Teoria dos erros - Paquímetro

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ANA LORENA
CAIO BRASILEIRO
FRANCISCO SOARES
ISABELA CERQUEIRA
TIAGO SANTANA
TEORIA DOS ERROS:
Determinação do volume do cilindro através do emprego do paquiímetro
SALVADOR
2011
UNIVERSIDADE CATÓLICA DO SALVADOR
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
ENGENHARIA CIVIL
FÍSICA I
TEORIA DOS ERROS:
Determinação do volume do cilindro através do emprego do paquiímetro
SALVADOR
2011
�
1. OBJETIVOS
Aprender a manusear o paquímetro e realizar sua correta leitura;
Determinar as dimensões de um sólido
Aplicar a teoria de erros, estimando a incerteza das leituras. 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA
Na Física a idéia de medida está em todos os segmentos, pois através dela que são extraídos dos experimentos dados quantitativos para definir algumas propriedades da matéria.
Mesmo tomando o máximo de cuidado na medição e utilizando instrumentos de precisão, é impossível realizar uma medida exata, existindo sempre uma incerteza nos resultados, podendo aparecer valores diferentes mesmo ao empregar as mesmas condições, mesmos aparelhos e mesmo métodos. 
Para estudar qual o melhor valor a ser adotado a partir dessas variações, surgiu a Teoria de Erros. O erro pode ser classificado, de acordo com sua natureza, como: sistemático, grosseiros e acidentais.
Os erros sistemáticos são erros que se repetem em um mesmo sentido, fazendo com que as medidas estejam sempre acima ou abaixo do valor verdadeiro. São provocados por problemas geralmente por defeito na ou devido às condições do experimento, como por exemplo, falta de calibração do material.
Os erros grosseiros ocorrem pela falta de prática, ou distração do operador. Um exemplo é o erro de leitura. 
Erros acidentais (ou de flutuação) são erros que ocorrem devido a fatores imprevisíveis, podendo ter diversas origens.
Uma medida estará o mais próximo da exatidão quando os erros sistemáticos forem desprezíveis e terá precisão quando o mesmo acontecer com os erros acidentais.
Para expressar os efeitos de um dos erros apresentados, utiliza-se o desvio que pode ser classificado como: relativos, percentuais e avaliados. 
3. MÉTODO EXPERIMENTAL
3.1 Materiais utilizados:
Paquímetro de resolução 0,05 mm
Cilindro metálico
3.2 Procedimentos
Com o auxílio do paquímetro de resolução 0,05 mm, mediu-se 10 vezes o diâmetro de um cilindro metálico em diferentes posições (Xi).
Figura 1 – Desenho esquemático da leitura de um paquimetro
Os resultados obtidos nas medições foram registrados na coluna 2 tabela 1 abaixo:
Tabela 1 – Diâmetros obtidos com paquímetro de resolução 0,05 mm
	Ordem
	Xi
	X
	Xi - X
	(Xi-X)²
	Dr%(Xi)
	1
	58,55
	58,84
	-0,29
	0,08
	0,0049286
	2
	58,8
	
	-0,04
	0
	0,0006798
	3
	58,35
	
	-0,49
	0,24
	0,00833
	4
	58,3
	
	-0,54
	0,29
	0,00918
	5
	59,35
	
	0,51
	0,26
	0,008667573
	6
	58,65
	
	-0,19
	0,04
	0,0032291
	7
	59,3
	
	0,46
	0,21
	0,007817811
	8
	59,4
	
	0,56
	0,31
	0,009517335
	9
	59
	
	0,16
	0,03
	0,002719239
	10
	58,7
	
	-0,14
	0,02
	0,00237933
	
O mesmo procedimento foi repetido para calcular as alturas do cilindro, os resultados constam na coluna 2 da tabela 2.
Tabela 2 – Alturas obtidas com paquímetro de resolução 0,05 mm
	Ordem
	Xi
	X
	Xi - X
	(Xi-X)²
	Dr%(Xi)
	1
	21,9
	21,375
	0,52
	0,28
	0,024327485
	2
	21,6
	
	0,23
	0,05
	0,010760234
	3
	21,35
	
	-0,02
	0
	0,000935673
	4
	21,55
	
	0,18
	0,03
	0,008421053
	5
	20,6
	
	-0,77
	0,6
	0,036023392
	6
	20,8
	
	-0,57
	0,33
	0,026666667
	7
	21,45
	
	0,07
	0,01
	0,003274854
	8
	21,35
	
	-0,02
	0
	0,000935673
	9
	21,35
	
	-0,02
	0
	0,000935673
	10
	21,8
	
	0,43
	0,18
	0,020116959
Os valores expostos nas outras colunas correspondem respectivamente: ao valor mais provável de D e H, ao desvio de cada medida, ao valor para calculo do desvio padrão e a precisão de cada medida (ou desvio percentual relativo).
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Com os valores registrados na tabela, calculou-se qual o valor mais provável do diâmetro. Como em todas as medidas foram utilizadas as mesmas condições e os mesmos métodos, o peso atribuído para cada medida é o mesmo. Portanto, o valor mais provável, representado por x na tabela, foi obtido através de uma média aritmética simples:
Sendo n o número de medidas realizadas e Σ o somatório.
X = 58,55 + 58,8 + 58,35 + 58,3 + 59,35 + 58,65 + 59,3 + 59,4 + 59,0 + 58,7 / 10
588,4/10 = 58,84
	O desvio de cada medida obtida dirá o quanto à mesma está distante do valor médio. O desvio da primeira (Xi) em relação à média é dado pela diferença Xi – X, ou seja:
Quando o desvio é expresso por um valor negativo, significa dizer que a medida está abaixo da média e ao contrário (desvio positivo), a medida está acima da média.
Calculamos os desvios dos dez valores encontrados e observamos que os valores da 5°, 7°, 8° e 9° medições encontravam-se acima da média e os demais, abaixo da média.
Δx1 = 58,55 – 58,84 = - 0,29 
Δx2 = 58,80 – 58,84 = - 0,04
Δx3 = 58,35 – 58,84 = - 0,49
Δx4 = 58,30 - 58,84 = - 0,54
Δx5 = 59,35 - 58,84 = 0,51
Δx6 = 58,65 - 58,84 = - 0,19
Δx7 = 59,30 - 58,84 = 0,46
Δx8 = 59,40 - 58,84 = 0,56
Δx9 = 59,00 - 58,84 = 0,16
Δx10 = 58,84 – 58,84 = - 0,14
Para saber o quanto os valores extraídos da média (xi-x) são próximos ou distantes da própria média, criou-se o conceito de desvio padrão, cuja fórmula pode ser expressa por:
Aplicando a fórmula acima nos dados encontrados e expressos na tabela 1, temos:
sx = √0,08+0+0,24+0,29+0,26+0,26+0,04+0,21+0,31+0,03+0,02 / 10 – 1
sx = √1,48/9
sx = 0,16
sx = 0,4
A precisão de cada medida do diâmetro é conhecida como desvio relativo percentual (dr%) e pode ser obtida empregando-se a fórmula abaixo:
Ou seja,
Os valores encontrados estão expressos na última coluna da tabela 1.
Para saber qual a precisão do conjunto de medidas (s’x), basta dividir o desvio padrão encontrado (sx) pela média dos valores medidos (x):
s’x = 0,4/58,84
s’x = 0,0068
Os valores obtidos para a altura seguem o mesmo raciocínio exposto nas discussões do diâmetro, o valor mais provável da altura, é:
X = 21,9 + 21,6 + 21,35 + 21,55 + 20,6 + 20,8 + 21,45 + 21,35 + 21,35 + 21,8 / 10
213,75/10 = 21,375
Os desvios das alturas encontradas são expressos na coluna 4. 
Δx1 = 21,9 – 21,375 = 0,52 
Δx2 = 21,6 – 21,375 = 0,23
Δx3 = 21,35 – 21,375 = -0,02
Δx4 = 21,55 - 21,375 = 0,18
Δx5 = 20,6 - 21,375 = -0,77
Δx6 = 20,8 - 21,375 = - 0,57
Δx7 = 21,45 - 21,375 = 0,07
Δx8 = 21,35 - 21,375 = -0,02
Δx9 = 21,35 - 21,375 = -0,02
Δx10 = 21,8 – 21,375 = 0,43
Os valores da 3°, 5°, 6°, 8° e 9° encontram-se abaixo da média, enquanto os demais estão acima da média.
O desvio padrão encontrado para a altura foi:
sx = √0,28+0,05+0+0,03+0,6+0,33+0,01+0+0+0,18 / 10 – 1
sx = √1,48/9
sx = √0,16
sx=0,4
A precisão de cada medida de altura, está expressa na última coluna da tabela 2.
Dr%1 = |0,52 / 21,375| * 100% = 0,024327485
Dr%2 = |0,23 / 21,375| * 100% = 0,010760234
Dr%3 = |-0,02 / 21,375| * 100% = 0,000935673
Dr%4 = |0,18 / 21,375| * 100% = 0,008421053
Dr%5 = |-0,77 / 21,375| * 100% = 0,036023392
Dr%6 = |-0,57 / 21,375| * 100% = 0,026666667
Dr%7 = |0,07 / 21,375| * 100% = 0,003274854
Dr%8 = |-0,02 / 21,375| * 100% = 0,000935673
Dr%9 = |-0,02 / 21,375| * 100% = 0,000935673
Dr%10 = |0,43 / 21,375| * 100% = 0,020116959
A precisão do conjunto de medidas (s’x), basta dividir o desvio padrão encontrado (sx) pela média dos valores medidos (x):
s’x = 0,4/21,375
s’x = 0,0187
5.0 CONCLUSÕES
	
A realização do experimento auxiliou na fixação do conteúdo teórico referente ao estudo da Teoria de erros. Os valores medidos tanto para o diâmetro quanto para a altura apontam valores diferentes devido principalmente a erros acidentaise alguns grosseiros devido a imperícia dos experimentadores, mas que não afetaram de maneira muito significativa na precisão do conjunto de medidas. 
Pode-se perceber que a utilização dos princípios da teoria de erros, como o desvio padrão, auxilia no estabelecimento de uma tolerância para qualquer tipo de grandeza física.
6.0 REFERÊNCIAS
MUKAI, Hatsumi e FERNANDES, Paulo R. G. Medidas e erros. Manual de Laboratório – Física Experimental I. Cap. 2.
UNICAMP. As experiências. Disponível em: http://www.ifi.unicamp.br/~turtelli/exp.html. Acesso em 02 de novembro de 2011.
LIMA, Carlos R. A. Teoria de Erros: Medidas e Gráficos. Instituto de Ciências Exatas. Março de 2010. UFJF
Relatório apresentado como pré-requisito à disciplina de Física Geral e Experimental I, pelos alunos: Ana Lorena, Caio Brasileiro, Francisco Soares, Isabela Cerqueira e Tiago Santana ao Curso de Bacharelado em Engenharia Civil.
Prof. Bião