Material de Apoio (Física II) 1

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Faculdade multivix
Christofher do Vale Pena
Material de Apoio - Física II
São Mateus
2018
Sumário
1 Vibrações e Ondas 1
1.1 MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lei do MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Energia do MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Pêndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Movimento Harmônico Simples Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Tipos de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Tipos de Propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.3 Rapidez de uma Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.4 Interferência e o Princípio da Superposição . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.5 Ondas Estacionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.6 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.7 Ondas de Proa e Ondas de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 O Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1 Velocidade do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.2 Compressão e Rarefação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.3 Re�exão, Refração e Batimentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.4 Intensidade e Volume do Som. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Fluidos 26
2.1 Pressão e Massa Especí�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Massa Especí�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Fluidos em Repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Princípio de Arquimedes e a Força de Empuxo . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Tensão Super�cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Capilaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Fluidos em Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 A equação de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Termodinâmica 44
3.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Lei Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Escalas Térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Dilatação Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Dilatação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 Dilatação Super�cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3 Dilatação Volumétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.4 Dilatação Anômala da água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.1 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.2 Capacidade Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Calor Especí�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.4 Calor Latente e Mudança de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Energia Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7 Calor e Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7.1 Casos Especiais da 1
◦
Lei da Termôdinamica . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Gases Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.8.1 Trabalho Feito por um Gás com Temperatura Constante . . . . . 63
3.8.2 Trabalho realizado a Volume e a pressão Constante . . . . . . . . 64
3.8.3 Energia Interna de um gás ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.9.1 A 2
◦
Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9.2 Máquinas Térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9.3 Refrigeradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iii
Lista de Figuras
1 Pêndulo Simples em um movimento onde ele atingi valores máximos e
mínimos, que podem ser descritos como uma função. . . . . . . . . . . . 2
2 Em um movimento de uma roda girando, caso marque um ponto após um
tempo esse ponto retornará ao ponto inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Grá�co de uma função Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Grá�co de uma função Cossenoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Sistema Massa-Mola oscilando entre uma valor máximo positivo e máximo
negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 A energia de um MHS oscila no tempo entre cinética e potencial elástica. 8
7 Exemplo de um Oscilador Harmônico angular. . . . . . . . . . . . . . . . 8
8 Exemplo de um Pêndulo Simples, sobre ação de algumas forças. . . . . . 9
9 Exemplo de um Pêndulo Físico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10 Exemplo de MHS Amortecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
11 Exemplo de Onda Transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
12 Exemplo de Onda Longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
13 Propagção de uma Onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
iv
14 Exemplo de Interfência Destrutiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 Exemplo de Interfência Construtiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 Processo com Ondas Estacionárias. (a) Onda Estacionária com meio com-
rimento de onda. (b) Onda Estacionária com um comprimento de onda.
(c) Onda Estacionária com um comprimento de onda e meio. . . . . . . . 17
17 Exemplo de uma situação que envolve o Efeito Doppler. . . . . . . . . . . 18
18 Exemplo de ondas de Proa. (a) Objeto tem velocidade menor que a onda
produzida por ele. (b) Objeto tem velocidade igual a onda emitida. (c)
Objeto tem velocidade maior que a onda emitida. (d) Objeto tem veloci-
dade muito maior que a onda que ele emite. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19 Ao abrir a porta o ar é comprimido empurrando a cortina para fora. . . . 21
20 Ao fechar a porta cria-se um um 'vácuo' fazendo com que a cortina se
mova para dentro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
21 Som emitido sendo re�etido de volta a fonte. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
22 Som refratado, pelas diferentes temperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . 22
23 Tanque com um �uido em repouso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
24 Exemplo de um manômetro medindo a pressão dentro de um tanque atra-
vés da altura h da coluna do �uido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
25 Exemplo da Aplicação do Princípio de Pascal, em um elevador hidráulico. 31
26 Objeto em repouso dentro de um �uido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
27 A ligaçao das moléculas na superfície e em algum ponto dentro do �uido. 34
28 As cerdas do pincel se mantêm unidas após sairem do �uido por causa da
Tensão Super�cial. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 34
v
29 Quanto menor o diamêtro do tubo maior a força de adesão e consequen-
temente maior a altura que o �uido chega . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
30 Um �uido movimentando-se dentro de um tubo com diferentes bitolas. . 36
31 Um �uido movimentando-se dentro de um tubo com várias entradas e saídas 38
32 Um �uido movimentando-se dentro de um tubo com diferentes bitolas e
variação de altura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
33 Estudo da Equação de Bernoulli sobre uma residência. . . . . . . . . . . 41
34 Estudo da Equação de Bernoulli sobre uma asa de um avião. . . . . . . . 41
35 Estudo da Equação de Bernoulli sobre uma bola girando. . . . . . . . . . 42
36 Comparação das 3 unidades que são usadas para medir a temperatura. . 46
37 Comparação das 3 unidade para medir a temperatura, usando o 0
◦
C como
referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
38 Barra métalica tendo uma mudança de tamanho causado pela mudança
de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
39 Placa métalica tendo uma mudança de tamanho causado pela mudança
de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
40 Volume métalico tendo uma mudança de tamanho causado pela mudança
de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
41 Mesmo não tocando no gelo e sim no prego seu corpo perde energia pela
condução entre os corpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
42 Exemplos de algumas condutividades térmicas. . . . . . . . . . . . . . . . 52
43 Aquecimento desigual entre a água e a terra causando na convecção do ar 53
vi
44 Exemplos de Irradiação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
45 Exemplos de Calores Especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
46 Água mudando entre seus estado, ao receber ou perder energia. . . . . . 56
47 Exemplos de Calores Latentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
48 Um gás está con�nado dentro de um cilindro com um êmbolo móvel e
sobre esse êmbolo é colocado um peso com várias esferas de chumbo. . . . 57
49 Alguns exemplos de como o caminho escolhido muda o trabalho. . . . . . 60
50 Um gás está con�nado dentro de um cilindro com uma valvula que impede
que ele se mova para o lado com vácuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
51 Um exemplo de Máquina Térmica, absorve calor da fonte com maior tem-
peratura, realiza trabalho e libera uma parte dessa energia para a fonte
com menor temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
52 Exemplo de uma Máquina Térmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
53 O processo descrito por Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
54 O processo descrito por Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
55 Motor de Combustão Interna de 4 ciclos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
56 Um exemplo de um refrigerador, que absorve calor da fonte fria e ao sofrer
trabalho injeta, energia na fonte quente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1
Capítulo 1
Vibrações e Ondas
1.1 MHS
De maneira geral tudo que oscila, mundando sua posição, seja oscilando para cima, para
baixo, para os lados, para frente ou para trás é uma vibração estudaremos então os
movimento repetitivos no tempo, estaremos preocupados nos movimento repetitivos que
são bem particulares e que possamos estudar usando algum tipo de função, de�nimos
então o movimento harmônico simples ou MHS. Como estudaremos os movimento que
são repetitivos, se torna interessante poder mensurar essas repetições, logo de�niremos
certas grandezas com propósito de estudarmos os diferentes MHS apresentados ao longo
do curso.
A primeira a ser de�nida será a frequência utilizaremos a letra f para representar sua
unidade de medida no SI será o Hertz [Hz] que pode ser chamado de rotações por segundo
[rps] ou segundo a menos 1 [1/s]. Sendo a frequência de�nido com o número de oscilações
ocorridas em um intervalo de 1 segundo mas em alguns aparelhos de medições ou em
livros utliza-se rotações por minuto [rpm] que ao invés de medir a frequência em um
segundo mede em 60 segundos.
A segunda grandeza mas não menos importante será o período e utilizaremos a letra T
para respresentar e será medida em segundos [s]. De�nido como o tempo para que ocorra
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 2
uma oscilação.
Como pode perceber pelas unidades de medidas deve existir uma relção entre o período
e a frequência que será:
f =
1
T
ou T =
1
f
(1.1)
O interessante dessas grandezas é que não importa o MHS que estejamos trabalhando elas
terão o mesmo signi�cado físico. Como o MHS se trata de um movimento poderemos
utilizar grandezas já conhecidas para o seu estudo, como deslocamento, velocidade e
aceleração, logo teremos que criar de maneira intuitiva relações matemáticas para o
seu estudo, com isso veremos alguns tipos de MHS para podermos criar relações para
qualquer MHS.
Figura 1: Pêndulo Simples em um movimento onde ele atingi valores máximos e mínimos,
que podem ser descritos como uma função.
Figura 2: Em um movimento de uma roda girando, caso marque um ponto após um
tempo esse ponto retornará ao ponto inicial.
O que pode ser percebido em ambas �guras, mesmo sendo aparentemente diferentes
situações, podemos veri�car que atingem valores máximos positivos e máximos negativos
(mínimos), logo deve existir alguma ferramenta mátematica que possa descrever essas
alternâncias de valores. Vamos veri�car duas funções que possam ser úteis.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 3
Figura 3: Grá�co de uma função Senoidal
Figura 4: Grá�co de uma função Cossenoidal
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 4
Como pode ser percebido os MHS podem ser associado a funções trigonométricas. Sendo
assim devemos construir uma relação para que possamos estudar o deslocamento, a
velocidade e a aceleração de um MHS em qualquer intervalo do tempo, vamos propor a
seguinte relação.
x(t) = xmaxcos(wt+ φ) (1.2)
Agora nos resta tentar entender cada termo dessa equação, x(t) é a posição do MHS
em um certo intervalo de tempo dado em [m]. Sabemos que o MHS �cará oscilando em
determinados valores mas nunca ultrapassará o xmax, dado em metros [m], logo esse é
o valor máximo a qual o movimento pode fazer. Mas temos que ter em mente que o
movimento oscila entre valores positivos e negativos logo o que de�ne essa alternância
entre termos positivos e negativos será a função cosseno cos(wt + φ), lembrando que
pode ser utilizado também a função seno, a única diferença é que existe uma defasagem
de 90 graus ((pi/2) entre as funções. Só nos resta entender o termo dentre dos parenteses
da função cosseno. Chamaremos (wt+ φ) de fase que representa o ângulo de partida do
movimento, dado em radianos.
OBS.: 1 No uso do MHS deve utilizar o ângulo em radianos, caso seja dado em graus,
existe uma maneira de converção entre elas onde pi Radiano = 180 graus.
Chamaremos o termo φ de ângulo de fase que representa se existira alguma defasagem
inicial do movimento, dado em radianos, sabemos que o termo t será tempo dado em
segundos [s] só resta descobrir o termo w. Tomaremos duas medidas que facilitarão nossa
interpretação. Tomremos φ = 0 e tomaremos a posição em dois tempos distintos x(t) e
x(t+ T ).
Essas posições devem ser iguais, pois não importa qual o valor de t o que importa é o
período T , pois ele é o tempo de uma repetição logo após uma repetição o objeto ter'a
que retornar a posição de partida. Sendo assim x(t) = x(t+ T ). Daí:
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 5
x(t) = x(t+ T )
xmaxcos(wt+ φ) = xmaxcos[w(t+ T ) + φ]
cos(wt) = cos[w(t+T )]
cos(wt) = cos(wt)cos(wT )− sen(wt)sen(wT )
Obtemos sen(wt)sen(wT ) deve ser igual a zero e cos(wt) = cos(wt)cos(wT ), implicando
cos(wT ) = 1, para que isso ocorra o termo wT deve valer 2pi, ou algum multiplo dele,
logo:
wT = 2pi → w = 2pi
T
ou w = 2pif (1.3)
É possivel veri�car que a unidade de medida de w será o radiano por segundo, [rad/s], e
como já foi de�nida anteriormente (Física I) essa unidade é conhecida como velocidade
angular mas tambem poderá ser chamada de frequência angular, mas antes ela servia
apenas para movimentos circulares aqui deixamos mais abrangente podendo ser usada
para qualquer MHS, seu signi�cado físico dirá o quão rápido um corpo oscila.
De�nido o deslocamento �ca fácil de�nir velocidade e aceleração, lembrando que a velo-
cidade é a derivada da posição em função do tempo, teremos:
v(t) =
dx(t)
dt
= −wxmaxsen(wt+ φ) (1.4)
Onde v(t) é a velocidade em qualquer intervalo de tempo medida em metros por segundo,
m/s, e o termo wxmax é a amplitude da velocidade, ou seja, a vcelocidade máxima que
o corpo pode chegar. Agora que sabemos a velocidade descobriremos a aceleração:
a(t) =
dv(t)
dt
= −w2xmaxcos(wt+ φ) (1.5)
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 6
Onde a(t) é a aceleração em qualquer intervalo de tempo medida em metros por segundo
ao quadrado, [m/s2], e o termo w2xmax é a amplitude da aceleração, ou seja, a aceleração
máxima que o corpo pode chegar. Sendo assim conseguimos escrever relações para o
MHS.
Exemplo 1: No tempo t = 0 o deslocamento do corpo é −8, 5 cm, a velocidade é
−0, 92 m/s e aceleração 0, 47 m/s2. Obtenha a velocidade angular.
1.2 Lei do MHS
Todo movimento necessita de um agente causador, nesse caso a força, o MHS não será
diferente, logo podemos estudá-lo através das Leis de Newton, aplicaremos em um MHS
particular, o sistema massa-mola, mas depois expandiremos para outros MHS.
Figura 5: Sistema Massa-Mola oscilando entre uma valor máximo positivo e máximo
negativo
Como é um sistema acelerado utilizaremos a segunda lei de Newton,
F = ma
F = m(−w2xmax)
F = −kxmax
De�nimos k = mw2 como sendo a constante elástica, dada em [N/m], podemos então
escrever o período e a frequência de um sistema massa-mola em função da constante
elástica. Obtemos:
T = 2pi
√
m
k
ou f =
1
2pi
√
k
m
(1.6)
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 7
OBS.: 2 Aqui �ca claro que a força envolvida no problema tem como objetivo fazer o
movimento retornar a posição de equilíbrio esse tipo de força recebe o nome de força
restauradora.
Exemplo 2: Um bloco de massa 680 g esta preso em uma mola com constante elástica
k = 65N/m, tendo amplitude de 11cm. Obtenha a velocidade angular, a frequência e o
período do sistema.
1.3 Energia do MHS
Como já discutido em física I toda vez que um corpo se movimenta pela ação de uma
força sigini�fca dizer que esse movimento pode ser associado a uma energia/trabalho.
Podemos fazer o mesmo no sistema massa-mola. Como o sistema esta preso a uma mola
logo têm energia potencial elástica.
U =
kx2
2
=
1
2
kxmax
2cos2(wt+ φ) (1.7)
Mas ao puxar a mola o sistema começa a se movimentar quando velocidade ao longo do
movimento logo existe energia cinética em determinados momentos.
K =
mv2
2
=
1
2
mw2xmax
2sen2(wt+ φ) (1.8)
O sistema terá sua energia oscilando entre potencial elástica e cinética logo, a energia
total do sistema é a soma de ambas energias.
E = U +K =
1
2
kxmax
2cos2(wt+ φ) +
1
2
mw2xmax
2sen2(wt+ φ) (1.9)
Lembrando que de�nimos k = mw2, obtemos.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 8
E =
1
2
kxmax
2cos2(wt+ φ) +
1
2
kxmax
2sen2(wt+ φ) =
1
2
kxmax
2
(1.10)
Sendo E a energia mecânica, dado em Joules [J].
Figura 6: A energia de um MHS oscila no tempo entre cinética e potencial elástica.
Pela �gura 6 podemos perceber que independente dos valores das energias cinética e
potencial elástica a energia mecânica total será constante.
OBS.: 3 A constante elástica tem como signi�cado físico a compressão ou elongação
que um material pode sofrer sem que seja rompido, logo também existe uma grandeza
associada a torção, sendo kappa a constante de torção e é obtida através do oscilador
harmônico angular.
Figura 7: Exemplo de um Oscilador Harmônico angular.
T = 2pi
√
I
κ
(1.11)
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 9
A relação 1.11 é uma maneira de obter o período T de um oscilador harmônico angular,
que depende de seu momento de Inércia I e da constante de torção κ
1.4 Pêndulos
Estudaremos agora uma tipo de MHS onde a força restauradora do sistema esta associada
a força gravitacinal e não a características elasticas dos materiais.
1.4.1 Simples
Imaginem um relógio de pêndulo, como poderíamos criar uma relação para obter o
período de qualquer tipo de pêndulo, primeiro temos que ter em mente que signi�ca
o termo simples, signi�ca que estamos considerando toda massa concentrada em um
ponto especí�co e a massa do �o pode ser desprezada, vamos analisar agora como a força
gravitacional age sobre o pêndulo simples.
Figura 8: Exemplo de um Pêndulo Simples, sobre ação de algumas forças.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 10
Sabemos que o movimento é um MHS, que têm dua forças dominantes a gravitacional
e a tração. A força peso pode ser dividida em duas componetes Psenθ e Pcosθ, a
componente Psenθ gera um torque restaurador que tem como objetivo de levar o sistema
ao equilíbrio.
−→τ = −→r ×−→F → τ = rF = −LPsenθ (1.12)
O menos surge pois o torque tenta reduzir o ângulo θ, como o movimento têm uma
aceleração o torque resultante será diferente de zero, tendo uma aceleração angular α.
−Lmgsenθ = Iα→ α = mgL
I
senθ (1.13)
Para valores pequenos de θ temos que senθ ≈ θ então temos:
α =
mgL
I
θ (1.14)
Utilizando o conceito de amplitude máxima da aceleração temos a = −w2x, isso vale
também para a aceleração angular, �cando α = −w2θ, logo:
w2 =
mgL
I
→ w =
√
mgL
I
(1.15)
Dai o período �ca:
T = 2pi
√
I
mgL
(1.16)
Sendo que o período dependerá da massa, [kg], da aceleração da gravidade, [m/s2], do
comprimento, [m], do pêndulo e de seu momento de Inércia [kgm2]. Mas vale ressaltar
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 11
que esse pêndulo é um pêndulo simples , ou seja, o seu momento de inércia é conhecido,
sendo I = mr2, com m sendo a massa e r o tamanho do eixo de rotação, obtemos então:
T = 2pi
√
I
mgL
= 2pi
√
mL2
mgL
= 2pi
√
L
g
(1.17)
Obtemos que o período do pêndulo simples depende apenas de seu comprimento e da
aceleração da gravidade.
Exemplo 3: Suponha que um pequeno corpo, de massa m, esteja preso na extremidade
de um �o de peso desprezível, cujo comprimento é L, oscilando com pequena amplitude,
em um plano vertical. Esse dispositivo constitui um pêndulo simples que executa um
movimento harmônico simples. Veri�ca-se que o corpo, saindo do ponto de partida,
desloca-se até a extremidade oposta e retorna ao ponto inicial, fazendo 20 oscilações em
10 s. Obtenha a frequência angular desse pêndulo.
1.4.2 Físico
Figura 9: Exemplo de um Pêndulo Físico.
A diferença entre o pêndulo simples e o físico é eu o físico a massa se encontra distribuida
por toda sua extensão logo, o momento de inércia vai depender de cada situação voltamos
então para a equação 1.16.
T = 2pi
√
I
mgh
(1.18)
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 12
1.5 Movimento Harmônico Simples Amortecido
Em qual sistema um oscilador, oscilará por mais tempo no ar ou na água? O que causa
a frenagem no MHS? Em ambos os casos surge uma força chamada de arrasto, ou seja,
uma força externa atuando sobre o MHS, freiando ele causando um amortecimento.
Figura 10: Exemplo de MHS Amortecido.
A força de amortecimento que surgedepende, da velocidade a da palheta e de uma
grandeza b que depende do meio que esta imerso o MHS, medida em [kg/s], associada
a capacidade de amortecimento que o meio gera, podemos escrever a força de arrasto
como:
Fa = −bvn (1.19)
Na maioria dos casos n equivale a 1. Caso façamos uma somatória das forças.
−bv − kx = ma→ −bdx
dt
− kx = md
2x
dt2
(1.20)
Sendo essa equação uma EDO de 2
◦
ordem, ao resolver obteremos o seguinte valor da
frequência angular:
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 13
w′ =
√
k
m
− b
2
4m2
(1.21)
Caso b fosse 0, retornariarmos ao seguinte valor para frequência angular.
w′ =
√
k
m
(1.22)
Exemplo 4: Para um oscilador amortecido de massa 250 g, constante elastica k =
850N/m e b = 70g/s.
a) Obtenha o período, Caso a constante de amortecimento seja menor que a raiz da
constante elástica vezes a massa, pode considerar um sistema sem amortecimento.
b) Qual será o período se b = 15 kg/s
1.5.1 Ressonância
No Caso anterior de amortecimento vimos, uma força parando um MHS, o que acon-
teceria caso fosse a situação oposta, uma força mantendo o movimento, isso acarretará
que exitirá duas frequência angulares para se preocupar, a causada pela força, we, e a
frequencia natural do corpo w, essa frequência esta associada a estrutura do corpo, caso
ambas sejam iguais o corpo está em ressonância.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 14
1.6 Ondas
Ondas é um dos tópicos mais importantes da física, pois pode ser aplicado em diferen-
tes áreas, musical, eletrônica (ressônancia magnética, auto-falantes), sismologia, entre
outros, por isso a sua grande importância pela grande variedade de aplicações.
1.6.1 Tipos de Ondas
1 - Ondas Mecânicas: Necessitam de um meio para se propagar e são trabalhadas utili-
zando as Leis de Newton.
2 - Ondas Eletromagnéticas: Não necessitam de um meio para se propagar e são traba-
lhadas utilizando as Equações de Maxwell.
3 - Ondas de Matéria: São estudadas em laboratórios, onde prótons e elétrons se propa-
gam como ondas e utiliza-se a física moderna para seus estudo.
1.6.2 Tipos de Propagação
Como pode ser percebido existem diferentes tipos de ondas, com diferentes característi-
cas, logo é interessante estudar a maneira como elas se propagam.
Transversal
Figura 11: Exemplo de Onda Transversal.
Em uma onda transversal, a oscilação da onda é perpendicular a propagação da onda
através do meio, as ondas eletromagneticas são um exemplo de onda tranversal.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 15
Longitudinal
Figura 12: Exemplo de Onda Longitudinal.
Em uma onda Longitudinal a oscilação da onda vai no mesmo eixo que a propagação da
onda, um exemplo de ondas longitudinais é a onda mecânica.
1.6.3 Rapidez de uma Onda
A rapidez de oscilação de uma onda esta relacionada com a frequência, mas e a rapidez
de propagação com o que estará relacionada?
Utilizaremos a relação mais básica para obter a velocidade de propagação de uma onda.
v =
∆S
∆t
(1.23)
Temos que descobrir a distância percorrida e o tempo gasto por uma onda.
Figura 13: Propagção de uma Onda.
Atraves da �gura 13 podemos veri�car que a onda tem um certo comprimento, λ, esse
comprimento esta associdado ao tamanho de uma única onda, dado em [m], como sa-
bemos o período é o tempo de uma oscilação, ou seja, o tempo de um comprimento de
onda, logo:
v =
∆S
∆t
=
λ
T
ou v = λf (1.24)
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 16
Onde v será velocidade de propagação da onda dado em [m/s], λ o comprimento de onda,
dado em [m], T o período, dado em [s] e f a frequência, dada em [Hz].
1.6.4 Interferência e o Princípio da Superposição
Sabemos que dois objetos sólidos não podem ocupar o mesmo espaço ao mesmo tempo,
mas ondas podem existir simultaneamente no espaço, esse processo pode ser estudado
pela interferência e o princípio da superposição de ondas, que pode ser interepretado
com as seguintes a�rmações.
Princípio da Superposição
1 - Ondas Superpostas se somam algebricamente.
2 - Ondas superpostas não se afetam em todos momentos.
Interferência
A interferência é o processo onde distintas ondas entra em um processo de superposição,
tendo dois tipos a destrutiiva e construtiva.
1 - Destrutiva:
Ocorre quando ondas tem mesma amplitude mas as propagações de ambas é defasada
com isso no momento da superposição elas se cancelam, mas após isso cada uma segue
seu movimento.
Figura 14: Exemplo de Interfência Destrutiva.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 17
2 - Construtiva
Já o processo construtivo as ondas não tem defasagem entre elas no momento da super-
posição elas se somam e o resultado é maior que as ondas separadas, após isso cada uma
segue seu caminho.
Figura 15: Exemplo de Interfência Construtiva.
1.6.5 Ondas Estacionárias
Imagine um sistema composto por uma corda com uma extremidade presa a parede, no
outro lado tem uma garotinha que começa a oscilar a corda, depois de uma quantidade
de oscilações vai surgir um padrão de interferência construtiva e destrutiva que irão se
superpor, quando isso ocorrer temos ondas estacionárias
Figura 16: Processo com Ondas Estacionárias. (a) Onda Estacionária com meio com-
rimento de onda. (b) Onda Estacionária com um comprimento de onda. (c) Onda
Estacionária com um comprimento de onda e meio.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 18
1.6.6 Efeito Doppler
As ondas se propagam igualmente em todas direções, mas será que existe alguma situa-
ção onde elas se propagam de maneira diferentes em diferentes direções? Caso você se
encontre parado e um carro em movimento com alguma sirene passe por você, você será
capaz de perceber uma variação do som emitido pela sirene, isso ocorre pois o emissor
do som está em movimento, esse exemplo é uma das situações onde o Efeito Doppler é
percebido e aplicado, descoberto por Christian Doppler em 1842.
Figura 17: Exemplo de uma situação que envolve o Efeito Doppler.
fo = ff
v ± vo
v ± vf (1.25)
Onde fo é a frequência percebida pelo observador, dado em [Hz], ff a frequência emitida
pela fonte, dado em [Hz], v a velocidade da onda no meio, dado em [m/s], vo a velocidade
do observador, dado em [m/s], e vf é a velocidade da fonte, dado em [m/s].
Caso o observador se aproxime da fonte sua velocidade será positiva, caso se afaste
negativa, vale o inverso para fonte se afastando e se aproximando.
1.6.7 Ondas de Proa e Ondas de Choque
Na sessão anterior vimos situações onde as fontes de ondas se movem, junto com o som
emitido, mas oque acontece quando a fonte se move mais rápido que a onda emitida?
Surge as ondas de proa (2 dimensões) ou as ondas de choque (3 dimensões).
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 19
Figura 18: Exemplo de ondas de Proa. (a) Objeto tem velocidade menor que a onda
produzida por ele. (b) Objeto tem velocidade igual a onda emitida. (c) Objeto tem
velocidade maior que a onda emitida. (d) Objeto tem velocidade muito maior que a
onda que ele emite.
É possível calcular o ângulo que o objeto faz quando ultrapassa a velocidade emitida
pela fonte, sendo:
senθ =
v
vw
(1.26)
Sendo v a velocidade da fonte e vw a velocidade da onda emitida, ambas medidas em
[m/s].
Existem alguns locais onde esse fenômeno são percebidos como no movimento de barcos
pelo mar e o movimento de aviões supersônicos, que geram o estrondo supersônico, isso
ocorre pois os aviões se movem com uma velocidade maior que o som criando uma grande
diferença de pressão no ambiente.
1.7 O Som
Se uma arvoré cai na �oresta mas não tem ninguém para ouvir existirá o som? Essa
pergunta pode parecer algo muito subjetivo, que poderá ter diferentes respostas depen-
dendo de quem responder, mas fato é que para a�rmar que existir a ou não o som, temos
que de�nir como ele se originada.O som se origina pelo movimento das moléculas ao vibrarem e transmitirem essa vibração
para as moléculas vizinhas, gerando o som, que é uma onda longitudinal necessitando de
uma meio para ser propagada. Exemplo um violão têm suas cordas vibradas que estão
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 20
em contato com o ar que começa a vibrar causando o som.
1.7.1 Velocidade do Som
O som como qualquer onda tem maneiras de calcular sua velocidade, mas as maneiras
apresentadas sempre mostram só características da onda, mas será que o meio não in�u-
encia na velocidade da onda? Por isso existe uma relação que mostra como o meio pode
mudar a velocidade do som.
v =
√
B
ρ
(1.27)
Onde v é a velocidade do som, dada em [m/s], B o módulo de elasticidade volumétrica
do meio, dado em [N/m2] e ρ a massa especi�ca do meio dada em [kg/m3]. A velocidade
som no ar pode vartias entre 330 m/s e 340 m/s dependendo da temperatura, algo que
não trabalharemos agora.
1.7.2 Compressão e Rarefação
Quando se emite som através de movimentos rápidos, cria-se um pulso de som que se
propaga em diferentes direções. Essa é a ideia por tráz dos conceitos de compressão e
rarefação.
1 - Compressão:
2 - Rarefação:
1.7.3 Re�exão, Refração e Batimentos.
Além da interferência o som pode sofres outros processos.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 21
Figura 19: Ao abrir a porta o ar é comprimido empurrando a cortina para fora.
Figura 20: Ao fechar a porta cria-se um um 'vácuo' fazendo com que a cortina se mova
para dentro.
1 - Re�exão:
Esse processo ocorre quando o som retorna para a fonte que o emitiu por causa de alguma
barreira, chamamos de eco. Quando existe uma grande número de ecos se torna uma
reverberação o inverso é a absorção.
Figura 21: Som emitido sendo re�etido de volta a fonte.
2 - Refração:
Surge quando as ondas se curvam o meio que se propagam ou mudam se meio durante
a propagação.
3 - Batimentos:
O batimento é um processo de interferência, quando dois sons com frequências parecidas
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 22
Figura 22: Som refratado, pelas diferentes temperaturas.
se propagam juntas, irá existir pontos onde o som será fraco e pontos onde o som será
mais forte esse é o processo de Batimentos.
1.7.4 Intensidade e Volume do Som.
Tem certos momento onde o som pode causar desconforto a quem o ouve, isso vai de-
pender da amplitude (Intesidade) de suas vibrações, sendo a intensidade medida como:
I =
Pot
A
(1.28)
Sendo A a área que o som passa, medida em [m2], Pot a potência sonora, medida em
Watts [W] e I a intensidade sonora medida em [W/m2]. Dependedo da intensidade
pode causar diversos efeitos ao ouvinte, o ouvido humano consegue ouvir a partir de
uma intensidade sonora de aproximadamente I0 = 10
−12 W/m2 chamado de limiar da
audição, como sabemos o mínimo também é importante saber até onde podemos ouvir
sem causar danos a nossa audição, existindo assim a escala deciBels.
β = log
I
I0
(1.29)
Sendo I a intesidade sonora que quer ser estudada, medida na mesma unidade que a
intensidade do limiar da audição, e β medida em decibels [dB]. acima de 120dB já são
extremamente perigosas para os ouvidos, mas menores intesidades também podem ser
perigosas se o tempo de exposição for muito grande.
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 23
Problemas:
Questão 1: A Terra demora 1 ano para completar uma volta ao redor do Sol. Qual é a
frequência do movimento da Terra em torno do Sol? Considere 1 ano = 365 dias.
Questão 2: (Osec-SP) Um móvel executa um movimento harmônico simples de equação,
x(t) = 8cos(pi
8
t) , onde t é dado em segundos e x em metros. Após 2,0 s, obtenha a
frequencia angular e a posicão do corpo.
Questão 3: Um oscilador massa-mola, cuja massa é 1 kg, oscila a partir do equil
�
brio.
Sabendo que a constante elástica da mola é 60 N/m, calcule a velocidade angular e a
frequência desse oscilador.
Questão 4: Um bloco é comprimido do equilíbrio para outra posição e posteriormente
solto. Considere o sistema bloco-mola livre de forças dissipativas e que o bloco entra
em m.h.s com período igual a 4s. Determine a frequência do movimento e velocidade
angular.
Questão 5: Um corpo de 0,1 kg, preso a uma mola ideal de rigidez elástica 200 N/m,
oscila em MHS de amplitude 0,2 m. Obtenha a velocidade do corpo, quando sua energia
cinética é igual ao dobro da energia potencial.
Questão 6: Um sistema têm energia mecânica de 1 J, uma amplitude de 10 cm e veloci-
dade de 1,20 m/s. Obetnha a constante elástica, a mssa e a frequência do sistema.
Questão 7: Qual o período e a frequência de um pêndulo simples, que tem comprimento
de 0,25 m? Qual será o período desse pêndulo na Lua? (gravidade da Lua 1/6 da
gravidade da Terra).
Questão 8: Um MHS amortecido perde aplitude de 3 porcento a cada ciclo. Quanto sua
energia diminui por ciclo?
Questão 8: Um caçador ouve o eco de um tiro 6 s após ter disparado a arma. Sabendo-se
que o som se propaga no ar com velocidade de módulo igual a 340m/s. Qual a distância
do anteparo re�etor até o caçador?
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 24
Questão 9 : O sistema de suspensasão de um carro de 2000 kg cede 10 cm quando está
colocado no chão, supondo que as oscilações perdem 50 porcento a cada ciclo. Estime
os valores da constante elástica e da constante de amortecimento.
Questão 10: Uma onda têm velocidade angular de 110 rad/s e comprimento de onda de
1,80 cm. Obtenha a velocidade da onda.
Questão 11: Uma onda se propaga e gasta 0,170 s para ir do ponto máximo até o zero.
Obtenha a frequência angular, sabendo que a onda têm um comprimento de 1,4 m otenha
a velocidade da onda.
Questão 12: Para pesquisar a profundidade do oceano numa certa região, usa-se um
sonar instalado num barco em repouso. O intervalo de tempo decorrido entre a emissão
do sinal ultra-som de frequência 75 000 Hz e a resposta ao barco (eco) é de 1 segundo.
Supondo que o módulo da velocidade de propagação do som na água é igual a 1500 m/s.
Qual é a profundidade medida pelo barco?
Questão 13: (EFEI-MG) Uma pessoa parada na beira de uma estrada vê um automóvel
aproximar-se com velocidade 0,1 da velocidade do som no ar. O automóvel está buzi-
nando, e a sua buzina, por especi�cação do fabricante, emite um som puro de 990 Hz.
Qual é a frequência ouvida pelo observador?
Questão 14: Uma pessoa está sentada em uma praça quando se aproxima um carro de
polícia com velocidade de 80 km/h. A sirene do carro está ligada e emite um som de
frequência de 800 Hz. Sabendo que a velocidade do som no ar é 340 m/s, calcule: a)
a frequência aparente percebida pelo observador. b) o comprimento de onda percebido
pelo observador.
Questão 15: Qual é o módulo de elasticidade do oxigênio quando 32 g ocupam um volume
de 22,4 L e o som se propaga com velocidade de 317 m/s?
Questão 16: Uma pedra é jogada em um poço e o som é ouvido 3 s depois. Qual a
profundidade do poço.
Questão 17: Uma fonte pontual de 1 W emite ondas sonoras em todas direções. Deter-
Capítulo 1. Vibrações e Ondas 25
mine a a intensidade sonora a uma distancia de 1 m e de 2,5 m da fonte.
Questão 18: Um discursão começa acalorada com nível sonoro de 70 dB e cai para 50
dB, supondo que a frequência do som é 500 Hz. Determine a intensidade �nal e inicial.
Lembre que: logab = x→ ax = b
26
Capítulo 2
Fluidos
A física dos �uidos é a base da hidruálica, pode ser usado por um engenheiro nuclear,
pelo engenheiro ambiental, ou engenheiro naval e diversos outros pro�ssionais podem ser
bene�ciado pelo estudo dos �uidos, devemos então criar ferramentas para sua compre-
enssão. Devemos primeiro de�nir o conceito de �uido como sendo tudo aquilo que pode
escoar.
2.1 Pressão e Massa Especí�ca
Quando trabalhamos com corpos sólidos utilizamoso conceito de massa e força, mas para
os �uidos que não são corpos rígidos, as coisas �cam um pouco diferentes e precisamos
de�nir novas grandezas para trabalharmos.
2.1.1 Pressão
Quantidade de força feita sobre uma determinada área.
Pres =
F
A
(2.1)
Capítulo 2. Fluidos 27
Sendo F a força, medida em [N], A a área medida em [m2] e Pres a pressão, que é medida
em [N/m2] ou Pascal [Pa], mas existem outras unidade pressão que são conhecidae e até
utilizadas.
1, 05 x 105 Pa = 1 atm = 760 torr = 14, 7 psi
2.1.2 Massa Especí�ca
Quantidade de matéria em determinado volume.
ρ =
m
V
(2.2)
Sendo m massa de �uido medida em [kg], V o volume medido em [m3] e ρ a massa
especí�ca, medida em [km/m3] ou [g/cm3]
Em certas áreas se torna mais interessante trabalhar com peso especí�co e não com massa
especí�ca, diferenciando que trabalharmos coma força peso por unidade de volume.
Peso Especifico =
P
V
(2.3)
Sendo P a força Peso medida em [N], V o volume medido em [m3] e o Peso Especí�co
medido em [N/m3]
Exemplo 1: Uma sala de 4,2 m de comprimento, 3,5 m de largura e 2,4 m de altura.
Obtenha:
a) Qual o Peso de ar dentro da sala se a massa especifíca do ar é 1, 21 kg/m3 e a sala
tem 1 atm de Pressão?
b) Qual a força sobre a cabeça de uma pessoa com área de 0, 04 m2?
Capítulo 2. Fluidos 28
2.2 Fluidos em Repouso
Como sabemos quando um objeto se encontra em repouso signi�ca dizer que ele está
obedecendo a Lei da Inércia proposta por Newton. Nos �uido não será diferente, só tere-
mos que relacionar com as grandezas que de�nimos para trabalhar com �uidos, pressão
e massa Especí�ca.
Figura 23: Tanque com um �uido em repouso.
Dada a �gura 23, imagine a seguinte situação, onde pegamos uma amostra de formato
cilíndrico com área A, esse cilindro se encontra em repouso dentro do tanque logo a
soma das forças atuantes sobre ele deve ser nula. Nesse cilindro imaginário existirá 3
forças atuantes, a força Peso, pois existe massa, uma força F1, que surge graças ao peso
do �uido acima do cilindro, atuante sobre a face superior empurrando o cilindro para
baixo e uma força F2 que surge na face de baixo do cilindro empurrando ele para cima,
aplicando a lei da Inércia temos:
F2 = F1 + P (2.4)
Sabemos pela equação 2.1 que existe uma relação entre força e pressão, Pres = F/A e
sabemos que a força Peso pode ser escrita da seguinte maneira P = mg, onde m será a
massa do objeto, medido em [kg] e g a aceleração da gravidade medida em [m/s2], com
isso:
P2 A2 = P1 A1 +mg (2.5)
Capítulo 2. Fluidos 29
Agora utilizaremos a equação 2.2, ρ = m/V e o fato que o volume de um cilindro é sua
área vezes a altura desse cilindro, V = A ∆h. Daí:
P2 A2 = P1 A1 + ρV g → P2 A2 = P1 A1 + ρA ∆hg
Eliminamos o termo da área e iremos obter:
P2 = P1 + ρg∆h (2.6)
Caso o ponto 1 do problema seja a superfície do �uido podemos escrever a equação 2.6
como:
P = P0 + ρgh (2.7)
Onde P0 será a pressão atmosférica, com valor de 1, 05 Pa = 1 atm, ρgh a pressão
exercicida pelo �uido que dependerá de sua massa especí�ca, ρ dada em [kg/m3], e da
profundidade h do objeto, dado em [m] e P será a pressão total feita sobre o objeto.
Exemplo 2: Um mergulhador larga seu tanque de oxigênio a uma profundidade L, mas
ao invés de soltar o ar gradualmente durante o retorno ele solta todo o ar de uma vez ao
chegar na superfície, onde a diferença de pressão entre seus pulmões e o ar externo era
de 9, 3k Pa. Qual o valor de L?
OBS.: 1 A maneira que iremos resolver o exemplo 2 também é a maneira que é usada
para obter a pressão manométrica de um tanque de gás.
Capítulo 2. Fluidos 30
Figura 24: Exemplo de um manômetro medindo a pressão dentro de um tanque através
da altura h da coluna do �uido.
2.2.1 Princípio de Pascal
Qual a relação entre apertar a pasta de dentes e a manobra de Heimlich? O Princípio
de Pascal, que diz o seguinte:
Uma variação de pressão aplicada em um �uido incompressível em um recipi-
ente é transmitida integralmente a todas as partes do �uido e do recipiente.
Têm diversas aplicações, em sistemas hidráulicos, como elevadores, prensas, guindastes,
freios entre outros.
Exemplo da Aplicação do Princípio de Pascal
Utilizando o Princípio de Pascal, a pressão exercicida na entrada do elevador deve ser
igual a da saída, logo:
Pe = Ps
Capítulo 2. Fluidos 31
Figura 25: Exemplo da Aplicação do Princípio de Pascal, em um elevador hidráulico.
Lembrando da equação 2.1, obtemos:
Fe
Ae
=
Fs
As
(2.8)
Onde os termos associados com a letra e são referentes a entrada do sistema e s a saída
do sistema. Onde as forças Fe e Fs serão medidas em [N] e as áreas Ae e As medidas em
[m2]
Exemplo 3: Imagine um elevador hidráulico, formado por um sistema de vasos comu-
nicantes contendo um �uído incompressível no seu interior. Considere que a aceleração
da gravidade vale 10 m/s2. Sabendo-se que as áreas das seções transversais dos pistões
1 e 2 são, respectivamente, A1 = 0,2 m
2
e A2 = 1m
2
. Qual será o módulo da força F1
necessária para erguer o peso equivalente de uma carga com massa igual a 100 kg?
2.2.2 Princípio de Arquimedes e a Força de Empuxo
Qualquer pessoa que tenha entrado em uma piscina ou tenha levantado um objeto que
seja muito massivo dentro de uma piscina, já presenciou a força de empuxo e o Princípio
de Arquimedes. Pois em ambos os casos existe a ação da força Peso sobre os corpos,
mas surge uma sensação de leveza, mas é estranho esse pensamento pois a massa não
muda, oque signi�ca dizer que essa sensação de leveza se deve ao �uido, exercendo uma
força sobre o objeto imerso, força chamada de empuxo que empurra o objeto para cima
e é representado pela letra E e medida em [N]. O Princípio de Arquimedes que explica
Capítulo 2. Fluidos 32
o surgimento da Força de Empuxo, dizendo o seguinte:
Quando um objeto esta totalmente ou parcilmente submerso em um �uido um
força de Empuxo surge, exercicida pelo �uido sobre o objeto, essa força será
dirigida para cima e terá dependência com a quantidade de �uido deslocado.
Figura 26: Objeto em repouso dentro de um �uido.
Através da �gura 26 podemos obter uma relação para a Força de Empuxo, como o objeto,
está em repouso a soma das forças sobre deve ser nulo.
E = P
E = mobjeto g
E = mfluido g
Substituimos a mobjeto pela mfluido, pois quem faz a força é o �uido, utilizando a equação
2.1, ρ = m/V , obtemos:
E = ρfluido Vdeslocado g (2.9)
Onde E será a força de Empuxo, medida em [N], ρfluido a massa especí�ca do �uido,
medida em [kg/m3], Vdeslocado o volume deslocado pelo objeto, medida em [m
3] e g a
aceleração da gravidade, medida em [m/s2]
Capítulo 2. Fluidos 33
Flutuação
Todos objetos totalmente ou parcialmente submersos deslocam o volume associado ao
seu próprio Peso, mas oque in�uência se um objeto irá boiar ou afundar? Quem de�ne
isso será a força de Empuxo, mas um cuidado que deve ser salientado é que, a força de
empuxo depende do volume deslocado e não do Peso do objeto, o que de�nirá se o objeto
afunda ou boia será a comparação entre as forças de Empuxo e Peso atuantes sobre o
ojeto.
1 - Se um objeto é mais denso que o �uido ele afundará.
2 - Se um objeto é menos denso que o �uido ele boiará.
3 - Se o objeto têm a mesma massa especi�ca ele nem boa nem afunda.
Mas então surge uma dúvida como navios que pesam centenas de toneladas não afundam?
Eles �utuam pois são construidos para que desloquem o Peso de água igual ao seu próprio
Peso.
Peso Aparente
Como já discutido a força de Empuxo exerce uma sensação de leveza sobre os corpos
dentro do �uido, logo é possível perceber que seu Peso parece ter mudado, mesmo que
não tenha, sendo possível medir essa leveza.
Pap = P − E (2.10)
Sendo P o peso do corpo,E o empuxo e Pap o Peso Aparente, todas medidas em [N]
Exemplo 4: Uma âncora de massa especí�ca de 7870 kg/m3 parece ser 200 N mais leve
na água do que no ar.
a) Qual o volume da âncora?
b) Quanto ela pesa no ar?
Capítulo 2. Fluidos 34
2.2.3 Tensão Super�cial
Existem situações onde certos animais, como mosquistos, conseguem �car parados so-
bre a água, isso é causado pela tensão super�cial da água, que é causada pela atração
molecular.
Figura 27: A ligaçao das moléculas na superfície e em algum ponto dentro do �uido.
Na �gura 27 observamos que abaixo da superfície as moléculas são atraídas em todas
direções por outras moléculas, ou seja, elas não tendem a ir para nenhuma direção em
particular já as moléculas das superfície são puxadas para os lados e para baixo, não tem
nenhum força para cima, fazendo com que quando um objeto tente romper a superfície
ela será puxada para baixo pelas moléculas vizinhas, fazendo com que a área da superfície
de água sofra uma envergadura para suportar esse objetos.
Figura 28: As cerdas do pincel se mantêm unidas após sairem do �uido por causa da
Tensão Super�cial.
Capítulo 2. Fluidos 35
2.2.4 Capilaridade
Quando se coloca um tubo de vidro, limpo e com pequeno diamêtro, na água surge uma
força de atração entre as moléculas da água e do vidro, essa atração é chamada de adesão
quando essa atração ocorre entre moléculas do mesmo tipo se chama coesão.
Figura 29: Quanto menor o diamêtro do tubo maior a força de adesão e consequentemente
maior a altura que o �uido chega
Existem situações onde a não consideração da capilaridade causa prejuízos, como ao
mergulhar um biscoito em um copo de leite, caso �que muito tempo dentro do �uido,
corre o risco de o biscoito desmanchar e outro local é no transporte de vidro, sem alguma
coisa entre as membranas de vidro, pois caso chova essa água entre as membranas de
vidro causará a força de adesão.
Capítulo 2. Fluidos 36
2.3 Fluidos em Movimento
O movimento dos �uidos é uma das áreas mais complicadas de ser trabalhada na física,
mas mesmo assim não podemos deixar de estuda-la, por isso de�niremos certas regras
para trabalhar com os �uidos:
1 - Escoamento Laminar: Em algum ponto �xo no �uido não há mudança de velocidade,
caso o ocorra se torna um escoamento turbulento.
2 - Escoamento não-viscoso: Viscosidade é a di�culdade de um �uido têm em escoar,
representa o atrito, no movimento entre os �uidos.
3 - Escoamento Irrotacional: Corpos dentro do �uido não rotacionam em seu proprio
eixo.
4 - Escoamento Incompressível: Sua massa especí�ca têm valor constante.
Pode-se trabalhar com o movimento de um �uido sem essas regras, mas em certos mo-
mentos tornaria os problemas mais complicados do que deveriam, logo utilizaremos essas
regras para trabalhar, salvo em certas situações que veremos posteriormente.
2.3.1 A equação de Continuidade
Vocês já devem ter percebido que são capazes de aumentar a velocidade da água em uma
mangueira no jardim.
Figura 30: Um �uido movimentando-se dentro de um tubo com diferentes bitolas.
Capítulo 2. Fluidos 37
Da �gura 30 podemos obter uma relação que descreva a velocidade do �uido, tomaremos
inicialmente que o �uido seja incomprenssível, caso isso ocorra, a variação de volume que
passa pela área 1 deve ser igual ao que passa na área 2. Como se trata de um escoamento
laminar, a velocidade se mantêm constante podemos obter sua velocidade como:
∆x = v∆t (2.11)
Com ∆x sendo o deslocamento feito pelo �uido, dado em [m], ∆t o tempo gasto, dado
em [s] e v a velocidade do �uido dado em [m/s]. Devemos lembrar que o volume pode
ser calculado como, ∆V = A∆x, onde ∆V sendo o volume dado em [m3], A a área dado
em [m2] e ∆x como o deslocamento feito pelo �uido (altura), dado em [m], podemos
escrever o volume como:
∆V = Av∆t (2.12)
Podemos escrever a equação 2.12 para as diferentes bitolas da �gura 30, e como o �uido
é incomprenssível, o volume em cada área deve ser igual, temos que o tempo gasto para
que esse volume se desloque deve ser o mesmo, daí:
∆V1 = A1v1∆t = ∆V2 = A2v2∆t
A1v1∆t = A2v2∆t
A1v1 = A2v2
Com isso de�nimos a equação de continuidade A1v1 = A2v2, que dependerá das veloci-
dades que o �uido têm quando passa por diferentes áreas. Podemos de�nir também uma
grandeza chamada de vazão.
Rv = Av (2.13)
Capítulo 2. Fluidos 38
Onde A é a área do tubo dado em [m2], v a velocidade do �uido, dado em [m/s] e Rv a
vazão dado em [m3/s], ou seja volume pelo tempo, com isso podemos escrever a vazão
dependendente dessas duas grandezas, �cando:
Rv =
∆V
∆t
(2.14)
Onde ∆V será a variação de volume, dado em [m3] e ∆t a variação de tempo dado em
[s] e Rv continua sendo a vazão.
Caso o �uido não seja incomprenssível, a equação de continuidade, sofrerá uma mudança
pois chegamos ao resultado anterior considerando o �uido incomprenssível, logo:
ρ1A1v1 = ρ2A2v2 (2.15)
Agora a equação de continuidade depende além das áreas, medidas em [m2], e das velo-
cidades, medidas em [m/s] mas também das massas especí�cas, medidas em [kg/m3]. A
vazão também sofrerá mudanças, �cando:
Rρ = ρAv (2.16)
Sendo conhecida com vazão de massa, medida em [kg/s]. Ambas vazões tem como
propósito dizer quanto do �uido está passando em um certa tubulação.
Exemplo 5: Dada a �gura 31, obtenha, a vazão que esta faltando junto com o sentido,
vazões dadas em [cm3/s]
Figura 31: Um �uido movimentando-se dentro de um tubo com várias entradas e saídas
Capítulo 2. Fluidos 39
2.3.2 Equação de Bernoulli
A Equação de Bernoulli descreve a conservação de energia em um �uido, mesmo tendo
sido desenvolvido por Daniel Bernoulli antes da ideia de energia existir.
Figura 32: Um �uido movimentando-se dentro de um tubo com diferentes bitolas e
variação de altura.
Vamos obter a Equação de Bernoulli utilizando a �gura 32. Como se trata de conservação
de energia usaremos o teorema trabalho energia cinética,W = ∆K, onde todo o trabalho
feito sobre o corpo equivale a variação de energia cinética do corpo.
W = ∆K
W =
1
2
∆mv22 − 1
2
∆mv21
W =
1
2
ρ∆V (v22 − v21)
Capítulo 2. Fluidos 40
Podemos também trabalha com o trabalho da força Peso, pois existe uma variação de
altura.
Wg = −∆mg(y2 − y1)
Wg = −ρg∆V (y2 − y1)
Esse trabalho é negativo pois o movimento é para cima e a força Peso oposta ao mo-
vimento. Também necessita existir um trabalho para empurra o �uido ao longo da
tubulação, exercicido por um força F.
Wp = −P2∆V + P1∆V
Wp = −(P2 − P1)∆V
Onde a pressão P1 é a pressão feita sobre o sistema e a pressão P2 é a pressão feito pelo
sistema, por isso ambas têm sinais opostos. Somando o trabalho feito pela força F e pela
força Peso, obteremos o trabalho total do sistema que equivale a variação da energia
cinética, daí:
Wp +Wg = W
−(P2 − P1)∆V − ρg∆V (y2 − y1) = 1
2
ρ∆V (v22 − v21)
Rearrajando os elementos e eliminando o volume, pois consideraremos o �uido incom-
prenssível, obteremos:
cte = P1 + ρgy1 +
1
2
ρv21 = P2 + ρgy2 +
1
2
ρv22 (2.17)
Capítulo 2. Fluidos 41
Sendo essa a Equação de Bernoulli. Onde P1 e P2, são pressões dadas em [Pa], ρ a massa
especí�ca dada em [kg/m3], y1 e y2 são as alturas do �uido dado em [m], g a aceleração
da gravidade dada em [m/s2] e v21 e v
2
2 as velocidades do �uido dado em [m/s].
Exemplo 6: Um cano horizontal de calibre variável cuja a área varia de A1 = 0, 0012m
3
para A2 = A1/2, conduz um �uxo de etanol com massa especí�ca de 791kg/m
3
. A
diferenaça de pressão entre as áreas é 4120 Pa. Qual será a vazão de etanol?
Aplicações da Equação de Bernoulli
Vocês já devem ter visto um carro em movimento, como alguma lona em sua carroceria
e viam que ela tremulava para cima isso deve-se a Equação de Bernoulli, existem muitomomento onde ela pode ser aplicado.
Figura 33: Estudo da Equação de Bernoulli sobre uma residência.
A �gura 33 mostra que o ar que passa por cima da casa têm maior velocidade que dentro
da casa, logo a pressão do lado de fora é menor que a de dentro da casa.
Figura 34: Estudo da Equação de Bernoulli sobre uma asa de um avião.
A �gura 34 mostra uma asa de um avião, vista lateralmente, têm esse formato para que
Capítulo 2. Fluidos 42
o are passa com menor velocidade por baixo do que por cima fazendo com que a pressão
de baixo da asa seja menor do que de cima ajudando na sustentação do avião.
Figura 35: Estudo da Equação de Bernoulli sobre uma bola girando.
A �gura 35 mostra uma bola se movimentando dentro de um �uido, caso ela apenas
translade não ocorre nenhum efeito diferente, mas caso a bola além de transladar também
rotacione surgirá um efeito chamado de efeito Magnus.
Problemas:
Questão 1: Imagine que você esteja diante de uma piscina de 4 metros de profundidade.
Calcule a pressão no fundo dessa piscina em Pa (pascal) e atm.
Questão 2: (UNIFOR-CE) Afundando 10 m na água, �ca-se sob o efeito de uma pressão,
devida ao líquido, de 1 atm. Em um líquido com 80 porcento da densidade da água,
para �car também sob o efeito de 1 atm de pressão devida a esse líquido. Qual será
profundidade que deve ser atingida? Considere a massa especi�ca da água de 1000
kg/m3.
Questão 3: Sabe-se que 1500 kg de massa de uma determinada substância, ocupa um
volume de 2 m3, determine a massa especí�ca.
Questão 4: Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2 m e altura igual
a 4 m, sabendo que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina ( massa especí�ca
= 720 kg/m3) determine a massa de gasolina presente no reservatório. Calcule também
a força de empuxo gerada pela gasolina, se deslocarmos 500 mL de volume.
Questão 5: Numa o�cina mecânica existe um elevador de carros que utiliza ar compri-
mido, o qual exerce uma força num pistão de seção circular de raio 4 cm. A pressão se
transmite para outro pistão maior, também de seção circular, mas de raio 200 cm. De
Capítulo 2. Fluidos 43
posse destas informações, calcule: A força que é necessária ser feita para conseguirmos
levantar um carro de 16000 N e a respectiva pressão exercida no interior do elevador
hidráulico.
Questão 6: Calcule a vazão em massa de um produto que escoa por uma tubulação de
12 polegadas de diâmetro, sendo que a velocidade de escoamento é igual a 900 mm/min.
Dados: massa especi�ca = 1200 kg/m3
Questão 7: A água se move com velocidade de 5,0 m/s em um cano com seção de 4,0 cm2
. A água desce gradualmente 10 m e a seção reta aumenta para 8 cm2. Qual a velocidade
do líquido apos a descida e qual será a nova pressão, considerando que a pressão inicial
era de 1 atm.
Questão 8: Um cano de diâmetro de 2,5 cm transporta água, a pressão no inicio do
trajeto é de 170 kPa e tem velocidade de 0,9 m/s. Sabendo que a água sobe 7,6 m e o
diâmetro do cano muda para 1,5 cm. Calcule a velocidade e a pressão da água apos a
subida.
Questão 9: Calcule a diferença de pressão entre o cérebro e no pé de uma pessoa com
1,83 m de altua, considerando a massa especifíca do sangue 1,06x103 kg/m3
Questão 10: Um barco que �utua em água doce desloca um volume de água que pesa
35,6 kN. Obtenha o peso que esse barco deslocaria caso estivesse em água salgada de
massa especifíca de 1100 kg/m3
44
Capítulo 3
Termodinâmica
Uma das principais áreas da física é a Termodinâmica, pois serve como ferramenta para
estudo das leis que regem calor, trabalho e várias fontes de energia, sendo utilizada por
inúmeros ramos da engenharias, os engenheiros mecânicos podem utilizar para calculo de
aquecimento de um automóvel, um engenheiro de alimentos saber sobre o aquecimento e
resfriamento de alimentos, os engenheiros civis podem utilizar para saber se um as vigas
metálicas de uma certa construção terá dilatação que poderá causar danos a estrutura
do prédio caso a temperatura aumente, logo é uma das áreas mais importantes e para
entende-la devemos partir de algum ponto e será do conceito de temperatura.
3.1 Temperatura
Como sabemos, todos os corpos são formados por átomos e moléculas, mas o que difere os
sólidos dos, líquidos e gasosos, são a maneira como esses elementos estão ligados, quando
mais rígidas as estruturas menor movimento têm o corpo, como sabemos movimento
pode ser utilizado para dizer se um corpo têm energia ou não, logo a temperatura está
associado com a energia de um corpo, já que ela mede o grau de agitação das partículas
de um corpo.
Temperatura no SI, é medida na escala Kelvin, [K], essa é a unidade utilizada pois mesmo
Capítulo 3. Termodinâmica 45
não tendo limite superior conhecido, existe um limite inferior o 0 K, que é conhecido com
zero absoluto, essa temperatura nos diz que caso o corpo tenha a temperatura de 0 K,
signi�ca dizer que esse corpo não têm nenhuma energia.
3.2 Lei Zero
Todos, mesmo que institivamete e não por um conhecimento prévio, tomamos cuidado
com uma chama acesa, pois de alguma maneira mesmo que não esteja em contato direto
nos aquece, ainda não estamos preocupados como esse processo ocorre e sim no fato que
�camos aquecidos, isso acontece em varios momentos, quando coloca-se um copo com
água no congelador depois de um tempo a água congela, mas oque está acontecendo
nesse processo? O que acontece é que o corpo com mais energia, maior temperatura,
doa para o corpo com menor temperatura, esse fenômeno é chamado de lei zero, que
podemos explicitar ela da seguinte maneira:
Se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmico com um terceiro corpo C,
logo A e B estão em equilíbrio têrmico, ou seja, têm a mesma temperatura.
Essa Lei foi descoberta, criada, muito tardia, 1930, depois da 1
◦
e 2
◦
lei da Termodinâ-
mica, mas como essa lei têm como um dos propósito ajudar na de�nição de temperatura
ela deve vim antes por isso lei zero.
3.3 Escalas Térmicas
Como discutimos a unidade no SI que mede a temperatura, é o Kelvin, mas como já
podem saber existem outras duas unidades muito utilizadas para medir a temperatura,
que são as escalas Celsius e Fahrenheit, escalas obtidas experimentalmente e devemos
criar alguma relação entre essas três unidade de medidas.
Capítulo 3. Termodinâmica 46
Figura 36: Comparação das 3 unidades que são usadas para medir a temperatura.
Como pode ser visto pela �gura 36, existe um intervalo onde elas podem ser associadas,
e podem ser comparadas, na �gura em questão, os intervalos utilizados são entre o zero
absoluto 0 K, e o ponto triplo da água 273,16 K, o ponto triplo é o ponto onde pode
coexistir água no estado sólido, líquido e gasoso ao memso tempo, é claro com certos
valores de pressão e temperatura.
Para criar a relação entre as unidade poderiamos pegar outros intervalos mais conhecidos
como:
Figura 37: Comparação das 3 unidade para medir a temperatura, usando o 0
◦
C como
referência.
Na �gura 37 já usamos um intervalo mais conhecido para nós, com os pontos de conge-
lamento e de evaporação da água, o 0
◦
C e 100
◦
C. Podemos construir uma relação entre
as esclas ao escolher um ponto entre os valores máximos e mínimos adotado ns �gura
37, a mais simples de converter é entre as unidades Kelvin e Celsius, pois ambas têm a
mesma taxa de varição, cada uma de sua escala, logo para converter entre elas:
Capítulo 3. Termodinâmica 47
TC = TK − 273 ou TK = TC + 273 (3.1)
Já para converter entr Celsius e Fahrenheit devemos tomar cuidados, pois a Celsius varia
100
◦
enquanto a Fahrenheit varia 180
◦
, devemos então usar isso para criar uma relação
entre elas:
TC − 0
100− 0 =
TF − 32
212− 32
TC
100
=
TF − 32
180
TC =
TF − 32
1, 8Obtemos então:
TC =
TF − 32
1, 8
ou TF = 1, 8TC + 32 (3.2)
3.4 Dilatação Térmica
Em certas situações tirar a tampa de metal de um pote de vidro se torna algo exaustivo,
mas muito já colocaram o pote debaixo de água quente e perceberam que conseguiram
tirar a tampa facilmente, mas o que aconteceu? Foi o processo de dilatação térmica que
ocorre sempre que existe a mudança de temperatura de um objeto e com isso ele pode
dilatar aumentando ou diminuindo.
3.4.1 Dilatação Linear
Se uma barra metálica têm uma mudança de temperatura o seu tamanho L mudará de
acordo com essa variação.
Capítulo 3. Termodinâmica 48
∆L = L0α∆T (3.3)
Onde L0 é o tamanho inicial da barra, ∆L a variação do tamanho, ambos medidos em
[m], ∆T a variação de temperatura mais comumente medido em [◦C], só falta entender o
signi�cado de α que representa uma grandeza chamada de coe�ciente de dilatação linear
medida em [◦C−1]
Figura 38: Barra métalica tendo uma mudança de tamanho causado pela mudança de
temperatura.
3.4.2 Dilatação Super�cial
Se uma placa metálica têm uma mudança de temperatura a sua área A mudará de acordo
com essa variação.
∆A = A0β∆T (3.4)
Onde A0 é o tamanho inicial da placa, ∆A a variação da área, ambos medidos em
[m2], ∆T a variação de temperatura mais comumente medido em [◦C], só falta entender
o signi�cado de β que representa uma grandeza chamada de coe�ciente de dilatação
super�cial medida em [◦C−1], que equivale ao α mas aplicado a duas dimensões, ou seja,
terá o valor de duas vezes α.
Capítulo 3. Termodinâmica 49
Figura 39: Placa métalica tendo uma mudança de tamanho causado pela mudança de
temperatura.
3.4.3 Dilatação Volumétrica
Se um cubo metálica têm uma mudança de temperatura o seu volume V mudará de
acordo com essa variação.
∆V = V0γ∆T (3.5)
Onde V0 é o tamanho inicial da placa, ∆V a variação do volume, ambos medidos em
[m3], ∆T a variação de temperatura mais comumente medido em [◦C], só falta entender
o signi�cado de γ que representa uma grandeza chamada de coe�ciente de dilatação
volumétrica medida em [◦C−1], que equivale ao α mas aplicado a três dimensões, ou seja,
terá o valor de três vezes α.
Figura 40: Volume métalico tendo uma mudança de tamanho causado pela mudança de
temperatura.
Exemplo 1: Um caminhão saiu de Las Vegas em um dia quente com 37000 L de
óleo diesel, e chegou em Payson onde tinha uma diferença de temperatura em relação
a Las vegas de 23 K. Sabendo que o coe�ciente de dilatação volumétrica do óleo é
9, 50 x 10−4 1/◦C, obtenha a variação de volume do diesel.
Capítulo 3. Termodinâmica 50
3.4.4 Dilatação Anômala da água
As dilatações discutidas anteriormente podem ser aplicadas tranquilamente aos sólidos,
mas a aplicação ao �uidos, em especí�co a água, deve ter um certo cuidado, pois a �gua
não se comporta como todos os �uidos no intervalo de 0
◦
C e 4
◦
C ela se comporta de
maneira peculiar, pois enquanto a temperatura cai, ela deveria contrair mas ela expande
e quando a temperatura sobe ela deveria expandir mas ela contrai. Isso explica porque
os lagos congelam apenas a superfície, mantendo as vida, quando chega no intervalo de
0
◦
C e 4
◦
C, no resfriamento a água se dilata fazendo com que �que menos densa sendo
assim, a superfície menos densa congela enquanto o fundo mais denso permanece em
estado líquido.
3.5 Calor
Como já discutido anteriormente a temperatura é uma maneira de dizer o quão energético
um corpo é por isso devemos discutir o conceito de energia na termodinâmica.
3.5.1 Calor
Como discutido na lei zero, vimos que a temperatura de alguma maneira vai do corpo
mais energético para o menos energético, mas não discutimos como, para isso de�nimos a
grandeza Calor, pois sabemos que ao colocar um panela com água em uma chama, depois
de um tempo o fogo mesmo que diretamente aquecerá a água, logo o calor da chama
passou para a panela e depois para a água, uma situção inversa é quando se encosta no
gelo, pois sente o gelo frio o que signi�ca que o calor do seu corpo está se movimentando
para o gelo, com esse exemplos em mente podemos analisar o calor como uma energia
que se movimenta entre os corpos por causa da diferença de temperaturas.
Será representado pela letra Q e como se trata de energia sua unidade no SI é o Joule
[J], mas também pode ser medido em caloria [cal], e em British Thermal Unit [Btu].
Capítulo 3. Termodinâmica 51
OBS.: 1 A de�nição de caloria é a quantidade de energia para elevar 1 g de água de
14,5
◦
C para 15,5
◦
C e Btu como a quantidade de energia para elevar 1 libra de água de
63
◦
F para 64
◦
F.
1 cal = 3, 968 x 10−3 Btu = 4, 1868 J (3.6)
OBS.: 2 As vezes é comum vez as pessoas contanto as Calorias dos alimentos, essa
Caloria equivale a 1 kcal.
Transferência de Calor
O calor se propaga de algumas maneiras entre os corpos.
1 - Condução: O calor de movimenta em um sólido de átomo para átomo, até que todos
tenham a mesma quantidade de energia.
Figura 41: Mesmo não tocando no gelo e sim no prego seu corpo perde energia pela
condução entre os corpos.
Logo o tamanho do objeto ou a área pode in�uenciar na condução, pois ao aumentar o
tamanho do objeto deverá aumentar o tempo para que exista variação na temperatura,
podemos escrever essa relação como:
Capítulo 3. Termodinâmica 52
Q = kAt
∆T
L
(3.7)
Onde Q, será o calor transferido/perdido pelo o sistema, dado em [J], A a área do corpo,
dado em [m2], ∆T a variação de temperatura dado em [K], t o tempo gasto no processo,
dado em [s], L a espessura do objeto, dado em [m] e k será a condutividade térmica dado
em [W/m.K].
Figura 42: Exemplos de algumas condutividades térmicas.
Podemos de�nir duas grandezas a partir disso, a grandeza taxa de condução como sendo
a energia transferida/perdida por unidade de tempo:
Pcond =
Q
t
(3.8)
E a resistência térmica como sendo a espessura do material dividido pela sua condutivi-
dade térmica
R =
L
k
(3.9)
Sendo que a resistência térmica, sera medido em [m2K/W ]
Capítulo 3. Termodinâmica 53
2 - Convecção: Tranferência de calor causada pelo movimento do �uido, o �uido mais
energético sobe e o menos energético desce.
Figura 43: Aquecimento desigual entre a água e a terra causando na convecção do ar
3 - Irradiação: Energia transmitida atavés de ondas eletromagnéticas.
Figura 44: Exemplos de Irradiação.
É interessante saber obter a taxa de radiação de um objeto, logo:
Prad = σ�AT
4
(3.10)
Onde Prad será a taxa a qual um objeto emite radiação, medida em [W], σ é a constante
de Stefan-Boltzamann, com valor de 5, 6704 x 10−8 [W/m2K4], A a área medida em
[m2], T a temperatura medida em [K] e � é chamado de emissividade que varia entre 0
e 1, que representa a capacidade de um corpo em emitir radiação.
Exemplo 2: Se você se expusesse por alguns momentos ao espaço sideral (como o
astronauta em 2001: Uma Odisséia no espaço) sentiria o frio do espaço, perdendo muito
mais energia do que ganhando. Com que taxa você perderia energia? Quanta energia
você perderia em 30 s? Considera sua emissividade de 0,90.
3.5.2 Capacidade Térmica
Capacidade térmica é uma grandeza que têm como objeto ser uma constante para rela-
cionar o calor e a mudança de temperatura de um corpo, recebe ou perde.
Capítulo 3. Termodinâmica 54
C =
Q
∆T
(3.11)
Sendo Q o calor cedido ou recebido por um corpo, medido em [J] ou [cal], ∆T a variação
de temperatura dado em [K] ou [
◦
C] e C a capacidade térmica dado em [J/K] ou [cal/◦C]
3.5.3 Calor Especí�co
É fácil perceber que certos materiais que demoram mais para aquecer ou resfriar, mas
porque isso ocorre? Deve sexistir alguma característica que diga o porque isso ocorre,
essa característica é chamada de calor especí�coou sensível. Grandeza que diz o quanto
de calor será necessário para mudar a temperatura de uma quantidade de massa de uma
dada substância em um grau.
Q = mc∆T (3.12)
Onde Q é o calor, dado em [J] ou [cal], m a massa do corpo dado em [kg] ou [g], ∆T a
variação de temperatura dado em [K] ou [
◦
C] e c o calor especí�co dado em [cal/g◦C] ou
[J/kgK]
Capítulo 3. Termodinâmica 55
Figura 45: Exemplos de Calores Especí�cos
Capítulo 3. Termodinâmica 56
3.5.4 Calor Latente e Mudança de Fases
O recebimento de calor pode causar o aumento da temperatura de um corpo, mas caso
esse aumento se prolongado, pode acontecer que o corpo tenha uma mudança de fase.
Figura 46: Água mudando entre seus estado, ao receber ou perder energia.
Caso um pedaço e gelo ganhe energia e mude de estado para o líquido signi�ca dizer que
ocorreu uma fusão, caso em seu estado líquido continue ganhando energia e vire vapor
o processo é chamado de evaporação. O processo inverso são chamados de condensação
de vapor para líquido e solidi�cação de líquido para sólido, em algumas situações bem
especí�cas pode pular o estado líquido indo do sólido para o vapor e vise versa, chamado
de sublimação, ±olido para vapor e cristalização de vapor para sólido.
Logo é possível saber quanto de calor é necessário para mudar o estado de um corpo,
sendo essa calor chamado de calor latente, dado pela seguinte relação:
Q = mL (3.13)
Onde Q será o calor Onde Q é o calor, dado em [J] ou [cal], m a massa do corpo dado em
[kg] ou [g] e L o calor latente dado em [J/kg] ou [cal/g], sendo evidente que não necessita
da temperatura para mudar de estado e sim do ganho ou perda de energia.
Figura 47: Exemplos de Calores Latentes.
Capítulo 3. Termodinâmica 57
Exemplo 3: Quanto de calor um cubo de gelo com massa 720 g a -10
◦
C deve absorver
para que chegue ao estado líquido com temperatura de 15
◦
C.
3.6 Energia Interna
É a energia interna do sistema, energia que surge da soma das energias de todas as
moléculas de um objeto, onde o movimento dessas moléculas será a energia que cada
uma pode ter e como já vimos a temperatura mede o grau de agitação desse corpos, logo
energia interna e temperatura estão diretamente associadas. Como se trata de energia
terá a mesma unidade de medida de Calor e será representado pela termo∆Eint, pois caso
o contrário , se não trabalhassemos com um intervalo ∆ signi�caria dizer que em algum
ponto a energia interna do corpo é nula o que signi�ca que ele está com temperatura de
0 K, o que é impossível.
3.7 Calor e Trabalho
Como já vimos a energia e trabalho têm uma ligação bem próxima já que trabalho é
convertido em energia e energia é convertido em trabalho o tempo todo, como o calor
também é energia deve existir algum tipo de relação entre calor e trabalho.
Figura 48: Um gás está con�nado dentro de um cilindro com um êmbolo móvel e sobre
esse êmbolo é colocado um peso com várias esferas de chumbo.
Capítulo 3. Termodinâmica 58
A partir da �gura 48 criaremos uma relação entre para a grandeza Trabalho, consequen-
temente estudaremos as energias associadas a esse sistema. Ao inserir calor no sistema,
terá um aumento de temperatura, o gás �cará mais energético com isso o seu movimento
terá um aumento de energia causando uma expansão do gás com isso o êmbolo tenderá
a se mover para cima pela força feita pelo gás surgindo assim trabalho.
dW = Fds
dW = PresAds
Daí obtemos:
W =
∫ VF
Vi
Pres dV (3.14)
Onde o trabalho W , medido em [J], dependerá da pressão, medida em [Pa] dos volumes
iniciais e �nais medidos em [m3], caso a variação de volume não seja in�nitesimal e a
pressõa seja constante em relac cão ao volume então a relação 3.14 �ca.
W = Pres∆V (3.15)
Ou seja só terá trabalho com a variação de volume.
OBS.: 3 Quando o gás recebe calor Q será maior que zero, caso perca calor Q será
menor que zero. Caso o gás realize trabalho, W será maior que zero caso sofra W será
menor que zero.
Mas o que aconteceria caso colocassemos calor no sistema mas ao mesmo tempo também
colocassemos mais pesos sobre o êmbolo, aconteceria que o êmbolo �caria em equilíbrio
pela força peso das esferas e com a força feita pelo gás com aumento de temperatura,
Capítulo 3. Termodinâmica 59
então para onde estaria indo o calor, essa energia não pode se perder deve se transformar
em outro tipo, logo como temos aumento de temperatura sigini�ca dizer que o calor tá
sendo transformado em energia interna do sistema, dando movimento para as moléculas
do gás. Logo o calor dado ao sistema pode ser transformado ou em trabalho ou em
energia interna, ou ambos, vale o inverso também, se o gás perde calor, signi�ca que
ele sofre trabalho ou perde temperatura, consequentemente energia interna, ou ambos.
Podemos exempli�car essa fala em algum relação.
Q = W +∆Eint (3.16)
Sendo essa a 1
◦
Lei da Termodinâmica, onde W será o trabalho, que dependerá do trajeto
tomado, Q será o calor, que também dependerá do trajeto feito, já ∆Eint que é a variação
de energia interna do sistema, não dependerá do caminho e sim do ponto inicial e �nal
ambas grandezas serão medidas em [J].
Capítulo 3. Termodinâmica 60
Figura 49: Alguns exemplos de como o caminho escolhido muda o trabalho.
Capítulo 3. Termodinâmica 61
3.7.1 Casos Especiais da 1
◦
Lei da Termôdinamica
1 - Processo Adiabático: Não há troca de calor, Q = 0.
−W = ∆Eint (3.17)
2 - Processo a volume constante: Não existe trabalho, W = 0.
Q = ∆Eint (3.18)
3 - Processo Cíclico: Não têm mudança da energia interna, ∆Eint = 0
Q = W (3.19)
4 - Expansão Livre:
Figura 50: Um gás está con�nado dentro de um cilindro com uma valvula que impede
que ele se mova para o lado com vácuo.
No sistema da �gura 50, ao abrir a válvula o gás se move livremente para o lado com
vácuo, sem trabalho, calor e consequentemente sem mudança da energia interna.
Exemplo 4: Suponha que 1 kg de água está a 100
◦
C e foi transformado em gá a 100
◦
C
a um 1 atm de pressão, o volume de água varia de 0,001 m3 para 1,671 m3, obtenha o
trabalho realizado pelo sistema, o calor recebido pelo gás e a variação de energia interna.
Capítulo 3. Termodinâmica 62
3.8 Gases Ideais
O estudo dos gases é de suma importância para aplicações no dia a dia, como o movimento
de carros causado pela combustão dentro do motor, ou na utilizacão para resfriamento,
ou na meteorologia, tendo tantas áreas que pode ser aplicada, devemos entender como
se trabalhar com os gases ideais.
Para altas concentrações é dí�cil trabalhar com gases, mas para baixas concentrações
podemos trabalhar com uma certa facilidade, pois em baixas concentrações conside-
raremos que só tenham interações mecânicas e o tamanho das moléculas é deprezível
considerando o volume do gás, criando então um relação para que possamos trabalhar
com gases ideais:
PV = nRT (3.20)
Onde P será a pressão dadas em [Pa], V o volume dado em [m3], T a temperatura dada
em [K], R será a constante dos gases ideais, com valor de [8, 31J/molK] e n será a
grandeza chamada de quantidade de matéria ou número de mols, medido em [mols].
O número de mols, mede a quantidade de átomos/moléculas em uma amostra
de 12 g de carbono 12.
Logo é interessante saber quantos átomos/moléculas existem em um mol, tendo um valor
bem singelo NA = 6, 02 x 10
23 mol−1, chamado de númedo de Avogrado, então podemos
obter o número n de mols de qualquer substância, através da seguinte relação:
n =
N
NA
(3.21)
Onde NA é o número de Avogrado e N o número de moléculas da amostra estudada.
Capítulo 3. Termodinâmica 63
Ao trabalhar com um gás temos que saber trabalhar com as grandezas de estado (P,V,T),
por isso é interessante saber como essas grandezas se comportarão, da