Aula 18 Escoamento de Fluidos Não viscosos

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GNE270 – Fenômenos de Transporte I
Profa. Isabele Cristina BicalhoProfa. Isabele Cristina Bicalho
DEG/UFLA
2018/1
GNE270 – Fenômenos de Transporte I
• Conteúdo
5. Escoamento de Fluidos Não Viscosos
5.1 A Equação de Euler5.1 A Equação de Euler
5.2 A Equação de Bernoulli – Integração da Equação de Euler ao
Longo de uma Linha de Corrente
5.3 Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
5.3.1 Tubo de Pitot
5.4 A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de5.4 A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de
Energia
5.5 Linha de Energia e Linha Piezométrica
5.6 Medidores de Vazão
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
• A equação de Bernoulli interpretada como uma
equação da energia
A eq. de Bernoulli pode ser obtida a partir da 1ª lei daA eq. de Bernoulli pode ser obtida a partir da 1ª lei da
termodinâmica ou eq. de conservação da energia.
Considere um escoamento em regime permanente na ausência de
forças de cisalhamento. Escolhemos um VC limitado por linhas de
corrente ao longo da periferia do escoamento (tubo de corrente).
3
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
A formulação para VC da 1ª lei da termodinâmica ou eq. da
conservação da energia foi deduzida no Cap. 3 como:
( )tangencial outrossQ W W W e dV e pv V dAρ ρ∂− − − = + + ⋅∂  
��
ɺ ɺ ɺ ɺ
1 2 3 4
Restrições: (1)
( )tangencial outros
2
2
s
VC SC
Q W W W e dV e pv V dA
t
V
e u gz
ρ ρ− − − = + + ⋅
∂
= + +
 ɺ ɺ ɺ ɺ
0sW =ɺ
(18)
(2)
(3)
(4) Escoamento em regime permanente
(5) Escoamento uniforme em cada seção
4
tangencial 0W =ɺ
outros 0W =ɺ
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
Sob estas restrições, a Eq. (18) torna-se:
2 2
2 1
2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 12 2
V VQ u gz p v V A u gz p v V Aρ ρ   = + + + − + + +      
   
ɺ
Porém, da conservação da massa, e com as restrições (4) e (5):
2 2      
( ) ( )i i i i i is e
i i
V A V Aρ ρ= 0
VC SC
dV V dA
t
ρ ρ∂ + ⋅ =
∂  
��
4
V A V A mρ ρ= = ɺ (19)
Também
5
Q Q dm QQ m
dt dm dt dm
δ δ δ
= = =
ɺ ɺ
2 2 2 1 1 1V A V A mρ ρ= = ɺ (19)
(20)
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
Substituindo na eq. de conservação de energia:
2 2
2 1
2 2 2 2 1 1 1 12 2
V VQ
m u gz p v u gz p v m
dm
δ     
= + + + − + + +            
ɺ ɺ
2 2
2 1
2 2 2 1 1 1 2 1
2 2
1 2
1 1 1 2 2 2 2 1
2 2
0
2 2
2 2
dm
V V Qp v gz p v gz m u u m
dm
V V Qp v gz p v gz u u
dm
δ
δ
     
      
+ + − + + + − − =                
     
+ + = + + + − −             
ɺ ɺ
m÷ ɺ
Adicionando a restrição (6) Escoamento incompressível,
6
2 2 dm    
1 2
1
v v
ρ
= =
2 2
1 1 2 2
1 2 2 12 2
p V p V Qgz gz u u
dm
δ
ρ ρ
     
+ + = + + + − −             
(21)
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
A Eq. (21) ficaria reduzida à eq. de Bernoulli, se o termo entre
parênteses fosse zero. Assim, sob a restrição adicional,
2 1 0
Q
u u
δ 
− − = (7)
a eq. da energia reduz-se a
2 1 0u u dm
 
− − = 
 
(7)
2 2
1 1 2 2
1 2
2
2 2
p V p Vgz gz
p V
ρ ρ
+ + = + +
(22) Eq. de Bernoulli
A Eq. (22) foi obtida pela aplicação da 1ª lei da termodinâmica a um
volume de controle na forma de um tubo de corrente sujeito às
restrições de 1 a 7 citadas anteriormente.
7
2
ou 
2
p V gz cte
ρ
+ + =
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
• Eq. de Bernoulli: Conservação da energia mecânica
2
2
p V gz cte
ρ
+ + = [energia/massa]
A soma das energias de pressão, cinética e potencial de uma
partícula fluida é constante ao longo de uma linha de corrente para
2ρ
Energia
potencial
Energia
cinética
Energia de
pressão
Formas 
mecânicas 
da energia
partícula fluida é constante ao longo de uma linha de corrente para
escoamento em regime permanente quando os efeitos da
compressibilidade e do atrito são desprezíveis.
As diversas formas da energia mecânica são convertidas entre si,
mas a sua soma permanece constante.
8
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
A compressibilidade e o atrito são duas propriedades do
escoamento que vinculam as energias térmica e mecânica.
• Se um fluido é compressível, quaisquer variações de pressão• Se um fluido é compressível, quaisquer variações de pressão
induzidas no escoamento comprimirão ou expandirão o fluido,
realizando trabalho e variando a energia térmica da partícula;
• O atrito, converte sempre energia mecânica em energia térmica.
Quando as condições que validam a aplicação da equação de
Bernoulli são satisfeitas, nós podemos considerar separadamente aBernoulli são satisfeitas, nós podemos considerar separadamente a
energia mecânica e a energia interna térmica de uma partícula
fluida.
Quando as condições não são satisfeitas, a formulação
completa da 1ª lei da termodinâmica deverá ser aplicada.
9
Exemplo 5
• Exemplo 5)
Água escoa em regime permanente de um grande reservatório
aberto através de um tubo curto e de um bocal com área de seçãoaberto através de um tubo curto e de um bocal com área de seção
transversal A = 560 mm2. Um aquecedor de 10 kW, bem isolado
termicamente, envolve o tubo. Determine o aumento de
temperatura da água.
10
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
• Precauções no emprego da equação de Bernoulli
É importante entender as restrições de sua aplicabilidade.
A Eq. de Bernoulli não é valida nas
camadas-limite formadas próximo de
superfícies sólidas ou em esteiras
formadas à jusante de objetos.
11
Em longas e estreitas passagens de
escoamento os efeitos do atrito são
significativos e não podemos aplicar a
equação.
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
Devemos ser cuidadosos na aplicação da eq.
em dispositivos que envolvam seções de
escoamento divergente como difusores e
expansões súbitas, devido a maiorexpansões súbitas, devido a maior
possibilidade de crescimento das camadas-
limite e sua separação das paredes.
Um componente que atrapalhe as estruturas
das linhas de corrente do escoamento,
12
das linhas de corrente do escoamento,
causando mistura e escoamento reverso
considerável, pode tornar a eq. de Bernoulli
inválida.
5.4 – Eq. de Bernoulli como Eq. da Energia
A eq. de Bernoulli não se aplica a uma seção
de escoamento envolvendo máquinas
(bomba, turbina, ventilador) que destroem
as linhas de corrente e desenvolvem trocasas linhas de corrente e desenvolvem trocas
de energia com as partículas de fluido.
A eq. não é aplicável ao escoamento de
gases através de seções de aquecimento
13
gases através de seções de aquecimento
ou resfriamento, pois variações de
temperatura podem causar mudanças
significativas na massa específica de um
gás, mesmo nos escoamentos com baixa
velocidade.
5.5 – Linha de Energia e Linha Piezométrica
• Linha de energia e linha piezométrica
Uma interpretação visual útil da eq. de Bernoulli consiste em traçar
duas linhas de carga para um escoamento. Isto é feito dividindo aduas linhas de carga para um escoamento. Isto é feito dividindo a
eq. de Bernoulli por g para obter:
Cada termo dessa equação tem a dimensão de comprimento e
representa algum tipo de “carga” de um fluido em escoamento:
2
2
p V gz cte
ρ
+ + =
( )g÷ 2
2
p V
z H
g gρ
+ + = (23)
representa algum tipo de “carga” de um fluido em escoamento:
carga de pressão, carga de velocidade e carga de elevação.
H
14
altura de carga total do escoamento, mede a energia
mecânica total em unidades de comprimento.
5.5 – Linha de Energiae Linha Piezométrica
A linha de energia (LE) é a linha que mostra a altura de carga total
do fluido H:
2p VLE z= + + (24)
Ela pode ser obtida utilizando-se tubos de pitot e traçando uma
linha através dos níveis de líquido nos piezômetros. Como o tubo de
pitot mede a pressão de estagnação teremos o valor
que somado a posição vertical z do tubo de pitot é igual a carga
total.
2
LE z
g gρ
= + + (24)
2 2p g V gρ +
total.
No escoamento sem atrito, sem trabalho de eixo e sem troca de
calor a LE tem altura constante. Para um fluido real (com atrito),
essa altura não é constante, mais diminui continuamente em valor
conforme a energia mecânica é convertida em energia térmica.
15
5.5 – Linha de Energia e Linha Piezométrica
A linha piezométrica (LP) é a linha que mostra a soma das alturas
de cargas de pressão e de elevação,
pLP z
ρ
= + (25)
Ela pode ser obtida utilizando-se tomadas de pressão estática e
traçando uma linha através dos níveis de líquido dos piezômetros.
Como a tomada mede a pressão estática teremos o valor de
que somado a carga de elevação z do fluido dará o valor de LP.
LP z
gρ
= +
p gρ
(25)
A diferença entre as alturas da LE e da LP é igual a carga de
velocidade,
Assim, a LE está a uma distância acima da LP.
16
2
2
VLE LP
g
− =
2 2V g
(26)
5.5 – Linha de Energia e Linha Piezométrica
• Linhas de energia e piezométrica para escoamento sem atrito em
um duto
17
5.5 – Linha de Energia e Linha Piezométrica
• LE e LP para a descarga livre de um reservatório através de um
tubo horizontal com um difusor
LE
LP
18
LE
Difusor
Plano de referência (z = 0)
5.6 – Medidores de Vazão
• Medidores de vazão por restrição de área
A vazão através de um tubo pode ser determinada restringindo o
escoamento e medindo a diminuição na pressão devida ao aumento
da velocidade no local da obstrução.da velocidade no local da obstrução.
A vazão teórica pode ser relacionada com o diferencial de pressão
entre as seções 1 e 2 pela aplicação das equações da continuidade e
de Bernoulli. Em seguida, fatores de correção empíricos podem ser
aplicados para obter a vazão real.
19
5.6 – Medidores de Vazão
• Equações básicas:
2 2
1 1 2 2
1 22 2
p V p Vgz gz
ρ ρ
+ + = + +( ) ( )i i i ie s
i i
V A V A= 
2 2ρ ρ
Considerações:
1. Escoamento em regime permanente
2. Escoamento incompressível
3. Escoamento ao longo de uma linha de corrente
7. z1 = z2
20
4. Não há atrito
5. Escoamento uniforme nas seções 1 e 2
6. Não há curvatura das linhas de corrente nas seções 1 e 2, logo
a pressão é uniforme através destas seções
Para a pequena seção de tubo considerada, isso é razoável
5.6 – Medidores de Vazão
Então, da eq. de Bernoulli,
2 2
2 1 1 2
2
V V p p
ρ
− −
=
e da continuidade
Substituindo, obtemos
2 ρ
2 4
2 22 2 2
1 1 2 2 1 2 2 1 2
1 1 1
A D DV A V A V V V V V
A D D
   
= → = = → =   
   
Substituindo, obtemos
21
2 2 4
2 2 2 1 1 2( )
2
V V D D p p
ρ
− −
=
( )2 42 2 1 1 21 ( )
2
V D D p p
ρ
−
−
=
5.6 – Medidores de Vazão
Resolvendo para a velocidade, V2,
( )
( )
1 2
2 4
2
1 ( )
p p
V
D Dρ
−
=
−
Velocidade ideal(27)
Depois que V2 é conhecido, a vazão mássica ideal pode ser
determinada por
( )1 2
2 2 2 4
2
ideal
p p
m V A A
ρρ −= =ɺ
( )2 42 11 ( )D Dρ − Velocidade ideal
(28)
A eq. mostra que para um dado fluido e geometria do medidor, a
vazão é diretamente proporcional a detectada pelas tomadas
de pressão do medidor, que é a idéia básica destes dispositivos.
22
2 2 2 4
2 11 ( )
idealm V A A D D
ρ= =
−
ɺ
p∆
(28)
5.6 – Medidores de Vazão
Na verdade, existem perdas por atrito e a velocidade alcançada no
ponto 2 é menor do que a velocidade ideal calculada pela Eq. (27).
Além disso, como a área da seção 2 é desconhecida, é conveniente
substituir Dt nas Eqs. (27) e (28).substituir Dt nas Eqs. (27) e (28).
Essas anomalias são computadas pela introdução de um
coeficiente de descarga Cd cujo valor (que é menor do que 1) é
determinado experimentalmente.
( )1 2
4
2
1 ( )d treal
p
C A
D
p
m
D
ρ −
=
−
ɺ (29)
Definindo a razão de diâmetros como
23
4
11 ( )
d t
t
real C A D
m
D
=
−
ɺ
1tD Dβ =
( )1 2
4
2
1real d t
p p
m C A
ρ
β
−
=
−
ɺ (30)
5.6 – Medidores de Vazão
Gráficos e correlações para Cd estão disponíveis
para diversos tipos de medidores por obstrução.
Dos inúmeros tipos de medidores por obstrução disponíveis, os mais
comuns são:
( ),RedC f β=
comuns são:
Placa de orifício
Bocal
24
Venturi
5.6 – Medidores de Vazão
A seleção de um medidor de vazão depende de fatores como custo,
precisão, necessidade de calibração e facilidade de instalação e
manutenção.
Tipo de medidor 
de vazão
Perda de carga Custo inicial Cd
Placa de orifício Grande Baixo Menor
Bocal Média Médio Médio
Venturi Pequena Alto Maior
Uma perda de carga grande significa que o custo de operação do
dispositivo é alto, ele consumirá boa qtde de energia do fluido.
Resta decidir entre um alto custo inicial com baixo custo de
operação, ou um baixo custo inicial com alto custo de operação.
25
Venturi Pequena Alto Maior
5.6 – Medidores de Vazão
Miller (1997) determinou experimentalmente os coeficientes de
descarga como:
2,5
2,1 8 91,710,5959 0,0312 0,184dC
ββ β= + − +
Placa 
de 
Essas relações são válidas para 0,25 < β < 0,75 e 104 < Re < 107.
2,1 8
0,750,5959 0,0312 0,184 Red
C β β= + − +
0,5
0,5
6,530,9975
Red
C β= −
de 
orifício
Bocal
Essas relações são válidas para 0,25 < β < 0,75 e 10 < Re < 10 .
Os valores exatos de Cd dependem do projeto e são fornecidos pelo
fabricante.
Para altos Reynolds
26
Cd = 0,96 para bocais
Cd = 0,61 para placas de orifícioRe > 30000
Exemplo 6
• Exemplo 6)
A vazão de metanol a 20°C através de
um tubo de 4 cm de diâmetro deve
ser medida com um medidor deser medida com um medidor de
orifício, de 3 cm de diâmetro,
equipado com um manômetro de
mercúrio através da placa. Se a leitura
da altura diferencial do manômetro
for 11 cm, determine a vazão do
metanol através do tubo e a
27
metanol através do tubo e a
velocidade de escoamento média.
Dados:
ρ = 788,4 kg/m3
µ = 5,857·10-4 kg/m·s