Apostila de Estruturas de Concreto Armado II

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Prof. Me. Domício Moreira da Silva Junior 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Avenida Jerônimo Figueira da Costa, nº 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO 2 
(ESCE7) 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
Votuporanga, 2017 
 
 
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I. EMENTA: 
 
• A disciplina aborda o projeto e o dimensionamento de estruturas 
de concreto convencional como pilares e escadas, analisando seu 
comportamento estrutural como a flexão normal composta e 
oblíqua composta e estados limites de serviço. 
 
II. OBJETIVOS: 
 
• Gerenciar e/ou desenvolver projetos de estruturas de concreto 
convencional: pilares, escadas; 
 
• Conhecer os mecanismos resistentes das seções de concreto 
armado sujeitas à flexão composta normal e oblíqua; 
 
• Definir carregamentos para os elementos estruturais e 
respectivas combinações de serviço e de ruptura; 
 
• Dimensionar, verificar e detalhar estruturas de concreto 
convencional. 
 
III. METODOLOGIA: 
 
• Aulas expositivas teóricas e aulas de realização de exercícios 
e projetos. 
 
IV. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: 
 
• Introdução 
• Estados Limites de Serviço; 
✓ Limites de deformação em vigas e lajes; 
✓ Momento de fissuração 
✓ Estado Limite de Deformação Excessiva; 
✓ Avaliação aproximada da flecha considerando o efeito da 
fluência; 
✓ Estado Limite de Fissuração; 
✓ Determinação da abertura das fissuras; 
✓ Considerações da NBR-6118:2014 quanto aos Estados Limites de 
Serviço; 
• Ação do vento e estabilidade global 
✓ Elementos estruturais resistentes ao vento; 
✓ Inércia equivalente dos pilares; 
✓ Associação de pórticos 
 
 
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✓ Determinação da intensidade da força do vento; 
✓ Instabilidade estrutural e efeitos de segunda ordem; 
✓ Parâmetro ; 
✓ Coeficiente z; 
✓ Estruturas de nós fixos; 
✓ Estruturas de nós móveis; 
✓ Imperfeições geométricas; 
• Flexão composta normal e oblíqua; 
✓ Hipóteses de cálculo; 
✓ Equações de equilíbrio; 
✓ Resolução por meio de ábacos adimensionais; 
• Pilares de concreto armado; 
✓ Critérios da NBR-6118:2014 quanto aos pilares 
✓ Classificação dos pilares quanto a posição em planta; 
✓ Classificação dos pilares quanto à esbeltez; 
✓ Pré-dimensionamento dos pilares; 
✓ Disposições construtivas; 
✓ Tipos de excentricidade; 
✓ Consideração dos efeitos de segunda ordem; 
✓ Métodos de dimensionamento; 
✓ Pilar padrão com curvatura aproximada; 
✓ Pilar padrão com rigidez  aproximada; 
✓ Dimensionamento dos pilares utilizando ábacos adimensionais 
• Escadas de concreto armado; 
✓ Generalidades; 
✓ Ações nas escadas; 
✓ Detalhe das armaduras. 
 
V. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO: 
 
• As avaliações terão caráter diagnóstico, contínuo, processual 
e formativo, e serão obtidas mediante a utilização de 
instrumentos diversificados tais como provas, trabalhos e 
projetos 
 
VI. BIBLIOGRAFIA BÁSICA: 
 
• ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande: 
Dunas, 2014. v. 3. 
 
 
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• CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento 
de estruturas usuais de concreto armado: segundo a Nbr 6118. 
4. ed. São Carlos: EdUfscar, 2014. v. 1. 
• LEONHARDT, F.; MONNING, E. Construções de concreto: princípios 
básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado. Rio 
de Janeiro: Interciência, 1978. v. 3. 
 
VII. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: 
 
• ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande: 
Dunas, 2014. v. 2. 
• BOTELHO, M. H. C.; MARCHETTI, O. Concreto armado eu te amo. 6. 
ed. Blucher, 2010. v. 1. 
• LEONHARDT, F. Construções de concreto. Rio de Janeiro: 
Interciência, 1979. v. 4. 
• LEONHARDT, F.; MONNIG, E. Construções de concreto: casos 
especiais de dimensionamento de estruturas de concreto armado. 
Rio de Janeiro: Interciência, 1978. v. 2. 
• LEONHARDT, F.; MONING, E. Construções de Concreto. Rio de 
Janeiro: Interciência, 1977. v. 1.
 
 
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Sumário 
1- INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 18 
2- ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO ............................................................................................... 19 
2.1- Limites de deformações em vigas e lajes ........................................................ 21 
2.1.1- Momento de fissuração ............................................................................................... 21 
2.1.2- Estado limite de deformação................................................................................. 23 
2.1.3- Avaliação aproximada da flecha em vigas .................................................... 26 
2.1.3.1- Determinação do módulo de elasticidade do concreto...................... 26 
2.1.3.2- Flecha imediata em vigas de concreto armado ...................................... 28 
2.1.3.3- Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto 
armado 34 
2.1.3.4- Verificação da flecha ........................................................................................... 35 
2.1.4- Exemplo numérico ........................................................................................................... 35 
2.2- Limites de fissuração em vigas e lajes .......................................................... 41 
2.2.1- Estado limite de fissuração................................................................................. 43 
2.2.1.1- Controle da fissuração por meio da limitação da abertura 
estimada das fissuras ................................................................................................................... 43 
2.2.1.2- Controle da fissuração sem a verificação da abertura de 
fissuras 45 
2.2.2- Exemplo numérico ........................................................................................................... 46 
3- AÇÃO DO VENTO E ESTABILIDADE GLOBAL ......................................................................... 47 
3.1- Elementos estruturais resistentes à ação do vento ................................ 48 
3.2- Inércia equivalente de um pilar ........................................................................... 50 
3.2.1- Exemplo numérico ........................................................................................................... 51 
3.3- Associação de pórticos ................................................................................................ 52 
3.4- Determinação da intensidade da ação do vento ............................................ 54 
 
 
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3.4.1- Determinaçãoda intensidade da força do vento ..................................... 55 
3.4.1.1- Fator topográfico (S1) ......................................................................................... 58 
3.4.1.2- Rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre 
o terreno (S2) .................................................................................................................................... 60 
3.4.1.3- Fator estatístico S3 .............................................................................................. 64 
3.4.1.4- Coeficiente de arrasto (Ca) ............................................................................. 65 
3.4.1.5- Força de arrasto (Fa) ............................................................................................ 67 
3.4.1.6- Excentricidades ......................................................................................................... 68 
3.4.1.7- Exemplo numérico ....................................................................................................... 68 
3.5- Instabilidade estrutural e efeitos de segunda ordem ........................... 69 
3.5.1- Instabilidade global ................................................................................................. 71 
3.5.2- Contraventamento ........................................................................................................... 71 
3.5.3- Elementos isolados ...................................................................................................... 72 
3.5.4- Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem ......... 72 
3.5.5- Parâmetro de instabilidade  .............................................................................. 72 
3.5.5.1- Exemplo numérico: .................................................................................................... 73 
3.5.6- Coeficiente z ................................................................................................................. 74 
3.5.7- Análise de estruturas de nós fixos ................................................................ 76 
3.5.8- Análise de estruturas de nós móveis ............................................................. 77 
3.5.8.1- Exemplo de aplicação do cálculo do coeficiente z.......................... 78 
3.5.9- Consideração de imperfeições geométricas ................................................. 78 
3.5.9.1- Imperfeições globais: ........................................................................................... 78 
3.5.9.2- Imperfeições locais: ............................................................................................. 80 
4- FLEXÃO COMPOSTA NORMAL E OBLÍQUA................................................................................. 81 
4.1- Definições ............................................................................................................................. 81 
 
 
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4.2- Hipóteses básicas para o dimensionamento de peças fletidas .......... 82 
4.3- Flexão composta normal (flexão reta) ............................................................... 85 
4.3.1- Seção retangular com armadura não simétrica nas faces .................. 87 
4.3.2- Seção retangular com armadura simétrica nas faces ............................ 87 
4.3.3- Dimensionamento à flexão composta com o uso de ábacos 
adimensionais para seções retangulares .......................................................................... 89 
4.4- Flexão oblíqua e flexão composta oblíqua ..................................................... 91 
4.4.1- Hipóteses de cálculo ................................................................................................. 92 
4.4.2- Equações de equilíbrio ............................................................................................ 92 
4.4.3- Resolução do sistema e ábacos adimensionais .......................................... 94 
5- PILARES DE CONCRETO ARMADO ............................................................................................... 96 
5.1- Conceitos básicos ............................................................................................................ 96 
5.2- Critérios de durabilidade ......................................................................................... 96 
5.2.1- Agressividade do ambiente ..................................................................................... 97 
5.2.2- Qualidade do concreto de cobrimento ............................................................. 97 
5.2.3- Cobrimento das armaduras ........................................................................................ 98 
5.3- Classificação dos pilares quando à posição em planta ....................... 100 
5.3.1- Pilar intermediário .................................................................................................. 100 
5.3.2- Pilar de extremidade ............................................................................................... 101 
5.3.3- Pilar de canto .............................................................................................................. 104 
5.4- Classificação dos pilares quanto à esbeltez ............................................ 105 
5.4.1- Raio de giro .................................................................................................................. 105 
5.4.2- Índice de esbeltez .................................................................................................... 106 
5.4.2.1- Determinação do valor-limite de 1 ........................................................... 108 
5.4.2.2- Classificação dos pilares e métodos indicados de cálculo ..... 110 
 
 
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5.5- Dimensões mínimas dos pilares .............................................................................. 111 
5.6- Pré-dimensionamento ...................................................................................................... 112 
5.6.1- Estimativa da carga atuante por área de influência........................ 112 
5.6.2- Pré-dimensionamento da seção transversal ............................................... 113 
5.7- Disposições construtivas .......................................................................................... 114 
5.7.1- Diâmetro mínimo e máximo da armadura longitudinal .......................... 114 
5.7.2- Armadura mínima ........................................................................................................... 114 
5.7.3- Armadura máxima ........................................................................................................... 115 
5.7.4- Distribuição transversal das armaduras longitudinais ................... 115 
5.7.5- Número mínimo de barras em função da geometria da seção ............ 116 
5.7.6- Proteção contra flambagem das armaduras longitudinais ................ 116 
5.7.7- Armaduras transversais .......................................................................................... 118 
5.7.8- Detalhamento das armaduras dos pilares .................................................... 119 
5.7.9- Pilar parede .................................................................................................................. 119 
5.8- Tipos de excentricidade ............................................................................................120 
5.8.1- Excentricidade inicial .......................................................................................... 120 
5.8.2- Excentricidade de forma ........................................................................................ 121 
5.8.3- Excentricidade acidental ...................................................................................... 122 
5.8.4- Excentricidade de segunda ordem ..................................................................... 123 
5.8.5- Excentricidade devido a fluência ................................................................... 124 
5.9- Consideração dos efeitos de segunda ordem ................................................. 124 
5.9.1- Método geral – processo exato .......................................................................... 126 
5.9.2- Processo geral iterativo – carregamento incremental ..................... 126 
5.9.3- Método aproximado do pilar-padrão ................................................................ 128 
5.9.4.1- Método do pilar-padrão com curvatura aproximada ........................... 130 
 
 
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5.9.4.2- Pilar-padrão com rigidez  aproximada ................................................... 133 
5.10- Método do pilar-padrão para pilares de seção retangular 
submetidos à flexão composta oblíqua ............................................................................. 135 
5.11- Dimensionamento utilizando ábacos ................................................................ 135 
5.10.1- Flexão composta normal ...................................................................................... 136 
5.10.2- Flexão composta oblíqua .................................................................................... 137 
5.12- Dimensionamento de pilares ................................................................................. 138 
5.12.1- Pilar Intermediário .............................................................................................. 138 
5.12.1.1- Roteiro de cálculo das armaduras ........................................................... 138 
5.11.1.1- Exemplos .................................................................................................................... 141 
5.12.2- Pilar de extremidade ........................................................................................... 141 
5.12.2.1- Roteiro de cálculo das armaduras ........................................................... 141 
5.11.2.1- Exemplos .................................................................................................................... 143 
5.12.3- Pilar de canto .......................................................................................................... 144 
5.12.3.1- Roteiro de cálculo das armaduras ........................................................... 144 
5.11.3.1- Exemplos .................................................................................................................... 145 
6- ESCADAS DE CONCRETO ARMADO ............................................................................................. 146 
6.1- Dimensões das escadas ................................................................................................. 146 
6.2- Ações consideradas nas escadas ........................................................................... 147 
6.2.1- Peso próprio da escada: ........................................................................................ 147 
6.2.2- Peso dos revestimentos: ........................................................................................ 148 
6.2.3- Ações variáveis ........................................................................................................... 148 
6.2.4- Gradil, mureta ou parede: ................................................................................... 149 
6.3- Pré-dimensionamento da espessura das escadas .......................................... 150 
6.4- Escadas retangulares ................................................................................................... 150 
 
 
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6.4.1- Escadas armadas transversalmente ................................................................... 150 
6.4.2- Escadas armadas longitudinalmente ................................................................ 151 
6.4.3- Escadas armadas em cruz ........................................................................................ 152 
6.4.4- Escadas com patamar .................................................................................................. 153 
6.4.5- Escadas com laje em balanço............................................................................... 153 
6.4.6- Escadas em viga reta, com degrau em balanço ........................................ 154 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................... 155 
 
 
 
 
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Lista de Figuras 
 
Figura 1- Seção retangular no Estádio I ......................... 29 
Figura 2- Seção retangular no Estádio II ........................ 30 
Figura 3- Valores do coeficiente  em função das condições de 
contorno ........................................................ 31 
Figura 4- Concreto de envolvimento da armadura .................. 43 
Figura 5- Braço de alavanca ..................................... 45 
Figura 6- Estrutura submetida à uma ação vertical e à ação do vento 
e seus respectivos efeitos de segunda ordem ..................... 47 
Figura 7- Estrutura submetida à uma ação vertical e à ação do vento 
e seus respectivos efeitos de segunda ordem ..................... 48 
Figura 8- Planta de forma ....................................... 49 
Figura 9- Corte transversal ..................................... 49 
Figura 10- Pórtico plano e pilar retangular com rigidez equivalente
 ................................................................ 50 
Figura 11- Exemplo para determinar a rigidez equivalente de um pilar
 ................................................................ 51 
Figura 12- Cálculo do deslocamento do pórtico com o software Ftool
 ................................................................ 52 
Figura 13- Planta de forma de uma estrutura sujeita à ação do vento
 ................................................................ 53 
Figura 14- Simetria entre os pórticos externos .................. 53 
Figura 15- Planta de forma de uma estrutura sujeita à ação do vento
 ................................................................ 54 
Figura 16- Esquema estático do pórtico associado e sua respectiva 
posição deformada ............................................... 54 
Figura 17- Isopletas de vento ................................... 57 
Figura 18- Fator topográfico S1 (z) ............................. 59 
 
 
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Figura 19- Coeficientede arrasto (Ca) para edificações 
paralelepipédicas em vento de baixa turbulência ................. 66 
Figura 20- Coeficiente de arrasto (Ca) para edificações 
paralelepipédicas em vento de alta turbulência .................. 67 
Figura 21- Efeitos de segunda ordem localizados ................. 70 
Figura 22- Esquema estrutural de um edifício alto ............... 70 
Figura 23- Imperfeições geométricas globais ..................... 79 
Figura 24- Imperfeições geométricas locais ...................... 80 
Figura 25- Diagrama tensão-deformação idealizado ................ 83 
Figura 26- Diagrama “tensão x deformação” parábola-retângulo e 
retangular simplificado ......................................... 83 
Figura 27- Diagrama de tensões no aço ........................... 84 
Figura 28- Domínios de estado-limite último de uma seção transversal
 ................................................................ 84 
Figura 29- Possíveis caso de solicitações normais e seus domínios
 ................................................................ 85 
Figura 30- a) seção transversal genérica sob flexão composta (y é o 
eixo principal de inércia) e os domínios; b) curva dos esforços 
resistentes para os diversos domínios ........................... 86 
Figura 31- Seção transversal genérica com um eixo de simetria (y) e 
armadura simétrica, submetida à flexão normal composta .......... 88 
Figura 32- Seção retangular com armadura simétrica submetida à flexão 
composta normal ................................................. 89 
Figura 33- Ábaco para dimensionamento de peças retangulares sujeitas 
à flexão reta ................................................... 90 
Figura 34- Seção retangular sujeita à flexão oblíqua: deformações e 
tensões no concreto no ELU ...................................... 91 
Figura 35- Momentos fletores atuantes em uma seção retangular sob 
flexão composta obliqua ......................................... 92 
 
 
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Figura 36- Seção sujeita à flexão composta oblíqua em função da 
excentricidade da força ......................................... 93 
Figura 37- Exemplo de ábaco para dimensionamento à flexo-compressão 
oblíqua ......................................................... 95 
Figura 38- Cobrimento das armaduras ............................. 98 
Figura 39- Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares 
intermediários ................................................. 100 
Figura 40- Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de 
extremidade .................................................... 101 
Figura 41- Aproximação em apoios extremos ...................... 103 
Figura 42- Momentos fletores nos pilares de extremidade provenientes 
da ligação com a viga não contínua sobre o pilar ............... 104 
Figura 43- Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de 
canto .......................................................... 105 
Figura 44- Comprimentos de flambagem ........................... 106 
Figura 45- Situação real e simplificada de pilares contraventados 
de edifícios ................................................... 107 
Figura 46- Altura efetiva dos pilares .......................... 108 
Figura 47- Classificação dos pilares e pilares-parede de seção 
retangular ..................................................... 111 
Figura 48- Determinação da área de influência dos pilares ...... 113 
Figura 49- Número mínimo de barras ............................. 116 
Figura 50- Proteção contra flambagem das barras ................ 117 
Figura 51- Critério para proteção das barras longitudinais contra a 
flambagem ...................................................... 117 
Figura 52- Proteção contra a flambagem das barras longitudinais 117 
Figura 53- Proteção contra a flambagem das barras longitudinais 117 
Figura 54- Detalhamento típico de pilares ...................... 119 
 
 
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Figura 55- Situação de projeto da excentricidade de primeira ordem
 ............................................................... 121 
Figura 56- Situação de excentricidade de forma ................. 122 
Figura 57- Diagramas  x  de alguns materiais: a) linear; b,c,d) 
não linear físico .............................................. 125 
Figura 58- Consideração da não-linearidade geométrica .......... 125 
Figura 59- Diagrama “carga x deslocamento” com carregamento 
incremental .................................................... 127 
Figura 60- Cálculo pelo processo geral da carga crítica para flexão 
composta oblíqua ............................................... 127 
Figura 61- Esquema do pilar-padrão ............................. 128 
Figura 62- Envoltória mínima de 1ª ordem ....................... 132 
Figura 63- Envoltória mínima de 2ª ordem ....................... 133 
Figura 64- Notação para a Flexão Composta Normal ............... 136 
Figura 65- Notação para a Flexão Composta Oblíqua .............. 137 
Figura 66- Esquema da escada ................................... 146 
Figura 67- Diferentes tipos de degraus para as escadas ......... 147 
Figura 68- Esquema de cálculo dos degraus em balanço ........... 148 
Figura 69- Esquema de cálculo da viga de apoio ................. 149 
Figura 70- Escadas armadas transversalmente .................... 150 
Figura 71- Escadas armadas longitudinalmente ................... 152 
Figura 72- Escadas armadas em cruz ............................. 152 
Figura 73- Tipos de patamares .................................. 153 
Figura 74- Detalhamento das armaduras .......................... 153 
Figura 75- Detalhamento das armaduras .......................... 154 
Figura 76- Escadas em viga reta, com degrau em balanço ......... 154 
Figura 77- Detalhamento das armaduras .......................... 154 
 
 
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Lista de Tabelas 
 
Tabela 1- Combinações usuais em serviço (Fonte: Tabela 11.4 da NBR-
6118:2014) ...................................................... 20 
Tabela 2- Valores do coeficiente f2 (Fonte: Tabela 11.2 da NBR-
6118:2014) ...................................................... 21 
Tabela 3- Limites para deslocamentos (Fonte: Tabela 13.3 da NBR-
6118:2014, página 77) ........................................... 24 
Tabela 4- Deslocamentos elásticos em vigas (Fonte: MIRANDA, 2003)
 ................................................................ 32 
Tabela 5- Deslocamentos elásticos em vigas (Fonte: MIRANDA, 2003)
 ................................................................ 33 
Tabela 6- Valores do coeficiente  em função do tempo (Fonte: Tabela 
17.1 da NBR-6118:2014, pg. 127) ................................. 35 
Tabela 7- Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à 
proteção da armadura, em função das classes de agressividade 
ambiental (Fonte: Tabela 13.4 da NBR-6118:2014,pg. 80) ........ 42 
Tabela 8- Valor do coeficiente de aderência 1 (Fonte: Tabela 8.3 
da NBR-6118:2014, pg. 29) ....................................... 44 
Tabela 9- Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de 
alta aderência (Fonte: Tabela 17.2 da NBR-6118:2014, pg. 129) ... 46 
Tabela 10- Parâmetros meteorológico para o fator S2 (Fonte: Tabela 
1 da NBR-6123:1988) ............................................. 63 
Tabela 11- Valores do fator S2 (Fonte: Tabela 2 da NBR-6123:1988) 64 
Tabela 12- Valores mínimos para o fator S3 (Fonte: Tabela 3 da NBR-
6123:1988) ...................................................... 65 
Tabela 13- Classes de agressividade ambiental – CAA (Fonte: Tabela 
6.1 da NBR-6118:2014, página 17) ................................ 97 
Tabela 14- Relação água/cimento máxima e classe de resistência do 
concreto em função da agressividade ambiental (Fonte: Tabela 7.1 da 
NBR-6118:2014, página 18) ....................................... 98 
 
 
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Tabela 15- Cobrimento mínimo das armaduras em função da classe de 
agressividade ambiental (Fonte: Tabela 7.2 da NBR-6118:2014, página 
20) ............................................................. 99 
Tabela 16- Valores do coeficiente adicional n para pilares e pilares-
parede (Fonte: Tabela 13.1 da NBR-6118:2014, página 73) ........ 111 
Tabela 17- Peso específico dos tijolos para confecção de muretas
 ............................................................... 150 
Tabela 18- Pré-dimensionamento da espessura das escadas (Fonte: 
Campos Filho, 2014) ............................................ 150 
 
 
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1- INTRODUÇÃO 
 
Esta apostila foi elaborada a partir das normas vigentes e 
pesquisa na bibliografia disponível e possui o conteúdo mínimo para 
as aulas de Estruturas de Concreto 2 (ESCE7), oferecidas pelo curso 
de Engenharia Civil do Instituto Federal de Educação, Ciência e 
Tecnologia de São Paulo, campus Votuporanga. 
 
Para melhor aproveitamento do curso, recomenda-se que os alunos 
pesquisem na bibliografia básica e complementar, indicadas na ementa 
desta disciplina, e também nas referências utilizadas para 
elaboração deste material. 
 
Sugestões para melhorias, favor enviar e-mail para 
domiciojunior@ifsp.edu.br. 
 
 
 
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2- ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 
 
Os deslocamentos e aberturas de fissuras, devem ser verificados 
com a estrutura em serviço, ou seja, no Estado Limite de Serviço. 
 
 O item 11.8.3 da NBR-6118:2014, que trata das combinações de 
serviço, classifica tais combinações de acordo com sua permanência, 
ou tempo de ação, na estrutura conforme o estabelecido a seguir: 
 
a) quase permanentes: podem atuar durante grande parte do período 
de vida da estrutura, e sua consideração pode ser necessária 
na verificação do estado-limite de deformações excessivas; 
b) frequentes: repetem-se muitas vezes durante o período de vida 
da estrutura, e sua consideração pode ser necessária na 
verificação dos estados-limites de formação de fissuras, de 
abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também 
ser consideradas para verificações de estados-limites de 
deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que 
podem comprometer as vedações; 
c) raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da 
estrutura, e sua consideração pode ser necessária na 
verificação do estado-limite de formação de fissuras. 
 
Para finalidade de combinações no Estado Limite de Serviço, a 
norma propõe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 1- Combinações usuais em serviço (Fonte: Tabela 11.4 da NBR-6118:2014) 
 
 
Conforme o item 11.7.2 da NBR-6118:2014, em geral, o coeficiente 
de ponderação das ações para estados-limites de serviço é dado pela 
expressão: 
 
f = f2 
 
Em que f2 tem valor variável conforme a verificação que se 
deseja fazer (Tabela 2), conforme a seguir: 
 
f2 = 1 para combinações raras; 
f2 = 1 para combinações frequentes; 
f2 = 2 para combinações quase permanentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 2- Valores do coeficiente f2 (Fonte: Tabela 11.2 da NBR-6118:2014) 
 
 
2.1- Limites de deformações em vigas e lajes 
 
Agora, serão apresentadas as prescrições normativas quanto aos 
limites de deformação permitidos para vigas e lajes de concreto 
armado. 
 
2.1.1- Momento de fissuração 
 
O surgimento de fissuras em elementos de concreto armado é algo 
inevitável, uma vez que, o concreto é um material que não resiste 
aos esforços de tração, e em peças fletidas, tais como vigas e lajes, 
na região tracionada é comum o surgimento de pequenas fissuras. Estas 
fissuras acabam diminuindo a rigidez da peça, desta forma, a norma 
prevê a determinação do valor do momento fletor em que se inicia a 
abertura de fissura, em outras palavras, é necessário determinar o 
valor do momento fletor que gera tensões de tração maiores do que a 
tensão de tração resistente do concreto. Este momento é chamado de 
“momento de fissuração”. 
 
Conforme o item 17.3.1 da NBR-6118:2014 “Nos estados-limites de 
serviço as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e 
parcialmente no estádio II. A separação entre esses dois 
comportamentos é definida pelo momento de fissuração. Esse momento 
pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada:” 
 
 
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t
cct
r
y
If
M
..

 Eq. 1 
 
Em que: 
 
Mr = Momento de fissuração da peça; 
 
 = é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à 
tração na flexão com a resistência à tração direta; 
 
yt = é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais 
tracionada; 
 
Ic = é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
 
fct = é a resistência à tração direta do concreto, conforme 
8.2.5, com o quantil apropriado a cada verificação particular. 
Para determinação do momento de fissuração, deve ser usado o 
fctk,inf no estado-limite de formação de fissuras e o fct,m no 
estado-limite de deformação excessiva (ver 8.2.5). 
 
O fator  é definido em função da geometria da peça: 
 
 = 1,2 para seções T ou duplo T; 
 = 1,3 para seções I ou T invertido; 
 = 1,5 para seções retangulares; 
 
A resistência à tração do concreto pode ser calculadaconforme 
indica o item 8.2.5 da NBR-6118:2014, segundo as equações: 
 
 
mctctk ff ,inf, .7,0
 Eq. 2 
 
mctctk ff ,sup, .3,1
 Eq. 3 
 
O valor da resistência à tração média (fct,m) é dado em função 
da classe de concreto utilizado: 
 
• Para concretos com fck ≤ 50MPa: 
 
 
3
2
., .3,0 ckmct ff 
 Eq. 4 
 
• Para concretos com fck entre 55MPa e 90MPa: 
 
 
 
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).11,01(.12,2., ckmct fnf  
 Eq. 5 
 
 Com fck, fct,m, fctk,inf e fctk,sup em MPa. 
 
2.1.2- Estado limite de deformação 
 
O item 17.3.2 da norma preconiza que “a verificação dos valores-
limites estabelecidos na Tabela 13.3 (apresentada a seguir) para a 
deformação da estrutura, mais propriamente rotações e deslocamentos 
em elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e 
submetidos à combinação de ações conforme a Seção 11, deve ser 
realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das 
seções do elemento estrutural, ou seja, que levem em consideração a 
presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo 
dessa armadura e as deformações diferidas no tempo. 
 
A deformação real da estrutura depende também do processo 
construtivo, assim como das propriedades dos materiais 
(principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) 
no momento de sua efetiva solicitação. Em face da grande 
variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande 
variabilidade das deformações reais. Não se pode esperar, portanto, 
grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos 
analíticos prescritos”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 3- Limites para deslocamentos (Fonte: Tabela 13.3 da NBR-6118:2014, página 77) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 3 – Continuação 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1.3- Avaliação aproximada da flecha em vigas 
 
O item 17.3.2.1 da NBR-6118:2014 ressalta que o modelo 
idealizado para o comportamento das estruturas de concreto pode 
admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico 
linear, isto significa que, as deformações específicas dos elementos 
podem ser determinadas no Estádio I, caso os esforços solicitantes 
não superem aqueles que dão início ao processo de fissuração (Md < 
Mr). A partir do momento em que se atinge o valor do momento de 
fissuração, deve-se considerar a redução da rigidez no elemento 
provocada pelas fissuras, o que equivale a dizer que a verificação 
das deformações específicas deve ser feita no Estádio II. 
 
Para verificação da flecha a norma recomenda a utilização do 
módulo de elasticidade secante (Ecs) e também obriga a consideração 
do efeito da fluência (acréscimo de deformação ao longo do tempo). 
 
2.1.3.1- Determinação do módulo de elasticidade do concreto 
 
O item 8.2.8 da NBR-6118:2014 recomenda a determinação do módulo 
de elasticidade por meio de ensaio laboratorial regido pela NBR-
8522. Caso não seja possível determinar segundo ensaio padronizado, 
a NBR-6118:2014 recomenda a utilização das seguintes equações para 
estimativa do módulo de elasticidade. 
 
• Para fck entre 20MPa e 50MPa: 
 
 
ckEci fE .5600.
 Eq. 6 
 
• Para fck entre 55MPa e 90MPa: 
 
 3
1
3 25,1
10
..10.5,21 





 ckEci
f
E 
 Eq. 7 
 
Em que: 
 
Eci = Módulo de elasticidade tangente (MPa); 
fck = resistência característica do concreto à compressão (MPa); 
E = parâmetro que depende do tipo de agregado utilizado: 
 
✓ E = 1,2 para basalto e diabásio 
✓ E = 1,0 para granito e gnaisse 
✓ E = 0,9 para calcário 
✓ E = 0,7 para arenito 
 
 
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O módulo de elasticidade secante (Ecs) pode ser obtido com a 
seguinte equação: 
 
 
csics EE .
 Eq. 8 
 
Para concretos com fck entre 20MPa e 50MPa, a Eq. 8 pode ser 
reescrita, substituindo o valor de Ecs conforme Eq. 6, resultando: 
 
 
ckEics fE .5600..
 Eq. 9 
 
Sendo i um coeficiente que relaciona o módulo de elasticidade 
tangente com o módulo de elasticidade secante, e é calculado: 
 
 
0,1
80
2,08,0  cki
f
 Eq. 10 
 
Ainda conforme o item 8.2.8 da norma: 
 
“A deformação elástica do concreto depende da composição do 
traço do concreto, especialmente da natureza dos agregados. 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção 
transversal, pode ser adotado módulo de elasticidade único, à tração 
e à compressão, igual ao módulo de deformação secante Ecs. 
 
O módulo de elasticidade em uma idade menor que 28 dias pode 
ser avaliado pelas expressões a seguir:” 
 
• Para fck entre 20MPa e 45MPa: 
 
 
ci
ck
jck
ci E
f
f
tE .)(
5,0
,







 Eq. 11 
 
• Para fck entre 50MPa e 90MPa: 
 
 
ci
ck
jck
ci E
f
f
tE .)(
3,0
,







 Eq. 12 
 
Em que: 
 
Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em 
uma idade entre 7 dias e 28 dias, em MPa; 
 
 
 
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fckj é a resistência característica à compressão do concreto na 
idade em que se pretende estimar o módulo de elasticidade, em 
megapascal (MPa). 
 
2.1.3.2- Flecha imediata em vigas de concreto armado 
 
O item 17.3.2.1.1 recomenda que, para a avaliação da flecha 
imediata de vigas de concreto, deve ser utilizada a equação da 
rigidez equivalente: 
 
 
ccsII
a
r
c
a
r
csteq IEI
M
M
I
M
M
EEI ..1..
33
0, 





























 Eq. 13 
 
Em que: 
 
EIeq,t0 é a rigidez equivalente após a fissuração; 
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no 
estádio II; 
Es é o módulo de elasticidade do aço; 
Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, ou 
seja, o momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas 
e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações 
considerada nessa avaliação; 
Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor 
deve ser reduzido à metade no casode utilização de barras 
lisas; 
Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto. 
 
 Ressalta-se que, para determinação do momento de inércia, para 
verificação dos deslocamentos, a norma recomenda que a seja feita a 
homogeneização da seção transversal, isso equivale a dizer que, como 
o concreto armado é formado por dois materiais (concreto e aço), é 
necessário fazer com que a área de aço das armaduras seja 
transformada em uma área de concreto equivalente. Esta equivalência 
é feita utilizando o coeficiente e, que é obtido dividindo-se o 
módulo de elasticidade do aço pelo módulo de elasticidade do 
concreto. 
 
 O item 17.3.2 recomenda que os deslocamentos dos elementos sejam 
calculados de forma a garantir a maior precisão possível, em relação 
à estrutura em serviço, sendo assim, para verificação destes 
deslocamentos, deve-se considerar as fissuras, armaduras e o efeito 
da fluência. Sendo assim, para calcular as flechas, recomenda-se a 
utilização da inércia da seção homogeneizada, conforme a seguir: 
 
 
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a) Estádio I 
 
Conforme Pinheiro (2003), no Estádio I o concreto resiste à 
tração. Para seção retangular, a posição da linha neutra e o momento 
de inércia são calculados com base na Figura 1. 
 
Figura 1- Seção retangular no Estádio I 
Fonte: Pinheiro (2003) 
 
No cálculo da posição x1 da linha neutra, basta fazer MLN = 0, 
sendo MLN o momento estático da seção em relação à linha neutra. 
Conforme as deduções constantes em Pinheiro (2003), a posição da 
linha neutra no Estádio I pode ser definida conforme a equação: 
 
 
se
se
I
Ahb
dA
hb
x
).1(.
.).1(
2
. 2





 Eq. 14 
 
 Com: 
 
cs
s
e
E
E

 Eq. 15 
 
 Para seção retangular, o momento de inércia no Estádio I, 
considerando a seção homogeneizada, resulta em: 
 
 
2
1
2
1
3
).().1(
2
..
12
.
xdA
h
xhb
hb
I seI 





  Eq. 16 
 
b) Estádio II 
 
Conforme Pinheiro (2003), no Estádio II o concreto tracionado 
é desprezado, pois ele está fissurado, conforme Figura 2: 
 
 
 
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Figura 2- Seção retangular no Estádio II 
Fonte: Pinheiro (2003) 
 
 Com procedimento análogo ao do estádio I, desprezando-se a 
resistência do concreto à tração, tem-se para seção retangular no 
Estádio II. Novamente, as deduções encontram-se em Pinheiro (2003). 
A posição da linha neutra no Estádio II pode ser determinada com a 
equação a seguir: 
 
 









se
w
w
se
II
A
db
b
A
x
.
..2
11.
.

 Eq. 17 
 
 Sendo: 
 
 As = área de aço tracionada (cm²); 
 bw = base da viga (cm); 
 d = altura útil da viga (cm); 
 e = relação entre o módulo de elasticidade do aço e do concreto: 
 
Pinheiro (2003) afirma que, de posse da posição da linha neutra 
da seção fissurada, é possível determinar o momento de inércia no 
Estádio II (III): 
 
2
3
).(.
3
.
IIse
IIw
II xdA
xb
I  
 Eq. 18 
 
 Desta maneira, a flecha inicial pode ser determinada com auxílio 
da equação a seguir: 
 
eq
a
i
EI
M
f
)(
.
.
2

 Eq. 19 
 
 
 
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 E o coeficiente  é dado em função das condições de contorno da 
viga, conforme ilustra a figura a seguir: 
 
 
Figura 3- Valores do coeficiente  em função das condições de contorno 
Fonte: Merlin (2006) 
 
 Alternativamente, podem ser usadas as equações constantes nas 
tabelas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 4- Deslocamentos elásticos em vigas (Fonte: PINHEIRO, 2003) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 5- Deslocamentos elásticos em vigas (Fonte: PINHEIRO, 2003) 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1.3.3- Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de 
concreto armado 
 
A parcela da flecha diferida no tempo leva em conta as ações de 
longa duração, que produzem acréscimos de deformação com o passar 
do tempo, por conta do efeito da fluência. O item 17.3.2.1.2 da NBR-
6118:2014 preconiza “A flecha adicional diferida, decorrente das 
cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada 
de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo 
fator f dado pela expressão:” 
 
 
'501 




f
 Eq. 20 
 
 Em que: 
 
 f = fator que leva em consideração o efeito da fluência; 
  = coeficiente em função do tempo; 
 ’ = taxa de armadura de compressão. 
 
 
db
A s
.
'
'
 Eq. 21 
 
 Sendo: 
 
 A’s = área de aço da armadura de compressão (cm²); 
 b = base da viga (cm); 
 d = altura útil da viga (cm). 
 
 O coeficiente  pode ser determinado com a utilização da Tabela 
6 ou pela equação a seguir: 
 
 
32,0)996,0(68,0)( tt t  Eq. 22 
 
 Em que t é o tempo, em meses. Desta forma, a variação do 
coeficiente  é calculado: 
 
 
)()( 0tt  
 Eq. 23 
 
 Sendo: 
 
 (t) = tempo final de aplicação da carga, em meses; 
 (t0) = tempo inicial de aplicação da carga, em meses. 
 
 
 
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Tabela 6- Valores do coeficiente  em função do tempo (Fonte: Tabela 17.1 da NBR-6118:2014, pg. 127) 
 
 
O valor da flecha total (aF) deve ser obtido multiplicando a 
flecha imediata por (1 + f). 
 
2.1.3.4- Verificação da flecha 
 
Para que sejam atendidos os requisitos da NBR-6118:2014, com 
relação ao deslocamento vertical de vigas e lajes fletidas, a flecha 
total (imediata + diferida no tempo) deve respeitar os limites 
estabelecidos pela 
Tabela 3. Caso esses limites sejam ultrapassados, tem-se entre 
as soluções possíveis: 
 
• Aumentar a seção transversal da viga; 
 
• Aumentar a resistência do concreto; 
 
• Aumentar a idade para aplicação da carga (aumentar t0), mantendo 
o escoramento por mais tempo ou retardando a execução de 
revestimentos, paredes etc; 
 
• Adotar uma contraflecha (ac), que pode ser estimada por meio da 
expressão (flecha imediata mais metadeda flecha diferida): 
 
 
22
1. 11
f
c
f
c
a
aaaa 








 Eq. 24 
 
Conforme Pinheiro (2003), é usual arredondar o valor da 
contraflecha (ac) para o múltiplo de 0,5 cm mais próximo do valor 
calculado. A contraflecha pode ser adotada mesmo quando os 
deslocamentos estiverem abaixo dos limites estabelecidos na Tabela 
3. 
 
2.1.4- Exemplo numérico 
 
Verificar o Estado Limite de Deformação para a viga 
esquematizada a seguir. São dados do exercício: 
 
d: 35,90cm Agregado: basalto 
 
 
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As: 12,60cm² (420mm) Início aplicação carga: 30 dias 
fck: 25MPa Fim aplicação carga: > 70 meses 
Aço: CA-50 Edifício residencial 
Es: 210.000MPa Existem alvenaria abaixo da viga 
Agressividade: II 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
• Determinação do momento de fissuração para o Estado Limite de 
Formação de Fissura 
 
t
cct
ffr
y
If
M
..
,


 
 
Para verificação da formação de fissuras, conforme o item 17.3.1 
da NBR-6118:2014, o valor de fct deve ser igual a fctk,inf, portanto: 
 
3 2
inf, *3,0*7,0 ckctkct fff 
, com fck em MPa. 
 
3 225*3,0*7,0ctf
  
MPaf ct 795,1
  
²/1795,0 cmkNf ct 
 
 
O coeficiente  é dado em função da forma da seção transversal, e 
também conforme o item 17.3.1, para seção retangular:  = 1,5 
 
12
³.hb
I c 
  
12
³40.22
cI
  
433,333.117 cmIc 
 
 
2
h
yt 
  
2
40
ty
  
cmyt 20
 
 
20
33,333.117*1795,0*5,1
, ffrM
  
cmkNM ffr .60,579.1, 
 
 
• Momento de cálculo para combinação rara 
 
Conforme o item 11.8.3 da NBR-6118:2014, para verificação da 
abertura de fissuras, deve utilizar a combinação rara. 
 
 
 
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 Determinação da força de cálculo 
 
  kqikqkgrarad FFFF ,1,1,1, .
, como só tem uma ação variável: 
 
10,040,0, raradF
  
cmkNF rarad /50,0, 
 
 
 Determinação do momento de cálculo 
 
8
. 2,
,
rarad
rarad
F
M 
  
8
410.50,0 2
, raradM
  
cmkNM rarad .25,506.10, 
 
 
• Verificação quanto a abertura de fissuras 
 
Se Mr,ff > Md,rara: a peça não fissura  Estádio I 
Se Mr,ff < Md,rara: a peça fissura  Estádio II 
 
Md,rara = 10.506,25kN.cm > Mr,ff = 1.579,60kN.cm, portanto a peça 
está fissurada, deve-se considerar a redução da inércia (Estádio 
II). 
 
Após determinado o estádio de deformação, para verificação dos 
deslocamentos no Estado Limite de Deformação Excessiva, deve-se 
inicialmente recalcular o momento de fissuração, considerando agora 
fct = fct,m: 
 
• Determinação do momento de fissuração para o Estado Limite de 
Deformação 
 
Para verificação das deformações excessivas, conforme o item 
17.3.1 da NBR-6118:2014, o valor de fct deve ser igual a fct,m, 
portanto: 
 
3 2
, *3,0 ckmctct fff 
, com fck em MPa. 
 
3 225*3,0ctf
  
MPaf ct 565,2
  
²/2565,0 cmkNf ct 
 
 
Os demais parâmetros permanecem inalterados, logo: 
 
20
33,333.117*2565,0*5,1
, defrM
  
cmkNM defr .20,257.2, 
 
 
 
 
 
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• Determinação da inércia no Estádio II (III) 
 
Como a viga irá fissurar (Estádio II), deve calcular a inércia 
considerando a sessão fissurada: 
 
2
3
).(.
3
.
IIse
IIw
II xdA
xb
I  
 
 
Inicialmente, é preciso determinar a posição da linha neutra após 
a fissuração (xII), bem como fazer a homogeneização da seção 
transversal utilizando o coeficiente e, e para tanto é necessário 
determinar o valor do módulo de elasticidade secante do concreto. 
 
 Determinação do módulo de elasticidade secante do concreto 
 
ckEics fE .5600..
, com fck em MPa. 
 
80
.2,08,0 cki
f

  
80
25
.2,08,0 i
  
8625,0i
 
 
 E é dado em função do agregado utilizado, neste caso é o 
basalto, portanto, conforme item 8.2.8 da NBR-6118:2014: E = 1,20 
 
 
25.5600.2,1.8625,0csE
  
MPaEcs 00,980.28
  
²/00,898.2 cmkNEcs 
 
 
 Determinação do valor de e 
 
cs
s
e
E
E

  
898.2
000.21
e
  
25,7e
 
 
 Determinação da posição da linha neutra no Estádio II (xII) 
 









se
w
w
se
II
A
db
b
A
x
.
..2
11.
.

  









60,12*25,7
9,35*22*2
11.
22
60,12*25,7
IIx
 
 
 
cmxII 60,13
 
 
 Determinação da inércia no Estádio II (III) 
 
2
3
).(.
3
.
IIse
IIw
II xdA
xb
I  
  
2
3
)60,1222(*60,12*25,7
3
60,13*22
III
 
 
 
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441,851.63 cmI II 
 
 
• Verificação quanto a deformação excessiva 
 
 Determinação da força de cálculo para combinação quase 
permanente (item 11.8.5 da NBR-6118:2014) 
 
  kqijkgiCQPd FFF ,2,, .
 
 
O valor de 2 é dado pela Tabela 11.4 da norma (Tabela 2 nesta 
apostila), e para edifícios residenciais, 2 = 0,30, portanto: 
 
1,0*3,040,0, CQPdF
  
cmkNF CQPd /43,0, 
 
 
 Determinação do momento de cálculo 
 
8
. 2,
,
CQPd
CQPd
F
M 
  
8
410*43,0 2
, CQPdM
  
cmkNM CQPd .38,035.9, 
 
 
 Determinação da inércia equivalente 
 
O item 17.3.2.1.1 da NBR-6118:2014 propõe um equacionamento 
para determinação da rigidez equivalente da seção, que é dado pelo 
produto do módulo de elasticidade secante e a inércia equivalente, 
uma vez que, parte da viga trabalha no Estádio I e parte trabalha 
no Estádio II. Com a finalidade de se trabalhar com números menores, 
a equação proposta pela norma será simplificada, determinando 
inicialmente, apenas a inércia equivalente. 
 






























 II
a
defr
c
a
defr
teq I
M
M
I
M
M
I .1.
3
,
3
,
0,
, em que Ma é o momento máximo no 
meio do vão, para a combinação considerada. Neste caso, Ma = Md,CQP. 
 




























 41,63851*
38,9035
17,2257
133,117333*
38,9035
17,2257
33
0,teqI
  
4
0, 20,685.64 cmI teq 
 
 
 Determinação da flecha imediata 
 
eqcs
CQPd
IE
F
a
..384
..5 4,
1

 
 
20,64685*2898*384
410*43,0*5 4
1 a 
 
cma 84,01  
 
 
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 Determinação da flecha diferida no tempo (fluência) 
 
'501 




f’ = 0 (não tem armadura de compressão) 
 
t0 = 30 dias 
tf > 70 meses 
 
32,0
0 ).996,0.(68,0)( tt
t
, com t em meses 
 
32,01
0 1).996,0.(68,0)( t
 
 
68,0)( 0 t
 
 
32,070 70).996,0.(68,0)( ft
 
 
00,2)( ft 
 
0*501
68,000,2


f  32,1f 
 
1.aa ff   84,0*32,1fa  cma f 12,1 
 
 Determinação da flecha total 
 
)1.(1 fF aa   )32,11.(84,0 Fa  cmaF 96,1 
 
 Critérios de aceitabilidade 
 
- Edifício residencial 
- Alvenaria sob a viga 
 


 

cm
cm
a
00,1
82,0500/410500/
max
 
 
aF = 1,96cm > amax = 0,82cm  Não verifica a flecha 
 Solução aplicando a contraflecha 
 
2
1
f
c
a
a 
  
2
12,1
84,0 c
  
cmc 40,1
 
 
 
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A NBR-6118:2014, por meio da Tabela 13.3 (aqui representada 
pela Tabela 3), define o limite máximo para aplicação de contraflecha 
como sendo a relação ℓ/350, portanto: 
 
350
max,

c
  
350
410
max, c
  cmc 17,1max,  
 
Desta forma, o valor máximo da contraflecha é igual a 1,17cm. 
Aplicando esta contraflecha, assim que a viga for submetida aos 
carregamentos, a flecha máxima atuante será diminuída. Sendo assim, 
a flecha final é: 
 
17,196,1 Fa
  
!82,079,0 OKcmcmaF 
 
 
Usualmente, o valor da contraflecha costuma ser múltiplo de 
0,50cm para facilitar a execução. Neste caso, se diminuir a 
contraflecha para 1,00cm, a flecha atuante continua sendo maior que 
a máxima permitida. Se aumentarmos a contraflecha para 1,50cm, está 
ultrapassa o limite permitido pela norma. 
 
2.2- Limites de fissuração em vigas e lajes 
 
As vigas e lajes, por estarem sujeitas, predominantemente, a 
esforços de flexão, o que implica na existência de um banzo 
comprimido e outro tracionado, e pelo fato do concreto ser um 
material que possui baixa resistência à tração, na região onde ocorre 
este esforço, surgem também várias fissuras. Já foi visto que, para 
evitar a corrosão das armaduras, estas devem estar protegidas por 
uma camada de concreto (cobrimento), cuja espessura é dada em função 
da agressividade oferecida pelo meio em que a peça será executada. 
A norma também limita a abertura de fissuras segundo a agressividade 
ambiental, conforme ilustra a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 7- Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das 
classes de agressividade ambiental (Fonte: Tabela 13.4 da NBR-6118:2014, pg. 80) 
 
OBS.: ELS-F: Estado-limite de formação de fissuras 
 ELS-W: Estado-limite de abertura das fissuras 
 ELS-D: Estado-limite de descompressão (concreto protendido) 
 
O item 13.4.3 da NBR-6118:2014 ainda ressalta: 
 
“No caso das fissuras afetarem a funcionalidade da estrutura, 
como, por exemplo, no caso da estanqueidade de reservatórios, devem 
ser adotados limites menores para as aberturas das fissuras. Para 
controles mais efetivos da fissuração nessas estruturas, é 
conveniente a utilização da protensão. 
 
Por controle de fissuração quanto à aceitabilidade sensorial, 
entende-se a situação em que as fissuras passam a causar desconforto 
psicológico aos usuários, embora não representem perda de segurança 
da estrutura. Limites mais severos de aberturas de fissuras podem 
ser estabelecidos com o contratante”. 
 
 
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2.2.1- Estado limite de fissuração 
 
Serão apresentados a seguir os parâmetros normativos para 
determinação da abertura de fissuras nos elementos de concreto 
armado. 
 
2.2.1.1- Controle da fissuração por meio da limitação da 
abertura estimada das fissuras 
 
Conforme o item 17.3.3.2 da NBR-6118:2014, as aberturas das 
fissuras sofrem influência de restrições às variações volumétricas 
da estrutura, que por serem parâmetros complexos, torna difícil a 
avaliação da verificação das aberturas de fissuras, de maneira 
precisa. Além disso, as fissuras também sofrem influência das 
condições de execução da estrutura, como cura, adensamento, dosagem 
do concreto, etc. Estes são parâmetros mais difíceis ainda de serem 
considerados. 
 
Por conta de tantas incertezas, os critérios apresentados pela 
norma para quantificação das aberturas das fissuras devem ser 
encarados como avaliações aceitáveis, considerando o comportamento 
geral do elemento, porém não garantem a avaliação com bom nível de 
precisão de uma fissura específica. 
 
Assim, a norma considera que, para cada elemento ou grupo de 
elementos das armaduras aderentes que controlam a fissuração do 
elemento estrutural, deve ser considerada uma área de concreto de 
envolvimento (Acr), constituída por um retângulo, cujos lados não 
distem mais que 7,5 (em que  é o diâmetro da barra de controle de 
fissura) do eixo da armadura, conforme ilustra a Figura 4. 
 
NOTA: É conveniente que toda a armadura de pele i da viga, na sua 
zona tracionada, limite a abertura de fissuras na região Acri 
correspondente, e que seja mantido um espaçamento menor ou igual a 
15. 
 
 
Figura 4- Concreto de envolvimento da armadura 
Fonte: Figura 17.3 da NBR-6118:2014 
 
 
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 O valor característico da abertura de fissuras (wk), determinado 
para cada parte da região de envolvimento, é o menor entre os obtidos 
pelas expressões a seguir: 
 
 
mct
si
si
sii
k
fE
w
,1
3
..
.5,12




 Eq. 25 
 
 






 45
4
..
.5,12 1 risi
sii
k
E
w



 Eq. 26 
 
 Em que: 
 
si, i, Esi, ri são definidos para cada área de envolvimento em 
exame; 
Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra i; 
Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada, de 
diâmetro i; 
i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento 
considerada; 
ri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não 
esteja dentro de bainha) em relação à área da região de 
envolvimento (Acri), dado por: 
cri
si
ri
A
A

 
si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura 
considerada, calculada no estádio II. 
1 é o coeficiente de aderência, definido pela Tabela 8. 
 
Tabela 8- Valor do coeficiente de aderência 1 (Fonte: Tabela 8.3 da NBR-6118:2014, pg. 29) 
Tipo de superfície 1 
Lisa 1,00 
Entalhada 1,40 
Nervurada 2,25 
 
 Para cálculo da tensão atuante na armadura considerada (si), 
Pinheiro (2003) propõe a seguinte equação: 
 
 
II
IIde
si
I
xdM ).(. 


 Eq. 27 
 
Para determinação da tensão atuante na armadura (si), o item 
17.3.3.2 da norma permite a adoção do valor de e igual a 15. 
 
 
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Ou ainda, simplificadamente, Pinheiro (2003) ainda propõe a 
equação a seguir, considerando o braço de alavanca “z = 0,8d”, 
conforme ilustra a Figura 5. 
 
 
s
d
si
Ad
M
..8,0

 Eq. 28 
 
 
Figura 5- Braço de alavanca 
Fonte: Pinheiro (2003) 
 
 A norma, em eu item 17.3.3.2 permite a adoção do coeficiente 
e, que relaciona o módulo de elasticidade do aço com o do concreto 
(e = Es / Ecs), com valor igual a 15. 
 
 O item 17.3.3.2 da NBR-6118:2014 prescreve ainda que “nas vigas 
usuais, com altura menor que 1,2 m, pode-se considerar atendida a 
condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a 
abertura de fissuras calculada na região das barras mais tracionadas 
for verificada e se existir uma armadura lateral que atenda ao 
descrito em 17.3.5.2.3”. O item 17.3.5.2.3 trata da armadura de pele. 
 
Caso o valor obtido para wk > wk,lim, as providências possíveis 
são: 
 
• Diminuir o diâmetro da barra (diminui ); 
• Aumentar o número de barras mantendo o diâmetro (diminui σs); 
• Aumentar a seção transversal da peça. 
 
2.2.1.2- Controle da fissuração sem a verificação da abertura 
de fissuras 
 
O item 17.3.3.3 prescreve “para dispensar a avaliação da 
grandeza da abertura de fissuras e atender ao estado-limite de 
fissuração (para aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3mm em 
concreto armado e 0,2mm em concreto com armaduras ativas), um 
elemento estrutural deve ser dimensionado respeitando as restrições 
da Tabela 17.2 quanto ao diâmetro máximo (máx) e ao espaçamento 
 
 
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máximo (smáx) das armaduras passivas, bem como as exigências de 
cobrimento (Seção 7) e de armadura mínima (ver 17.3.5.2). A tensão 
si deve ser determinada no estádio II”. 
 
Tabela 9- Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência (Fonte: Tabela 17.2 
da NBR-6118:2014, pg. 129) 
 
 
2.2.2- Exemplo numérico 
 
Ver slides. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3- AÇÃO DO VENTO E ESTABILIDADE GLOBAL 
 
Carvalho e Pinheiro (2009) afirmam que qualquer estrutura, por 
mais simples que seja, estará sujeita, além das forças verticais, 
às ações horizontais, provenientes sobretudo do efeito do vento. Em 
estruturas de grande porte, estes efeitos se tornam ainda mais 
importantes, e que se não forem tratados da maneira adequada, podem 
desencadear uma situação de instabilidade na edificação. Sendo 
assim, embora algumas estruturas possam ter rigidez suficiente para 
que os efeitos de segunda ordem possam ser desprezados, o vento 
sempre deve ser avaliado, para verificar se sua ação é significativa 
ou não, a ponto de ser desprezado do cálculo. 
 
 A Figura 6 apresenta uma barra vertical, engastada na base e 
livre no topo, sujeita a uma ação vertical excêntrica, com uma 
distância 0 do centro de gravidade. Considerando a barra 
indeformada, tem-se o momento de primeira ordem (P.0) ilustrado pelo 
item “b”. Se o equilíbrio das forças for realizado com a estrutura 
já na sua posição deformada (c), surge o momento fletor de segunda 
ordem (d). Considerando agora a aplicação de uma força proveniente 
do vento na estrutura já deformada (e), o momento de segunda ordem 
é aumentado (f). 
 
 
Figura 6- Estrutura submetida à uma ação vertical e à ação do vento e seus respectivos efeitos de segunda 
ordem 
Fonte: Carvalho e Pinheiro (2009) 
 
 Caso a estrutura possua grande rigidez, Carvalho e Pinheiro 
(2009) afirma que os valores de 1 e 2 e serão pequeno e produzirão 
efeitos pouco significativos à estrutura. Porém, os autores 
ressaltam que os efeitos de primeira ordem provocados pelo vento 
devem sempre ser considerados. 
 
 
 
 
 
 
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3.1- Elementos estruturais resistentes à ação do vento 
 
As estruturas de concreto, de acordo com Carvalho e Pinheiro 
(2009), via de regra, são formas dor elementos prismáticos com seção 
transversal constante. Como o vento é uma ação horizontal, para que 
sua força seja absorvida, é necessário um conjunto de elementos, que 
recebem o nome de elementos de contraventamento, que podem ser 
organizados de várias formas. Uma delas é a formação de pórticos 
(conjunto de vigas e pilares), conforme ilustra a figura a seguir: 
 
 
Figura 7- Estrutura submetida à uma ação vertical e à ação do vento e seus respectivos efeitos de segunda 
ordem 
Fonte: Carvalho e Pinheiro (2009) 
 
 A planta de forma apresentada pela Figura 8 e o corte ilustrado 
pela Figura 9 mostram um edifício de pequeno porte (dois pavimentos), 
formado pela associação de diversos pórticos. 
 
 
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Figura 8- Planta de forma 
Fonte: Carvalho e Pinheiro (2009) 
 
 
Figura 9- Corte transversal 
Fonte: Carvalho e Pinheiro (2009) 
 
 
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 O vento que incide na face esquerda do edifício, o lado que 
contém os pilares P1, P4, P7 e P10, é resistido pelos pórticos 
formados por estes pilares e os pilares da face direita, ou seja, 
P3, P6, P9 e P12. 
 
 Carvalho e Pinheiro (2009) recomendam que, na concepção 
estrutural, é interessante dispor os elementos de tal forma que a 
rigidez na direção crítica seja aumentada. Estes elementos atuarão 
como sistema de contraventamento, que segundo o item 15.4.3 da NBR-
6118:2014 “por conveniência de análise, é possível identificar, 
dentro da estrutura, subestruturas que, devido à sua grande rigidez 
a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes 
dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de 
contraventamento. Os elementos que não participam da subestrutura de 
contraventamento são chamados elementos contraventados”. 
 
 Os autores ainda afirmam que é comum, em edifícios altos, a 
utilização das caixas de escada, caixas de elevador e pilares paredes 
como elementos de contraventamento, devido à grande rigidez. 
Elementos de menor rigidez, também podem auxiliar na resistência aos 
esforços provenientes do vento. Outro exemplo de elementos de 
contraventamento em edifícios altos, são sistemas treliçados nas 
fachadas, na direção da ação crítica do vento. 
 
3.2- Inércia equivalente de um pilar 
 
Uma maneira de analisar a estabilidade de um pórtico, conforme 
Carvalho e Pinheiro (2009), é por meio de um pilar que tenha rigidez 
equivalente ao pórtico. Para isso, admita um pórtico sujeito a uma 
força horizontal F, com deslocamento devido a esta força igual a 
pórtico, conforme ilustra a Figura