Exercícios de Eletrostática

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1 
 
Física III – LISTA DO CAPÍTULO 28 
 
1) Uma carga puntiforme 𝑞1 = −4 𝜇𝐶 está situada em (3, 0) 𝑐𝑚 e uma carga 𝑞2 = 3,2 𝜇𝐶 está 
situada em (0, 5) 𝑐𝑚. Ache: 
a) o potencial criado por 𝑞2no ponto onde está 𝑞1; 
𝑉2 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞2
𝑟12
= 𝑘
𝑞2
𝑟12
 
𝑟12
2 = 52 + 32 ⇒ 𝑟12 = 5,9 𝑐𝑚 
𝑉2 = 9 × 10
9
3,2 × 10−6
0,059
 
𝑉2 = 4,98 × 10
5 𝑉 
b) o potencial criado por 𝑞1 no ponto onde está 𝑞2; 
𝑉1 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1
𝑟12
= 𝑘
𝑞1
𝑟12
 
𝑉2 = 9 × 10
9
−4 × 10−6
0,059
 
𝑉2 = −5,1 × 10
5 𝑉 
 
c) a energia potencial elétrica do par de cargas. Qual é o significado do sinal algébrico da sua 
resposta? 
𝑈 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1𝑞2
𝑟12
 
𝑈 = 9 × 109
−4 × 10−6 3,2 × 10−6
0,059
 
𝑈 = −1,95 𝐽 
Quando a energia potencial elétrica é negativa (𝑈 < 0), temos que realizar um trabalho para 
separar as cargas. 
 
2) Sejam duas cargas puntiformes positivas iguais a 𝑄 localizadas em (0, 𝑎) e (0, −𝑎). 
a) determine o potencial 𝑉(𝑥) num ponto (𝑥, 0); 
𝑉 =
𝑘𝑄
𝑟1
+
𝑘𝑄
𝑟2
 
𝑟1 = 𝑟2 = √𝑎2 + 𝑥2 
𝑉 =
𝑘𝑄
√𝑎2 + 𝑥2
+
𝑘𝑄
√𝑎2 + 𝑥2
 
 
𝑉 =
2𝑘𝑄
√𝑎2 + 𝑥2
 
b) usar 𝑉(𝑥) para achar o campo elétrico no eixo 𝑥; 
�⃗� = −∇⃗⃗ 𝑉 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑖̂ 
 
�⃗� = −
𝜕
𝜕𝑥
(
2𝑘𝑄
√𝑎2 + 𝑥2
) 𝑖̂ 
2 
 
�⃗� = −2𝑘𝑄 (−
1
2
(𝑎2 + 𝑥2)
3
2. 2𝑥) 𝑖 ̂
�⃗� =
2𝑘𝑄𝑥
(𝑎2 + 𝑥2)
3
2
𝑖̂ 
c) determine o potencial 𝑉(𝑦) num ponto (0, 𝑦) para 𝑦 > 𝑎; 
𝑉 =
𝑘𝑄
(𝑦 − 𝑎)
+
𝑘𝑄
(𝑦 + 𝑎)
 
𝑉 =
𝑘𝑄(𝑦 + 𝑎 + 𝑦 − 𝑎)
(𝑦 − 𝑎)(𝑦 + 𝑎)
 
𝑉 =
2𝑘𝑄𝑦
𝑦2 − 𝑎2
 
 
d) usar 𝑉(𝑦) para achar o campo elétrico no eixo 𝑦. 
�⃗� = −∇⃗⃗ 𝑉 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝑖̂ 
�⃗� = −
𝜕
𝜕𝑥
(
2𝑘𝑄𝑦
𝑦2 − 𝑎2
) 𝑖̂ 
�⃗� = − [2𝑘𝑄 (
𝑦2 − 𝑎2 − 2𝑦𝑦
(𝑦2 − 𝑎2)2
)] 𝑗̂ 
�⃗� = − [2𝑘𝑄 (
−𝑦2 − 𝑎2
(𝑦2 − 𝑎2)2
)] 𝑗 ̂
�⃗� = 2𝑘𝑄 (
𝑦2 + 𝑎2
(𝑦2 − 𝑎2)2
) 𝑗̂ 
 
 
 
 
3) a) calcule a energia necessária para reunir o sistema de cargas 
mostrado na figura ao lado, onde 𝑎 = 0,2 𝑚, 𝑏 = 0,4 𝑚 e 
𝑞 = 6,0 𝜇𝐶; 
𝑈 =
𝑘𝑞1𝑞2
𝑟12
+
𝑘𝑞1𝑞3
𝑟13
+
𝑘𝑞1𝑞4
𝑟14
+
𝑘𝑞2𝑞3
𝑟23
+
𝑘𝑞2𝑞4
𝑟24
+
𝑘𝑞3𝑞4
𝑟34
 
𝑈 =
𝑘𝑞2𝑞
𝑎
+
𝑘𝑞3𝑞
√𝑎2 + 𝑏2
+
𝑘𝑞(−2𝑞)
𝑏
+
𝑘2𝑞3𝑞
𝑏
+
𝑘2𝑞(−2𝑞)
√𝑎2 + 𝑏2
+
𝑘3𝑞(−2𝑞)
𝑎
 
𝑈 =
9 × 109. 6 × 10−6. 2 .6 × 10−6
0,2
+
9 × 109. 6 × 10−6. 3 .6 × 10−6
0,45
+
9 × 109. 6 × 10−6. (−2 .6 × 10−6)
0,4
+
9 × 109. 2 . 6 × 10−6. 3 .6 × 10−6
0,4
+
9 × 109. 2 . 6 × 10−6. (−2 .6 × 10−6)
0,45
+
9 × 109. 3 . 6 × 10−6. (−2 .6 × 10−6)
0,2
 
𝑈 = 3,24 + 2,16 − 1,62 + 4,86 − 2,88 − 9,72 = −3,96 𝐽 
 
 
b) qual é o valor do potencial no centro do retângulo? 
 
3 
 
𝑉(𝐶) =
𝑘𝑞1
𝑟1
+
𝑘𝑞2
𝑟2
+
𝑘𝑞3
𝑟3
+
𝑘𝑞4
𝑟4
 
 
𝑉(𝐶) =
𝑘𝑞
𝑟
+
𝑘2𝑞
𝑟
+
𝑘3𝑞
𝑟
+
𝑘(−2𝑞)
𝑟
 
 
𝑉(𝐶) =
9 × 109 6 × 10−6
0,225
+
9 × 109 2 . 6 × 10−6
0,225
+
9 × 109 3 . 6 × 10−6
0,225
+
9 × 109(−2 . 6 × 10−6)
0,225
 
 
𝑉 = 9,6 × 105𝑉 
 
4) O sistema de cargas mostrado na figura ao lado é conhecido como um quadrupolo elétrico 
linear. 
a) mostre que o potencial em um ponto do eixo 𝑥 para 𝑥 > 𝑎 é 
𝑉 =
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0(𝑥3 − 𝑥𝑎2)
 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄
(𝑥 + 𝑎)
+
1
4𝜋𝜀0
−2𝑄
𝑥
+
1
4𝜋𝜀0
𝑄
(𝑥 − 𝑎)
 
𝑉 =
𝑄
4𝜋𝜀0
(
𝑥(𝑥 − 𝑎) − 2(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑥(𝑥 + 𝑎)
𝑥(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
) 
𝑉 =
𝑄
4𝜋𝜀0
(
𝑥2 − 𝑎𝑥 − 2𝑥2 + 2𝑎2 + 𝑥2 + 𝑎𝑥
𝑥3 − 𝑥𝑎2
) 
𝑉 =
𝑄
4𝜋𝜀0
(
2𝑎2
𝑥3 − 𝑥𝑎2
) 
𝑉 =
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0(𝑥3 − 𝑥𝑎2)
 
 
b) mostre que para 𝑥 >> 𝑎 a expressão obtida em a) se reduz a: 
𝑉 =
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0𝑥3
 
𝑉 =
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0𝑥3 (1 −
𝑎2
𝑥2
)
 
𝑉 =
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0𝑥3
(1 −
𝑎2
𝑥2
)
−1
 
(1 −
𝑎2
𝑥2
)
−1
= 1 − (−1)
𝑎2
𝑥2
= 1 +
𝑎2
𝑥2
 
𝑥 ≫ 𝑎 
𝑉 =
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0𝑥3
 
 
 
4 
 
c) use o resultado do item a) para achar o campo elétrico em qualquer ponto 𝑥 > 𝑎 do eixo do 
quadrupolo. 
�⃗� = −∇⃗⃗ 𝑉 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑖̂ 
�⃗� = −
𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑖̂ 
�⃗� = −
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0(𝑥3 − 𝑥𝑎2)
) 𝑖 ̂
�⃗� = −
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0
[−(𝑥3 − 𝑥𝑎2)−2(3𝑥2 − 𝑎2)]𝑖̂ 
 
�⃗� =
𝑄𝑎2
2𝜋𝜀0
[
(3𝑥2 − 𝑎2)
(𝑥3 − 𝑥𝑎2)2
] 𝑖 ̂
 
 
 
5) Temos uma diferença de potencial 𝑉 entre duas placas infinitas carregadas e paralelas, 
separadas de uma distância 𝑑. Um elétron inicialmente no repouso sai da placa com o potencial 
menor e atravessa completamente o espaço separando as duas placas. 
a) qual é o módulo do campo elétrico entre as placas? 
𝑉+−𝑉− = − ∫ �⃗� ∙ 𝑑ℓ⃗ 
+
−
= ∫ �⃗� ∙ 𝑑ℓ⃗ 
−
+
 
𝑉 = ∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟 
−
+
= ∫ 𝐸 𝑑𝑟 cos 0°
−
+
= 𝐸 ∫ 𝑑𝑟
−
+
 
𝑉 = 𝐸𝑑 ⇒ 𝐸 =
𝑉
𝑑
 
b) qual trabalho vai fazer a força elétrica sobre o elétron? 
𝑉 =
𝑊
𝑞0
; 𝑞0 = 𝑒 
𝑊 = 𝑒𝑉 
c) qual é a variação de potencial a qual o elétron está submetido? 
𝑉 = 𝐸𝑑 
d) qual é a variação de energia potencial do elétron? 
∆𝑈 = −𝑊 
∆𝑈 = −𝑒𝑉 
 
6) Movendo-se de A para B ao longo das linhas 
de campo elétrico, o campo elétrico realiza um 
trabalho de 3,94 × 10−19 𝐽 sobre um elétron no 
campo ilustrado na figura ao lado. Quais são as 
diferenças de potenciais elétricos: 
(a) 𝑉𝐵−𝑉𝐴 
 
5 
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 =
−𝑊𝐴𝐵
𝑞0
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 =
−𝑊𝐴𝐵
𝑒
=
−3,94 × 10−19
1,6 × 10−19
= −2,46 𝑉 
 
(b) 𝑉𝐶−𝑉𝐴 = −2,46 𝑉, pois os pontos B e C estão sobre a mesma superfície equipotencial. 
 
(c) 𝑉𝐶−𝑉𝐵 = 0, pois os pontos B e C estão sobre a mesma superfície equipotencial. 
 
7) A figura ao lado mostra, em corte, uma placa fina “infinita” 
de densidade de carga positiva 𝜎. É realizado um trabalho pelo 
campo elétrico da placa fina à medida que uma pequena carga 
de prova positiva 𝑞0 é deslocada da sua posição inicial sobre a 
superfície da placa fina para uma posição final a uma distância 𝑧 
perpendicular à superfície. O potencial elétrico neste caso pode 
ser escrito como: 
𝑉 = 𝑉0 −
𝜎
2𝜀0
𝑧 
Onde 𝑉0 é o potencial da superfície da placa fina. 
a) Calcule a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico �⃗� a partir deste potencial. 
�⃗� = −∇⃗⃗ 𝑉 
�⃗� = −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑉0 −
𝜎
2𝜀0
𝑧) �̂� 
�⃗� =
𝜎
2𝜀0
�̂� 
b) Qual é o valor do trabalho realizado pelo campo elétrico? 
∆𝑉 =
−𝑊
𝑞0
 
𝑊 = −(𝑉 − 𝑉0)𝑞0 
𝑊 =
𝜎
2𝜀0
𝑧𝑞0 
c) Qual é o valor da força elétrica que atua sobre a carga de prova 𝑞0? 
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑 
𝑊 = 𝐹𝑑 cos 𝜃 
𝜎
2𝜀0
𝑧𝑞0 = 𝐹𝑧 cos 0° 
𝐹 =
𝜎
2𝜀0
𝑞0 
 
Ou 
𝐹 = 𝑞0�⃗� 
𝐹 =
𝜎
2𝜀0
𝑞0�̂� 
 
 
6 
 
8) Um dipolo elétrico está ao longo do eixo 𝑧. No ponto 𝑃, 
longe do dipolo (𝑟 >> 𝑎), o potencial elétrico é dado por: 
𝑉 =
𝑝 cos 𝜃
4𝜋𝜀0𝑟2
 
a) calcule a componente radial 𝐸𝑟 e a componente 
perpendicular 𝐸𝜃 do campo elétrico associado. Note que 
𝐸𝜃 = −
1
𝑟
𝜕𝑉
𝜕𝜃
= −
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
(
𝑝 cos 𝜃
4𝜋𝜀0𝑟2
) 
𝐸𝜃 = −
1
𝑟
𝑝
4𝜋𝜀0𝑟2
(− sen 𝜃) 
𝐸𝜃 =
𝑝 sen 𝜃
4𝜋𝜀0𝑟3
 
 
𝐸𝑟 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= −
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑝 cos 𝜃
4𝜋𝜀0𝑟2
) 
𝐸𝑟 = −
𝑝 cos 𝜃
4𝜋𝜀0
(−2𝑟−3) 
𝐸𝑟 =
𝑝 cos 𝜃
2𝜋𝜀0𝑟3
 
 
b) expresse 𝑉 em termos de coordenadas cartesianas e calcule as componentes 𝐸𝑥 e 𝐸𝑧 do 
campo elétrico para 𝑟 >> 𝑎. 
{𝜃 = cos 𝜃 𝑖̂ − sen 𝜃 �̂�
�̂� = sen 𝜃 𝑖̂ + cos 𝜃 �̂�
 
 
�⃗� = 𝐸𝑟�̂� + 𝐸𝜃𝜃 
�⃗� =
𝑝 cos 𝜃2𝜋𝜀0𝑟3
(sen 𝜃 𝑖̂ + cos 𝜃 �̂�) +
𝑝 sen 𝜃
4𝜋𝜀0𝑟3
(cos 𝜃 𝑖̂ − sen 𝜃 �̂�) 
�⃗� =
𝑝
4𝜋𝜀0𝑟3
(2 cos 𝜃 sen 𝜃 𝑖̂ + 2 cos2 𝜃 �̂� + cos 𝜃 sen 𝜃 𝑖̂ − sen2 𝜃 �̂�) 
 
�⃗� =
𝑝
4𝜋𝜀0𝑟3
[3 cos 𝜃 sen 𝜃 𝑖̂ + (2 cos2 𝜃 − sen2 𝜃)�̂�] 
Como: 
𝑟 = (𝑥2 + 𝑧2)
1
2 
cos 𝜃 =
𝑧
𝑟
 
sen 𝜃 =
𝑥
𝑟
 
�⃗� =
𝑝
4𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑧2)
3
2
[3
𝑧
(𝑥2 + 𝑧2)
1
2
𝑥
(𝑥2 + 𝑧2)
1
2
𝑖̂ + (
2𝑧2
(𝑥2 + 𝑧2)
−
𝑥2
(𝑥2 + 𝑧2)
) �̂�] 
�⃗� =
𝑝
4𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑧2)
3
2
[
3𝑧𝑥
(𝑥2 + 𝑧2)
𝑖̂ +
2𝑧2 − 𝑥2
(𝑥2 + 𝑧2)
�̂�] 
 
7 
 
�⃗� =
3𝑝𝑧𝑥
4𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑧2)
5
2
𝑖̂ +
𝑝(2𝑧2 − 𝑥2)
4𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑧2)
5
2
�̂� 
Logo: 
�⃗� 𝑥 =
3𝑝𝑧𝑥
4𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑧2)
5
2
𝑖 ̂
�⃗� 𝑧 =
𝑝(2𝑧2 − 𝑥2)
4𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑧2)
5
2
�̂� 
 
 
9) Calcule o potencial elétrico 𝑉(𝑥) no ponto 𝑃 do eixo de 
um anel de raio externo 𝑏 e raio interno 𝑎 , como na figura. O 
anel tem uma densidade superficial de carga 𝜎 uniforme. 
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
 
𝑑𝐴 = 𝜔𝑑𝜔𝑑𝜃 
𝑑𝑞 = 𝜎𝜔𝑑𝜔𝑑𝜃 
𝑟 = (𝜔2 + 𝑥2)
1
2 
𝑉(𝑥) = ∫
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
 
𝑉(𝑥) =
1
4𝜋𝜀0
∫ ∫
𝜎𝜔𝑑𝜔𝑑𝜃
(𝜔2 + 𝑥2)
1
2
𝑏
𝑎
2𝜋
0
 
𝑉(𝑥) =
𝜎
4𝜋𝜀0
∫
2𝜋𝜔𝑑𝜔
(𝜔2 + 𝑥2)
1
2
𝑏
𝑎
 
𝑢 = 𝜔2 + 𝑥2 
𝑑𝑢 = 2𝜔𝑑𝜔 
𝑉(𝑥) =
𝜎
4𝜀0
∫
𝑑𝑢
𝑢
1
2
𝑏
𝑎
 
𝑉(𝑥) =
𝜎
4𝜀0
2𝑢
1
2 =
𝜎
2𝜀0
(𝜔2 + 𝑥2)
1
2 |
𝑏
𝑎
 
𝑉(𝑥) =
𝜎
2𝜀0
(√𝑏2 + 𝑥2 − √𝑎2 + 𝑥2) 
 
 
10) Um disco de raio 𝑅 tem uma densidade superficial de 
carga não uniforme 𝜎 = 𝜎0 𝑟
2 𝑅2⁄ , onde 𝜎0 constante e 𝑟 é 
medido a partir do centro do disco. 
a) determine a carga total no disco; 
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
⇒ 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴 
𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 
 
 
8 
 
𝑑𝑞 =
𝜎0𝑟
2
𝑅2
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 
∫𝑑𝑞
𝑞
0
=
𝜎0
𝑅2
∫ ∫𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑅
0
2𝜋
0
 
𝑞 =
𝜎0
𝑅2
2𝜋 ∫ 𝑟3𝑑𝑟
𝑅
0
 
𝑞 =
𝜎0
𝑅2
2𝜋
𝑟4
4
|
𝑅
0
 
𝑞 =
𝜋𝜎0𝑅
2
2
 
b) por integração direta, ache o potencial 𝑉(𝑥) no eixo do disco a uma distância 𝑥 de seu 
centro. 
𝑉(𝑥) = ∫
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝜔
 
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
 
𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 
𝑑𝑞 =
𝜎0
𝑅2
𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜃 
𝜔 = (𝑟2 + 𝑥2)
1
2 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
4𝜋𝜀0𝑅2
∫ ∫
𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜃
(𝑟2 + 𝑥2)
1
2
𝑅
0
2𝜋
0
 
𝑉(𝑃) =
2𝜋𝜎0
4𝜋𝜀0𝑅2
∫
𝑟3𝑑𝑟
(𝑟2 + 𝑥2)
1
2
𝑅
0
=
𝜎0
4𝜀0𝑅2
∫
𝑟22𝑟𝑑𝑟
(𝑟2 + 𝑥2)
1
2
𝑅
0
 
𝑢 = 𝑟2 + 𝑥2 
𝑑𝑢 = 2𝑟𝑑𝑟 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
4𝜀0𝑅2
∫
(𝑢 − 𝑥2)𝑑𝑢
𝑢
1
2
𝑅2+𝑥2
𝑥2
=
𝜎0
4𝜀0𝑅2
[ ∫
𝑢𝑑𝑢
𝑢
1
2
−
𝑅2+𝑥2
𝑥2
∫
𝑥2𝑑𝑢
𝑢
1
2
𝑅2+𝑥2
𝑥2
] 
 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
4𝜀0𝑅2
[ ∫ 𝑢
1
2𝑑𝑢 −
𝑅2+𝑥2
𝑥2
∫
𝑥2𝑑𝑢
𝑢
1
2
𝑅2+𝑥2
𝑥2
] 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
4𝜀0𝑅2
[
2
3
𝑢
3
2 − 2𝑥2𝑢
1
2] |𝑅
2 + 𝑥2
𝑥2
 
 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
4𝜀0𝑅2
{
2
3
[(𝑅2 + 𝑥2)
3
2 − 𝑥3] − 2𝑥2 [(𝑅2 + 𝑥2)
1
2 − 𝑥]} 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
2𝜀0𝑅2
{
1
3
[(𝑅2 + 𝑥2)
3
2 − 𝑥3] − 𝑥2(𝑅2 + 𝑥2)
1
2 + 𝑥3} 
9 
 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
2𝜀0𝑅2
{
1
3
(𝑅2 + 𝑥2)
3
2 −
𝑥3
3
− 𝑥2(𝑅2 + 𝑥2)
1
2 + 𝑥3} 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
2𝜀0𝑅2
{
1
3
(𝑅2 + 𝑥2)
1
2(𝑅2 + 𝑥2) +
2𝑥3
3
− 𝑥2(𝑅2 + 𝑥2)
1
2} 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
2𝜀0𝑅2
{
2𝑥3
3
+ (𝑅2 + 𝑥2)
1
2 [
𝑅2
3
+
𝑥2
3
− 𝑥2]} 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
2𝜀0𝑅2
{
2𝑥3
3
+ (𝑅2 + 𝑥2)
1
2 [
𝑅2
3
−
2𝑥2
3
]} 
𝑉(𝑃) =
𝜎0
6𝜀0𝑅2
[2𝑥3 + (𝑅2 + 𝑥2)
1
2(𝑅2 − 2𝑥2)]