Conversão Eletromecanica de energia

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1 
Conversão 
Eletromecânica 
de Energia 
Professor Hélvio Fregolente 
 
2 
Índice 
Circuitos Magnéticos 03 à 26 
Transformadores 27 à 88 
Máquinas de Corrente Contínua (c.c.) 88 à 130 
 
3
Circuitos magnéticos
 
No sentido amplo da palavra, denomina-se circuito magnético, ao conjunto de 
trajetórias das linhas de fluxo do campo magnético. Na prática, porém, interessam aqueles 
circuitos onde o campo magnético é muito intenso – a fim de fortalecer este campo, 
normalmente, são utilizados dois artifícios. 
1. Enrola-se o fio helicoidalmente, de modo a obter-se uma bobina (ou 
solenóide) comum certo número de espiras; 
2. O núcleo de uma bobina pode ser constituído de materiais especiais, 
ditos ferromagnéticos, que apresentam uma alta permeabilidade magnética. 
Propriedade magnética dos materiais
 
A influência dos materiais, na contribuição do campo magnético, foi representada 
pela letra 
 
que caracterizava uma certa peculiaridade relativa ao próprio material utilizado: 
)m/H(H.B
 
Esta peculiaridade 
 
é denominada permeabilidade magnética absoluta do material. O 
ar, por exemplo, tem uma permeabilidade magnética absoluta igual a: 
)m/H(104 70ar
 
Para melhor comparação entre os materiais, foi escolhido um deles, o ar, como 
referência e a permeabilidade e a permeabilidade magnética dos outros é dada em função 
de: 
0r .
 
Dando origem ao conceito de permeabilidade magnética relativa : 
0
r
 
Onde r representa quantas vezes um certo material é mais (ou menos) permeável que 
o ar. 
Por conseqüência, temos: 
a. Para o ar: 
1
r
 
b. Para os gases, líquidos e materiais não ferrosos: 
 
4
1
r
 
c. Para os materiais ferrosos, ditos também ferromagnéticos: 
60002000 r ; Daí, o grande interesse de utilização nos circuitos magnéticos. 
Característica (ou curva) de magnetização: ciclo de 
histerese dos materiais ferromagnéticos 
A fim de podermos saber o valor de 
 
de um certo material, é necessário levantar o 
gráfico da curva de magnetização: B versus H. Suponhamos realizar a seguinte experiência: 
Sobre um toróide, de material ferromagnético, estão enroladas um certo número de espiras 
alimentadas por uma corrente I, através do resistor R e da fonte cc: E. 
 
A f.e.m. e, induzida na bobina de prova, é medida indiretamente pelo fluxímetro, 
constituído por um galvanômetro balístico, capaz de medir um desvio proporcional à 
quantidade de carga enviada. 
dq.Rd
dt
dqRR.i
dt
d
e 111
 
dq.
S
R
S
ddB 1
 
Pela lei de Ampère, temos: 
 
5
l
NIHNIHl
NIdl.H
 
Variando a resistência R, linearmente com ela, variam a corrente I,
 
e o campo 
magnético H
 
enquanto que a indução B
 
assume os valores indicados na curva de 
magnetização. O gráfico mostra que, além de B, não ser linear motivo pelo qual é 
denominada “Curva de saturação magnética”, para um mesmo valor de H
 
correspondem 
dois valores de B; um na fase ascendente e outro na fase descendente. Supondo que o 
material ferromagnético, em estudo, nunca foi magnetizado antes, como característica de 
magnetização resulta o seguinte ciclo de histerese: 
1. Fase ascendente opositiva ( 1º.vez):
 
Partindo de zero, a corrente aumenta até o valor Imáx. Enquanto Hmáx assume valores 
desde zero até Hmáx a indução B varia de zero até Bmáx seguindo a curva OM. 
2. Fase descendente positiva :
 
Diminui-se a corrente até zero: enquanto H
 
varia de Hmáx até zero, B
 
desce pela curva 
rMB . 
3. Fase de eliminação do magnetismo residual positivo:
 
Inverte-se o sentido da corrente e aumenta-se o seu valor até eliminar totalmente o 
magnetismo residual positivo: H
 
varia de zero até o valor -Hc, enquanto B
 
segue a curva 
cr HB . 
4. Fase ascendente negativa: 
H varia de –Hc até –Hmáx, enquanto B varia desde zero até Bmáx (ponto N). 
5. Fase descendente negativa: 
H assume valores de –Hmáx até zero, enquanto B percorre a curva rBN . 
6. Fase de eliminação do magnetismo residual negativo:
 
H varia de zero até o valor Hc, e B segue a curva cr HB . 
 
6
 
7. Fase ascendente positiva:
 
H
 
varia de Hc
 
até Hmáx, enquanto B varia de zero até Bmáx sobre a curva Hc
 
M. 
Procedendo desta forma, obtivermos o primeiro ciclo de histerese, onde podemos distinguir 
as seguintes características: 
i. Br
 
= Indução remanescente: É a indução que permanece no material 
após de ter reduzido a zero o valor do campo H ; 
ii. Hc
 
= campo coercitivo: É o valor do campo H necessário para 
eliminar a indução remanescente. 
Permeabilidade magnética
 
Da observação do ciclo de histerese, nota-se que a indução B depende do valor de 
campo H
 
e do sentido de percurso do ciclo de histerese. A curva OM corresponde à fase 
ascendente positiva, levantada com um material ferromagnético, totalmente 
desmagnetizado, e denominada “curva normal de magnetização”. À relação 
H
B 
, 
corresponde a C.N.M., denominamos de “permeabilidade magnética”. Para o ar, gases, 
líquidos e materiais não ferrosos, a curva normal de magnetização é representada por uma 
reta passante pela origem; aliás, estes materiais apresentam, como ciclo de histerese, a 
própria C.N.M. 
Neste caso, teremos que a permeabilidade magnética é igual, aproximadamente, 
àquela do ar: 
 
7
)m/H(104 40
 
Nos materiais ferromagnéticos, a C.N.M. não é linear e há necessidade de ser 
levantada em laboratório; a permeabilidade magnética, portanto, não é constante e varia em 
função do campo H. 
Unidades de medida
 
As grandezas estudadas até agora, apresentam no sistema M.K.S.as seguintes 
unidades: 
Força magnetomotriz: 
esp.A,espirasAmpéreI.NF
 
Campo magnético:
 
m
esp.A
,
metro
espirasAmpére
l
NIHI.NL.H 
Densidade de fluxo magnético: 
22 m
Wb
,)metro(
Weber
A
B 
Fluxo magnético:
 
Wb,Webersegundo.Volts
N
dt.e
Ndt.e 
Permeabilidade magnética: 
metro
Henry
m
seg.
m/esp.A
m/seg.Volt
H
B 2 
Coeficiente de indutância: 
 
8
Henry,
Ampére
seg.Volt
i
dt.e
L 
Relutância do ferromagnetismo:
 
1H
seg.
1
seg.volt
esp.AI.N 
Interpretação do ferromagnetismo
 
As órbitas dos elétrons, na estrutura do material, representam minúsculas espiras de 
corrente, geradoras de pequenos diferenciais de campo magnético: Hd
 
Em estado normal, 
estas órbitas, consideradas como pequenos imãs (ou domínios), encontram-se nas mais 
variadas direções, resultando um campo magnético total nulo. A figura mostra alguns 
destes pequenos imãs em suas posições normais. 
 
Aplicando-se um campo magnético, sobre o material, fazendo circular a corrente I
 
pelas espiras da bobina, os minúsculos imãs ficam submetidos a forças que tendem a 
orientá-los na direção desse campo. Inicialmente, o fenômeno de alinhamento dos imãs, é 
diretamente proporcional com o aumento do campo magnético H . Posteriormente, a partir 
de um certo valor de H , o alinhamento começa a diminuir, cada vez mais, além o ponto em 
que todos os domínios foram já orientados. Saturação magnética: é o fenômeno que ocorre 
quando se aumenta o campo magnético e não corresponde mais um alinhamento 
proporcional de domínios. 
Energia de magnetização
 
Consideremos uma bobina com N espiras, enroladas, sobre um toróide, de 
comprimento médio e alimentada por uma fonte de C.R. 
 
9
 
A potência instantânea, fornecida pela fonte ao circuito, é igual ao produto: 
I.VP
 
Aplicando a lei de Ampère, em cada instante temos: 
N
L.HI
 
e pelalei de Faraday, temos também: 
dt
dB
.A.N
dt
dNeV
 
dt
dB
.H.Vol
dt
dB
.H.L.A
N
L.H
.
dt
dB
.A.Ni.eP
 
Incremento de energia: dt.pdW
 
dB.H
Vol
dWdt.
dt
dB
.H.VoldW
 
A energia total, por uma unidade de volume, recebida pelo núcleo, em cada ciclo, é 
dada por: 
ciclo
dB.H
Vol
W 
Vamos analisar um ciclo qualquer de histerese indicado na figura: 
 
10
 
A área, representada pelo produto H.dB, indica um diferencial de energia por unidade 
de volume.Se o produto H.dB for positivo, a energia é recebida pelo núcleo, se for 
negativo, a energia é devolvida à fonte. 
Trecho
 
H
 
dB
 
H.dB
 
O núcleo (recebe/devolve) 
energia
 
AB
 
+ + + O núcleo recebe energia 
BC
 
+ - - O núcleo devolve energia 
CD
 
- - + O núcleo recebe energia 
DE
 
- - + O núcleo recebe energia 
EF
 
- + - O núcleo devolve energia 
FA
 
+ + + O núcleo recebe energia 
 
Conclusão:
 
A área limitada pelo ciclo de histerese, representa a energia gasta por unidade de 
volume, para realizar cada ciclo. 
 
11
Cálculo das perdas de magnetização
 
Existem uma série de fórmulas empíricas que permitem calcular a área do ciclo de 
histerese e, portanto, as perdas de histerese (ou de magnetização). Destacamos, (entre elas 
de magnetização). Destacamos, entre elas, a fórmula de Steinmetz. 
Vol.B.f.W máxn
n
 
Onde: 
Wn = Energia dissipada para a magnetização do material ferromagnético; 
 f = freqüência; 
Bmáx = Indução máxima durante os ciclos; 
Vol = volume de material; 
 = Constante de Steinmetz (depende do material): 
i. Para aço doce: 44 10x510x5,3 ; 
ii. Para Ferro siliciosos: 410x5,2610x2 . 
N = constante (depende de Bmáx e do material) 2n6,1
 
Resolução de circuitos magnéticos
 
Tubo de fluxo: é o volume definido pelos contornos de duas superfícies 
Considerações preliminares: 
a. No interior de um tubo de fluxo, a indução é considerada constante, 
portanto, 
Sds
d
 
b. Para comprimento de um tubo de fluxo é considerado o seu 
comprimento médio. 
Métodos de cálculo
 
Existem duas situações típicas, nos problemas de circuitos magnéticos: 
1ª. Situação: 
Conhecido o fluxo, numa determinada seção do circuito, deseja-se saber os 
ampères-espiras necessários para criar esse fluxo. 
a. Calcula-se a indução, em todos os pontos do circuito, com o auxílio 
da expressão: 
 
12
S
B
 
 
b. Determina-se o valor do campo H nos vários trechos, através da 
curva normal de magnetização dos materiais que constituem o núcleo. 
c. Determina-se a f.m.m. total,pela integração: dl.HI.NF que,na 
prática, é efetuada com somatória: Li.Hi dos trechos com indução 
constante.Portanto, 
Li.HiI.NF
 
2º. Situação: 
Conhecida a f.m.m., deseja-se determinar o fluxo Este problema é solúvel, 
diretamente, somente se o campo H é constante a todo o circuito. 
De fato, sendo H = constante, temos: 
L.Hdl.HI.NF
 
L
I.NH
 
L
I.N.H.B
 
L
s.I.N.
s.B
 
Obs.: Se o campo H
 
não for constante em todo o circuito, por exemplo, 
21 HH (com H1 e H2 constante), teremos: 
2211 L.HL.HI.NF
 
Cuja solução é impossível diretamente. Neste caso, adota-se o método por tentativas, 
isto é, atribui-se um valor de fluxo e a partir dele calcula-se a f.m.m. Repete-se o processo 
para vários valores de fluxo e traça-se a curva fF . Entrando-se no gráfico com a 
f.m.m. dada, determinamos o fluxo e daí em diante recairemos no caso anterior. 
 
13 
Fator de empacotamento: Ke
 
Na grande maioria das aplicações; com o objetivo de reduzir as perdas no ferro, o 
núcleo dos circuitos magnéticos é constituído de lâminas, de material ferro magnético, 
isoladas entre si. A isolação entre lâminas, normalmente, é feita com uma folha de papel, 
com verniz, ou simplesmente com a própria oxidação das superfícies. A espessura efetiva 
(de ferro) do núcleo resulta, portanto, menor que a espessura geométrica. A relação entre os 
dois comprimentos é denominada Fator de empilhamento (ou de empacotamento). 
 
egfe
g
fe
e
K.LL
L
LK , 
A seção efetiva do núcleo será portanto: 
egeefe K.SK.b.ab.K.aS
 
 
14
g
fe
e S
SK
 
O fator de empacotamento, normalmente, assume os seguintes valores: 
Para chapas sem nada: 97,0K95,0 e ; 
Para chapas envernizadas: 95,0K93,0 e ; 
Para chapas isoladas com papel: 93,0K90,0 e . 
Efeito de espraiamento das linhas de fluxo no entreferro
 
Suponhamos, interromper um circuito magnético, comum entreferro, conforme na 
figura: 
 
As linhas de fluxo, quando atravessam o ar do entreferro, tendem a expandir-se 
fazendo com que a seção efetiva, no entreferro, seja maior que a própria seção geométrica 
do núcleo. Existem duas fórmulas empíricas, para o cálculo do entreferro: 
 
15
21e SS,eb.eaS
 
21e SS,e2b.e2aS
 
Analogia entre os parâmetros mecânicos, elétricos e magnéticos
 
A expressão dos fluxo magnético I.N , deduzida na página 19 da Introdução, nos 
sugere uma certa analogia das grandezas magnéticas com aquelas elétricas. Analisando um 
pouquinho, mais estes parâmetros, podemos estender a analogia até as grandezas 
mecânicas, resultando o seguinte quadro comparativo: 
Grandeza Mecânica
 
Grandeza Elétrica
 
Grandeza Magnética
 
Força: "F" ; velocidade:”v"
 
Tensão "V"; corrente "I" F.m.m:"F"; Fluxo:" ” 
Potência mecânica: F.v Potência elétrica: V.I Potência Magnética: F. 
 
Força de Atrito Resistência: R Relutância:
 
Deslizamento Condutibilidade: 
 
Permeância: µ 
Coeficiente e Atrito 
Resistividade: 
1 Relutividade: 1 
 
Leis de Kirchhoff
 
É evidente que, pela analogia apresentada as leis de Kirchhoff válidas para os 
Kirchhoff elétricos, serão válidas também para os circuitos magnéticos: 
1ª Lei: Lei dos Nós:
 
00I ii 
2ª Lei: Lei das malhas:
 
0F0V ii 
Exemplos da resolução de circuitos magnéticos 
1- Determinar, para o circuito magnético da figura, o àmperes-espiras 
necessários para criar, no entreferro, um fluxo 6.10-4 Wb de sabendo que o material 
do núcleo é de ferro fundido (F0F0), cuja curva normal de magnetização é fornecida. 
 
16 
 
Sequência de cálculo:
 
1. Divide-se o circuito nos trechos: 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, e 5-0, onde a 
indução B é constante. 
2. Monta-se a seguinte tabela: 
Trecho
 
Material
 
l(metros)
 
S(m2)
 
(Wb)
 
B(Wb/m2)
 
H(Aesp/m)
 
H.l(Aesp.)
 
0-1 Ar 0,002 9,24.10-4
 
6.10-4 0,649 516.000 1.032 
5-0+1-2 FoFo 0,108 8.10-4 6.10-4 0,75 5.500 594 
2-3+4-5 FoFo 0,32 12.10-4 6.10-4 0,5 1.600 512 
3-4 FoFo 0,11 16.10-4 6.10-4 0,375 930 102 
 
 
17
3. A somatória dos produtos L.H , m todos os trechos, é a f.m.m. 
procurada. 
1025125941032L.HI.NF ii
 
F = 2240 A.esp. 
4. No circuito da figura, determinar a corrente, na bobina necessária 
para produzir, o núcleo, um fluxo de 0,001 wb. Sabe-se que o 
material do núcleo é aço silício, a bobina possui 200 espiras e a área 
da seção transversal é 8cm2. Sendo o inteiro circuito com seção 
constante, não há necessidade de montar a tabela. 
 
a. Comprimento total médio: 
m5,0cm50118211132L
 
b. Seção transversal do núcleo: 
m10x8cm8St 42
 
c. Fluxo magnético: 
Wb001,0
 
 
18
d. Indução magnética: 
24
t
m
Wb25,1
10x8
001,0
S
B
 
e. Campo magnético: 
m
esp.A375HBfH
 
f. Força magnetomotriz: 
esp.A1885,0x375L.HI.NF
 
3. No exemplo anterior, quais os valores de seção e de corrente, para se 
obter o mesmo fluxo (0,001 wb), se o materialfor substituído por ferro fundido? 
a. Da c.n.m do ferro fundido, observa-se que a indução máxima é 
0,93 Wb/m2. Portanto, admitamos: 
2m
Wb92,0B
 
b. Cálculo da seção: 
24 m10x87,10
92,0
001,0
B
S
 
c. Cálculo do campo H: 
m
Aesp9700HBfH
 
d. Cálculo da f.m.m.: 
esp.A48505,0x9700L.HI.NF
 
e. Cálculo da corrente: 
A25,24
200
4850
N
FI
 
4. Calcular a relutância do circuito magnético dos exemplos 2 e 3. 
a. Cálculo da relutância no exemplo 2. 
 
19
m
H00333,0
375
25,1
H
B
 
15
6 H10x877,110x8x00333,0
5,0
S.
L
 
Verificação: 
15 H10.5,48
001,0
4850F
 
b. Cálculo da relutância no exemplo 3. 
15 H10x5,48
001,0
4850F
 
5. Na estrutura magnética da figura, os núcleos são constituídos de 
chapa laminados de aço fundido, com fator de empacotamento igual a 0,9. 
Sabendo que a f.m.m. de excitação vale 2000A.esp, determinar o fluxo no 
entreferro e menosprezar o fluxo de dispersão. 
 
a) No entreferro temos: 
242
e m10.75,35cm75,35)5,06)(5,05(S
 
m005,0Le
 
b) Na estrutura metálica: 
 
20 
m1cm1005,02x525525,15L
m10x27cm279,0x6x5S
aço
242
aço
 
c) Devemos ter a seguinte igualdade: 
açoaçoee L.HL.H2000I.NF
 
Equação impossível de resolver, pois temos uma equação com duas incógnitas. Para 
resolver a equação acima, podem ser utilizados os seguintes processos: 
i. Método de erro por tentativas:
 
1º. Passo: Admitir a seguinte aproximação: 
ee L.H2000I.N
 
0L.H açoaço
 
Desta forma temos: 
Wb10x98,1710x75,35x503,0S.B
m
Wb503,010.4.10..4H.B
m
esp
.A10x4
10x5,0
2000
L
I.NH
44
eee
2
57
0e
2
5
2
e
e
e
 
O valor real do fluxo deverá ser menor e bem próximo ao valor calculado. 
2º. Passo: Assumir um valor arbitrário e ligeiramente inferior: por ex. 
Wb10x5,17 4 com esse valor, calcular em modo análogo à primeira situação: 
 
21
Aesp23133651948L.HL.HI.NF
Aesp3651x365L.H
m
Aesp365H
T648,0
10x27
10x5,17
S
B
Aesp1948005,0x532.389L.H
m
Aesp532.389
10..4
4895,0BH
T4895,0
10x75,35
10x5,17Be
S.BS.B10x5,17
açoaçoee
açoaço
aço
4
4
aço
aço
aço
ee
7
0
e
e
4
4
açoaçoee
4
açoe
 
Como 2313 > 2000 
Repetir o segundo passo, assumindo um valor de fluxo um pouquinho menor do valor 
anterior.Este processo é interativo e termina quando a aproximação estiver dentro da 
precisão desejada. 
Método gráfico:
 
Assumindo vários valores de fluxo, levantar o gráfico: F versus . Em 
correspondência do valor da f.m.m. dada, observa-se, no gráfico, qual é o valor do fluxo. 
Exercícios sobre Circuito Magnéticos 
1. Um toróide de aço fundido, com seção transversal uniforme de 8cm 
tem uma circunferência média de 0,6 m. Em seu redor está enrolada uma bobina 
com 300 espiras. Determinar o fluxo (em weber) para uma corrente contínua de: 
a. 1 A; 
b. 2 A; 
c. 4 A. 
Ao duplicar o valor de corrente, o fluxo também dobra? Explicar. Calcular o valor de 
corrente contínua através da bobina para estabelecer no toróide um fluxo de 410x8 weber. 
2. Calcular a corrente I, necessária para estabelecer, 410x6,7 weber, na 
estrutura magnética mostrada na figura. O núcleo foi construído com chapas de aço 
silício, cujo fator de empilhamento é 0,95. 
 
22
 
3. Qual o valor da corrente, no problema 2, se um entreferro de 0,1cm 
for intercalado no núcleo? Considere, no entreferro, o efeito marginal e despreze os 
fluxos de dispersão. 
4. Na estrutura magnética mostrada na figura, a densidade de fluxo no 
entreferro é de 0.8 weber/m2. O núcleo é constituído de aço silício, com um fator de 
empilhamento de 0,9. Encontre a f.m.m. e a corrente da bobina de excitação. 
Considere, no entreferro, o efeito marginal e despreze os fluxos de dispersão. 
 
5. O núcleo magnético mostrado na figura, é constituído de aço 
silício.O fator de empilhamento é 0,85. O fluxo no entreferro é de 410x6
 
Weber. 
Calcular a f.m.m. e a corrente na bobina de excitação. Não levar em conta os efeitos 
marginais e o fluxo de dispersão. 
 
23
 
6. O núcleo magnético, da figura, é de aço silício.O fator de 
empilhamento é 0.90. Os fluxos nos três ramos são: 4A 10x4
 
Weber; 
4
B 10x6 Weber e 
4
C 10x2
 
Weber nas direções indicadas. Calcular as 
correntes nas bobinas com suas amplitudes e direções. 
 
7. No problema 6, se o fluxo nos ramos A e B for 410x4
 
weber em 
direção contraria aos ponteiro do relógio e o fluxo no ramo C for zero, calcular as 
amplitudes e direções das correntes nas bobinas. 
8. A estrutura magnética é constituída de aço silício.O fator de 
empilhamento é 0,9. O comprimento médio da trajetória magnética é 0,75m na parte 
de aço. As medidas de seção transversal são 6cm x 8cm. O comprimento do 
entreferro é 0,2 cm. O fluxo no entreferro é 310x4
 
weber.A bobina A tem 1000 
espiras e nas duas bobinas circulam 6 ampéres. Determinar o número de espiras da 
bobina B. Despreze os fluxos de dispersão mas considere os efeitos marginais. 
 
24
 
9. O núcleo magnético de aço silício mostrado na figura, tem seção 
transversal uniforme de 8cm x 8cm.Tem duas bobinas de excitação, uma no ramo A 
e outra no ramo B. A bobina A tem 1000 espiras e circula nela uma corrente de 0,5 
A na direção mostrada. Determinar a corrente que deve circula na bobina B na 
direção mostrada, com o objetivo de que o ramo central tenha fluxo nulo. A bobina 
B tem 200 espiras. 
 
10. Na estrutura magnética da figura, o material usado é aço silício.Os 
dois ramos laterais são simétricos.A seção transversal da figura é 5cm x 5cm 
uniforme. A f.m.m da bobina é de 2000 A.espiras e o comprimento do entreferro 
são 0,2 cm. Determinar o fluxo no entreferro. Desprezar os fluxos de dispersão e 
considerar o efeito marginal no entreferro. 
 
25
 
11. No núcleo magnético da figura, calcular a corrente necessária para 
estabelecer o fluxo de 310x7 Weber no ramo central (B). 
Comprimento médio da trajetória: bafe = 72 cm; be =30 cm; bode = 80 cm 
Comprimento do entreferro: 0,1 cm 
Área da seção transversal: bafe =40 cm2; be= 60 cm, bode = 40 cm 
Nº de espiras da bobina: Nb = 1000 voltas 
Material = aço silício 
Desprezar os efeitos marginais e de dispersão no entreferro. 
 
12. O núcleo magnético da figura é constituído de aço silício com um 
fator de empilhamento de 0,9. A bobina de excitação tem 200 espiras e é 
atravessada por uma corrente de 2 A. Determinar o fluxo no entreferro.Desprezar os 
fluxos de dispersão e considerar os efeitos marginais.O comprimento médio da 
trajetória magnética no aço é 80 cm e o C entreferro é de 0,1 cm. A seção 
transversal do núcleo é de 5cmx5cm, uniforme. Resolver pelos dois métodos. 
 
26
 
13. O núcleo magnético da figura, é dividido em três seções, constituídas 
respectivamente de aço fundido, ferro fundido e entreferro. Calcular o fluxo, se a 
f.m.m. da bobina for 800 A espiras. A área transversal do núcleo é uniforme de 8cm 
x 8 cm. Os comprimentos médios das trajetórias magnéticas são: no ferro fundido, 
40 cm; no aço fundido, 50 cm. O entreferro é 0,1 cm. Desprezar os efeitos 
marginais e de dispersão. Levantar a curva fluxo versus f.m.m. e resolver 
graficamente. 
 
14. Determinar a f.m.m. de uma bobina ligada a um toróide de seção 
transversal 2t mm25S , afim de se manter um fluxo 410x2,0
 
weber com 
entreferro de 5mm. São dados: 
a. Diâmetro interno do toróide: 20 cm; 
b. Diâmetro externo do toróide: 30 cm; 
c. Material do toróide: aço fundido. 
15. Para o exercício anterior, determinar a bitola do fio a empregar-se 
para a execução da bobina nos seguintes casos: 
a. Bobina com 500 espiras:b. Bobina com 1000 espiras. Adotar = 3 amp./mm2. 
 
27
Transformadores
 
Solenóides, eletro-imãs e reatores.
 
Força gerada nos solenóides :
 
Um condutor enrolado helicoidalmente constitui um solenóide. Vimos que quando ele 
é percorrido por uma corrente elétrica D.C, se produz um campo magnético que pode ser 
representado por linhas de forças, conforme é mostrado na figura. 
 
Se nas proximidades do solenóide excitado é colocado um tubo imantado, este será 
atraído, para o interior do solenóide, ou repelido, de acordo com o princípio de atração e 
repulsão dos pólos magnéticos.Se, em lugar do tubo imantado, for colocado um tubo de 
ferro não imantado, este, devido à formação de pólos induzidos, será sempre atraído para o 
interior do solenóide. 
Como varia a força de atração de um solenóide? 
À medida que o tubo vai entrando no solenóide, a relutância do circuito magnético 
diminui, as induções aumentam e conseqüentemente a força de atração, também, aumenta 
até que o pólo oposto do tubo começa a sofrer uma ação repulsiva pelo solenóide. A força 
começa a diminuir até anular-se resultando o seguinte diagrama: 
 
28
 
As principais aplicações são os relês e os interruptores automáticos. 
Eletro-imãs
 
Os eletro-imãs e um dispositivo que serve para atrair e transportar massas de ferro. É 
constituído de uma bobina enrolada sobre um núcleo magnético, de tipo ferradura ou de 
tipo anel, mostrados nas figuras: 
 
A massa de ferro é atraída pelo eletro-imã, devido à interação com os pólos induzidos. 
Ao ser deslocada da posição a à posição b, haverá um pequeno aumento defluxo magnético 
no circuito. Quando estiver muito próxima aos pólos do eletro-imã, a relutância será 
mínima enquanto que o fluxo e a força de atração serão máximos. A força de atraca, dos 
eletroímãs, é dada pela formula aproximada de Maxwell: 
2
S.BF
2 
F = Força em Newtons; 
 
29
B = Indução em WB/m2; 
S = área da seção transversal; 
 = permeabilidade magnética do meio que constitui o entreferro. 
Reator
 
Uma bobina (ou solenóide) enrolada sobre um núcleo fechado de material 
ferromagnético, constitui o que é denominado “reator”. O seu aspecto físico é o seguinte: 
 
Reator ideal
 
A fim de podermos analisar melhor os fenômenos que ocorrem no reator, 
consideremos um reato ideal com as seguintes hipóteses: 
1. A resistência ôhmica da bobina é nula: 0R ; 
2. A relutância magnética do circuito é nula: 0 ; 
3. O núcleo não tem perdas no ferro: 0Pfe . 
Funcionamento do reator ideal
 
Aplicando-se uma tensão senoidal: tsen.VV máx
 
aos terminais da bobina, haverá 
uma variação de tensão dV durante um intervalo infinitesimal de tempo dT , capaz de 
impor uma circulação de corrente diferencial dI . 
Esta corrente dI dá origem a um diferencial de f.m.m.: dI.NdF , onde N = número 
de espiras da bobina.Uma variação de fluxo é produzida: dI.NdFd que, por sua vez, 
produz uma f.c.e.m., nas N espiras da bobina, de acordo com a lei de Faraday: 
eV
dT
d
.Ne
c
 
 
30
Na malha fechada que constitui o circuito elétrico, temos instantaneamente, a 
presença das seguintes tensões: 
V = tensão impressa pela fonte; 
ce = f.c.e.m induzida, pela variação de fluxo, para equilibrar a tensão v. 
Analisando a bobina como um gerador, ou seja, como se fosse ela a causa pela 
circulação de corrente dI é comum considerar-se um nova f.e.m.: 
c
ee ou ve
 
Obtida com a aplicação da 2º. Lei (das malhas) de Kirchhoff: 0Vi
 
Esta nova f.e.m.é dada também pela lei de Lenz: 
dt
d
.Ne
 
Cálculo da corrente instantânea
 
Sendo indeterminado o valor fornecido pela fórmula: 
0
0
R
ddv
di ce
 
torna-se 
necessário encontrar um outro caminho, para o calculo da corrente. De fato, da expresssão: 
dT
dI
.Le , temos: dt.V
L
1dt.e
L
1i 
º180tcos
L
V
tcos
L
Vdt.tsen.V
L
1i máxmáx
máx
 
º90tsen
L
V
tº270sen
L
Vi máxmáx
 
L
VIº90tsen.Ii máx
máxmáx 
Cálculo do fluxo instantâneo
 
Partindo da lei de Lenz: 
dt
d
.Ne
 
e com raciocínio idêntico ao caso anterior, 
chegamos às seguintes expressões: 
 
31
º90tsen.
máx
 
e 
N.
V
máx
máx
 
Conclusões importantes :
 
1. O fluxo e a corrente estão em fase entre si e atrasados de 90º em 
relação à tensão de alimentação. 
tsen.VV
máx
 
º90tsenItcosIi
máxmáx
 
º90tsen.tcos
máxmáx
 
2. Da expressão: 
N.
V
máx
máx , resulta: 
.N.V
máx 
Dividindo ambos os membros por 2 , temos: 
máx
máx
.N.
2
f..2
2
V
, pois f..2
 
ef
máx V
2
V
 e 44,4
2
.2
 
Portanto: 
máxef .N.f.44,4V
 
3. Da expressão:
L.
VI máx
máx , temos: 
L.
VI ef
ef
, ou ainda: L.
I
V
ef
ef 
 
32 
Ou seja, a impedância do reator ideal resulta: 
LJRZ , pois 0R
 
L
L
LimL
 
Modelo elétrico do reator ideal: 
 
Diagrama fasorial do reator ideal: 
 
33
 
Reator real:
 
No reator real, temos: 
i. A resistência ôhmica da bobina não é nula, existe portanto uma perda de 
potencia no cobre por efeito joule, igual a: 
2
j i.RP
 
ii. A relutância do circuito magnético vale: 0
 
Existem dois tipos de perdas no ferro: 
a. Perdas por histerese: 
É a energia, gasta para magnetizar o núcleo, representada pela área do ciclo de 
histerese. 
É dada pela formula de Steinmetz: 
Vol.B.f.P máxnH fazendo: 2n e Vol.f.K HP , vem: 
máx
2
PH B.KP H
 
 
34 
b. Perdas de Foucault: 
É a energia, gasta por efeito Joule, devido às correntes de Foucault induzidas nas 
infinitas espiras e que circulam no material: 
1i
i
2
i
F R
eP 
ie f.e.m. induzidas nas infinitas espiras existentes no ferro. 
iR Resistência correspondente a cada espira. 
A chapa laminada apresenta uma perda de Foucault dada pela seguinte formula 
empírica: 
Vol.
.6
B.f.tP máx
222
F
 
t = espessura chapa; 
f = freqüência; 
Vol. = volume do núcleo; 
 = resistividade do núcleo. 
Fazendo: 
.6
B.f.tK máx
222
PF
, temos : máx
2
PF B.KP F
 
As perdas totais, no ferro, resultam: 
máx
2
PPmáx
2
Pmáx
2
PFHFE B.KKB.KB.KPPP FHFH
 
Fazendo: 
FH PPFE
KKK , temos: máx2FF B.KP EE
 
Lembrandoaexpressão: máxef .N.f.44,4V ,temos: máxFEef B.S.N.f.44,4V
 
Fazendo: FEV S.f.44,4K , vem: 
V
ef
máxmáxVef K
VBB.KV
 
 
35
Portanto, 2ef2
V
FE
2
V
ef
FEFE V.K
K
K
V
.KP
 
Fazendo: 
FE
2
V
FE K
KR , vem: 
FE
2
ef
FE R
VP
 
FER Resistência fictícia que representa o lugar de dissipação do que representa o 
lugar de dissipação do calor devido às perdas no ferro. 
Modelo elétrico do reator real
 
R Resistência ôhmica do enrolamento; 
dL Indutância relativa ao fluxo disperso; 
FER Resistência fictícia que simboliza as perdas no ferro; 
ML Indutância real relativa ao fluxo útil ou de magnetização. 
L Indutância de magnetização do reator ideal. 
Aplicando a 2º Lei de Kirchhoff à malha, temos: 
cdRcdR eeeV0eeeV
 
cdi edt
di
.LRV
 
dt
di
.L
dt
di
.Li.Re m
mpFEc
 
 
36
cd EI.LjRV
 
Ld.jR
EVI c
 
Equação das potências:
 
mcpc
2
d
2
apar
c
2
d
2
apar
2
pFE
2
I.jEI.EILjI.RP
I.EILjI.RP
I.RI.Rcos.I.VP
 
aparP = Potência total aparente; 
2I.R = Perda no cobre por efeito Joule; 
2
dILj = Perda reativa; 
pc I.E = Perdas no ferro; 
mc I.jE = Potência reativa absorvida pelo campo magnético. 
Transformador
 
Introdução:
 
Vimos que um campo magnético armazena energia magnética.A energia elétrica, 
absorvida por circuito elétrico, pode ser transferida a um outro circuito elétrico, através de 
um acoplamento magnético. Este acoplamento é obtido com o uso de um dispositivo 
denominado “Transformador”. Na sua forma mais simples, um transformador é constituído 
de um núcleo magnético, de pequena relutância, sobre o qual, estão enrolados no mínimo 
dois enrolamentos. Observar que o transformado não é um dispositivo de conversão de 
energia e sim de transferência de energia. De fato, ele transfere energia elétrica de um 
circuito, dito primário, para um outro, chamado secundário. As tensões e correntes 
primárias e secundárias, normalmente, são diferentes podendo chegar a ser iguais nos 
transformadores de isolamento. 
Classificação dos Transformadores
 
Podemos classificar os transformadores de acordo com os seguintes critérios: 
I. Área de aplicação: 
a. Transformadores de potência: 
 
37
São os transformadores usados para a transmissão e distribuição de energia elétrica. 
b. Transformadores para controles e comunicações: 
Usados com os amplificadores eletrônicos, para casamento de impedâncias, entre 
fontes e cargas, a fim de se obter a máxima transferência de energia. 
c. Transformadores de medição:
 
São usados para medir grandes, valores, valores de tensão, corrente e potencia. 
d. Transformadores de potencia para aplicações especiais:
 
Usado em fornos, retificadores, máquinas de soldar, etc. 
e. Autotransformadores:
 
Usados para partidas de motores de c.a. 
f. Transformadores para testes:
 
São usados nos testes de rigidez dielétrica. 
II. Número de fases: 
a. Monofásicos; 
b. Trifásicos. 
Material usado nos núcleos dos transformadores
 
Os núcleos dos transformadores,normalmente,são construídos com chapa de silício, 
com espessura de 0,3 e 0,4 mm e com coeficiente de perdas entre 0,9 e 1,3 Kg
W
. A fim de 
se reduzir as perdas provocadas pelas correntes parasitas, as chapas alem de ser laminadas 
são também isoladas entre si. A isolação pode ser executada em varias maneiras: 
a. Colando-se uma folha de papel sobre uma das superfícies da chapa 
laminada, resultando um fator de empilhamento entre 0,90 e 0,93; 
b. Aplicando-se uma camada de verniz isolante, resultando um fator 
de empacotamento entre 0,93 e 0,95; 
c. Aplicando-se uma camada de silicato de sódio ou pela própria 
oxidação das superfícies da chapa. Neste caso, o fator de empilhamento chega a ser de 
0,95 a 0,97. 
Montagem dos núcleos dos transformadores
 
 
38
Os núcleos dos transformadores monofásicos constituem um circuito magnético 
fechado em forma de anel (ou núcleo envolvido, tipo “core”), ou formando dois circuitos 
em paralelo (ou núcleo envolvente, tipo “Shell”): 
 
Núcleo envolvido tipo: Core Núcleo envolvente tipo: Shell 
Existem dois critérios de cortes de chapa na fabricação dos núcleos: 
a. Corta-se a chapa laminada, na prensa já como perfil de núcleo. Junta-
se um certo numero de perfis até se obter uma espessura desejada. 
Apesar da baixa relutância magnética do circuito, devido à ausência de entreferros, 
este critério é muito pouco usado, porque apresenta as seguintes desvantagens: 
a.1. Considerável perda de chapa em retalhos; 
a.2. Elevado custo da mão de obra, devido à necessidade das bobinas 
serem enroladas a mão sobre o núcleo; 
a.3. Necessidade de estampo especial para corte. 
b. Corta-se a chapa em tiras retangulares e com elas monta-se o núcleo. 
Este método é largamente difundido, devido às seguintes vantagens: 
v.1. Pequena perda de chapa em retalhos 
v.2. Redução de custo de mão de obra 
v.3. Eliminação da necessidade de estampo especial para corte 
A fim de obtermos um melhor acoplamento magnético, os dois enrolamentos são 
montados sobre a mesma perna (ou coluna) do núcleo. Desta forma, podemos ter dois 
casos: 
a. Enrolamentos alternados; 
b. Enrolamentos concêntricos. 
 
39
 
Enrolamentos alternados Enrolamentos 
concêntricos 
Outras classificações dos transformadores
 
Em relação ao tipo de isolação, os transformadores são classificados em: 
a. Transformador seco: é aquele cujo núcleo e enrolamentos ficam 
imersos no ar; 
b. Transformador encapsulado: é aquele cujo núcleo e enrolamentos 
ficam protegidos com massa isolante (epoxy); 
c. Transformador imerso em óleo: é aquele que fica totalmente 
imerso em óleo isolante. 
Em relação ao tipo de resfriamento, os transformadores classificam em: 
a. Refrigeração natural, com ar ambiente; 
b. Refrigeração forçada, com circulação de ar; 
c. Refrigeração do óleo, com água; 
d. Refrigeração do óleo, com circulação forçada; 
e. Refrigeração do óleo, com circulação forçada e ventilação forçada; 
f. Resfriamento do óleo, com circulação forçada de óleo e água. 
Princípio de funcionamento do transformador
 
Definição:
 
Transformador é um dispositivo elétrico sem partes em movimento 
contínuo, o igual, por indução eletromagnética, transfere energia elétrica, de um ou mais 
circuitos a um outro ou mais circuitos, na mesma freqüência e geralmente em valores 
distintos de tensões e correntes. 
 
40
 
O aspecto físico de um transformador, em sua forma mais simples, é representado na 
figura acima. 
Transformador ideal em vazio
 
Analogamente ao reator, o transformador ideal é um transformador com as seguintes 
características: 
1. A resistência ôhmica dos enrolamentos é nula,ou seja : 0RR 21 ; 
2. A relutância magnética do circuito é nula ,isto é 0 ; 
3. As perdas no ferro do núcleo são nulas: FER . 
Aplicando-se uma tensão senoidal aos terminais de um dos dois enrolamentos e 
deixando em aberto o outro enrolamento, teremos o funcionamento do transformador em 
vazio. O enrolamento alimentado é denominado “primário” que o outro “secundário”. Os 
parâmetros relativos ao primário trazem o índice 1; os do secundário o índice 2. 
Desta forma, temos : tsen.VV
máx11
, igual à tensão de alimentação. O enrolamento 
primário,constituído de 1N espiras, será percorrido pelo diferencial de corrente 1id o qual 
produzirão diferencial de f.m.m.: 111 di.NdF e conseqüentemente um diferencial de fluxo: 
111 di.NdFd 
Devido ao fenômeno de indução eletromagnética, será induzida, no enrolamento 
primário a f.e.m: 
 
41
dt
d
.Ne 11 ou dt
d
.Ne 1c . E no enrolamento secundário, a f.e.m: 
dt
d
.Ne 22
 
Conforme já demonstrado para o reator ideal, analogamente, temos: 
º90tsen.Ii
máx11
 
L.
V
I máx
máx
1
1 
º90tsen.
máx
 
1
1
máx N.
V
máx
 
Observações importantes: 
1. O fluxo e a corrente primária estão em fase, entre si, e 
atrasados de 90º em relação a V1; 
2. Das expressões: 
dt
d
.NVe 11c
 
e 
dt
d
.Ne 22
 
temos: K
e
e
e
V
e
e
2
1
2
1
2
c
 
Onde: K = relação de espiras dos enrolamentos primário e secundário. 
3. Da expressão: 
1
1
máx N.
V
máx
, vem: 
máx11máx11 .N.f..2.N.V máx
 
2
.N.f..2
2
V
máx111 máx
 
 
42 
máx111 .N.f.44,4V ef
 
máx111 .N.f.44,4E ef
 
Da expressão: 
K
V
dt
d
.Ne 122 , temos: 
dt.tsen.V
K.N
1dt.V
K.N
1
máx1
2
1
2 
º180tcos
K.N.
V
tcos
K.N.
V
2
1
2
1 máxmáx
 
º90tsen
K.N.
V
º270tsen
K.N.
V
2
1
2
1 máxmáx
 
º90tsen.
máx
 
K.N.
V
2
1
máx
máx
 
máx21ef2
máx2
ef2
máx2
máx2máx2máx2
1
.N.f.44,4E
2
.N.f..2E
2
E
.N.f..2.N.E
K
V
máx
 
Modelo elétrico do transformador ideal
 
 
43
 
Diagrama fasorial do transformador ideal
 
Exercício
 
Calcular o numero de espiras dos enrolamentosprimário e secundário de um 
transformador de 2200/220V, freqüência de 60 Hz, seção transversal do núcleo igual a 
20cm e fator de empilhamento eK 0,9. A máxima densidade de fluxo admissível no 
circuito magnético é: 2máx m
Wb2,1B
 
Solução: 
 
44 
máx1ef1 .f.N.44,4V
 
espiras3823N
espiras3823
9,0x10x20x2,1x60x44,4
2200
.f.44,4
V
N
9,0x10x20x2,1K.S.B
1
4
máx
ef1
1
4
etmáxmáx
 
espiras382N
espiras382
10
3823
K
NN
10
220
2200
V
VK
N
N
2
1
2
2
1
2
1
 
Problemas propostos:
 
1. Para o exercício anterior, qual é o valor de máxB se a freqüência for f = 50 Hz 
2. No mesmo exercício, quais são os valores de 1N e 2N para f = 50 hz e 
máxB = 1,2 T 
Transformador ideal em carga: 
Alimentando-se uma carga ZL com o secundário, teremos o transformador em carga. 
Uma corrente Zi circulará pela carga ZL provocada pela f.e.m. Sendo 2e em fase com 
f.c.e.m. ce , a corrente 2i tem sentido contrario à corrente primaria e portanto produz um 
fluxo desmagnetizante (contrário ao fluxo 0 ). 
0 = fluxo existente do transformador em vazio. 
O valor dessa corrente é dada por: 
Z
EI 22 e produz uma f.m.m. 222 I.NF
 
que, 
por sua vez, gera um fluxo 2 em oposição a 0
 
como resultado temos um fluxo resultante 
20
 
menor que 2 . Esta diminuição de fluxo produz diminuições instantâneas das 
f.e.m.s ce e 2e . Sendo 1V constantes (instantaneamente), a diferença c1 eV
 
aumenta e 
provoca um acréscimo de 1I (dando origem à corrente 'I2 ) para criar um fluxo 1
 
, igual 
e contrário a 2 , tal que: 0120 ou seja: 21 . Concluiu-se que o fluxo 0 , 
em vazio, se mantém constante com a carga. 
 
45
 
Resumo das seqüências dos acontecimentos:
 
a. Em vazio: 
10m10m1 VeI.NFIV
 
b. Em carga: 
021021221122
c2022222
F'I.NF'Ie
e)(I.NFI
 
Diagrama fasorial do transformador ideal em carga: 
 
46
 
Transferência de impedâncias entre 1º E 2º
 
L
2
2
Z
EI
 
K
EEK
N
N
E
E 1
2
2
1
2
1
 
222122 'I.KI'I.NI.N
 
2
2
1
2
1
L
2
2
K
'I
E
'I.K
K
E
Z
I
E
 
L
2
L
2
1 Z.K'Z
'I
E
 
A impedância de carga (ZL) transferida (ou refletida) do secundário ao primário é 
obtida multiplicando-se pelo quadrado da relação de espirais. 
L
2
L Z.K'Z
 
 
47
Sendo: 22m1 'I'III , temos: 1
1
1
2
1 Z
I
E
'I
E
 
2
2
2 Z.K'Z
 
e 
2
1
1 K
Z
''Z
 
Aplicação:
 
Acoplamento de impedâncias 
Exemplo: 
 
Devemos ter: 16Z'Z 12 
2K4.K16Z.K'Z 22
2
2
 
ou seja : 2
N
N
2
1
 
Exercício:
 
Um transformador ideal de 1000/100V, 60 Hz alimenta, pelo lado de baixa tensão 
(BT), uma carga de 5 resistiva. A corrente em vazio é de 0,1 A. Determinar: 
a) A relação do número de espiras; 
b) A corrente no secundário; 
c) A corrente no primário; 
d) O valor de carga refletida no lado de A.T; 
e) As potências: ativa, reativa e aparente. 
De entrada e saída do transformador 
f) Diagrama fasorial (em carga). 
 
48
 
º0A1,0I
º05ZZ
º90V100E
º90V1000E
º90V1000V
m
L2
2
1
1
 
a) Cálculo da relação de espiras (k): 
10K10
100
1000
E
V
e
e
N
NK
2
1
2
c
2
1
 
b) Cálculo de 2I : 
Aº9020
º05
º90100
Z
EI
L
2
2
 
c) Cálculo de 1I : 
º14,870025,22j1,0º902º01,0'III
º902
10
º9020
K
I
'I
2m1
2
2
 
d) Cálculo de L'Z : 
º0500º05.10Z.K'Z 2L2L
 
 
49
e) Cálculo das potências: 
VA200020.100I.VS
W0º0sen.20.100sen.I.VQ
W2000º0cos.20.100cos.I.VP
222
2222
2222
 
VA5,20020025,2.1000I.VS
VAr100º86,2sen.0025,2.1000sen.I.VQ
W2000º86,2cos.0025,2.1000cos.I.V1P
111
1111
111
 
f) Diagrama fasorial: 
 
Problemas propostos:
 
1. Repetir o exercício anterior para º375ZL (indutiva) 
2. Idem para º6010ZL (capacitiva) 
Transformador real
 
a. Resistências ôhmicas: 
No transformador real, existem resistências ôhmicas nos enrolamentos primário e 
secundário. Essas resistências provocam quedas de tensões )RIV( R
 
e perdas de 
 
50
potencia por efeito joule )RI( 2 . No modelo do transformador, representaremos essas 
resistências pelos parâmetros concentrados 1R e 2R , colocados em serie com os 
enrolamentos primário e secundários respectivamente. 
b. Perdas no ferro: 
Analogamente ao reator real, também no transformador real, temos perdas no ferro 
que são as somas das perdas por efeito Foucault. 
Tais perdas, no modelo elétrico são representadas pelo parâmetro Rfe (normalmente 
escrito como Rp); colocado em paralelo com a fonte de alimentação. 
c. Fluxo de dispersão: 
No transformador real, existe um certo fluxo que não se concatena com todas as 
espiras, tanto do primário como do secundário, fechando-se pelo ar. A este fluxo que não 
contribui para a indução das f.e.m.s ce e 2e , denominamos de fluxo disperso ou de 
dispersão. 
Transformador real em vazio
 
Em vazio, no transformador real, circula no enrolamento primário uma corrente I0 que 
produz a força magneto motriz: 010 I.NF
 
que, à sua vez, é responsável pelo aparecimento 
do fluxo 0 . Algumas linhas de fluxo fecham-se pelo ar com uma ou mais espiras do 
enrolamento primário.Este fluxo é chamado de fluxo de dispersão em vazio. A variação de 
fluxo 0 induz nos dois enrolamentos as f.e.m.s. ce e 2e respectivamente no primário e no 
secundário. 
 
dt
d
.Ne 1c
 
dt
d
.Ne 22
 
K
N
N
e
e
2
1
2
c
 
 
51
O fluxo de dispersão não concatenando-se com todas as espiras N1 e N2, faz com que 
se torne menor que v1. No modelo elétrico o efeito de dispersão de fluxo é representado 
pelo parâmetro Ld1 = indutância de dispersão primaria. O qual provoca uma queda de 
tensão. 
Além da queda de tensão 
L1
V , temos também uma queda ôhmica 011 I.RV R , 
devido à resistência ôhmica do enrolamento primário. Na malha do primário, teremos, 
então: 
011c1 I)jXR(eV
 
Modelo elétrico do transformador real em vazio
 
)LjR(Ve
I.Ri.L.e
1d11c
ppmmc
 
Diagrama fasorial do transformador real em vazio:
 
 
52 
Transformador real em carga:
 
Aplicando-se uma carga LZ no secundário do transformador, teremos uma corrente 
secundária : 
2L
2
2 ZZ
ei
 
L2222 Z.IZ.Ie
 
2222 I.ZEV
 
2L2 VZ.I
 
L
2
2 Z
VI
 
A corrente 2i produz a f.m.m. 222 I.NF
 
a qual gera um fluxo desmagnetizante: 
R
I.N 22
2 . Algumas linhas deste fluxo não se concatenam com todas as espiras N2 do 
secundário, formando o que é denominada “dispersão no secundário”. Como o fluxo 2
 
tem efeito desmagnetizante,o fluxo inicia 0
 
e portanto diminuem ce e 2e . A diminuição 
de ce quebra o equilíbrio da malha primária : )jXR(IeV 110c1
 
e 
faz com que a fonte de tensão V1 injete uma corrente adicional I2’ no enrolamento primário. 
Na malha do primário, cria-se a nova situação: 
)jXR)('II(eV 1120c1
 
Obs: “ec em carga é menor de ec em vazio“.
 
Portanto,o fluxo total,em carga,é ligeiramente inferior ao fluxo em vazio 0 . O efeito 
de queda de tensão no primário: )jXR)('II( 1120
 
existe também no secundário sob a 
forma de: )jXR(I 222 , o que nos sugere que a f.m.m. secundária 222 I.NF
 
é contra-
balanceada pela f.m.m. refletida no primário 212 'I.N'F , portanto, 2221 I.N'I.N
 
ou 
K
'I
I
N
N
2
2
2
1
, ou ainda: 
K
I
'I 22
 
Quanto maior for a carga, maiores serão as f.m.m.s. F2 e F2’ nos respectivos 
enrolamentos, eportanto maiores serão os fluxos de dispersão nos dois enrolamentos. No 
modelo elétrico do transformador real em carga, os efeitos dos fluxos de dispersão são 
 
53
representador pelos parâmetros Ld1 e Ld2 (ou X1 e X2) nos enrolamentos primário e 
secundário respectivamente. 
Obs: O fluxo disperso não se converte em perda de potencia e sim em redução de 
fluxo total de magnetização e, portanto numa redução de transferência de energia entre os 
dois enrolamentos. 
 
Modelo elétrico do transformador real em carga. 
Equações do transformador real
 
L
2
2
Z
VI
 
22222 I)jXR(VE
 
K
'I
I
N
N
E
E
2
2
2
1
2
c
 
m
m
ppc I.jXI.RE
 
mp0 III
 
201 'III
 
111c1 I).jXR(EV
 
 
54 
Diagrama fasorial do transformador real em carga
 
I.NI.N'FF 12222
 
Exercício:
 
 
55
Calcular 1V para um transformador com as seguintes características: 
5
N
N
1000X
02,0X
5,0X
)indutiva(º534,0Z
Vº0200V
2500R
004,0R
1,0R
2
1
m
2
1
L
2
p
2
1
 
Solução:
 
a. Cálculo de 2I :
 
º53500
º534,0
º0200
Z
VI
L
2
2
 
400j300)º53sen(j)º53cos(500I2
 
b. Cálculo de 2E :
 
)400j300).(02,0j004,0(º0200I).jXR(VE 22222
 
4,4j2,2096,1j6j82,1200E 2
 
 
56
c. Cálculo de 1E :
 
de 5
E
E
N
N
2
c
2
1
, temos: 
22j1046)4,4j2,209(5E.5E 2c
 
22j1046EE c1
 
d. Cálculo de 2'I :
 
5
'I
I
N
N
2
2
2
1
 
80j60
5
400j300
5
I
'I 22
 
e. Cálculo de pI :
 
009,0j42,0
2500
22j1046
R
EI
p
c
p
 
f. Cálculo de mI :
 
046,1j022,0j
j
.j
022,0j046,1
1000j
22j1046
jX
EI
m
c
m
 
g. Cálculo de 0I :
 
037,1j442,0046,1j022,0009,0j42,0III mp0
 
h. Cálculo de 1I :
 
037,81j442,6080j60037,1j442,0'III 201
 
i. Cálculo de 1V :
 
 
57 
V5,1093VV
1,44j6,1092V
104,8j221,30j518,40044,622j1046V
)037,81j442,60)(5,0j1,0(22j1046V
I).jXR(EV
máx11
1
1
1
111c1
 
Problema proposto:
 
No exercício anterior, calcular 1V , para os seguintes casos: 
1. º0100V2 e 2,0ZL (resistiva); 
2. V100V2 , A500IL e 8,0cos (capacitivo). 
Ensaios dos transformadores
 
O objetivo da realização dos testes em transformadores consiste na determinação dos 
seus parâmetros, tais como: R1, R2, X1, X2, Rp e Xm. 
a. Ensaio de vazio: 
O ensaio de vazio consiste em se alimentar dos dois enrolamentos (denominado 
primário) e deixando o outro (secundário) em aberto. A corrente absorvida nestas condições 
é da ordem de 0,3 a 4% da corrente nominal do primário. A corrente secundária, 
evidentemente, é nula. 
As perdas joule são proporcionais a (4%) das perdas joule, no primário, com carga 
nominal. 
Portanto, 0P
1
j . Sendo, o primário do transformador, alimentado com a tensão 
nominal V01, o núcleo fica submetido a um valor máximo V1máx responsável pelas perdas 
no ferro que são iguais a: 
2
1vmáx
2
ef V.KB.KP
 
A f.m.m. em vazio é: m10 I.NF , a qual gera o fluxo de magnetização 0
 
e produz, 
também, um pequeno fluxo de dispersão que praticamente é insignificante. Sendo as perdas 
joule, em vazio, praticamente desprezadas ( 0P
1
j ), as perdas acusadas pelo wattímetro 
representam substancialmente as perdas no ferro. Portanto: 
ef0 PP
 
 
58 
Esquema de ligações para o ensaio de vazio
 
Leituras a serem efetuadas: 
V10 = Tensão de alimentação 
I10 = Corrente no primário 
W10 = Potência absorvida da fonte 
E20 = Tensão ou f.e.m.secundária. 
 
Cálculos para determinação dos parâmetros: 
a. 
1010
10
0 I.V
W
cos
 
b. 00p cos.II
 
p
10
p I
VR
 
c. 00m sen.II
 
m
10
m I
V
X
 
Exercício: 
Um transformador monofásico de 500 KVA, 2200/220V, f = 60 Hz, foi ensaiado em 
vazio (alimentado pelo lado de BT) e os seguintes valores foram medidos: 
V10 = 220 V; I10 = 125 A; W10 = 4,8 KW 
Determinar: 
a. As perdas no ferro 
b. Os parâmetros Rp e Xm. 
a. KW8,4WP 10fe
 
 
59
b. 9847,0sen1745,0
125.220
4800
I.V
W
cos 0
1010
10
0
 
78,1
1,123
220
I
V
X
08,10
81,21
220
I
VR
)A(1,1239847,0.125sen.II
)A(81,211745,0.125cos.II
m
10
m
p
10
p
00m
00p 
Problema proposto: 
No exercício anterior determinar as perdas no ferro e os parâmetros Rp e Xm 
alimentando-se o transformador pelo lado AT. 
b. Ensaio de curto circuito: 
O ensaio de curto circuito consiste em se alimentar um dos dois enrolamentos e 
fechando o outro em curto circuito. A tensão de alimentação necessária para fazer circular, 
em ambos os enrolamentos, é de aproximadamente 10% da tensão nominal primária. 
n1cc1 V1,0V
 
Como as perdas no ferro variam com o quadrado da tensão primária, na condição de 
curto circuito, resultam da ordem de 1% das perdas no ferro de plena carga: 
2
n1fefe V.KP
 
(perda no ferro, para tensão V1n). 
Em curto circuito, temos: 2n1fecc1
2
fefe V1,0.KV.KP
 
fen1
2
feccfe P.01,0V.K.01,0P
 
 
60 
Sendo as perdas no ferro da mesma ordem de grandeza das perdas no cobre,com o 
transformador funcionando a plena carga,podemos concluir,portanto,que em curto circuito 
as perdas no ferro são desprezíveis. 
 
As perdas joule, em curto circuito, valem: 
2
22n1
2
1j I.RI.RP cc
 
 (igual às perdas joule nominal) 
Modelo elétrico do transformador em curto circuito:
 
Em curto circuito, as correntes Ip e Im podem ser desprezadas, em vista de V1cc ser 
menor ou igual a 0,1.V1n. Assim sendo, Rp e Xm podem ser retiradas do modelo elétrico. 
Portanto, temos: 
 
 
61
Transferindo-se os parâmetros do secundário, X2 e R2, para o primário, obtemos o 
seguinte esquema: 
 
Fazendo: 
T21
T21
'X'XX
'R'RR
 
e 
O nosso modelo vai simplificado-se no seguinte: 
 
2
1
cc
T1
2
Tcc
cc
1
cc
1 I
P
'RI.'RP
 
Leituras a serem efetuada durante o ensaio de curto circuito: 
 V1cc = Tensão de alimentação; 
 I1cc = Corrente primaria de curto circuito; 
 W1cc = Potência absorvida da fonte; 
 I2cc = Corrente secundária de curto circuito. 
Cálculos para determinação dos parâmetros: 
2
1
1
T
cc
cc
I
W
'R
 
cc
cc
1
1
T I
V
'Z
 
2
T
2
TT 'R'Z'X
 
Cálculos para determinação da resistência R1 e R2’ e da reatância X1 e X2’: 
 
62 
1
1
11 S
l
.R
 
2
2
22 S
l
.R
 
1médio1 N.ll
 
2médio2 N.ll
 
1
1
1 S
I
 
2
2
2 S
I
 
1
1
1
IS
 
2
2
2
IS
 
Supondo que os comprimentos médios (
1médiol e 2médiol ) 
E as densidades de corrente 1 e 2 sejam iguais,isto é: 
médiomédiomédio lll 21
 
21 
Teremos: 
1
1med
1 I
N.l
.R 
2
2med
2 I
N.l
.R 
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2med
1
1med
2
1
I
I
.
N
N
N
I
.
I
N
I
N
I
N
I
N.l
.
I
N.l
.
R
R
 
2
2
1 KK.K
R
R
 
Obs: A expressão acima é valida quando os dois enrolamentos, 1º. E 2º, possuem a 
mesma geometria (ou comprimento de espira média) e a mesma densidade de corrente. 
Prosseguindo: 
2
T
2
T
11T
2
2
2
2
2
2
2
2
121T
K.2
'RR
2
'RRR2'R
R.K2R.KR.KR.KR'RR'R
 
 
63 
2
1
d1
N
.L.X
1 
2
2
d2
N
.L.X
2 
2
2
2
2
1
2
1 K
N
N
X
X
 
Em modo análogo à resistência, teremos: 
2
'XX T12
T
2 k2
'XX
 
Exercício:
 
O transformador do exercício anterior foi submetido a ensaio de curto circuito, com a 
alimentação feita pelo lado de A.T. Os seguintes valores foram obtidos: 
V1cc = 110V; I1cc = 250 A; P1cc = 5 KW. 
Determinar:
 
a. As perdas joule a plena carga; 
b. RT e XT referidos ao lado da A.T; 
c. R1, R2, X1, X2 (supondo que os enrolamentos sejam geometricamente 
semelhantes). 
a. KW5PP
cc1j
 
b. 08,0
250
5000
I
P
'R 22
1
1
T
cc
cc 
433,008,044,0'R'Z'X
44,0
250
110
I
V
'Z
222
T
2
TT
1
1
T
cc
cc 
c. 10
220
2200
V
VK
2
1
 
 
64
002165,0
10.2
433,0
k2
'XX
2165,0
2
433,0
2
'XX
10.4
10.2
08,0
K2
'RR
04,0
2
08,0
2
'RR
22
T
2
T
1
4
22
T
2
T
1 
Rendimento do Transformador
 
Pe = Potência de entrada ou absorvida da fonte; 
Ps = Potência de saída, útil ou fornecida à carga; 
Pp = Potência perdida ou dissipada no transformador. 
Definição:
 
100.
P
P100.
P
P
entodimnRe
e
s
1
2
 
ou 100.
PP
P
ps
s
 
%100
 
2222s cos.I.VPP
 
2
2Tfejfep I.''RPPPP
 
22
1
T RK
R
''R
 
Substituindo na expressão do rendimento, vem: 
100.
I.''RPcos.I.V
cos.I.V
2
2Tfe222
222
 
Para um determinado fator de potência: 2cos
 
= constante, O rendimento resulta 
função somente de I2, pois V2 também é praticamente constante: 
 
65
 
Denominado a = índice de carga de: 
N2
2
I
I
a
 
I2 = corrente secundária qualquer; 
I2n = corrente secundária nominal. 
Temos: N22 I.aI
 
, que substituída na equação do rendimento, da a seguinte 
relação: 
100.
I.''RaPcos.I.V.a
cos.I.V.a
2
N2T
2
fe2N22
2N22
 
E considerando que, N22 VV , temos: 
N2N2N2N22 SI.VI.V Potência aparente nominal do 2º. 
Como nn2n1n1n1n2n2 SSSI.VI.V . Enfim, temos: 
100.
I.''RaPcos.S.a
cos.S.a
2
n2T
2
fe2n
2n
 
 
66
O rendimento resulta portanto função somente do índice de carga a, para um 
determinado 2cos . 
 
)a(v
)a(u)a(
 
, onde: 
2n cos.S.a)a(u
 
2n cos.S)a('u
 
2
n2T
2
fe2n I.''R.aPcos.S.a)a(v
 
2
N2T2n I.''R.a.2cos.S)a('v
 
a. Plena carga e 8,0cos 2 e a = 1 
976,0
5000.148008,0.500000.1
8,0.500000.1
P.aPcos.S.a
cos.S.a
2
jn
2
fe2n
2n
 
b. Carga de 300KW e 5,0cos 2
 
VA600000
5,0
300000
cos
PS
2
2
 
2,1
500000
600000
S
S
a
n
 
(sobrecarga de 20%) 
9615,0
5000.2,148005,0.500000.2,1
5,0.500000.2,1
2
 
c. carga de 200KW e 8,0cos 2
 
 
67
VA250000
8,0
200000S
 
5,0
500000
250000
a
 
9706,0
5000.5,048008,0.500000.5,0
8,0.500000.5,0
2
 
d. Rendimento máximo 
9798,0
5000
4800
P
P
a
jn
fe
 
Potência na qual ocorre máx
 
KVA9,489500000.9798,0S.aS n
 
9808,0
5000.9798,048001.500000.9798,0
1.500000.9798,0
2máx
 
VALORES NOMINAIS:
 
São os valores de tensão, corrente, potência, freqüência, fator de serviço, regime e 
classe de temperatura para os quais o transformador foi projetado. As perdas no núcleo de 
ferro e as perdas por efeito joule produzem aquecimento que podem causar dano nos 
materiais isolantes e conseqüentemente provocar um curto circuito. Com o objetivo de 
limitar a máxima elevação de temperatura admissível, existem as seguintes classes de 
temperatura, de acordo com os próprios materiais isolantes: 
Classe de Temperatura
 
Cºt Máxima Permissível
 
Y 40º 
A 55º 
E 70º 
B 80º 
F 105º 
H 130º 
 
 
68
Valores por unidade ou em p.u.
 
Definição: 
“Valores de base” são os valores de tensão, corrente e potências nominais do 
transformador. 
V1b = V1n Tensão de base primária = Tensão primária nominal; 
V2b = V2n Tensão de base secundária = Tensão 2ª nominal; 
I1b = I1n Corrente de base 1ª = Corrente 1ª nominal; 
I2b = I1n Corrente de base 2ª = Corrente 2ª nominal; 
Sb = Sn Potência de base = Potência Nominal. 
b1
b1
b1 I
VZ Impedância de base 1ª 
b2
b2
b2 I
VZ Impedância de base 2ª 
Valores por unidade ou em p.u: 
b2
2
b1
1
I
I
I
I
.)u.p(i
 
b22b11
n22n11
2211
I.NI.N
I.NI.N
I.NI.N
 
Nota:
 
Os valores de corrente em p.u. são iguais para os dois enrolamentos. 
Analogamente, para RT e XT temos: 
b2
T
b1
T
T Z
''R
Z
'R
.)u.p(R
 
Demonstração:
 
b2
T
n2b2
n2T
n2
b2
2
n2
T
2
n1b1
n1T
b1
T
Z
"R
I.Z
I".R
K
I
.Z.K
K
I
".R.K
I.Z
I'.R
Z
'R
 
.)u.p(V
V
''V
V
'V
I.Z
I.'R
.)u.p(R R
b2
R
b1
R
n1b1
n1T
T
 
 
69
“A resistência total em p.u. é igual à queda de tensão nas resistências em p.u.” 
b2
T
b1
T
T Z
''X
Z
'X
.)u.p(X
 
Voltando à resistência RT (p.u.), pretendemos ressaltar ainda: 
.)u.p(P
S
P
S
P
I
I
.
Z
'R
.)u.p(R jn
b
jn
n
jn
2
n1
2
n1
b1
T
T
 
“A resistência total em p.u. é igual às perdas joule nominais em p.u.“ 
Valores típicos para os transformadores:
 
a. Corrente em vazio: I0 = 2 à 5% 
b. Resistência total: RT = 0,5 à 2% 
c. Reatância total: XT = 3 à 10% 
d. Perdas no ferro: Pfe = 0,5 à 2% 
e. Perdas no cobre: Pjn = 0,5 à 2% 
Exercício:
 
Conhecendo-se a potência nominal de um transformador,suas tensões e impedâncias 
equivalentes em , determinar: 
a. Resistência, reatância e impedância percentuais e em p.u; 
b. Corrente de vazio em p.u. e %; 
c. Queda de tensão, devido à impedância em p.u. e a perda por efeito 
joule em (W). 
São dados: 
Sn = 15KVA R1 = 2,4
 
V1n = 2400V R2 = 0,023
 
V2n = 240V X1 = 9
 
I0 = 0,48 (A.T.) X2 = 0,092
 
a. RT (p.u.); X T (p.u.); Z T (p.u.). 
%22,10122,0
384
7,4
25,6
2400
3,24,2
2400
15000
2400
023,0.104,2
I
V
R.KR
Z
'R
.)u.p(R
2
b1
b1
2
2
1
b1
T
T
 
 
70
%74,40474,0
384
2,99
384
X.KX
Z
'XX 2
2
1
b1
T
T
 
%89,40489,0
384
2,187,4
Z
'X'R
Z
'X
.)u.p(Z
22
b1
2
T
2
T
b1
T
T
 
b. Corrente de vazio em p.u: 
%68,70768,0
25,6
48,0
I
I
.)u.p(I
b1
10
0
 
c. %89,40489,0
Z
'Z
.)u.p(ZV
b1
T
Tz
 
0489,0
2400
25,6.79,18
V
I.'Z
V
'V
.)u.p(V
b1
n1T
b1
z
z
 
%22,10122,0.)u.p(R.)u.p(Pj Tn
 
Problema proposto:
 
Repetir o exercício anterior, calculando os mesmo valores em p.u. e % porém para o 
lado de B.T. 
Regulação: (Re)
 
E2 = f.e.m. em vazio, no secundário; 
V2 = Tensão no secundário, em carga. 
Para transformador ideal: 22 VE
 
Para transformador real, 22 VE (para cargas indutivas e resistivas). 
 
71 
Definição:
 
100.
V
VER
2
22
e
 
Valores típicos de regulação:
 
20% para transformadores pequenos; 
2% para transformadores grandes. 
Modelo elétrico utilizado para desenvolver a formula da regulação: 
 
22
1
T RK
R
"R
 
22
1
T XK
X
"X
 
n2TTn2n2 I)."jX"R(VE
 
Analisaremos, inicialmente, o caso de uma carga indutiva: 
 
72
 
n2Tn2n2n2 I."Rcos.VE x
 
n2Tn2n2n2 I."Xsen.VE y
 
2
n2T2n2
2
n2T2n2n2 I."Xsen.VI."Rcos.VE
 
100.
V
VI."Xsen.VI."Rcos.V
R
n2
n2
2
n2T2n2
2
n2T2n2
en
 
100.1
V
I."Xsen.VI."Rcos.V
R
n2
2
n2T2n2
2
n2T2n2
en
 
100
V
I."X100
sen100
V
I."R100
cos100R
2
n2
n2T
2
2
n2
n2T
2en100%Xsen100%Rcos100R 2T2
2
T2en
 
Para carga indutiva. 
Para carga capacitiva, temos a seguinte configuração: 
 
73
 
Analogamente, para carga capacitiva, temos a seguinte expressão: 
100%Xsen100%Rcos100R 2T2
2
T2en
 
Para carga capacitiva. 
n2Tn2n2ny2
n2Tn2n2nx2
I."XsenVE
I."RcosVE
 
Exercício:
 
Calcular a regulação do transformador para uma carga com fator de potência igual a 
0,8 indutivo, 1 e 0,8 capacitivo. São conhecidos os seguintes parâmetros: 
RT = 1,22 % XT = 4,74 % 
a. 8,0cos n2 indutivo: 
%87,310074,46,0.10022,18,0.100 22en
 
b. 1cos n2 : 
%33,110074,40.10022,11.100 22en
 
c. 8,0cos n2 capacitivo: 
 
74
%76,110074,46,0.10022,18,0.100 22en
 
Transformadores trifásicos e especiais
 
Três transformadores monofásicos podem ser ligados em modo tal que venham a 
constituir um banco de transformadores ou um transformador trifásico. O sistema de 
alimentação trifásico é composto normalmente por quatro fios: três fases e um neutro: 
 
Banco de Transformadores: 
As ligações possíveis dos três transformadores monofásicos estão esquematizadas na 
próxima figura. Sendo a potência de cada transformador monofásico igual a S
 
(KVA), a 
potência total do banco de transformadores será igual a 3.S (KVA). 
 
75
 
Os três transformadores sendo independentes, não existirá nenhuma interação entre os 
fluxos produzidos por cada transformador, portanto a análise do comportamento do 
conjunto é idêntica aquela já estudada sobre os transformadores monofásicos. 
Transformador trifásico
 
O banco de transformadores nos sugere de colocar, numa única carcaça, os três 
núcleos monofásicos, a fim de termos uma evidente economia de material. Dispondo-se os 
 
76
três transformadores conformes indicados na próxima figura, é possível substituir. O banco 
de transformadores que sugere o transformador trifásico: 
 
De fato, sem alterar o funcionamento, é possível substituir, as três pernas A,B e C, por 
uma única perna central, obtendo-se a seguinte figura: 
 
77
 
O fluxo de magnetização de cada transformador é dado por: 
)º120tsen(.
)º120tsen(.
tsen.
máx3
máx2
máx1
 
E na perna central o fluxo resultante vale: 
0321
 
Sendo nulo fluxo na perna central, podemos retirar esta perna. Obteremos, desta 
forma, a seguinte configuração, sem alterar o funcionamento dos transformadores: 
 
78
 
Devido às evidentes dificuldades de execução, adota-se comumente a seguinte 
estrutura: 
 
Observamos que não existe mais a simetria do circuito magnético porem é obvia a 
economia de material e de mão de obra. Devido à assimetria do núcleo do transformador 
trifásico, a f.m.m. das pernas laterais é maior que a da perna central. Ou seja, as correntes 
de vazio das bobinas situadas nas pernas laterais são iguais entre si e maiores que a da 
bobina central. Como ordem de grandeza, temos: 
bcA I).5,1à3,1(II
 
Auto transformador
 
 
79
Denominamos com esse nome a um transformador monofásico ou polifásico que 
possui apenas um único enrolamento por fase. O aspecto físico e o esquema elétrico estão 
representados nas figuras que seguem: 
 
21 III
 
12 III
 
2211 I.NI.N
 
1
2
1
2 I.N
NI
 
 
80 
1
2
1
11
2
1 I.1
N
NII.
N
NI
 
Fazendo-se igual a dois a relação de espiras, isto é: 2
N
N
2
1
, a corrente I 
Será igual a: 
11
2
1 II.1
N
NI
 
Portanto, a grande vantagem do autotransformador é obtida quando a sua relação de 
espiras for igual a dois. 
Variador de tensão ou “Variac”
 
Trata-se de um autotransformador com relação de transformação continuamente 
variável. 
O variac é obtido enrolando-se, sobre um núcleo de ferro toroidal, uma bobina com 
uma única camada de fio sem isolação no topo do toróide. Uma escova de grafite desliza 
sobre as espiras, fornecendo a derivação desejada. O variador de tensão sacrifica a 
vantagem principal dos autotransformadores, porém resolve, de uma forma muito simples, 
a necessidade de se obter uma tensão alternada, continuamente variável. 
 
81
 
Transformadores de medidas
 
a. Transformador de tensão : (TP)
 
Sabemos que a medida da tensão é feita por meio de voltímetros, porém se desejamos 
medir tensões elevadas, não é prático o uso de voltímetros,os quais exigem multiplicadores 
de valores elevados e oferecem muito risco de perigo ao operador.Assim sendo, é comum o 
emprego de transformadores de tensão, os quais abaixam a tensão a valores normalizados e 
projetados em modo tal que a corrente absorvida nos voltímetros seja desprezível. 
 
 
82
1
1
2
2 E.N
NE
 
Observações: 
1. O TP é tanto melhor quanto menor for a diferença de fase entre V1 e 
V2. 
2. O uso da TP permite isolar primário e secundário, eliminando o risco 
de perigo do operador. 
3. Se o Voltímetro for graduado normalmente, por exemplo, de 0 a 100 
V,a leitura deverá ser multiplicada pela relação de espiras K
N
N
2
1
, para obter a 
tensão que se deseja medir. 
É muito comum também o uso de se graduar o voltímetro diretamente em alta tensão. 
 
b. Transformador de corrente: (TC) 
Assim como os TP’s auxiliam a medida de tensões elevadas, os transformadores de 
corrente (TC’s), são utilizados para poder medir grandes intensidades de correntes. O TC 
constitui um transformador com o secundário em curto circuito fechado sobre um 
amperímetro. O enrolamento primário é percorrido pela corrente que se deseja medir. 
 
 
83 
I1 = corrente de linha determinada pela carga. 
2
1
2
11
2 N
I
N
N.II
 
(normalmente, N1=1). 
A5I
máx2 , normalmente. 
Observar que a corrente I2 independe de I1 que a sua vez depende da carga, portanto a 
corrente I2 depende somente da carga: 
2
1
2 N
II
 
O que acontece se inadvertidamente o secundário for aberto? Devido à necessidade de 
manter a corrente I2, o enrolamento secundário ficará submetido a uma tensão 2V . De 
fato, sendo 222 I.RV
 
(R2 = resistência equivalente do enrolamento secundário e do 
amperímetro) 
Com o secundário em aberto: 2R 
2222 I.I.RV 
Com o intuito de encontrar o valor de a
 
para o qual o rendimento se torne máximo, 
basta derivar a expressão: 
)a(V
)a(u)a(
 
, e iguala-la a zero: 
0
v
u'vv'u
da
)a(d
2
 
22
n2T
2
fe2n
2n
2
n2T2n
2
n2T
2
fe2n2n
I"RaPcos.S.a
cos.S.aI."R.a.2cos.SI."R.aPcos.S.a.cos.S
da
)a(d
 
0I."R.a.2cos.SI."RaPcos.S.a0
da
)a(d 2
n2T2n
2
n2T
2
fe2n
 
2
n2T
22
n2T
2
n2Tfe I."RaI."R.aI."R.a.2P
 
jn
fe
2
n2T
fe
P
P
I."R
P
a
 
Conclusão: 
Uma carga I2, para apresentar rendimento máximo, deverá ser igual a: 
 
84
n2
jn
fe
n22 I.P
P
I.aI
 
Exercícios:
 
1.Um transformador de 500 KVA, tem KW8,4Pfe
 
e KW5Pjn . Determinar o 
rendimento para as seguintes condições de carga: 
a. Plena carga e 8,0cos 2 ; 
b. Carga de 300KW e 5,0cos 2 ; 
c. Carga de 200KW e 8,0cos 2 ; 
d. Determinar também o máximo rendimento e a carga em que 
ocorre, com 1cos 2 . 
alminno.Apar.Pot
.funcionam.Apar.Pot
S
S
S
S
V.I
V.I
I
I
a
nn2
2
n2n2
n22
n2
2
 
2. Um transformador de 25 KVA, 2400/240 V, 60 Hz, apresentou: 
a. Em vazio: 1,6 A e 114 W, alimentado pelo lado B.T; 
b. Em curto-circuito: 55 V, 360 W e corrente nominal alimentado pelo 
lado de A.T. 
Determinar: 
i. As perdas no ferro; 
ii. As perdas joule para carga plena, 75% - 50% E 25% de carga 
nominal; 
iii. O rendimento máximo para carga com fatores de potência: 
1.0; 0.8e 0,6 indutivos; 
iv. Regulação a plena carga, com fator de potência: 1.0, 0.8 
indutivo e 0.8 capacitivo. 
3. Um transformador de 100 KVA apresentou com plena carga resistiva, um 
rendimento de 98%. O valor máximo de rendimento ocorreu com dois terços dessa 
mesma carga. Determinar: 
a. As perdas no ferro; 
b. As perdas nominais no cobre; 
c. O valor do rendimento máximo. 
4. Um transformador apresenta: VI = 230V; f = 50 Hz; N2 =1500 espiras e 
Wb00207,0máx . Determinar: 
a. Número de espiras no primário: N1; 
b. Tensão no secundário: V2; 
c. A seção geométrica do núcleo para uma indução máxima de 0,5 
Wb/m2. 
 
85
5. (Prova de 30.05.81)Um transformador de 10 KVA, 5000/100V, 60 Hz, 
apresentou: 
i. Em vazio: 4A e 150 W, alimentado pelo lado de B.T; 
ii. Com o lado de B.T. em curto-circuito: 2A, 300V e 180W. 
Determinar: 
i. Os parâmetros Rp, Xm, Re e Xe referidos ao lado de A.T; 
ii. Perdas no ferro e no cobre, para 50%, 80% e 100% de carga nominal 
resistiva; 
iii. Os parâmetros Re (p.u.) e Xe (p.u.); 
iv. O valor do rendimento para 80% de carga nominal e fator de potência 0,6 
indutivo. 
6. (Prova de 30.05.81) No circuito equivalente da figura, determinar: 
a. A corrente primária fasorial : 1I ; 
b. As perdas no ferro; 
c. Potência ativa, reativa e aparente fornecida à carga; 
d. Potência ativa, reativa e aparente absorvida da fonte; 
e. Impedância equivalente em p.u. e em ohms (referida ao primário); 
f. Diagrama de fasores. 
 
7. (Exame de 10.01.81) No circuito equivalente da figura, determinar: 
a. A corrente primária fasorial: 1I ; 
b. As perdas no ferro; 
c. O rendimento; 
d. O digrama de fasores. 
 
 
86
8. (Exame: 12.01.82) No circuito equivalente da figura, determinar: 
a. A corrente primária fasorial: 1I ; 
b. As perdas no ferro; 
c. Potência ativa, reativa e aparente absorvida pelo transformador. 
 
PROVA: 
1. A figura representa um eletroímã cilíndrico.A armadura móvel é puxada 
para baixo por uma mola no repouso: I = 0; e0 = 15mm; Fmola = 0; Fdesenv = 0. Para i = 
ICC = 3A; e = 125 mm; Nesp. = 1000 espiras. 
Determinar: 
a) A constante da mola; 
b) A força desenvolvida no equilíbrio; 
c) As curvas de Fdesenv no eletroímã e força da mola em função do 
deslocamento; 
d) A corrente C.A.que produz o mesmo resultado que C.C; 
e) A força desenvolvida na junção considerando corrente para 
atracamento de 0,2 A. 
 
87
 
Lembramos que: 
0
2
vsende
0
2
e
vsende
2
e0vsende
2
2
0vsende
e0e
ee
eefeT
e
.S.2
F
B
.S.
2
1F
H.S..
2
1F
x
I.N
.S..
2
1F
H.B
S.B
x
I.NHl.HI.NmmF
 
a) )x10.15(k)xe(kF 3m0mmola Sendo que: 
 
88
23
23
2
7
0
2
2
0vsende
3
m10.96,1
2
10.50
.r.S
10..4
x
I.NS..
2
1F
máxF0x
zeroF10.15x
 
m10.5,12x
A3I
espiras1000N
3
 
Kgf2,7N5,70)10.5,12(
)3.1000(
.10.96,1.10..4.
2
1F 23
2
37
vsende
 
b) 2
2
vsende
x
10.1,1F
 
Para Kgf2,7N5,70F m12,5.10 x vsende3- . 
MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA
 
GENERALIDADES 
Existem dispositivos denominados conversores (ou transdutores) eletromecânicos de 
energia, capazes de converter energia mecânica em energia elétrica e vice-versa. A máquina 
de c.c. é um deles: é, portanto um conversor eletromecânico de energia, ou simplesmente 
conversor eletromecânico. Basicamente, ela é composta de três partes: 
a. Parte elétrica; 
b. Parte mecânica; 
c. Parte magnética. 
A parte magnética serve como intermediária entre a elétrica e a mecânica. É a região 
onde ocorre o fenômeno de conversão eletromecânica de energia. 
 
89
 
Princípio de funcionamento: 
Na parte elétrica, a energia, num intervalo infinitésimo de tempo, vale: 
dt.i.edE
.elétr
 
Onde: 
e = Tensão,ou força, elétrica; 
i = Corrente elétrica (ou velocidade da quantidade de carga). 
Na parte mecânica, um diferencial de energia é dado pela expressão: 
dt..Cdt.v.FdE
mec
 
F = Força mecânica; 
v = velocidade. 
Na parte magnética, ocorrem dois fenômenos, dependendo do sentido de fluxo de 
energia: O sentido que vai da energia mecânica para a elétrica, produz uma ação geradora; 
o sentido oposto dá origem a uma ação motora.
 
Ação Geradora: ocorre com o fenômeno de indução eletromagnética, expresso pela lei 
de Lorentz: 
Bv.dled
 
Consideremos um condutor retilíneo, de comprimento, imerso num campo magnético, 
onde a indução é constante e disposto em posição às linhas de fluxo (ou de forças) desse 
campo. (ver a figura): 
 
90
 
Se fornecermos, ao condutor, uma certa energia mecânica, isto é: um movimento com 
velocidade haverá, em cada elemento deuma f.e.m. induzida: 
Bv.dled
 
Integrando, ao longo do condutor, obtemos a f.e.m. total: 
sen.B.v.lee
Bv.lBv.dlede
 
e = volt; l = m; B = Wb/m2; = Ângulo entre V e B
 
Se BV , = 90º e portanto: V.l.Be
 
Observações: 
a. O sentido de e
 
pode ser obtido tanto pelo produto vetorial como pela 
regra da mão direita. 
b. Nesta ação geradora,partimos do parâmetro mecânico V
 
e, através 
da interação com a indução magnética B ,chegamos à grandeza elétrica e . 
Ação motora: ocorre com o fenômeno da ação do campo magnético sobre a corrente 
elétrica, expresso pela lei de Lorentz. 
Bi.dlFd
 
Voltando à figura anterior, imaginemos de fornecer energia elétrica em lugar de 
energia mecânica, isto é: vamos impor uma corrente i, ao longo do condutor. Assim sendo, 
cada elemento dl será submetido à força mecânica. 
Bi.dlFd
 
Integrando, teremos a força total F exercida sobre o condutor: 
 
91
sen.i.lFF
Bi.ldlBiBi.dlFdF
 
ONDE: 
F = Newtons; l = metros; B = Wb/m2 
 
= ângulo entre 
i e B
 
Se Bi , =90º e portanto: 
i.l.BF
 
Observações: 
a. O sentido de F
 
pode ser dado tanto pelo produto vetorial como pela 
regra da mão esquerda. 
b. Na ação motora, partimos do parâmetro elétrico i
 
e, através da 
interação com B , obtivemos a força mecânica F . 
 
92
Analogia entre os parâmetros mecânicos elétricos e magnéticos:
 
Grandeza Mecânica
 
Grandeza Elétrica
 
Grandeza Magnética
 
Força"F" ; velocidade"v" Tensão "V" ; corrente "I"
 
F.m.m:"F"; Fluxo:" " 
Potência mecânica: F.v Potência elétrica: V.I Potência Magnética: F. 
 
Reação: R Resistência: R Relutância: 
 
Deslizamento Condutibilidade: 
 
Permeância: µ 
Coeficiente e Atrito 
Resistividade: 
1 Relutividade: 1 
 
Ação geradora e conjugado resistente dos geradores
 
Voltemos ao 1º. Caso (ação geradora), a fim de tentar aproveitar, a f.e.m. induzida 
disponível. Para tanto, ligamos uma resistência aos terminais do condutor: uma corrente i = 
circulara através do circuito fechado.Esta corrente interagirá com o campo magnético, 
produzindo a força de Lorentz F .O sentido desta força é contrário ao de V
 
e,por este 
motivo,ela é denominada de força resistente rF .O conjugado correspondente a rF
 
é 
chamado: conjugado resistente dos geradores. Para manter o condutor em movimento,é 
necessário aplicar uma força rr F'F , ou seja, uma potencia mecânica : 
 
Nestas condições,o condutor comporta-se como um gerador que, no caso 
ideal,transforma a potência mecânica recebida V.'F r em potência elétrica gerada : i.e . 
 
AÇÃO MOTORA E FORÇA CONTRA ELETROMOTRIZ INDUZIDA
 
 
93
No 2º.caso (ação motora), vimos que a corrente imposta i
 
dava origem à força F
 
, 
cujo sentido era dado pela regra da mão esquerda (na figura, esse sentido é para baixo). 
Esta força, agindo sobre o condutor arrasta-o, no sentido de sua ação, com uma velocidade. 
Este movimento do condutor,