Todas as provas e Exercícios de Cálculo I do Prof. José Mesquita UERJ (2)

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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Primeira Lista
1) Calcule as derivadas abaixo:
a)
d
dx
(∫ 1+x2
0
dt√
2t+ 5
)
b)
d
dx
(∫ 3
x2
sin t
t
)
dt
2) Calcule as integrais abaixo:
a)
∫ 1
0
(2x− 3) dx b)
∫ a
0
(√
a−√x)2 dx c) ∫ 2
1
2x(x2 + 1)dx
d)
∫ 5
2
(x− 3)dx e)
∫ 5
2
|x− 3| dx f)
∫ 2
−4
(2x+ 3)dx
g)
∫ 2
−4
|2x+ 3| dx h)
∫
2x3 sec2(x4 + 1)dx i)
∫ 2
0
(x2 − 1)(x3 − 3x+ 2)dx
j)
∫
x
√
x+ 1dx k)
∫
x
√
2x− 1dx l)
∫
sin
√
x√
x
dx
m)
∫
sec2 x√
1 + tanx
dx n)
∫ pi/2
0
sin3 x cosxdx o)
∫ √3
0
x5
√
x2 + 1dx
3) Calcule as integrais abaixo:
a)
∫ pi/4
−pi/4
sinx
cos2 x
dx b)
∫ 2
1
e1/x
x2
dx c)
∫
1
x lnx
dx
d)
∫ e
1
(lnx)3
x
e)
∫
e
√
x
√
x
dx f)
∫
x sinx2dx
1
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Primeira Prova
1 de novembro de 2013
Nome:——————————————————————————
1) Defina a func¸a˜o em 5 de maneira que ela seja cont´ınua em 5.
f(x) =
√
x2 − 7x + 16−√6
(x− 5)√x + 1
2) Calcule os limites:
a) lim
x→2
1/x− 1/2
x− 2 b) limx→4
x2 + 1
x− 1
3) Classifique as decontinuidades (se tiver) como descontinuidade re-
mov´ıvel, descontinuidade tipo salto ou descontinuidade infinita.
f(x) =

x−3
x2−9 x 6= −3, 3
−1
6
x = −3, 3
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Primeira Prova
6 de maio de 2015
1) Ache os pontos onde a reta tangente ao gra´fico de f(x) = x3 − 3x e´
perpendicular a` reta 5y − 3x− 8 = 0.
2) Existe um nu´mero a tal que
lim
x→−2
3x2 + ax + a + 3
x2 + x− 2
existe? No caso afirmativo, encontre a e o limite.
3)Ache a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) =
(
3x
x2 + 1
)4
b) g(x) = x2 cos3(4x2)
4) Seja
f(x) =
{
cosx, x ≥ 0
ax + b, x < 0
˙
determine a e b de maneira que f seja diferencia´vel em x = 0.
Cada ı´tem vale dois pontos. Nao sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos ou
justificativas.
Boa Sorte.
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Primeira Prova
12 de novembro de 2013
Nome:——————————————————————————
1) Ache os nu´meros a e b que tornam a func¸a˜o dada cont´ınua para todo
nu´mero real
f(x) =

x2 se x < 2
ax + b se −2 ≤ x ≤ 2
2x− 6 se x > 2
2) Calcule os limites:
a) lim
x→∞x sin
1
x
b) lim
x→0
√
1 + sin x−√1− sinx
2x
3) Calcule limx→0 f(x), onde
f(x) =
{
1, se x ∈ Q
0, se x ∈ R−Q
Obs: Na˜o sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos ou justificativas.
Boa Sorte.
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Primeira Prova
1 de novembro de 2013
Nome:——————————————————————————
1) Defina a func¸a˜o em 5 de maneira que ela seja cont´ınua em 5.
f(x) =
√
2x− 1− 3
x− 5
2) Calcule os limites:
a) lim
x→2
1/x− 1/2
x− 2 b) limx→0
x2 + 1
x− 1
3) Classifique as decontinuidades (se tiver) como descontinuidade re-
mov´ıvel, descontinuidade tipo salto ou descontinuidade infinita.
f(x) =

x+2
x2−x−6 x 6= −2, 3
−1
5
x = −2, 3
Ca´lculo I
Primeira Prova
27 de maio de 2015
1) Encontre, quando existir, o limite. Caso na˜o exista, explique porque.
a) lim
x→2
x2 + x− 6
|x− 2| b) limt→0
3
√
1 + t− 3√1− t√
1 + t−√1− t
2) Calcule a devivada das func¸o˜es abaixo
a) f(x) = (x+ cos pix)4 b) f(x) =
√
1 +
√
1 +
√
x
2) Seja
f(x) =
{
A2x2, x ≤ 2
(1− A)x, x > 2.
Para que valores de A f e´ cont´ınua em x = 2?
Cada item vale 2,0 pontos. Na˜o sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos ou
justificativas.
Boa Sorte
Induc¸a˜o
1) Prove, por induc¸a˜o, que (
n + 1
n
)n
≤ n
para todo n ≥ 3 e conclua da´ı que a sequeˆncia
1,
√
2,
3
√
3,
4
√
4 · · ·
e´ decrescente a partir do terceiro termo.
2) Prove, por induc¸a˜o, que
1 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n (n + 1) (2n + 1)
6
3) Use induc¸a˜o para provar que
13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = 1
4
n2 (n + 1)2 .
4) Prove que
1√
1
+
1√
2
+
1√
3
+ · · ·+ 1√
n
>
√
n.
Ca´lculo I e Ca´lculo Diferencial e Integral I
January 31, 2013
1) Determine A e B de modo que a curva
y = Ax1/2 +Bx−1/2
tenha um ponto de inflexa˜o em (1,4).
Resposta: A = 1 e B = 4.
2) Para as func¸o˜es abaixo encontre: i) os intervalos onde f e´ crescente e
os intervalos onde f e´ decrescente, ii) os ma´ximos e mı´nimos locais, iii) Os
intervalos onde f e´ coˆncava para cima e os intervalos onde f e´ coˆncava para
baixo, e iv) os pontos de inflexa˜o. Use essas informac¸o˜es para desenhar o gra´fico
de f .
a)f(x) = x3 − 9x b)f(x) = 3x4 + 4x3 + 1
c)f(x) = 2xx2+1 d)f(x) = x
1/3(x− 6)2/3
e)f(x) = x+ sinx, x ∈ [−pi, pi]
f)f(x) = sinx+ cosx, x ∈ [0, 2pi]
g)f(x) =
{
x3, x < 1
3x− 2, x ≥ 1
3) Ache d dado que (d, f(d) e´ um ponto de inflexa˜o do gra´fico de
f(x) = (x− a)(x− b)(x− c).
Resposta: d = 13 (a+ b+ c).
4) Ache os pontos cr´ıticos e classifique os extremos, inclusive os de extremi-
dade, quando houver.
1
a)) f(x)=
√
x+ 2.
Resposta: x = −2, e´ mı´nimo de extremidade e ponto de mı´nimo absoluto.
b) f(x)=x2 − 4x+ 1, x ∈ [0, 3] .
Resposta: ponto cr´ıtico x = 2, x = 0 ponto de ma´ximo de extremidade e
ponto de ma´ximo absoluto, x = 2 ponto de mı´nimo local e x = 3, ponto de
ma´ximo de extremidade.
c) f(x)=
 −2x, 0 ≤ x < 1x− 3, 1 ≤ x ≤ 4
5− x, 4 < x ≤ 7.
Resposta: Pontos cr´ıticos, x = 1 e x = 4. x = 0 e´ ponto de mı´nimo de
extremidade, x = 1 e´ ponto de mı´nimo local e ponto de mı´nimo absoluto, x = 4
e´ ponto de ma´ximo local e ponto de ma´ximo absoluto, x = 7 e´ ponto de mı´nimo
de extremidade e ponto de mı´nimo absoluto.
d) f(x)=
 |x+ 1| , −3 ≤ x < 0x2 − 4x+ 2, 0 ≤ x < 3
2x− 7, 3 ≤ x < 4.
Resposta: Pontos cr´ıticos, x = −1, x = 0 e x = 2. x = −3 e´ ponto
de ma´ximo de extremidade e ponto de ma´ximo absoluto, x = −1 e´ ponto de
mı´nimo local, x = 0 e´ ponto de ma´ximo local e ponto de ma´ximo absoluto,
x = 2 e´ ponto de mı´nimo local e ponto de mı´nimo absoluto.
2
Ca´lculo I e Ca´lculo Diferencial e
Integral I
March 1, 2013
1) Uma fa´brica tem capacidade de fabricar 20 artigos por semana. A ex-
perieˆncia mostra que n artigos por semana podem ser vendidos por p reais cada,
onde p = 110− 2n. Se o custo de produc¸a˜o de n artigos e´ 600 + 10n+ n2 reais,
quantos artigos devem ser produzidos, por semana, para maximizar o lucro?
Resposta: n = 17
2) Duas fontes de calor esta˜o a` distaˆncia de s metros uma da outra. Uma
fonte de intensidade a no ponto A, e a outra de intensidade b, no ponto B. A
intensidade de calor em um ponto P do segmento que liga A e B, e´ dada pela
fo´rmula
I =
a
x2
+
b
(s− x)2
onde x e´ a distaˆncia entre entre P e A, medida em metros. Em que ponto entre
A e B a temperatura sera´ mı´nima?
Resposta:
x =
a1/3s
a1/3 + b1/3
3) Um objeto de peso W e´ arrastado ao longo de um plano horizontal por
meio de uma forc¸a P cuja linha de ac¸a˜o faz aˆngulo θ com o plano. A magnitude
da forc¸a e´ dada pela equac¸a˜o
P =
µW
µ sin θ + cos θ
onde µ e´ o coeficiente de atrito. Para que valor de θ P e´ mı´nima?
Resposta: tan θ = µ
4) Uma linha de transmissa˜o e´ necessa´ria para ligar uma subestac¸a˜o situ-
ada na margem de um rio a uma ilha distante 4 quiloˆmetros ao longo do rio,
e 1 quiloˆmetro da margem. Se o custo do fio para passar embaixo d′a´gua e´
1
R$ 50000,00 por quiloˆmetro e o custo do fio para passar pela terra e´ R$ 30000,00
por quiloˆmetro, encontre o custo mı´nimo da linha de transmissa˜o.
Resposta R$ 160000,00
5) Em quais pontos da curva y = 1 + 40x3 − 3x5 a reta tangente tem maior
inclinac¸a˜o?
Resposta: x = 2 e x = −2.
6) Encontre o ponto mais alto e o ponto mais baixo da curva x2+xy+y2 = 12
Resposta: (−2, 4) e (2,−4).
2
Ca´lculo I e Ca´lculo Diferencial e
Integral I
March 11, 20131) Expresse a derivada em termos de f ′
a) ddx [f(x
2 + 1)] b) ddx
[
f
(
x−1
x+1
)]
c) ddx
[
[f(x)]
2
+ 1
]
d) ddx
[
f(x)−1
f(x)+1
]
2) Uma func¸a˜o L e´ tal que L′(x) = 1/x para x 6= 0. Determine a derivada
com respeito a x de L(x2 + 1).
3) Ache a derivada indicada.
a) d
4
dx4 (sinx) b)
d4
dx4 (cosx)
c) ddt
[
t2 d
2
dt2 (t cos 3t)
]
d) ddt
[
t ddt (cos t
2)
]
e) ddx [f(sin 3x)] f)
d
dx [sin (f(3x))] .
4)Seja
F (x) =
{
cosx, x ≥ 0
ax + b, x ≤ 0.
a) Determine a e b de modo que f seja diferencia´vel em 0.
b) Usando os valores obtidos no item a, desenhe o gra´fico de f .
5) Seja y = A sinωt+B cosωt, onde A, B e ω sa˜o constantes. Mostre que y
satisfaz a equac¸a˜o
d2y
dt2
+ ω2y = 0
6) Ache a equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal a` curva dada, no ponto
indicado.
a) x2 + xy + 2y2 = 28; (−2,−3)
b) x3 − ax2 + 3ay2 = 3a3; (a, a)
1
Ca´lculo I
Segunda Prova
February 5, 2013
1) Ache as equac¸o˜es das retas tangente e normal a` curva dada, no ponto
indicado.
x2 + xy + 2y2 = 28 (−2,−3)
2) Ache as dimenso˜es do triaˆngulo isosceles, de a´rea ma´xima, que tem
per´ımetro 12.
3) Encontre e classifique os pontos cr´ıticos de
a)f(x) = x2
√
2 + x b)f(x) = (x−√x)2
4) Calcule
d
dt
[
t2
d2
dt2
(t cos 3t)
]
1
Ca´lculo I e Ca´lculo Diferencial e
Integral I
February 21, 2013
1) Calcule a derivada.
a)
d
dx
(∫ 1+x2
0
dt√
2t + 5
)
b)
d
dx
(∫ 3
x2
sin t
t
dt
)
c)
d
dx
(∫ √x
1
t2
1 + t2
dt
)
d)
d
dx
(∫ 4
tanx
sin(t2)dt
)
2) Calcule.
a)
∫ 4
0
|x− 2| dx b)
∫ 2
−2
∣∣∣x2 − 1∣∣∣ dx
3) Calcule os limites abaixo.
a) lim
n→∞
n∑
i=1
i3
n4
b) lim
n→∞
1
n
√ 1
n
+
√
2
n
+
√
2
n
+ · · ·+
√
n
n

c) lim
n→∞
(
1√
n
√
n + 1
+
1√
n
√
n + 2
+ · · ·+ 1√
n
√
n + n
)
4) A Me´dia geome´trica de dois nu´meros positivos a e b e´
√
ab. Mostre
que
√
ab = lim
x→∞
(
a1/x + b1/x
2
)x
1
5) Calcule os limites abaixo.
a) limx→−∞ x
2+1
1−x b) limx→∞
(
x2 sin 1
x
)
c) limx→0 [x ln |x|]
d) limx→∞
(
1
x
∫ x
0 e
t2dt
)
e) limx→0
[
1
sin2 x
− 1
x2
]
f) limx→∞
(
cos 1
x
)x
2
Ca´lculo I e Ca´lculo Diferencial e
Integral I
Regra de L’Hopital Te´cnicas de Integrac¸a˜o
1) Calcule:
a) lim
x→∞
(
x2 sin
1
x
)
. Resposta :∞ b) lim
x→0+
x2x. Resposta : 1
c) lim
x→∞
1
x
∫ x
0
et
2
dt. Resposta :∞ d) lim
x→1x
1/x−1. Resposta : e
e) lim
x→∞
(√
x2 + 2x− x
)
. R : 1 f) lim
x→∞
(
x3 + 1
)1/ lnx
. R : e3
2) Se a, b, c e d forem constantes tais que
lim
x→0
ax2 + sin bx+ sin cx+ sin dx
3x2 + 5x4 + 7x6
= 8,
encontre o valor da soma a+ b+ c+ d. Resposta: 24.
3) Calcule as integrais:
a)
∫
e2−xdx b)
∫ 1
0
sin pixdx c)
∫
sec2 (1− x) dx
d)
∫ pi/3
pi/6
cotxdx e)
∫ x√
1− x2dx f)
∫ pi/4
−pi/4
sinx
cos2 x
dx
g)
∫ 2
1
e1/x
x2
dx h)
∫ c
0
dx
x2 + c2
i)
∫ sec2 θ√
3 tan θ + 1
dθ
1
j)
∫ ex
aex − bdx k)
∫ x
(x+ 1)2 + 4
dx l)
∫ x√
1− x4dx
m)
∫ dx
x2 + 6x+ 10
n)
∫
x sinx2dx o)
∫
tan2 xdx
Respostas: a) − e2−x + C, b)2/pi, c) − tan(1 − x) + C, d)(1/2) ln 3,
e)−√1− x2 + C, f)0, g)e−√e, h)pi/4c, i)2
3
√
3 tan θ + 1+C, j)(1/a) ln |aex − b|+
C, k)1
2
ln
[
(x+ 1)2 + 4
]
− 1
2
arctan
(
1
2
[x+ 1]
)
+ C l)(1/2) arcsinx2 + C,
m) arctan(x+ 3) + C, n)− 1
2
cosx2 + C, 0) tan x− x+ C.
2
Ca´lculo I e Ca´lculo Diferencial e
Integral I
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por partes
1) Calcule as Integrais:
a)
∫
sinx cosxdx b)
∫ dx
(3 + 5x)2
c)
∫ √
2x+ 1dx
d)
∫
x
√
x+ 1dx e)
∫
x
√
2x− 1dx f)
∫ 1
0
x+ 3√
x+ 1
dx
g)
∫
cos (3x+ 1) dx h)
∫ sin√x√
x
dx i)
∫ 1
cos2 x
dx
Respostas:
a)
1
2
sin2 x+ C b)− 1
5(3 + 5x)
+ C c)
1
3
(2x+ 1)3/2 + C
d)
2
5
(x+ 1)5/2 − 2
3
(x+ 1)3/2 + C e)
1
10
(2x− 1)5/2 + 1
6
(2x− 1)3/2 + C
f)
16
3
√
2− 14
3
g)
1
3
sin (3x+ 1) + C h)− 2 cos√x+ C i) tanx+ C
2)Calcule as Integrais:
a)
∫
xe−xdx b)
∫
x2e−x
3
dx c)
∫ 1
0
x2e−xdx
d)
∫ x2√
1− xdx e)
∫ e2
1
x ln
√
xdx f)
∫ ln(x+ 1)√
x+ 1
dx
1
g)
∫
(lnx)2 dx h)
∫ 1
0
ln
(
1 + x2
)
dx i)
∫
sin (lnx) dx
Respostas:
a)− xe−x − e−x + C b)− 1
3
e−x
3
+ C c)2− 5e−1
d)− 2x2 (1− x)1/2 − 8
3
x (1− x)3/2 − 16
15
(1− x)5/2 + C
e)
3
8
e4 +
1
8
f)2
√
x+ 1 ln(x+ 1)− 4√x+ 1 + C
g)x (lnx)2 − 2x lnx+ 2x+ C h) ln 2 + pi
2
− 2
i)
x
2
[sin (lnx)− cos (lnx)] + C
2
Ca´lculo I
e
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Primeira Lista
1) Expresse a a´rea e o per´ımetro de um triaˆngulo equila´tero em func¸a˜o
de x, o comprimento do lado do triaˆngulo.
2) Expresse o comprimento do lado de um quadrado em func¸a˜o do com-
primento d da diagonal do quadrado. Expresse a a´rea do quadrado em func¸a˜o
de d.
3) Expresse o comprimento c da aresta de um cubo em func¸a˜o de d, o
comprimento da diagonal principal. Expresse a a´res da superf´ıcie e o volume
do cubo em func¸a˜o de d.
4) Um ponto P do primeiro quadrante esta´ no gra´fico da func¸a˜o f(x) =
√
x.
Expresse as coordenadas de P em func¸a˜o do coeficiente angular da reta que
liga P a` origem.
5) Encontre o domı´nio e a imagem das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = 1 + x2 b) f(x) = 1 +
√
x
c) F (t) = 1√
t
d) F (t) = 1
1+
√
t
e) g(z) =
√
4− z2 f) g(z) = 3√z − 3
6) Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es abaixo. Os gra´ficos apresentam simetria?
Qual?
a) y = −x3 b) y = − 1
x2
c) y =
√
|x| d) y = − 1
x
I
7) Diga se a func¸a˜o e par, ı´mpar ou nem par nem ı´mpar.
a) f(x) = 3 b) f(x) = x−5
c) f(x) = x2 + 1 d) f(x) = x2 + x
e) g(x) = x3 + x f) g(x) = x4 + 3x2 − 1
g)g(x) = 1
x2−1 h) g(x) =
x
x2−1
i) h(t) = 1
t−1 j) h(t) = |t3|
k) h(t) =
√
t2 + 3 l) h(t) = 2 |t|+ 1
8 Ache o domı´nio, a imagem e desenhe o gra´fico das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = − |3− x|+ 2 b) f(x) = 2 |x + 4| − 3
c) f(x) =

3− x, x ≤ 1,
2x, 1 < x.
d) f(x) =

1, x < 0,
√
x, x ≥ 0.
e) f(x) =

4− x2, x < 1,
3
2
x + 3
2
, 1 ≤ x ≤ 3,
x + 3, x > 3.
f) f(x) =

x2, x < 0,
x3, 0 ≤ x ≤ 1,
2x− 1, x > 1.
II
9) Se f(x) = x + 5 e g(x) = x2 − 3, encontre:
a) f(g(0)) b) g(f(0))
c) f(g(x)) d) g(f(x))
e) f(f(−5)) f) g(g(2))
g) f(f(x)) h) g(g(x))
10) Complete a tabela a seguir.
g(x) f(x) (f ◦ g)(x)
a)
√
x− 5 √x2 − 5
b) 1 + 1/x x
c) 1
x
x
d)
√
x |x|
III
Ca´lculo I
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Segunda Lista
1) Sejaf(x) = 2x2 − 3x + 1 e g(x) = x2 + 1/x. Determine os valores
indicados.
a) (f + g)(2). b) (f − g)(−1).
c) (f.g)(−2). d)
(
f
g
)
(1).
e) (2f − 3g)
(
1
2
)
. f)
(
f+2g
f
)
(−1).
g) (f ◦ g)(1) h) (g ◦ f)(1).
Respostas:
a)
15
2
c)
105
2
e) − 27
4
g) 3
2) Ache a composta f ◦ g e deˆ o domı´nio.
a) f(x) = 2x+ 5, g(x) = x2.
b) f(x) = x2, g(x) = 2x+ 5.
c) f(x) =
√
x, g(x) = x2 + 5.
d) f(x) = x2 + x, g(x) =
√
x.
e) f(x) = 1
x
, g(x) = x−2
x
.
I
f) f(x) = 1
x−1 , g(x) = x
2.
g) f(x) =
√
1− x2, g(x) = cos 2x.
h) f(x) =
√
1− x, g(x) = 2 cosx, para x ∈ [0, 2pi] .
Respostas:
a) (f ◦ g)(x) = 2x2 + 5, domı´nio (−∞,+∞).
c) (f ◦ g)(x) = √x2 + 5, domı´nio (- ∞,+∞).
e) (f ◦ g)(x) = x
x−2 , domı´nio R− {0, 2} .
g) (f ◦ g)(x) = |sin 2x| , domı´nio (−∞,+∞)
II
Ca´lculo I
e
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Lista 4
1) Calcule:
a) lim
x→3x2 − x− 6
x− 3 b) limx→2
1/x− 1/2
x− 2 c) limx→9
x− 9√
x− 3
d) lim
x→2 3 e) limx→−4
(
x2 + 3x− 7
)
f) lim
x→√3
∣∣∣x2 − 8∣∣∣
g) lim
x→0
(
x− 4
x
)
h) lim
x→0
x2 + 4
x− 1 i) limx→2
x
x2 − 4
j) lim
h→0
h
(
1 +
1
h
)
k) lim
x→4
√
x− 2
x− 4 l) limx→1
x5 − 1
x4 − 1
Respostas: a) 5, b)−1
4
, c) 6, d) 3, e) −3, f) 5, g) na˜o existe, h) −4 i) na˜o
existe, j) 1, k) 1
4
, l) 5
4
.
2) Mostre por um exemplo que limx→c [f(x) + g(x)] pode existir, mesmo
que limx→c f(x) e limx→c g(x) na˜o existam.
3) Mostre por um exemplo que limx→c [f(x)g(x)] pode existir, mesmo que
limx→c f(x) e limx→c g(x) na˜o existam.
Ca´lculo I
e
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Lista 5
Func¸o˜es Cont´ınuas
Uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um ponto c se:
1. f esta´ definida em c,
2. limx→c f(x) existe, e
3. limx→c f(x) = f(c).
A func¸a˜o f e´ dita descont´ınua em c se ela na˜o e´ cont´ınua em c. Se o
domı´nio de f conte´m um intervalo (c− p, c + p) , p > 0, enta˜o f so´ pode
deixar de ser cont´ınua em c, por uma das duas razo˜es abaixo:
1. f(x) tem limite quando x tende a c, mas limx→c f(x) 6= f(c), ou
2. f(x) na˜o tem limite quando x tende a c.
No caso 1. diz-se que f tem uma descontinuidade remov´ıvel em c
No caso 2. diz-se que f tem uma descontinuidade essencial em c.
Descontinuidades Essenciais:
Se limx→c+ f(x) e limx→c− f(x) existem mas sa˜o diferentes, c e´ chamada
uma descontinuidade do tipo salto.
Se f(x) → ∞ ou f(x) → −∞, quando x tende a c pela direita ou pela
esquerda, enta˜o c e´ dita uma descontinuidade do tipo infinito.
I
1) Determine se a func¸a˜o e´ cont´ınua no ponto indicado. No caso negativo,
determine se a descontinuidade e´ remov´ıvel, do tipo salto ou do tipo infinito.
a) f(x)=x3 − 5x + 1, x = 2.
b) f(x)=
√
x2 + 9, x = 3.
c) f(x)=
{
x2 + 4, x < 2
x3, x ≥ 2; x = 2.
d) g(x)=

x2 + 4, x < 2
5, x = 2
x3, x > 2;
x = 2.
e) f(x)=

|x−1|
x−1 , x 6= 1
0, x = 1;
x = 1.
f) h(x)=

x2−1
x+1
, x 6= −1,
−2, x = −1;
x = −1.
g) f(x)=

x+2
x2−4 , x 6= 2,
4, x = 2;
x = 2.
Respostas: a) Cont´ınua, b) Cont´ınua, c) Cont´ınua, d) Descontinuidade re-
mov´ıvel, e) Descontinuidade do tipo salto, f) Cont´ınua, g) Descontinuidade
do tipo infinito.
II
Ca´lculo I
e
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Lista 6
1) Calcule os limites que existem.
a) lim
x→0
sin 3x
x
b) lim
x→0
3x
sin 5x
c) lim
x→0
sin 4x
sin 3x
d) lim
x→0
sinx2
x
e) lim
x→0
sinx
x2
f) lim
x→0
sin2 3x
5x2
g) lim
x→pi/4
sinx
x
h) lim
x→pi/2
cosx
x− pi
2
i) lim
x→pi/4
sin
(
x+ pi
4
)
− 1
x− pi
4
sugesta˜o : x+
pi
4
= x− pi
4
+
pi
2
Respostas: a) 3, b)3
5
, c) 4
3
, d) 0, e)na˜o existe, f) 9
5
g) 2
√
2
pi
h) −1, i) 0.
2) Mostre que se x esta´ em graus, enta˜o
lim
x→0
sinx
x
=
pi
180
I
3) Calcule
a) lim
x→∞x sin
1
x
b) lim
x→0x sin
1
x
c) lim
x→ 2
pi
x sin
1
x
Respostas: a) 1, b) 0, c) 2/pi.
4) Seja
f(x) =
{
x2, x < 1
Ax− 3, x ≥ 1
Encontre A, de modo que f seja cont´ınua em x = 1.
Resposta: A = 4.
5) Deˆ condic¸o˜es necessa´rias e suficientes sobre A e B para que a func¸a˜o
f(x) =

Ax−B, x ≤ 1
3x, 1 < x < 2
Bx2 − A, 2 ≤ x
seja cont´ınua em x = 1, mas seja descont´ınua em x = 2.
Resposta: A−B = 3, com B 6= 3.
6) Mostre que
lim
x→c sinx = sin c,
para todo c ∈ R.
Isto e´, mostre que f(x) = sin x e´ cont´ınua para todo x ∈ R.
II
Ca´lculo I
e
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Lista 7
1) Calcule os limites.
a) lim
x→+∞
√
x2 + 1
x + 2
b) lim
x→−∞
√
x2 + 1
x + 2
c) lim
x→+∞
2x2 − 3x + 5
x2 + 1
d) lim
x→+∞
(√
x2 + 2− x
)
e) lim
x→−∞
3
√
x3 + x− 3
√
x3 + 2
sugesta˜o: para a letra e): use que (a3 − b3) = (a− b) (a2 + ab + b2).
Respostas: a) 1, b) − 1, c) 2, d) 0, e) 0.
2) Calcule os limites:
a) lim
x→0
sin 5x
sin 7x
b) lim
x→0
tan2 x
x
c) lim
x→0
1− secx
tanx
d) lim
x→0
sin2 4x
cos 3x− 1 e) limx→0
cos 2x− cos 3x
x2
f) lim
x→0
cos(x− a)− cos a
x
g) lim
x→pi/2
1− sin3 x
cos2 x
h) lim
x→0
√
1 + sin x−√1− sinx
2x
Respostas: a) 5
7
, b) 0, c) 0, d) − 32
9
, e) 5
2
, f) sin a, g) 3
2
, h) 1
2
.
Obs: todos os exerc´ıcios desta lista esta˜o resolvidos no livro Exerc´ıcios de
Ca´lculo Diferencial e Integral I com Maxima.
Ca´lculo I
e
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Lista 8
1) Use o teorema do valor intermedia´rio para mostrar que existe uma
soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada no intervalo indicado.
a) 2x3 − 4x2 + 5x− 4 = 0; [1, 2]
b) x4 − x− 1 = 0; [−1, 1]
c) sinx+ 2 cosx− x2 = 0; [0, pi/2]
d) 2 tanx− x = 1; [0, pi/4]
e) x2 − 2 + 1
2x
= 0;
[
1
4
, 1
]
f) x5/3 + x1/3 = 1; [−1, 1]
g) x3 =
√
x+ 2; [1, 2]
h)
√
x2 − 3x− 2 = 0 [3, 5]
2) Resolva a inequac¸a˜o.
a) (x− 2)2 (10− 2x) > 0
b) x3 − 2x2 + x ≤ 0
c) 1
x−1 +
4
x−6 > 0
Resposta: a) (−∞, 2) ∪ (2, 5), b) (−∞, 0) ∪ {1}, c) (1, 2) ∪ (6,∞).
3) Use o teorema do valor intermedia´rio para mostrar que todo nu´mero
positivo tem uma raiz quadrada, isto e´, mostre que dado a > 0, existe um
nu´mero real c, tal que c2 = a.
I
4) Ache os nu´meros a e b que tornam a func¸a˜o dada cont´ınua para todo
x real.
a) f(x) =

3x+ 6a se x < −3
3ax− 7b se −3 ≤ x ≤ 3
x− 12b se x > 3
b) f(x) =

sinx se x < pi
2
ax+ b se pi
2
≤ x ≤ pi
x+ 3b se x > pi
c) f(x) =

x2 se x < 2
ax+ b se −2 ≤ x ≤ 2
2x− 6 se x > 2
Respostas: a) a = 2, b = −3, b) a = 1/pi + pi/2, b = 1/2 − pi/4,
c) a = −2, b = 0.
Obs: O exerc´ıcio 4 esta´ resolvido na pa´gina 49 do livro Exerc´ıcios de
Ca´lculo Diferencial e Integral I com Maxima. Seria muito bom se voces
usassem o software Maxima
II