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BASES DE CÁLCULO e 
PROPRIEDADES MECÂNICAS DA 
MADEIRA
Prof. Ralf Klein, M.Eng.
Bases de cálculo e propriedades mecânicas de madeira
SUMÁRIO
1) Bases de cálculo de estruturas
� O projeto estrutural e as normas
� Métodos de cálculo de estruturas
� Ações e combinações de ações
� Tipos de análise estrutural
2) Propriedades mecânicas da madeira
� Ensaios padronizados
� Variação estatística das propriedades mecânicas de uma espécie
� Valores médios de resistência e rigidez de madeiras
� Correlação entre as propriedades mecânicas de madeiras
3) Resistência de cálculo da madeira
� Variação das propriedades mecânicas de uma espécie de madeira
� Resistência de cálculo
� Critérios de dimensionamento para solicitações simples
4) Referências
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BASES DE CÁLCULO
O projeto estrutural
� Objetivos de um projeto estrutural:
� Evitar o colapso da estrutura.
� Garantir o bom desempenho da estrutura.
� Etapas de um projeto estrutural:
� Projeto básico: definem-se o sistema estrutural, os materiais e o 
sistema construtivo a ser utilizado.
� Cálculo estrutural: definem-se as dimensões dos elementos e suas 
ligações – Análise estrutural e dimensionamento.
� Detalhamento: elaboram-se os desenhos executivos (ver anexo A da 
NBR7190:1997) e as especificações.
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BASES DE CÁLCULO
Métodos de cálculo de estruturas:
� Método das tensões admissíveis.
� Método dos estados limites.
� Para estabelecer bases comuns à elaboração dos projetos 
estruturais são elaboradas normas técnicas que reúnem 
conjuntos de regras e especificações utilizadas pelos 
engenheiros.
� A norma de projeto de estruturas de madeira no Brasil:
� NBR 7190:1982 – Baseada no método das tensões admissíveis.
� NBR 7190: 1997 – Baseada no método dos estados limites.
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BASES DE CÁLCULO
Método das tensões admissíveis
� O dimensionamento é considerado satisfatório se a máxima tensão 
solicitante em cada elemento estrutural (σmáx) respeitar:
� No método das tensões admissíveis o coeficiente de segurança procura 
traduzir todas as incertezas quanto às variáveis do projeto, como: 
carregamento especificado, características mecânicas dos materiais, 
modelo estrutural adotado, imperfeições na execução, etc.
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BASES DE CÁLCULO
Método dos estados limites
� No método dos estados limites os fatores são aplicados de forma 
diferenciada às cargas e às resistências.
� Um estado limite ocorre sempre que a estrutura deixa de satisfazer 
a um dos seus objetivos.
� Método dos estados limites ≡ Load and Resistance Factor Design 
(LRFD) (literatura americana).
� Distinguem-se dois tipos de estados limites:
� Estados Limites Últimos (ELU)
� Estados Limites de Serviço (ELS)
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BASES DE CÁLCULO
Estados Limites Últimos (ELU)
� ELU - estados que, pela sua simples ocorrência, determinam a 
paralização, no todo ou em parte, do uso da construção.
� A segurança da estrutura é garantida pela aplicação da equação de 
conformidade em cada seção da estrutura:
Sd = S(γf.Fk) < Rd (d – design = projeto)
� Sd – Solicitação de cálculo (de projeto) 
� Fk – Ações características
� γf – Coeficientes de ponderação das ações
� Rd – Resistência de cálculo (de projeto) 
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BASES DE CÁLCULO
Estados Limites de Serviço (ELS)
� ELS - Estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração causam 
efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para 
uso normal da construção, ou que são indícios de comprometimento da 
durabilidade da estrutura.
� Normalmente, quando um ELS é excedido, fica comprometida a 
funcionalidade da construção.
� Os ELS estão relacionados com o desempenho da estrutura sob condições 
normais de serviço.
� A verificação dos ELS é efetuada considerando-se a atuação das cargas de 
serviço na estrutura (cargas nominais sem majoração).
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BASES DE CÁLCULO
Ações
� As ações - cargas e deformações impostas – são classificadas conforme 
a taxa de variação de seus valores ao longo do tempo de vida da 
construção:
� Permanentes (pequena variação). Ex.: pp estrutura, equipamentos fixos, etc.
� Variáveis (grande variação). Ex.: cargas decorrentes do uso da construção, 
cargas de tráfego em pontes, cargas de vento, etc.
� Excepcionais (duração extremamente curta e baixa probabilidade de 
ocorrência). Ex.: impacto de um veículo pesado em um pilar, terremoto, etc.
� Normas brasileiras que tratam das ações nas estruturas:
� NBR 6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações.
� NBR 6123 – Forças devido ao vento em edificações.
� NBR 7188 – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre.
� NBR 7189 – Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias.
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BASES DE CÁLCULO
Ações nas estruturas de madeira (NBR 7190:1997, item 5.5)
� Ações usuais.
No projeto das estruturas correntes de madeira devem ser 
consideradas as ações seguintes, além de outras que possam agir em casos 
especiais:
� Cargas permanentes: constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelo peso 
das partes fixas não estruturais.
� Cargas acidentais verticais: são consideradas com sendo de longa duração.
� Vento: ...
� ...
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BASES DE CÁLCULO
Combinações de ações
� Para a verificação da segurança em relação aos possíveis 
estados limites, para cada tipo de carregamento devem ser 
consideradas todas as combinações de ações que possam 
acarretar os efeitos mais desfavoráveis nas seções críticas da 
estrutura (NBR 8681:2003).
� A NBR 8681 – Ações e segurança nas estruturas: estabelece 
os critérios de segurança no contexto do método dos estados 
limites.
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BASES DE CÁLCULO
Combinações de ações para os ELU
Tipos de combinações últimas:
� Combinações últimas normais.
� Combinações últimas especiais ou de construção.
� Combinações últimas excepcionais.
� Fd (ações de cálculo) ⇒ Sd (solicitações de cálculo)
� Obs.: no caso de análise estática linear as combinações podem ser 
efetuadas antes ou após a obtenção dos esforços solicitantes.
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BASES DE CÁLCULO
Combinações de ações para os ELU (cont.)
� As combinações últimas normais de ações são dadas pela expressão:
� �� = ∑ ��� . ���,
 +�� ��
,
 +∑ ���. ���,
�������
� �� 	− �����	��	�á�� ��	��!	�çõ�!.
� ���,	
 − �����	�����$��í!$&��	��!ações	permanentes.
� ��
,	
 − �����	�����$��í!$&��	��	ação	variável	considerada	como	principal	para	a	combinação.
� ���,	
 − �����	�����$��í!$&��	��!	demais	ações	variáveis.
� �� − 7��8&�&�9$�	��	:�9����çã�	:���	�!	�çõ�!	:��;�9�9$�!.
� �� − 7��8&�&�9$�	��	:�9����çã�	:���	�!	�çõ�!	<��&á<�&!.
� �� − ��$��	��	��� çã�	:���	�!	��;�&!	�çõ�!	<��&á<�&!.
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BASES DE CÁLCULO
Combinações de ações para os ELU (cont.)
� Carregamento normal (ver NBR 7190:1997 item 5.2.1)
� Um carregamentonormal inclui apenas as ações decorrentes do uso previsto para 
a construção.
� Admite-se que um carregamento normal corresponda à classe de carregamento de 
longa duração...
� Em um carregamento normal, as eventuais ações de curta ou média duração terão 
os seus valores atuantes reduzidos para que a resistência da madeira possa ser 
considerada como correspondente apenas às ações de longa duração.
� Combinações últimas nas construções correntes com duas cargas acidentais de 
naturezas diferentes (ver NBR 7190:1997 item 7.1.3)
� Segunda combinação: vento como ação variável principal.
�
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F> = ?γAB. FAB,C + γD 0,75. FH,C + ψ�D. FD,C
BASES DE CÁLCULO
Combinações de ações para os ELS
� Os ELS decorrem de combinações de ações que podem ter 
três classes em função de sua permanência na estrutura:
� Combinações Quase-Permanentes de ações (CQP) – Combinações que 
podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura.
� Combinações Freqüentes de ações (CF) – Combinações que se repetem 
muitas vezes durante o período de vida da estrutura.
� Combinações Raras de ações (CR) – Combinações que podem atuar no 
máximo algumas horas durante o período de vida da estrutura.
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BASES DE CÁLCULO
Combinações de ações para os ELS (cont.)
� As diversas ações atuantes na estrutura devem ser combinadas segundo os 
critérios da NBR 8681.
� As combinações quase permanentes (CQP), designadas como combinações de 
longa duração pela NBR7190:1997, item 5.8.1, são dadas pela expressão:
� As combinações de longa duração são consideradas no controle usual das 
deformações nas estruturas.
� Observar a inexistência dos coeficientes de ponderação γf: γg ou γq.
� ��,IJKL = ∑ ���,
 +∑ ���. ���,
���
���
� ��,	
 	− Mção	permanente	característica
� ��,	
 −	Mção variável	característica
� �� 	− ��$��	��	��;N&9�ção	O �!�	:��;�9�9$�
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BASES DE CÁLCULO
Tipos de análise estrutural
� Os Esforços Solicitantes (ES) (N, V, M e T) oriundos das ações 
estáticas ou quase-estáticas podem ser calculados por dois 
processos:
� Análise estática linear: pequenos deslocamentos, pequenas 
deformações, comportamento elástico linear do material (lei de 
Hooke).
� Análise estática não linear: grandes deslocamentos – não linearidade 
geométrica, não linearidade física – diagrama σ x ε não linear.
� Na prática profissional, devido a maior simplicidade, a análise 
estática linear é a mais utilizada.
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PROPRIEDADES MECÂNICAS
As propriedades físicas e mecânicas das espécies de madeira são determinadas por 
meio de ensaios padronizados em amostras sem defeitos.
� Os métodos de ensaio estão descritos na NBR 7190:1997, anexo B.
Principais propriedades para o uso da madeira em estruturas:
� fc0 - Resistência à compressão paralela às fibras.
� fc90 - Resistência à compressão normal às fibras.
� ft0 - Resistência à tração paralela às fibras.
� ft90 - Resistência à tração normal às fibras.
� fv0 - Resistência ao cisalhamento paralelo às fibras.
� fe0 - Resistência ao embutimento paralelo às fibras (pressão de apoio em ligações 
com conectores).
� fe90 - Resistência ao embutimento normal às fibras.
� Ec0 - Módulo de elasticidade na compressão paralela às fibras.
� Ec90 - Módulo de elasticidade na compressão normal às fibras.
� ρap (12%) - Massa específica aparente (densidade aparente) a 12% de umidade.
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Propriedades mecânicas
ENSAIOS PADRONIZADOS
Compressão paralela às fibras
� Diagrama σ x ε
� Comportamento elástico do material (até fc,el): trecho linear.
� Comportamento não-linear do material (após fc,el): associado à 
flambagem das fibras 
de madeira.
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n � Colapso (fc): ruptura 
do material ligante e 
flambagem das fibras.
� fc = Nu / A
� Módulo de elasticidade 
(longitudinal) - Ec: 
obtido do trecho linear.
(Pfeil, 2007)
Propriedades mecânicas
ENSAIOS PADRONIZADOS
Tração paralela às fibras
� Corpos de prova com 
dimensões maiores nas 
regiões junto às garras.
� Diagrama σ x ε
� Comportamento linear 
até bem próximo à 
tensão de ruptura em 
tração.
� Comportamento frágil 
em tração e dúctil em 
compressão.
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Propriedades mecânicas
ENSAIOS PADRONIZADOS
Cisalhamento paralelo às fibras
� Resistência ao cisalhamento paralelo 
às fibras (fv0):
fQ� �
FR
A
� Vigas de madeira: verificar τv0
fv90 >> fv0
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Figuras (Pfeil, 2009):
(a) Ensaio de cisalhamento em corpo de 
prova.
(b) Viga em flexão simples.
(c) Tensões de cisalhamento no elemento 
AA da viga.
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Propriedades mecânicas
ENSAIOS PADRONIZADOS
Compressão normal às fibras
� As fibras são constituídas por células ocas que apresentam grandes 
deformações quando comprimidas transversalmente.
� A resistência à compressão normal às fibras (fc90) é definida por um 
critério de deformação excessiva, correspondente à uma deformação 
residual de 2%.
� fc90 ≅ 0,25.fc0
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Ensaio de compressão normal às fibras e diagrama σc90 x εc90
Propriedades mecânicas
ENSAIOS PADRONIZADOS
Flexão
� Ver Pfeil (2007).
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PROPRIEDADES MECÂNICAS
Variação das propriedades 
mecânicas de madeiras de 
espécies diferentes.
� As madeiras de maior massa 
específica apresentam maior
resistência e maior rigidez.
� A figura ao lado ilustra a 
variação da resistência média à 
compressão (fc0) e do módulo de 
elasticidade (Ec0) com a massa 
específica para madeiras 
nacionais a 15% de umidade 
(Pfeil, 2007).
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PROPRIEDADES MECÂNICAS
Variação estatística das propriedades mecânicas de uma espécie de 
madeira.
� As propriedade mecânicas de uma espécie de madeira apresentam variações 
pois, a madeira é um material natural sujeito a diversos fatores ambientais.
� Os resultados experimentais dos valores da resistência (fi) de n amostras sem 
defeitos apresentam-se segundo uma distribuição normal (curva de Gauss).
� A cada valor de resistência está associada uma densidade de frequência.
� Definem-se os seguintes valores:
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Resistência x frequência de ocorrência
PROPRIEDADES MECÂNICAS
Variação estatística das propriedades mecânicas de uma 
espécie de madeira. (cont.)
� O valor da resistência é fixado estatisticamente.
� Adota-se, por convenção, para o valor da resistência, o valor 
correspondente ao quantil de 5% da distribuição Normal.
� A este valor denomina-se resistência característica (fk) e pode-se 
determiná-lo pela expressão:
fk = fm – 1,645.σ = fm.(1 – 1,645.δ)
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Resistência x frequência de ocorrência
PROPRIEDADES MECÂNICAS
Variação estatística das propriedades mecânicas de uma 
espécie de madeira. (cont.)
� Os coeficientes de variação das propriedades mecânicas das 
espéciesde madeira (δ) podem ser obtidos no item 6.3.3 ou 
no anexo E da NBR 7190:1997 :
� fk = fm – 1,645.σ = fm.(1 – 1,645.δ)
� Compressão paralela às fibras: δ = 18% ⇒ fk/fm = 0,70
� Tração paralela às fibras: δ = 18% ⇒ fk/fm = 0,70
� Cisalhamento paralelo às fibras: δ = 28% ⇒ fk/fm = 0,54
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PROPRIEDADES MECÂNICAS
� As propriedades mecânicas obtidas nos ensaios variam com o teor de 
umidade da amostra. 
� Teor de umidade do lote de amostras deve ser determinado para posterior 
ajuste dos resultados ao teor de umidade padrão U = 12%.
� Para os resultados de amostras ensaiadas com teor de umidade entre 10% 
e 20% a NBR 7190:1997 apresenta expressões que permitem corrigir os 
valores das resistências e das rigidezes para o teor de umidade padrão 
U = 12%.
� As propriedades mecânicas das madeiras apresentadas na NBR 
7190:1997 referem-se ao teor de umidade de 12%.
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PROPRIEDADES MECÂNICAS
� Propriedades físicas e mecânicas das espécies de madeira.
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PROPRIEDADES MECÂNICAS
� Propriedades físicas e mecânicas da madeira conforme a sua 
classe de resistência.
� As classes de resistência das madeiras têm por objetivo o emprego de 
madeiras com propriedades padronizadas, orientando a escolha do 
material para elaboração de projetos estruturais.
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Fonte: NBR 7190:1997
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PROPRIEDADES MECÂNICAS
Correlação entre as propriedades mecânicas da madeira.
� A NBR 7190:1997, item 6.3.3, permite a caracterização 
simplificada das resistências das madeiras usuais a partir 
dos ensaios de compressão paralela às fibras:
� fc0,k = 0,77.ft0,k
� ftM,k = 1,0.ft0,k
� fc90,k = 0,25.fc0,k
� fe0,k = 1,0.fc0,k
� fe90,k = 0,25.fc0,k
� Dicotiledôneas: fv0,k = 0,12.fc0,k
� Coníferas: fv0,k = 0,15.fc0,k
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PROPRIEDADES MECÂNICAS
Correlação entre as propriedades mecânicas da madeira
(cont.)
� Na falta de dados experimentais podem ser utilizados, como 
valores de referência, os seguintes valores de rigidez (módulo 
de elasticidade) :
� Dicotiledôneas: EM = 0,90.Ec0
� Coníferas: EM = 0,85.Ec0
� Módulo de elasticidade na direção normal às fibras: E90 ≅ 0,05.E0
� Módulo de cisalhamento: G90 ≅ 0,07.E0
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Variação das propriedades mecânicas de uma espécie de 
madeira.
� As resistências características obtidas em ensaios padronizados (peças 
sem defeitos, umidade padrão de 12%) não representam as propriedades 
mecânicas da madeira serrada utilizada em estruturas pois estas variam ainda 
com:
� Teor de umidade em que se encontra a peça de madeira.
� Tempo de duração da carga.
� Qualidade da peça de madeira, etc.
� Determinando-se a variação das propriedades mecânicas em função destes 
fatores obtem-se aos valores das tensões resistentes de projeto (resistência 
de cálculo). 
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Resistência de cálculo (ou de projeto)
� A resistência de cálculo (fd) é obtida a partir da resistência 
nominal característica (fk) com a expressão abaixo:
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Resistência de cálculo (cont.) f> = kUV> WXYZ
� A resistência característica pode ser obtida a partir da 
resistência média e do coeficiente de variação pela expressão:
fk = fm – 1,645.σ = fm.(1 – 1,645.δ)
� O coeficiente de variação das propriedades mecânicas das 
madeiras (δδδδ) pode ser obtido conforme item 6.3.3 da 
NBR7190:1997.
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Resistência de cálculo (cont.) f> = kUV> WXYZ
� Os coeficientes de ponderação da resistência γγγγw , para os 
ELU, são determinados conforme item 6.4.5 da NBR 7190: 
1997 ou, pela tabela 3.8 de Pfeil, 2007.
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Resistência de cálculo (cont.) f> = kUV> WXYZ
O coeficiente de modificação kmod é obtido a partir do produto: 
kmod = kmod,1 . kmod,2 . kmod,3
� O coeficiente parcial de modificação kmod,1, leva em conta a classe de 
carregamento e o tipo de material empregado (tabela 10 da NBR 7190: 
1997).
� O coeficiente parcial de modificação kmod,2, leva em conta a classe de 
umidade e o tipo de material empregado (tabela 11 da NBR 7190: 1997). 
No caso particular de madeira serrada submersa, admite-se o valor kmod,2 = 0,65. 
As classes de umidade têm por finalidade ajustar as propriedades de 
resistência da madeira para as condições ambientais onde permanecerá a 
estrutura (tabela 7 da NBR 7190: 1997).
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Resistência de cálculo (cont.) f> = kUV> WXYZ
� O coeficiente parcial de modificação kmod,3 leva em conta se a 
madeira é de primeira ou segunda categoria. O coeficiente 
de modificação kmod,3 é determinado conforme item 6.4.4 da 
NBR 7190: 1997 ou, pela tabela 3.13 de Pfeil, 2007.
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Módulo de elasticidade
� Nas verificações de segurança (Estado Limite Último) em que 
os esforços solicitantes dependam da rigidez da madeira, o 
módulo de elasticidade paralelamente às fibras deve ser 
tomado com o seu valor efetivo dado pela expressão:
Ec0,ef = kmod,1 . kmod,2 . kmod,3 . Ec0,m
� kmod,1 , kmod,2 , kmod,3 - Coeficientes de modificação das 
propriedades da madeira.
� Ec0,m - Módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio 
de compressão paralela às fibras para U = 12%.
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Critérios de dimensionamento para solicitações simples
� Compressão paralela às fibras (ou inclinação ≤ 6°)
� Em peças curtas submetidas à compressão axial o critério de segurança é dado 
por: σc0,d ≤ fc0,d
� Compressão normal às fibras
� O critério de segurança é dado por: σc90,d ≤ fc90,d
� fc90,d = 0,25.fc0,d . αn
� O valor de ααααn , ver slide seguinte.
� Compressão inclinada em relação às fibras (inclinação ≥ 6°)
� Utilizar a fórmula de Hankinson (NBR 7190:1997 item 7.2.9):
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Critérios de dimensionamento para solicitações simples
� Compressão inclinada em relação às fibras (inclinação ≥ 6°)
� Utilizar a fórmula de Hankinson (NBR 7190:1997 item 7.2.9):
� 8[\,� �
]^_,`∗]^b_,`
]^_,`∗IJ�
c\d]^b_,`∗[eI
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Resistência à compressão (ou tração) inclinada às fibras: (a) tensão inclinada de β
em relação às fibras; (b) gráfico da fórmula de Hankinson. (Pfeil, 2007) 
RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Critérios de dimensionamento para solicitações simples (cont.)
� Compressão normal às fibras
� O critério de segurança é dado por: σc90,d ≤ fc90,d
� fc90,d = 0,25.fc0,d . αn
� O valor de αn é determinado conforme itens 7.2.4, 7.2.7 e tabela 13 da NBR 
7190:1997.
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Critérios de dimensionamento para solicitações simples
(cont.)
� Tração paralela às fibras (ou inclinação ≤ 6°)
� O critério de segurança é dado por: σt0,d ≤ ft0,d
� Tração normal às fibras (em projetos)
� ft90,d = 0
� Tração inclinada em relação às fibras (inclinação ≥ 6°)
� Utilizar a fórmula de Hankinson:
�
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RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Critérios de dimensionamento para solicitações simples
(cont.)
� Flexão normal simples
� O critério de segurança é dado por: σc0,d ≤ fc0,d e σt0,d ≤ ft0,d
� Cisalhamento longitudunal em vigas
� O critério de segurança é dado por: τ0,d ≤ fv0,d
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Bases de cálculo e propriedades mecânicas de madeira
REFERÊNCIAS
� ABNT, Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 7190 - Projeto de 
estruturas de madeira. Rio de Janeiro, 1997.
� ABNT, Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 8681 – Ações e 
segurança nas estruturas - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.
� GLEIZE, Philippe Jean Paul. Materiais de construção civil. Notas de aula da 
disciplina. Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina, 2005.
� MOLITERNO, Antonio; BRASIL, Reyolando M. L. R. F. Caderno de projetos 
de telhados em estruturas de madeira.3.ed. São Paulo: Blücher, 2009. 
� PFEIL, Walter, PFEIL, Michèle Schubert. Estruturas de madeira, 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2007.
� ZENDRON, Décio. Madeira na construção civil. Notas de aula da disciplina de 
Estruturas de Madeira. Blumenau: Universidade Regional de Blumenau (FURB), 
2008.
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