Aula I Sistemas de unidades de medidas (2)

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Introdução
	A planimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medida de ângulos e distâncias, levando em consideração um plano horizontal.
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Planimetria
Gramometria
Goniologia
Distâncias
Ângulos
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Sistemas de unidades de medidas
- Unidades de medida linear;
- Unidades de medida de superfície;
- Unidades de medida de volume; e
- Unidades de medida angular.
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Unidades de medida linear
A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m).
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Metro (m)
Múltiplos
Submúltiplos
1 quilômetro (km) = 1000 m
1 decímetro (dm) = 0,1 m
1 hectômetro (hm) = 100 m
1 decâmetro (dam) = 10 m
1 centímetro (cm) = 0,01 m
1 milímetro (mm) = 0,001 m
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Exercício 1
Transforme 10 km e 98 mm nos múltiplos e submúltiplos do metro.
Solução
10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm
98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km
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Exercício 2
Transforme 21,30 m em mm e km
Solução
21,30 m = 21.300 mm = 0,02130 km
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Exercício 3 
Transforme 12 km em m, hm, dam, dm, cm e mm
Solução
12 km = 12.000 m = 120 hm = 1.200 dam = 120.000 dm = 1.200.000 cm = 12.000.000 mm
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Exercício 4 
Transforme 75 cm em m, km, hm, dam, dm e mm
Solução
75 cm = 0,75 m = 0,00075 km = 0,0075 hm = 0,075 dam = 7,5 dm = 750 mm
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Unidades antigas utilizadas na topografia
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Exercício 5
Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros
Solução
1 polegada = 25,4 mm. 
Portanto, 12 polegadas = 304,8 mm ou 0,3048 m
1 pé = 30,479 cm
Portanto, 5 pés = 152,39 cm ou 1,524 m.
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Exercício 6
Transforme 8 jardas e 9 léguas geométricas em metros
Solução
1 jarda = 0,91438 m. 
Portanto, 8 jardas = 7,31504 m
1 légua geométrica = 6.000 m
Portanto, 9 léguas geométricas = 54.000 m.
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Exercício 7
Transforme 13 braças em metros
Solução
1 braça = 2,20 m
Portanto, 13 braças = 28,60 m
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Unidade de medida de superfície
	A unidade padrão é o metro quadrado (m2), porém, em topografia, em razão das grandes extensões da superfície, utiliza-se com mais frequência o hectare (ha), correspondente a 10.000 m2.
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Metro quadrado (m2)
Múltiplo
Submúltiplo
1 hectare (ha) = 10.000 m2 = 100 a
1 centiare (ca) = 1,0 m2 = 0,01 a
1 Are (a) = 100 m2
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Exercício 8
Transforme 1 m2 em dm2, cm2 e mm2
Solução
1m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
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Exercício 9
Transforme 23,34 ha em m2, dm2 e cm2
Solução
23,34 ha = 233.400 m2 = 23.340.000 dm2 = 2.334.000.000 cm2
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Exercício 10
Transforme 0,4 ha em m2, dm2, cm2 e mm2
Solução
0,4 ha = 4.000 m2 = 400.000 dm2 = 40.000.000 cm2 = 4.000.000.000 mm2
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Exercício 11
Transforme 7.000.000.000 mm2 em cm2, dm2, m2 e ha
Solução
7.000.000.000 mm2 = 70.000.000 cm2 = 700.000 dm2 = 7.000 m2 = 0,7 ha 
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Exercício 12
Transforme 1,6 ha em dm2 e mm2
Solução
1,6 ha = 1.600.000 dm2 = 16.000.000.000 mm2
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Alqueire
- 1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48.400 m2 = 4,84 ha
- 1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.200 m2 = 2,42 ha
- 1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27.224 m2 = 2,7225 ha
- 1 alqueiro goiano = 96.800 m2 = 9,68 ha
A-Goiano > A-Geométrico > A-Mineiro > A-Paulista
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Exercício 13
Transforme 200 ha em m2 e alqueires geométricos
Solução
200 ha = 2.000.000 m2 = 41,3223 alqueires geométricos
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Exercício 14
Transforme 23,5 alqueires paulista em m2, alqueires goiano e alqueires mineiro
Solução
23,5 alqueires paulista = 568.700 m2 = 5,875 alqueires goiano = 20,889 alqueires mineiro
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Exercício 15
Transforme 13,5 ha em alqueires paulista, alqueires mineiro e alqueires goiano
Solução
13,5 ha = 5,5785 alqueires paulista = 4,9589 alqueires mineiro = 1,3946 alqueires goiano
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Outras unidades utilizadas em regiões brasileiras
- 1 milha quadrada = 640 acres = 258,9952 ha
- 1 pé quadrado = 929,0 cm2 = 0,00000929 ha
- 1 acre = 43.560 pés2 = 4.046,8 m2 = 0,4047 ha
- 1 braça quadrada = 4,84 m2 = 0,000484 ha
- Cinquenta = 50 x 50 braças = 1,21 ha (Paraíba)
- Cinquenta = 50 x 25 braças = 0,605 ha (Rio Grande do Sul)
- Colônia = 100 x 100 braças = 4,84 ha (Espírito Santo)
- Tarefa = 30 x 30 braças = 0,4356 ha (Bahia)
- Morgo = 50 x 50 m = 0,25 ha (Santa Catarina)
- Lote = 25 ha (Santa Catarina)
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Unidade de medida de volume
	A unidade padrão é o metro cúbico (m3), que corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m.
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Metro cúbico (m3)
Múltiplo
Quilômetro cúbico (km3) = 1.000.000 m3
Submúltiplo
Decímetro cúbico (dm3) = 0,01 m3 
Centímetro cúbico (cm3) = 0,0001 m3 
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Outras unidades volumétricas
1 litro = 1 dm3
1 m3 = 1000 dm3
1 m3 = 1000 litros
1 jarda cúbica = 0,7645 m3
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Exercício 16
Calcule a capacidade em litros (L) e em metros cúbicos (m3), de uma represa com as seguintes dimensões: Largura 25 m, comprimento 75 m e profundidade de 1,5 m.
Solução
Capacidade em m3 = largura x comprimento x profundidade
Capacidade em m3 = 25 m x 75 m x 1,5 m = 2.812,5 m3
Capacidade em L = 2.812,5 x 1000 = 2.812.500 L
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Exercício 17
Calcule a capacidade em litros (L) e em metros cúbicos (m3), de uma represa com as seguintes dimensões: Largura 30 m, comprimento 50 m e profundidade de 1,5 m.
Solução
Capacidade em m3 = largura x comprimento x profundidade
Capacidade em m3 = 30 m x 50 m x 1,5 m = 2.250 m3
Capacidade em L = 2.250 x 1000 = 2.250.000 L
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Unidade de medida angular
As unidades de medida dos ângulos e arcos utilizados em topografia podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e radiano.
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Sistema sexagesimal
No sistema sexagesimal, o círculo trigonométrico é dividido em 360 partes, tendo como unidade básica o grau (Figura 1).
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Grau
Submúltiplo
Minuto = 60’ = 1°
Submúltiplo
Segundo = 60” = 1’
1° = 60’ = 3.600”
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Observação
Geralmente, a origem da medição é na direção Norte, em sentido horário. 
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Exemplo de leitura do ângulo
Ângulo
25° 42’ 10,0”
Lê-se
Vinte e cinco graus, quarenta e dois minutos e dez segundos.
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Exercício 18
Some 50° 20’ 30” e 20° 45’ 43”
Solução
 50° 20’ 30”
+ 20° 45’ 43”
 70° 65’ 73”
= 71° 06’ 13”
Assim: 70° 65’ 73” = 70° 66’ 13” = 71° 06’ 13”.
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Exercício 19
Some 21° 17’ 13” e 34° 48’ 51”
Solução
 21° 17’ 13”
+ 34° 48’ 51”
 55° 65’ 64”
= 56° 06’ 04”
Assim: 55° 65’ 64” = 55° 66’ 04” = 56° 06’ 04”.
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Exercício 20
Some 11° 25’ 17” e 38° 40’ 53”
Solução
 11° 25’ 17”
+ 38° 40’ 53”
 49° 65’ 70”
= 50° 06’ 10”
Assim: 49° 65’ 70” = 49° 66’ 10” = 50° 06’ 10”.
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Exercício 21
Subtraia 50° 20’ 30” e 10° 42’ 40”
Solução
 50° 20’ 30”
- 10° 42’ 40”
 
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 50° 19’ 90”
- 10° 42’ 40”
 49° 79’ 90”
- 10° 42’ 40”
 39° 37’ 50”
1ª Etapa
2ª Etapa
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Exercício 22
Subtraia 41° 33’ 10” e 17° 56’ 52”
Solução
 41° 33’ 10”
- 17° 56’ 52”
 
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 41° 32’ 70”
- 17° 56’ 52”
 40° 92’ 70”
- 17° 56’ 52”
 23° 36’ 18”
1ª Etapa
2ª Etapa
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Exercício 23
Subtraia 73° 45’ 10” e 42° 56’ 21”
Solução
 73° 45’ 10”
- 42° 56’ 21”
 
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 73° 44’ 70”
- 42° 56’ 21”
 72° 104’ 70”
- 42° 56’ 21”
 30° 48’ 49”
1ª Etapa
2ª Etapa
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Exercício 24
Multiplique 42° 56’ 21” por 4
Solução
 
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 42° 56’ 21”
 x 4
168° 224’ 84”
Observação: nunca multiplicar ângulos por ângulos
168° 225’ 24”
171° 45’ 24”
1ª Etapa
2ª Etapa
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Exercício 25
Multiplique 23° 06’ 55” por 6
Solução
 
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 23° 06’ 55”
 x 6
138° 36’ 330”
138° 41’ 30”
1ª Etapa
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Exercício 26
Multiplique 77° 52’ 55” por 4
Solução
 
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 77° 52’ 55”
 x
4
308° 208’ 220”
308° 211’ 40”
311° 31’ 40”
1ª Etapa
2ª Etapa
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Exercício 27
Divida 80° 40’ 20” por 4
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 80° 40’ 20”
 ÷ 4
 20° 10’ 05”
Solução
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Observação
	As relações trigonométricas envolvendo unidade de grau, minuto e segundo devem ser transformadas em frações decimais de graus (“decimalizadas”).
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Atenção
sen 30°30’ ≠ 30,30°
sen 30°30’ =0,5075383629
sen 30,30° =0,5045276238
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Exercício 29
Decimalize e calcule:
a) 30° 30’
b) 20° 06’ 18”
c) tg (30° 20’ 01,20”)
Solução
a) 30°30’ = 30° + 0,5° = 30,5°
b) 20° 06’ 18” = 20° + 0,1° + 0,005° = 20,105°
c) tg (30° 20’ 01,20”) = tg (30,333667) = 0,58514
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Sistema centesimal
Neste sistema, o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como unidade básica o grado.
Círculo – 400gr
Unidade básica = 1gr
Submúltiplos:
100 Centigrado = 1gr
10.000 Decimiligrados = 1gr
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Exemplo
382,4839gr (Trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta e nove decimiligrados)
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Sistema radiano
Neste sistema o ângulo central corresponde a um arco de comprimento igual ao raio.
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α = (360° . a) / 2 . π . R 
Logo, 1 radiano = 57° 17’ 45” = α 
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Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares
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Observação
Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares.
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Exercício 30
Transforme
a) 358° em grado
b) 120° em grado
c) 76° em grado
d) 104gr em grau
e) 96gr em grau
f) 78gr em grau
g) 100° em radianos
h) 2 rd em grau
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Obrigado!
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Para o estudo da planimetria, o conteúdo é inicialmente dividido em dois temas, com base nas duas grandezas básicas a serem avaliadas em campo, ou seja, distâncias (gramometria) e os ângulos (Goniologia).
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É o sistema mais utilizado em topografia. 
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