aceleração superior a 0,3 g para não
passar no sinal vermelho?Solução
O tempo necessário para parar, com aceleração constante de −0, 3
g, um carro que se desloca com 60 km/h (16,7 m/s) é
a
med
=
∆v
∆t
⇒ ∆t = ∆v
a
med
=
0− 16, 7
−0, 3× 9, 8 = 5, 68 s.
Somando-se esse intervalo de tempo ao tempo de reação do moto-
rista, será necessário que o sinal permaneça no amarelo por 6,68
s.
Questão 9
A figura abaixo é a velocidade de um carro durante um teste em
uma pista de provas. (a) Calcule, a partir do gráfico, a distân-
cia total percorrida pelo carro.(b) Trace o gráfico da aceleração
do carro entre os instantes 0 s e 50 s. Escreva as equações que
descrevem o movimento do carro entre os instantes (c) 0a, (d)
ab e (e) bc. (f) Qual a velocidade média do carro entre os
instantes 0 e 50 s?
Solução
a) Tomando t = 15 s e t = 40 s e vx = 50 m/s como os vértices
superiores do trapézio formado pela curva da velocidade e pelo eixo
horizontal, a área do trapézio, que é igual ao deslocamento, é
∆x = área = 50
50 + 25
2
= 1 875 m
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c) A reta que passa pelos pontos v(0) = 0 e v(15) = 50 m/s é
v(t) =
50
15
t.
d) A reta horizontal entre a e b é dada por
v(t) = 50 m/s.
e) A reta que passa pelos pontos v(40) = 50 m/s e v(50) = 0 é
v(t) =
−50
10
t + 250.
f)
v
med
=
∆x
∆t
=
1 875
50
= 37, 5 m/s.
Questão 10
O gráfico a seguir mostra a aceleração em função do tempo para
uma partícula que se move ao longo de um eixo x. A escala
vertical é definida por as = 12 m/s
2
. No instante t = −2, 0s
a velocidade da partícula é 7,0 m/s. Qual é a velocidade da
partícula no instante 6,0 s.
Solução
A reta mostrada no gráfico é descrita pela equação
a(t) = 8− 2t.
A variação na velocidade é igual à área entre a curva e o eixo ho-
rizontal, considerada negativa quando a curva está abaixo do eixo.
Essa pode ser obtida do gráfico ou calculada por meio da integral
como mostrado abaixo:
∆v =
∫ 6 s
−2 s
a(t)dt =
∫ 6 s
−2 s
(8− 2t)dt = [8t− t2]6 s−2 s
∆v = 8× 6− 62 − [8× (−2)− (−2)2] = 32 m/s
v(6 s) = v(−2 s) + ∆v = 7 + 32 = 39 m/s
Questão 11
Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da
lebre é de 30 km/h e a da tartaruga é de 1,5m/min. A distân-
cia a percorrer é de 600m, e a lebre corre durante 0,5min antes
de parar para uma soneca.Qual é a duração máxima da soneca
para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente.
Solução
Como o movimento é uniforme, usaremos apenas a equação que nos
fornece a distância percorrida em função do tempo:
∆x = v.t
O tempo total que cada um gasta para percorrer a distância ∆x é
dado por: tleb =
∆x
vleb
. e ttar =
∆x
vtar
Assim: tleb = 72s e ttar = 2, 4× 104s.
Para que a lebre não perca a corrida, seu tempo de percurso so-
mado com o tempo da soneca deve ser igual ao tempo de percurso
da tartaruga. Portanto:
tleb + tson = ttar e tson = 2, 393× 104s.
Questão 12
Um avião a jato de grande porte precisa atingir a velocidade
de 500km/h para decolar, e tem uma aceleração de 4m/s2.
Quanto tempo ele leva para decolar e que distância percorre na
pista até a decolagem?
Solução
Sabendo a velocidade inicial, a velocidade final e a aceleração, pode-
mos calcular a distância percorrida, usando a equação de Torricelli.
Assim:
v2 = V 2o + 2a∆x
Substituindo os valores temos: ∆x = 2, 41km.
Conhecendo a velocidade inicial, a velocidade final e a aceleração,
podemos também calcular o tempo de decolagem, usando a equação
de movimento, isto é:
v = v0 + a.t
Substituindo os valores temos: ∆t = 34, 7s.
Questão 13
Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se
durante 10s em linha reta, com aceleração crescente segundo a
lei a = bt, onde t é o tempo e b = 0, 5m/s2. Trace os gráficos da
velocidade v e da posição x da partícula em função do tempo.
Qual é a expressão analítica de v(t)?
Solução
Sabendo a expressão da aceleração e partindo da definição de acele-
ração, a(t) = d
dt
v(t), integrando esta equação obtemos, v(t)−v(0) =∫ t
0
a(t)dt sendo v(0) = 0 temos v(t) =
∫
d.tdt assim: v(t) = 1
2
bt2.
E seu gráfico é
Questão 14
Numa rodovia de mão dupla, um carro encontra-se 15m atrás
de um caminhão (distância entre pontos médios), ambos tra-
fegando a 80km/h. O carro tem uma aceleração máxima de
3m/s2. O motorista deseja ultrapassar o caminhão e voltar
para sua mão 15m adiante do caminhão. No momento em que
começa a ultrapassagem, avista um carro que vem vindo em
sentido oposto, também a 80km/h. A que distância mínima
precisa estar do outro carro para que a ultrapassagem seja se-
gura?
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Solução
A posição de cada carro no instante t é:
x1(t) = x01 + v01 +
1
2
a1t
2
, x2 = xmin + v2t, xc(t) = x0c + vct, onde
xmin = x é a distância mínima entre os carros, apenas o carro 1 tem
aceleração e a origem do sistema está na posição inicial do carro 1.
Usando as condições de ultrapassagem temos: x1(t) = xc(t) + 15cm
sendo assim t = 4, 472s. Sendo a posição final igual para os dois
carros temos:
x1(t) = x2(t) assim substituindo os valores encontramos xmin =
228, 8m.
Questão 15
Um carro de corridas pode ser acelerado de 0 a 100km/h em 4s.
Compare a aceleração média com a aceleração da gravidade.
Se a aceleração é constante, que distância o carro percorre até
atingir 100km/h?
Solução
Se am =
∆v
∆t
, am =
(v−v0)
∆t
substituindo os valores temos am =
6, 9m/s2 e se g = 9, 8m/s2, então am
g
= 0, 71 ou seja, am = 0, 71g.
Durante o tempo em que foi acelerado de 0 a 100km/h. O carro per-
correu um distância dada por ∆x = 1
2
am(∆t)
2
, logo ∆x = 55, 6m.
Questão 16
Um motorista percorre 10km a 40km/h, os 10km seguintes a
80km/h mais 10km a 30km/h. Qual é a velocidade média do
seu percurso? Compare-a com a média aritmética da velocida-
des.
Solução
Temos três tempos um para cada percurso, a soma é o tempo total
da corrida, para encontrar o tempo usamos vm =
∆x
∆t
, assim:
∆t = 0, 708hr da mesma forma para o deslocamento que somado é
∆x = 30km jogando na formula da velocidade média encontramos
vm = 42, 2
km
h
.
Por outro lado, a média das velocidades é obtida calculando-se a
média aritmética das três velocidades. Assim,
vMA = (v1 + v2 + v3)/3
vMA = 50km/h
O que demonstra que estas duas quantidades em geral são diferentes.
Questão 17
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é
dada em centímetros por x = 9, 75 + 1, 50t3, onde t está em
segundos e x em centímetros. Calcule a velocidade instantânea
em t = 2, 00s.
Solução
Para velocidade média temos vm = ∆x/∆t substituindo os tem-
pos em na equação de x e depois na da velocidade encontramos
vm = 28, 5cm/s.
Para velocidade instantânea temos v = dx/dt derivando temos
v = 4, 5t2 substituindo t = 2 encontramos v = 18, 0cm/s.
Questão 18
Dois trens, cada um com velocidade de 30km/h, trafegam em
sentidos opostos sobre uma mesma linha férrea retilínea. Um
pássaro que consegue voar a 60km/h voa a partir da frente de
um dos trens, quando eles estão separados por 60km, direta-
mente em direção ao outro trem. Alcançando o outro trem,
o pássaro imediatamente voa de volta ao primeiro trem e as-
sim por diante. (Não temos a menos idéia por que o pássaro
comporta-se dessa maneira.) Qual é a distância total que o
pássaro percorre até os trens colidirem?
Solução
Sendo que a distância entre os trens diminui a uma taxa constante
de 60km/h o tempo para ocorrer a colisão é de t = 60km
(60km/h)
t = 1h.
Durante este tempo, o pássaro percorre x = vt = 60km
h
1h = 60km.
Questão 19
Você tem que dirigir em uma via expressa para participar de
uma entrevista em outra cidade, distante 300km. A entrevista
é às11 : 15h da manhã. Você planeja dirifir a 100km/h, e assim
parte às 08 : 00h da manhã de modo a ter algum tempo extra.
Você dirige com a velocidade planejada os primeiros 100km,
mas então trabalhos de reparo na rodovia abrigam você a redu-
zir para 40km/h por 40km. Qual deve ser a velocidade mínima
que você deve desenvolver no restante da viagem para chegar
a tempo para a entrevista?
Solução
Os valores utilizados no problema se torna mais fácil de ver que no
primeiro trecho da viagem gastou-se 1h e no segundo trecho também
gastou-se 1h. Na forma decimal o tempo que ainda resta é 1, 25h e
a distância é 160km. Assim v = 160/1, 25 = 128km/h.
Questão 20
Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma ve-
locidade de 18m/s no sentido positivo de x, e 2, 4s depois sua
velocidade era 30m/s no sentido oposto. Qual é a aceleração
média da partícula durante este intervalo de 2, 4s?
Solução
Utilizando a equação da aceleração média temos que amed =
(−30)−(+18)
2,4
= −20m/s2.
Questão 21
Na célebre corrida entre a lebre a a tartaruga, a velocidade da
lebre é de 30 km/h e da tartaruga é de 1,h m/min. A distân-
cia a ser precorrida é de 600 m, e a lebre corre durante 0,5
min antes de parar para uma soneca. Qual é a duração má-
xima da soneca para que a lebre não perca a corrida? Resolva
analiticamente e graficamente.
Solução
Temos que vL = 30 km/h = 501 m/min e vT = 1, 5 m/min. Ve-
jamos que distância foi percorrida por ambas no tempo t1 = 0, 5
min. Como este é um movimento uniforme unidimensional, temos
que o movimento é regido pela equação x = v.t No intervalo t1,
x1L = 250, 5 m, de modo que faltam 349, 5 m a serem percorridos
pela lebre. Enquando x1T = 0, 75 m, de modo que faltam 599, 25
m a serem percorridos pela tartaruga. Usando essa mesma equação
temos que o tempo necessário para que cada uma conclua a corrida
é t2L = 0, 7 min, enquanto que t2T = 399, 5 min. Para que a le-
bre não perca a corrida, o tempo da soneca (ts) deve ser tal que:
t2L + ts < t2T , ou seja, ts < 398, 8 min, que equivale a 6 horas,
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38 minutos e 48 segundos. Analisando o gráfico do problema, e ob-
servando que a área S abaixo das duas curvas equivale a distância
percorrida, nesse caso dada por S = v.t, temos que ST = tT .VT e
SL = (t1L+ t2L).vL, mas como ambas percorrem o mesmo percurso.
SL = ST , o que leva a (t1L + t2L) = VT .tT /VL. Mas sabemos que
para que a lebre não perca a corrida, tL = t1L+ t2L+ ts < tT . Subs-
tituindo a expressão a pouco encontrada, temos ts < (1−VT /VL)tT ,
levando ao mesmo resultado.
Questão 22
Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se
durante 10s em linha reta, com aceleração crescente segundo
a lei a(t) = bt, onde t é o tempo e b = 0, 5m/s3. Trace os
gráficos da velocidade v e da posição x da partícula em função
do tempo. Qual é a expressão analítica de v(t)?
Solução
Sabemos que a aceleração é a derivada temporal da velocidade e,
dada a expressão da aceleração e o fato de que a partícula está em
repouso na origem, temos que v = bt2/2; da mesma forma, a velo-
cidade é a derivada temporal da posição, de modo que x = bt3/6.
Tracando os gráficos dessas duas equações entre 0 e 10 segundos,
concluímos o exercício.
Questão 23
Deixa-se cair uma pedra num poço profundo. O barulho da
queda é ouvido 2s depois. Sabendo que a velocidado do som
no ar é de 330 m/s, calcule a profundidade do poço.
Solução
Temos que o tempo total t = 2s, é dado por t = tp + ts, onde tq é o
tempo da queda de altura h ts é o tempo necessário para o som da
mesma volte a subir a altura h que compreende a profundidade do
poço. Sendo assim:
g
2
t2q = Vsts
Substituindo os valores g = 9, 8m/s2, ts = 2 − tqs e Vs = 330m/s,
chegamos à equação:
4, 9t2p + 330tp − 660 = 0
Resolvendo essa equação chegamos a tq = 1, 93s e h = 18, 24m.
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