Tratamento de incertezas

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Profa. Luciana V. Rizzo 
1º semestre/2017 
 
Tratamento de incertezas experimentais 
Observação: este é um resumo de conceitos básicos a serem utilizados no tratamento de 
incertezas experimentais em física. Consulte as referências citadas para uma discussão mais 
profunda acerca da Teoria de Erros. 
 
1. Valor médio e desvio padrão 
 Valor médio de n medidas idênticas: 





n
i
i
n y
nn
yyy
y
1
21 1...
 (I)
 
 Variância: 
 




n
i
i yy
n 1
22
1
1
 (II)
 
 Desvio padrão amostral (DESVPAD, DESVPAD.A, STDEV): 
 




n
i
i yy
n 1
2
1
1
 (III)
 
 Desvio padrão percentual: 
 %100
y

 
 (IV) 
 Desvio padrão da média: 
n
m

 
 (V)
 
 Intervalos de confiança: 
mvm yyy  
 com 68% de certeza 
mvm yyy  22 
 com 95% de certeza 
mvm yyy  33 
 com 99% de certeza 
(onde yv representa o valor verdadeiro da grandeza) 
 
 
 
 
2. Tipos de erros 
Em uma medição, diversos tipos de erros podem ocorrer. Os dois principais tipos de erros 
podem ser classificados em erros estatísticos (ou aleatórios) e erros sistemáticos 
 Erro sistemático: tipo de erro que afeta igualmente todas as N medições de certa grandeza. Os 
erros sistemáticos devem ser evitados através da escolha adequada de procedimentos 
experimentais. Se forem detectados após a realização das medidas, podem ser eventualmente 
subtraídos. Exemplos de erros sistemáticos: 
o Erro sistemático de calibração: resulta da calibração inadequada do instrumento de 
medição 
o Erro sistemático ambiental: resulta de efeitos do ambiente sobre as medidas 
(temperatura, pressão, umidade, vibração, etc) 
o Erro sistemático observacional: resulta de falhas de procedimentos ou limitações do 
observador (ex: paralaxe) 
 Erro estatístico: resulta de variações aleatórias nas medições, provenientes de fatores que não 
podem ser controlados. O erro estatístico pode ser quantificado através do desvio padrão das 
medidas. 
 Erro instrumental: este tipo de erro está relacionado à precisão do instrumento de medida. O 
erro instrumental equivale à metade da menor divisão da escala de leitura do instrumento 
analógico utilizado. Se a escala do instrumento for digital, em geral considera-se o erro 
instrumental como uma unidade do último algarismo fornecido. 
 Erro total (ou erro padrão): 
 
222
alinstrumentoestatistictotal   (V) 
 O valor médio deve ser reportado com o mesmo número de casas decimais e algarismos 
significativos do erro total correspondente. 
 
3. Propagação de erros 
Seja w uma grandeza calculada em função de outras grandezas x, y, z, ...: 
𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, … ) 
As grandezas x, y, z, ... são grandezas experimentais, sendo σx, σy, σz, ... os erros correspondentes. Se 
os erros nas variáveis x, y, z, ... são independentes entre si, o erro σw na grandeza w é dado em 
primeira aproximação por: 
𝜎𝑤
2 = (
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
2
𝜎𝑥
2 + (
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
2
𝜎𝑦
2 + (
𝜕𝑤
𝜕𝑧
)
2
𝜎𝑧
2 + ⋯ (VI) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seguem algumas fórmulas de propagação de erros para casos comuns: 
Função 𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, … ) Expressões para σw 
𝑤 = 𝑥 ± 𝑦 ± 𝑧 ± ⋯ 𝜎𝑤
2 = 𝜎𝑥
2 + 𝜎𝑦
2 + 𝜎𝑧
2 + ⋯ 
𝑤 = 𝑥𝑚 𝜎𝑤 = |𝑚𝑥
𝑚−1|𝜎𝑥 ou |
𝜎𝑤
𝑤
| = |𝑚
𝜎𝑥
𝑥
| 
𝑤 = 𝑎𝑥 𝜎𝑤 = |𝑎|𝜎𝑥 ou |
𝜎𝑤
𝑤
| = |
𝜎𝑥
𝑥
| 
𝑤 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝜎𝑤 = |𝑎|𝜎𝑥 
𝑤 = 𝑎𝑥𝑦 𝜎𝑤
2 = (𝑎𝑦𝜎𝑥)
2 + (𝑎𝑥𝜎𝑦)
2
 ou (
𝜎𝑤
𝑤
)
2
= (
𝜎𝑥
𝑥
)
2
+ (
𝜎𝑦
𝑦
)
2
 
𝑤 = 𝑎
𝑥
𝑦
 𝜎𝑤
2 = (
𝑎
𝑦
𝜎𝑥)
2
+ (
𝑎𝑥
𝑦2
𝜎𝑦)
2
 ou (
𝜎𝑤
𝑤
)
2
= (
𝜎𝑥
𝑥
)
2
+ (
𝜎𝑦
𝑦
)
2
 
Tabela 1: Exemplos de fórmulas de propagação de erros, onde w, x, y, z são variáveis (isto é, possuem 
incertezas), e a, b são constantes (isto é, não possuem incertezas). 
 
Exemplo: O volume de um cilindro pode ser determinado medindo-se o comprimento L e o raio R. O 
volume V é calculado por: 
𝑉 = 𝜋𝐿𝑅2 
Como R e L têm erros experimentais, o volume V também possui um erro, que pode ser calculado 
por: 
𝜎𝑉
2 = (
𝜕𝑉
𝜕𝐿
)
2
𝜎𝐿
2 + (
𝜕𝑉
𝜕𝑅
)
2
𝜎𝑅
2 
Calculando as derivadas parciais, 
𝜕𝑉
𝜕𝐿
= 𝜋𝑅2 𝑒 
𝜕𝑉
𝜕𝑅
= 𝜋𝐿2𝑅 
obtém-se 
𝜎𝑉
2 = (𝜋𝑅2)2𝜎𝐿
2 + (2𝜋𝐿𝑅)2𝜎𝑅
2 
 
 
4. Regressão linear 
O procedimento de ajustar uma função a um conjunto de dados experimentais é conhecido 
como regressão. O ajuste de uma reta y = ax + b a um conjunto de pontos experimentais é chamado 
de regressão linear. Utilizando o método dos mínimos quadrados, é possível determinar os 
parâmetros a e b correspondentes à reta mais adequada ao conjunto de pontos experimentais, bem 
como as incertezas σa e σb: 
 
𝑎 =
1
∆
(𝑆𝜎𝑆𝑥𝑦 − 𝑆𝑥𝑆𝑦) 𝜎𝑎
2 =
𝑆𝜎
∆
 (VII) 
 
𝑏 =
1
∆
(𝑆𝑥2𝑆𝑦 − 𝑆𝑥𝑆𝑥𝑦) 𝜎𝑏
2 =
𝑆
𝑥2
∆
 (VIII) 
onde 
𝑆𝜎 = ∑
1
𝜎𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 ; 𝑆𝑥 = ∑
𝑥𝑖
𝜎𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 ; 𝑆𝑥2 = ∑
𝑥𝑖
2
𝜎𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 ; 
 
 𝑆𝑦 = ∑
𝑦𝑖
𝜎𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 ; 𝑆𝑥𝑦 = ∑
𝑥𝑖𝑦𝑖
𝜎𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 ; 
 
∆= 𝑆𝜎𝑆𝑥2 − 𝑆𝑥𝑆𝑥 
Para maiores informações, consulte uma das referências citadas. 
A Figura 1 mostra um exemplo de regressão linear realizada com o auxílio de uma planilha de 
cálculo. Para isso, basta fazer um gráfico a partir dos pontos experimentais (x i, yi) digitados em uma 
tabela, “clicar“ com o botão direito do “mouse” sobre um dos pontos do gráfico, e escolher a opção 
“Adicionar linha de tendência” (e inglês: “Add trendline”). Depois disso, basta escolher o modelo de 
curva que deve ser ajustado aos pontos experimentais. No caso da Figura 1, foi escolhido o modelo 
linear. Opte por exibir a equação da reta ajustada, bem como o coeficiente de determinação do 
ajuste (R2). Quanto mais próximo R2 estiver de 1.0, melhor será o ajuste da curva aos pontos 
experimentais. 
A Figura 2 mostra como acrescentar barras de erro em um gráfico de uma planilha de cálculo. 
Você deve ter 4 colunas de dados, duas com os valores de x e y e outras duas com as respectivas 
incertezas σx e σy. O primeiro passo é “clicar” em um dos pontos do gráfico, escolher a opção 
“Layout” no menu, e em seguida “Barras de Erro” ou “Error bars” (Fig. 2a). Clique em “mais opções”, 
e aparecerá um menu para configurar as barras de erro verticais (Fig. 2b). Clique em “Custom” e em 
seguida no botão “Specify value”. Aparecerá a caixa “Custom Error Bars”, e você deve selecionar a 
coluna que contém as incertezas σy. Para formatar as barras de erro horizontais, “clique” com o 
botão direito do “mouse” sobre uma das barras horizontais no gráfico, selecionando em seguida a 
opção “Format error bars” (Fig. 2c). Repita o procedimento da figura anterior, selecionando a 
coluna que contém as incertezas σx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Exemplo de como realizar uma regressão linear utilizando uma planilha de cálculo. a) 
Escolher a opção: “Add trendline”; b) Escolher as opções “Linear”, “Display equation on chart” e 
“Display R square velue on chart”; c) Gráfico final 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Exemplo de como acrescentar barras de erro em um gráfico de uma planilha de cálculo. 
a) 
b)c) 
d) 
 
 
 
 
5. Referências bibliográficas 
 Vuolo, J. H., Fundamentos da Teoria de Erros, 2a edição, Editora Edgard Blücher Ltda, 
São Paulo (1996). 
 Helene, O.A.M. e Vanin, V.R., Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental, 
2a edição, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo (1991). 
 Bussab, W. O. e Morettin, P.A., Estatística básica, Editora Saraiva,São Paulo, 2002. 
 Costa Neto, P. L. O., Estatística, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 2002. 
 Triola, M. F., Introdução à estatística, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2005.