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VIGAS DE MADEIRA
Prof. Ralf Klein, M.Eng.
Vigas de madeira
SUMÁRIO
1) Introdução
2) Principais tipos construtivos
3) Dimensões mínimas e contraflechas
4) Critérios de projeto
5) Dimensionamento de vigas de madeira maciça
6) Contraventamento de vigas de madeira
7) Dimensionamento à flambagem lateral
8) Referências
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Vigas de madeira
INTRODUÇÃO
Tensões de flexão
� Tensões normais de tração 
e compressão na direção 
paralela às fibras:
� Longitudinalmente na viga.
� ! em vigas esbeltas a 
tensão resistente de cálculo 
é limitada pela flambagem
lateral.
� Tensões de cisalhamento:
� Na seção transversal: na 
direção normal às fibras.
� Longitudinalmente na viga: 
na direção paralela às fibras.
Tensões normais e de cisalhamento na seção 
transversal da viga em flexão simples. (Pfeil, 2007)
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Vigas de madeira
INTRODUÇÃO
Tensões nos apoios
� Tensões de compressão normais às fibras.
� Na região de aplicação das cargas – apoios por ex.
Deflexões
� Deslocamentos ≤ deslocamentos aceitáveis.
Tensões de compressão normais às fibras nos locais 
de apoio. (Pfeil, 2007)
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Flambagem lateral
� É um tipo de instabilidade no qual a viga perde o 
equilíbrio no plano vertical (em geral).
� A viga passa a apresentar deslocamentos laterais e 
rotações de torção.
� Ocorre em vigas altas.
� Este fenômeno reduz a capacidade resistente à flexão.
� Pode ser evitada provendo-se a viga de contenções 
laterais nos apoios e em pontos intermediários e ou, 
limitando as tensões normais de flexão.
Flambagem lateral da viga (Pfeil, 2007).Flam
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Vigas de madeira
INTRODUÇÃO
Vigas de madeira
TIPOS CONSTRUTIVOS
Seções transversais usuais de vigas de madeira
Vigas de madeira maciça:
a) Viga de madeira roliça.
b) Viga de madeira lavrada.
c) Viga de madeira serrada.
Ponte em viga de madeira roliça 
(Gilmar de Souza, JSC, 2011).
Vigas de madeira de seção 
simples (Pfeil, 2007).
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Vigas de madeira
TIPOS CONSTRUTIVOS
Seções transversais usuais de vigas de madeira (cont.)
d) Vigas de madeira laminada colada.
Seções de comportamento semelhante ao das vigas maciças porém com 
dimensões maiores (ex.: 30 cm x 200cm)
Vigas de madeira laminada colada (Pfeil, 2007).
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Vigas de madeira
TIPOS CONSTRUTIVOS
Seções transversais usuais de vigas de madeira (cont.)
Seções compostas de duas ou mais peças de madeira maciça com ligações nas 
interfaces para evitar o deslizamento relativo das peças.
e) Vigas compostas de peças maciças com tarugos.
f) Vigas compostas de peças maciças com interfaces contínuas.
Vigas de madeira de seção composta (Pfeil, 2007).
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Vigas de madeira
DIMENSÕES MÍNIMAS e CONTRAFLECHA
� Dimensões mínimas das peças 
utilizadas em vigas (NBR 
7190:1997)
� Os pranchões do tabuleiro das 
pontes rodoviárias e das 
passarelas devem ser aplicados 
com espessura de pelo menos 
2cm superior a determinada 
pelo cálculo, devido ao desgaste 
mecânico provocado pela sua 
utilização.
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Vigas de madeira
DIMENSÕES MÍNIMAS e CONTRAFLECHA
Contraflechas
� Sempre que possível, as vigas de 
madeira, devem ser feitas com 
uma contraflecha de modo a 
evitar os efeitos pouco estéticos 
de configurações deformadas 
visíveis a olho nu (Pfeil, 2009).
� Vigas laminadas coladas.
� Vigas armadas.
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Vigas de madeira
CRITÉRIOS DE PROJETO
� ELU
� Tensões de projeto ≤ tensões resistentes.
� Flambagem lateral: σcd ≤ fcd,flamb
� ELS
� Deslocamentos ≤ deslocamentos aceitáveis.
� Vibrações.
VIGAS DE MADEIRA MACIÇA
Dimensionamento
Verificação de tensões em flexão simples (segundo a NBR 7190:1997).
� Tensões normais de flexão.
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Tensões devido ao momento fletor
(Pfeil, 2009)
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VIGAS DE MADEIRA MACIÇA
Dimensionamento
Verificação de tensões em flexão simples (cont.)
� Tensões de cisalhamento.
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Tensões devido à força cortante 
(Pfeil, 2009)
VIGAS DE MADEIRA MACIÇA
Dimensionamento
Verificação de tensões em flexão simples (cont.)
� Tensões de cisalhamento – vigas de seção retangular.
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Tensões devido à força cortante 
(Pfeil, 2009)
VIGAS DE MADEIRA MACIÇA
Dimensionamento
Verificação das tensões de compressão nos 
apoios.
� Tensões de compressão normais às fibras, no 
ponto de atuação da reação de apoio ou de cargas 
concentradas.
� ����,� �
�	
.�
� 
���,� � 0,25. 
��,� .∝�
� Rd – Valor de cálculo da reação.
� b, c – Dimensões da superfície de apoio onde a 
reação é introduzida.
� fc90,d – Tensão resistente de cálculo à compressão 
normal às fibras.
� αn – Coeficiente de acréscimo da tensão resistente 
de compressão normal às fibras, conforme itens 
7.2.4, 7.2.7 e tabela 13 da NBR 7190:1997.
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Tensões de compressão normais às 
fibras em peças estruturais de madeira 
(Pfeil, 2009).
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Verificação das tensões de compressão nos apoios. (cont.)
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VIGAS DE MADEIRA MACIÇA
Dimensionamento
Verificação das deflexões
� Para avaliar as deflexões nas vigas aplicam-se 
as expressões da Resistência dos Materiais 
podendo-se utilizar para o módulo de 
elasticidade da madeira o Ec,ef (módulo de 
elasticidade efetivo).
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Flambagem lateral
� É um tipo de instabilidade no qual a viga perde o 
equilíbrio no plano vertical (em geral).
� A viga passa a apresentar deslocamentos laterais e 
rotações de torção.
� Ocorre em vigas altas.
� Pode ser evitada provendo-se a viga de contenções 
laterais nos apoios e em pontos intermediários.
Flambagem lateral da viga (Pfeil, 2007).Flam
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Vigas de madeira
CONTRAVENTAMENTO
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Vigas de madeira
CONTRAVENTAMENTO
Flambagem lateral x localização das cargas
� O posicionamento das cargas na viga influi no fenômeno da 
flambagem.
� Cargas aplicadas na borda superior da viga tem efeito desestabilizante.
� Cargas aplicadas na borda inferior da viga tem efeito estabilizante.
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Vigas de madeira
CONTRAVENTAMENTO
Flambagem lateral x seção transversal da viga
� As vigas retangulares ao baixo (c) – apoiadas no maior lado – não estão 
sujeitas à flambagem lateral nem necessitam de contenção lateral nos 
apoios.
� Vigas de seção circular (a) – não estão sujeitas à flambagem lateral.
� Vigas de seção quadrada (b) – não estão sujeitas à flambagem lateral.
� As vigas retangulares ao alto (d) com h/b ≥ 2 devemter contenção 
lateral nos apoios e ou em pontos intermediários.
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Vigas de madeira
CONTRAVENTAMENTO
Contenção lateral das vigas de madeira nos pontos de apoio
a) Calços individuais.
b) Escoras laterais.
c) Diafragmas entre vigas.
d) Fixação da viga numa coluna.
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Contenção lateral de vigas nos apoios. (Pfeil, 2009)
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Vigas de madeira
CONTRAVENTAMENTO
Contenção lateral das vigas 
de madeira em pontos 
intermediários
a) Diafragmas intermediários.
b) Escoras intermediárias.
c) Assoalho de madeira 
compensada.
d) Assoalho de tábuas. É 
aconselhável utilizar dois pregos 
em cada apoio da tábua.
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Contenção lateral de vigas em pontos 
intermediários. (Pfeil, 2009)
Vigas de madeira
CONTRAVENTAMENTO
� A prática de projeto americana (NDS*, 1997) recomenda as seguintes regras 
construtivas de contenção lateral para evitar a flambagem de vigas retangulares de 
madeira.
a) h/b ≤ 2 – Não há necessidade de contenção lateral nos apoios, nem de amarração 
intermediária.
b) h/b = 3 – Contenção lateral nos apoios, sem necessidade de amarração 
intermediária.
* National Design Specification for wood construction and supplement.
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Contenção lateral de vigas nos apoios: a) calços, b) escoras, 
c) diafragmas, d) fixação em coluna. (Pfeil, 2009)
Vigas de madeira
CONTRAVENTAMENTO
� A prática de projeto 
americana (NDS, 1997) 
recomenda ... (cont.)
c) h/b = 4 – Contenção lateral nos 
apoios; o alinhamento da viga é 
mantido com o auxílio das 
terças e tirantes intermediários.
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Contenção lateral de vigas com tirantes. (Pfeil, 2009)
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Vigas de madeira
CONTRAVENTAMENTO
� A prática de projeto americana (NDS, 1997) recomenda ...(cont.)
d) h/b = 5 – Contenção lateral nos apoios; o alinhamento do lado 
comprimido deve ser mantido por ligação direta com o estrado, ou 
com travessas.
e) h/b = 6 – Contenção lateral nos apoios; o alinhamento do lado 
comprimido deve ser mantido por ligação direta com o estrado, ou 
com travessas, acrescentando-se diafragmas ou escoras 
intermediárias com espaçamento não superior a 6h.
f) h/b = 7 – Contenção lateral nos apoios; os lados comprimido e 
tracionado devem ser firmemente amarrados de modo a manter o 
seu alinhamento.
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O fenômeno da flambagem lateral
� Este fenômeno reduz a capacidade resistente à 
flexão.
� Para determinar a resistência à flexão devido à 
flambagem lateral será feita uma abordagem 
teórica do caso fundamental.
Flambagem lateral da viga (Pfeil, 2007).Flam
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FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS
Flambagem lateral de vigas retangulares
Caso fundamental de 
análise.
� Viga simplesmente apoiada.
� Contenção lateral e torcional
nos apoios.
� Momento fletor constante
em torno do eixo de maior 
inércia.
� Seção duplamente simétrica.
� Material elástico linear e 
isotrópico.
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a) Flambagem por flexão de peça comprimida axialmente.
b) Flambagem lateral por flexão de viga. (Pfeil, 2009)
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Flambagem lateral de vigas retangulares
Caso fundamental de 
análise (cont.)
� Para a viga do caso 
fundamental escrevem-se:
� As equações de equilíbrio.
� As relações de compatibilidade 
de deformações.
� As relações reológicas.
� Obtém-se assim a equação 
diferencial para a solução 
do problema.
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Flambagem lateral de viga por flexão (Pfeil, 2009).
Flambagem lateral de vigas retangulares
Caso fundamental de análise (cont.)
� A solução exata da equação 
diferencial de equilíbrio na posição 
deformada fornece para o momento 
fletor crítico (Timoshenko, 1961):
Mcr �
π
l
E. I�. G. J	 1 �W
W �
π
l
!E. C#
G. J
l – Comprimento da viga.
Iy – Mom. inércia relativo ao eixo y.
J – Cte. torção pura.
Cw – Cte. de empenamento.
G –
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Flambagem lateral de viga por flexão (Pfeil, 2009).
Flambagem lateral de vigas retangulares
Caso fundamental de análise (cont.)
� Para uma viga de seção retangular a 
expressão do momento fletor crítico 
se reduz:
Mcr �
π
l
E. I�. G. J
Iy �
1
12
h. b'
G –
J �
1
3
h. b' ) 0,21b*
b – Largura da viga.
h – Altura da viga.
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Flambagem lateral de viga por flexão (Pfeil, 2009).
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Flambagem lateral de vigas retangulares
Caso fundamental de análise (cont.)
� Dividindo o momento fletor crítico 
pelo módulo elástico à flexão (W) 
obtém-se a expressão da tensão 
crítica de flambagem lateral:
σ,- �
π
l
b
E
G
E
.
b
h
1 ) 0,63
b
h
/
0
� 0,25 – para a madeira.
� A curva da tensão crítica (σcr) em 
função do parâmetro de esbeltez (l/b) 
está representada no gráfico em linha 
tracejada.
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Curvas de tensão resistente (f) à flexão, com 
flambagem lateral, de viga de seção retangular 
(Pfeil, 2009).
Flambagem lateral de vigas retangulares
Caso fundamental de análise (cont.)
� Para um material elasto-plástico a 
expressão da tensão crítica é válida 
até o limite de resistência à flexão 
do material (fM) (linha tracejada).
� Igualando-se a tensão crítica à 
tensão resistente à flexão (fM) 
obtém-se o parâmetro de esbeltez
(l/b)e:
l
b
1
�
E
f3. β
β �
1
0,25. π
	
h
b
'
!
h
b
) 0,63
5
!
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Curvas de tensão resistente (f) à flexão, com 
flambagem lateral, de viga de seção retangular 
(Pfeil, 2009).
Flambagem lateral de vigas retangulares
Caso fundamental de análise (cont.)
� Para um material inelástico, que é o 
caso da madeira à compressão, a 
expressão da tensão crítica é válida até 
o limite de proporcionalidade do 
material (fel) – linha grossa cheia até (l/b)e*.
� O trecho da curva entre (l/b)r e (l/b)e*
corresponde à flambagem lateral, sob 
momento constante, em regime 
inelástico de tensões.
� Aplicando-se os coeficientes de 
redução de resistência (γw) e os 
coeficientes de modificação (kmod) 
constrói-se a curva da tensão de 
flexão de projeto com flambagem
lateral (linha cheia fina).
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Curvas de tensão resistente (f) à flexão, com 
flambagem lateral, de viga de seção retangular 
(Pfeil, 2009).
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Flambagem lateral de vigas retangulares
Adaptação do caso de análise ao 
caso fundamental.
� O caso de momento fletor constante 
em toda a viga é o mais desfavorável 
em termos de estabilidade lateral.
� Para outros carregamentos pode-se 
utilizar a expressão da tensão crítica 
substituindo o fator pi por pi/m com o 
valor de m dado pela tabela 1.
σ,- �
π
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l
b
E
G
E
.
b
h
1 ) 0,63
b
h
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Tabela 1 - Fator m de equivalência ao momento 
constante (Kirbye Nethercot, 1979, apud Pfeil, 2009).
Flambagem lateral de vigas retangulares
Flambagem lateral de vigas de seção retangular segundo a NBR 7190.
� Os procedimentos de projeto da NBR 7190, para a verificação da 
estabilidade lateral, são baseados no caso fundamental de análise (visto 
anteriormente).
É dispensada a verificação em relação ao ELU de instabilidade lateral, se:
� Nos apoios da viga há impedimento de rotação por torção.
� A distância entre os pontos de contenção lateral (l1) , com restrição à 
rotação por torção, respeitar a relação:
75 �
089,:;
<89,=.>?	
@ com β3 =
5
�,!A.B
	
C
D
E
F
C
D
G�,H'
I
F
>J
K;
sendo βE=4,0
Flambagem lateral de vigas retangulares
Flambagem lateral de vigas de seção retangular segundo a NBR 7190 (cont.)
� Valores de βM para diversas relações h/b com βE = 4 e γf = 1,4 são 
apresentados na tabela 2.
Tabela 2 – Valores de βM para diversas relações h/b (Pfeil, 2009)(NBR7190:1997, tabela16).
13
Flambagem lateral de vigas retangulares
Flambagem lateral de vigas de seção retangular segundo a NBR 7190 (cont.)
� Para as peças em que:
75 >
089,:;
<89,=.>?	
@ com β3 =
5
�,!A.B
	
C
D
E
F
C
D
G�,H'
I
F
>J
K;
sendo βE=4,0
� É dispensada a verificação em relação ao ELU de instabilidade lateral se a 
tensão atuante de cálculo na borda comprimida satisfizer:
σ,�,M =
3=
N8
≤ f<OPQR,M =
089,:;
SI
D
.>?
Vigas de madeira
REFERÊNCIAS
� ABNT, Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 7190 -
Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro, 1997.
� MOLITERNO, Antonio; BRASIL, Reyolando M. L. R. F. 
Caderno de projetos de telhados em estruturas de 
madeira.3.ed. São Paulo: Blücher, 2009.
� PFEIL, Walter, PFEIL, Michèle Schubert. Estruturas de madeira, 
6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
� TIMOSHENKO, S., GERE, J. Theory of elastic stability. 2.ed. 
McGraw Hill, 1961.
� ZENDRON, Décio. Madeira na construção civil. Notas de aula 
da disciplina de Estruturas de Madeira. Blumenau: Universidade 
Regional de Blumenau (FURB), 2008.
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