Eletricidade I

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ELETRICIDADE I
Sylvio Thadeu T. de Sabóia
Resumo
No mundo atual, a eletricidade tem papel fundamental no desenvolvimento tecnológico e suas vertentes, pois a cada dia, temos novos horizontes oriundos da eletricidade. Sem ela, certamente, a tecnologia não sobreviveria, essas vertentes da eletricidade formam com ela ramos de desenvolvimentos que estão presos à ela. Portanto, apresentaremos um breve histórico da eletricidade e suas vertentes, que dão esse suporte a tecnologia que cada vez mais apresenta novidades em setores , que em consequência, atinge outras áreas já fora desse ramo que também contribui para a melhoria da qualidade de vida e conforto da humanidade. Esperamos que conteúdo desta obra, sirva de meio de compreensão do mundo tecnológico atual. Nesta obra, estamos fazendo uma pequena viagem, desde os primórdios da eletricidade até os nossos dias.
 O Autor.
“Dedico esta obra a minha sobrinha Ana Luiza.”
Índice
Capítulo I
– Fenômenos Elétricos - Um breve histórico .................................................................................... 05
– O Conceito de Carga Elétrica ........................................................................................................ 06
– Quantização de Cargas Elétricas .............................................................................................. 06
1.2.2 – Linhas de Força .............................................................................................................................. 07
– A Corrente Elétrica ...................................................................................................................... 07
– O Conceito de Diferença de Potencial .......................................................................................... 08
- As Leis de Ohm e suas Aplicações ................................................................................................. 08
– A Primeira Lei de Ohm ........................................................................................................... 08
– Exercícios ........................................................................................................................ 09
- Associação de Resistores ................................................................................................. 10
– Associação Mista .............................................................................................................. 12 
–Exercícios ......................................................................................................................... 12
– Divisor de Tensão Resistivo .............................................................................................. 15
– Divisor de corrente Resistivo ............................................................................................ 15
– Exercícios ....................................................................................................................... 16
- Segunda lei de Ohm ............................................................................................................. 18
- Variação da Resistência com a Temperatura ........................................................................... 19
– Termistores .......................................................................................................................... 20
– O Efeito Joule ............................................................................................................................. 20
– O Efeito Peltier ........................................................................................................................... 21
 - Linearização .............................................................................................................................. 21
– Termopares ......................................................................................................................... 21
- Tipo K (Cromel / Alumel) ....................................................................................................... 22
– Teorema de Thévénin ................................................................................................................ 22
– Teorema de Norton .............................................................................................................. 24
–Exercícios ............................................................................................................................. 25 
Capítulo II
2.1 – Potência e Energia ..................................................................................................................... 28
2.2 – Energia Elétrica ......................................................................................................................... 28
2.3 – Potência Elétrica Dissipada ......................................................................................................... 28
2.4 - Unidades de Potência e Energia elétrica ....................................................................................... 29
2.5 – Cálculo da Potência Elétrica ........................................................................................................ 30
2.6 - Cálculo do Consumo de Energia Elétrica ....................................................................................... 31
2.7 - Aplicações Práticas do Consumo de Energia ................................................................................. 32
2.8 – Experiência ............................................................................................................................... 33
2.9 – Exercícios Resolvidos ................................................................................................................. 34
2.10 – Exercícios Propostos ................................................................................................................ 43
Capítulo III
3.1 – Capacitores – Definições .............................................................................................. 44
3.2 – Capacitância ................................................................................................................ 44
3.3 - Energia Armazenada em um Capacitor ........................................................................... 44
3.4 - Circuitos Elétricos constituídos por Capacitores ............................................................... 45
3.5 - Reatância Capacitiva ..................................................................................................... 45
3.6 – Associação de Capacitores ............................................................................................ 45
3.7 - Capacitores na Prática .................................................................................................. 46
3.8 - Capacitores variáveis .................................................................................................... 47
3.9 - Capacitores de Camada Dupla Elétrica (EDLCs) .............................................................. 48
3.10 – Aplicações ................................................................................................................. 48
3.11 – Exercícios .................................................................................................................. 48
Capítulo IV
4.1 – Indutores .................................................................................................................... 53
4.1.1 – Construção ............................................................................................................... 53
4.1.2 – Indutância ...............................................................................................................53
4.2 – Energia ....................................................................................................................... 53
4.3 - Circuitos Elétricos com Indutores .................................................................................. 53
4.4 - Impedância ................................................................................................................. 54
4.5 - Fator Q ....................................................................................................................... 54
4.6 – Aplicações .................................................................................................................. 54
4.7 – Exercícios ................................................................................................................... 55
Referências Bibliográficas ..................................................................................................... 60
Capítulo I
– Fenômenos Elétricos – Um breve histórico
 O fenômeno elétrico é um dos eventos naturais que mais tempo levou para ser compreendido pela ciência. O primeiro registro de que se tem notícia a respeito da observação da eletricidade data do século VI antes de Cristo. Coube a Tales de Mileto observar que o âmbar, quando era atritado com lã, adquiria a capacidade de atrair cabelos humanos e pequenas partículas. Esse conhecimento foi tratado como simples curiosidade por muito tempo. No século XVI Willian Gilbert, médico da corte inglesa, iniciou estudos mais organizados a respeito da propriedade do âmbar. Friccionando outros materiais, descobriu que não era exclusividade do âmbar a capacidade de atrair corpos após o atrito. Como âmbar em grego se diz ELECTROS, foi dado àquele fenômeno o nome eletricidade. (Essa idéia é atribuída a Gilbert.)
 Durante os cem anos seguintes, o conhecimento do fenômeno elétrico não evoluiu. Tudo que se fez a respeito foi utilizá-lo de forma recreativa. Só em 1729 ocorreu uma evolução significativa. Stephen Gray descobriu que a eletricidade era transportável de um corpo para outro. Após atritar um tubo de vidro com lã, percebeu que a rolha de cortiça que tampava o tubo adquirira a capacidade de atrair pequenos corpos. Concluiu que a eletricidade tinha passado do vidro para a cortiça. A fim de confirmar essa hipótese, isolou a rolha separando-a do vidro com um fio de cânhamo, e ainda assim a eletricidade passou para ela. Realizou então uma série enorme de experimentos e em um deles notou que, se no caminho entre o corpo atritado e o corpo na extremidade da corda de cânhamo ele ligasse um metal a terra, a eletricidade vazaria para a terra, não atingindo o corpo na extremidade da corda. Interpretou esse fenômeno por meio de uma analogia com o que aconteceria se, em vez de uma corda e eletricidade, houvesse um tubo levando água. Se fizesse um furo no tubo, a água escaparia por ele e não atingiria a extremidade, e dessa analogia propôs que a eletricidade era um fluido. Sua teoria conservou-se durante muito tempo até se chegar a uma melhor compreensão da estrutura da matéria, já na passagem do século XIX para o século XX. Na mesma época, no campo da eletricidade estática, Charles Du Fay (1698 -1739) descobriu a existência de duas eletricidades. Por ser correspondente de Stephen Gray, sabia que podia eletrizar corpos por contato. Por meio de um bastão de vidro eletrizado, eletrizou vários outros corpos e notou que eles se repeliam mutuamente. Da mesma forma eletrizou outros corpos pelo contato com âmbar eletrizado e notou que eles também se repeliam mutuamente. Porém, ao aproximar dois objetos eletrizados, um pelo vidro e outro pelo âmbar, verificou o surgimento de uma atração mútua. Concluiu que deveriam existir duas eletricidades, uma de natureza vítrea e outra de natureza resinosa. Propôs que os corpos que não manifestavam a propriedade elétrica continham a mesma quantidade de eletricidade vítrea e resinosa, e enunciou o que se conhece hoje como Lei de Du Fay.
CORPOS ELETRIZADOS COM ELETRICIDADES DE MESMA NATUREZA SE REPELEM, CORPOS ELETRIZADOS COM ELETRICIDADES DE NATUREZAS DIFERENTES SE ATRAEM.
 Na América, Benjamin Franklin propôs que a matéria apresentava uma quantidade natural de fluido elétrico e que o fenômeno elétrico aparecia quando essa quantidade natural era alterada. Os corpos que recebiam fluido elétrico de outro corpo ficavam carregados positivamente e os que perdessem fluido elétrico ficariam carregados negativamente. Admitiu que os raios das tempestades eram fenômenos elétricos e capturou uma dessas descargas através de um papagaio. Afortunadamente essa descarga não foi de grande intensidade – se fosse, ele não teria sobrevivido. A partir desse experimento, criou o pára-raios.
 Foi com Charles Augustin Coulomb que, em torno de 1784, a eletricidade passou da fase de análises qualitativas para a fase de análises quantitativas. Utilizando um aparelho criado por ele mesmo, a balança de torção, realizou uma série de experimentos e, entre 1784 e 1789, apresentou a sua teoria, que quantificava a força trocada entre corpos eletrizados:
“AS ATRAÇÕES OU REPULSÕES PRODUZEM-SE NA RAZÃO DIRETA DAS DENSIDADES OU FORÇAS DE FLUIDO ELÉTRICO E NA RAZÃO INVERSA DO QUADRADO DAS DISTÂNCIAS”.
Densidades ou força de fluido elétrico é o que hoje entendemos como quantidade de carga elétrica. Atualmente a Lei de Coulomb é apresentada nesta expressão:
F = K . 
A importância dos trabalhos de Coulomb foi enorme, pois abriram as portas para que a eletricidade pudesse ser estudada matematicamente. Conceitos como o de potencial elétrico, devido a Gauss, e posteriormente o de campo elétrico puderam ser criados e permitiram uma maior compreensão da eletricidade e sua ligação com os fenômenos magnéticos. Sob o ponto de vista matemático, os estudos atingiram o auge com as quatro equações de Maxwell (1831-1879) que descrevem todas as interações eletromagnéticas possíveis.
 No entanto, é importante notar que apesar de todas essas conquistas ainda não se conhecia a natureza corpuscular da eletricidade. Em outras palavras, não se conhecia o próton e o elétron. Sob o ponto de vista prático, os trabalhos experimentais de Alessandro Volta levaram-no à descoberta da pilha elétrica, em torno de 1800. A criação da pilha permitiu a geração de corrente elétrica por um tempo maior, o que facilitou sobremaneira os estudos da eletrólise, da eletroquímica e do eletromagnetismo, realizados no início do século XIX.
 Em 1820, um dinamarquês de nome Hans Christian Oersted (1777 - 1851) descobriu experimentalmente que corrente elétrica gera campo magnético. Essa descoberta foi de fato magnífica, talvez uma das mais importantes na história da pesquisa da eletricidade, pois com base nela, os cientistas passaram a aceitar como possível a obtenção de corrente elétrica a partir do magnetismo. E muitos o tentaram, mas coube a Michael Faraday a descoberta da indução eletromagnética e, em conseqüência, a descoberta do gerador de energia elétrica a partir da energia mecânica. Basta mover convenientemente uma espira em um campo magnético para se obter corrente elétrica. Esse tipo de gerador é capaz de produzir potenciais elétricos muito maiores que os das pilhas voltaicas. São extremamente versáteis. Pode-se construí-los pequenos, para pequenas voltagens (como aquelas que alimentam a lâmpada de uma bicicleta), ou pode-se construí-los grandes (como aqueles que alimentam as cidades). Com essa descoberta, a eletricidade passou a ter um uso social. Foi possível obter energia elétrica em grande escala, motores elétricos foram criados, cidades foram iluminadas, os transportes coletivos tiveram um novo impulso. A vida mudou.
 Somente no final do século XIX é que se descobriu a existência do próton e do elétron através de experimentos em tubos de gases rarefeitos submetidos a enormes diferenças de potenciais. A teoria dos fluidos elétricos caiu por terra. A eletricidadetem natureza corpuscular, pois está associada a partículas e não a fluidos. Elaborou-se assim um modelo atômico que permitiu uma melhor compreensão da matéria e do fenômeno elétrico. No início do século XX, Max Planck (1858-1947) lança os fundamentos da Mecânica Quântica, que abriu um campo infindável de possibilidades para o uso da matéria como objeto elétrico. Por conta disso e de outras descobertas atingimos o atual estágio de desenvolvimento, em que os computadores pessoais talvez sejam os melhores exemplos do que ainda está por vir.
Este texto, é do Prof. Ronaldo Moura de Sá, que é professor do curso Anglo Vestibulares, responsável pelo programa Física ao Vivo e supervisor adjunto do departamento de física do Anglo Vestibulares. 
– O Conceito de Carga Elétrica
Para entender o conceito de carga elétrica vamos estudar um pouco a estrutura do átomo e as partículas portadoras de carga elétrica que o constituem. No núcleo do átomo estão os prótons e os nêutrons, e girando em torno deste núcleo estão os elétrons. Um próton em presença de outro próton se repele, o mesmo ocorre com os elétrons, mas entre um próton e um elétron existe uma força de atração, como no exemplo do âmbar e da palha. Desta maneira, atribuímos ao próton e ao elétron uma propriedade física denominada carga elétrica.
1.2.1 - Quantização de Carga elétrica:
 A quantidade de carga do elétron, em valor absoluto, é chamada de carga elementar e é representada por e. Esta carga é chamada elementar, pois é a menor quantidade de carga encontrada na natureza e este valor é:
e=1,6 . 10-19 Coulomb (C) é a unidade de medida utilizada para carga elétrica no Sistema Internacional de Unidades.
 Para determinarmos a quantidade de carga elétrica de um corpo precisamos saber o número de elétrons ou prótons que este corpo tem em excesso, logo:
 Q = n.e
Onde:
Q = quantidade de carga elétrica do corpo
n = número de elétrons em falta ou em excesso.
e = carga elementar (1,6 . 10-19C)
Exemplo: O átomo de um certo elemento é composto por 2 prótons, 2 nêutrons e 2 elétrons. Determine a carga elétrica do núcleo deste átomo.
Resolução:
A carga elétrica no núcleo do átomo é devida apenas aos prótons que ali estão, pois os nêutrons não possuem carga elétrica, logo:
Q = + n . e
Q = 2 . 1,6 . 10-19
Q = 3,2 . 10-19C
1.2.2 - LINHAS DE FORÇA 
 
 1.2.2.1 - Conceito 
 O conceito de linhas de força foi introduzido pelo físico inglês M. Faraday, no século passado, com a finalidade de representar o campo elétrico através de diagramas. Para que possamos compreender esta concepção de Faraday, suponhamos uma carga puntual positiva Q criando um campo elétrico no espaço em torno dela. Como sabemos, em cada ponto deste espaço temos um vetor , cujo módulo diminui à medida que nos afastamos da carga. Na fig.a estão representados estes vetores em alguns pontos em torno de Q. Consideremos os vetores 1 , 2 , 3 etc., que tem a mesma direção, e tracemos uma linha passando por estes vetores e orientada no mesmo sentido deles, como mostra a fig.b. Esta linha é, então é tangente a cada um dos vetores 1 , 2 , 3 etc. Uma linha como esta é denominada linha de força do campo elétrico. De maneira semelhante, podemos traçar várias outras linhas de força do campo elétrico criado pela carga Q, como foi feito na fig.b. Esta figura nos fornece uma representação do campo elétrico da maneira proposta por Faraday. 
Se a carga criadora do campo for uma carga puntual negativa, sabemos que o vetor , em cada ponto do espaço, estará dirigido para esta carga, como mostra a fig.a. Podemos, então, traçar, também neste caso, as linhas de força que representarão este campo elétrico. Observe, na fig.b, que a configuração destas linhas de força é idêntica àquela que representa o campo elétrico da carga positiva, diferindo apenas no sentido de orientação das linhas de força: no campo da carga positiva as linhas divergem a partir da carga e no campo de uma carga negativa as linhas convergem para a carga. 
 
 Abaixo encontra-se um esquema para podermos visualizar o comportamento do sentido de orientação das linhas de força. O esquema nos permite visualiazar as linhas de força de um campo elétrico criado por uma carga positiva ou negativa : 
1.2.2.2 - Campo elétrico uniforme 
 Consideremos duas placas planas, paralelas, separadas por uma distância pequena em relação às dimensões destas placas. Suponhamos que elas estejam uniformemente eletrizadas com cargas de mesmo módulo e de sinais contrários, como mostra a figura abaixo.. 
   
  
Se colocarmos uma carga de prova positiva q em um ponto P1 situado entre as placas (figura acima), esta carga ficará sujeita à ação de uma força , devido ao campo elétrico criado pelas placas no espaço entre elas. A força é perpendicular às placas e está orientada, como você poderia prever, da placa positiva para a negativa. Deslocando-se a carga de prova q para outro ponto qualquer entre as placas, verifica-se que irá atuar sobre q uma força F de mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido que aquela que atuava quando q se encontrava em P1. Concluímos, então, que o campo elétrico existente entre as placas tem, em qualquer ponto, o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Um campo como este é denominado campo elétrico uniforme e pode ser representado por um vetor , como aquele indicado no ponto P da figura acima. 
Na figura abaixo estão traçadas as linhas de força do campo existente entre as duas placas. Observe que estas linhas são paralelas (a direção de não varia) e igualmente espaçadas (o módulo de é constante), indicando que o campo elétrico nesta região, é uniforme. Deve-se notar, entretanto, que estas considerações são válidas para pontos não muito próximos das extremidades das placas. De fato, como mostra a figura abaixo, nestas extremidades as linhas de força são curvas, indicando que aí o campo deixa de ser uniforme. 
 
1.3 – A Corrente Elétrica
Corrente elétrica, entender este conceito facilita o entendimento de muitos fenômenos da natureza. A corrente elétrica, e a eletricidade propriamente dita, estão presentes a todo tempo ao nosso redor e até em nós mesmos.
Podemos citar vários exemplos:
Na natureza: o relâmpago, uma grande descarga elétrica produzida quando se forma uma enorme tensão entre duas regiões da atmosfera.
No corpo humano: impulsos elétricos do olho para o cérebro. Nas células da retina existem substâncias químicas que são sensíveis à luz, quando uma imagem se forma na retina estas substâncias produzem impulsos elétricos que são transmitidos ao cérebro.
Além destes exemplos, podemos identificar vários aparelhos e utensílios em nossa casa que foram construídos a partir do domínio da eletricidade: o ferro de passar roupas, o chuveiro, a lâmpada e muitos outros.
Para entendermos o funcionamento destes aparelhos vamos definir o conceito de corrente elétrica.
Se um condutor é ligado aos pólos do gerador os elétrons do pólo negativo se movimentam ordenadamente para o pólo positivo, esse movimento ordenado dos elétrons é denominado corrente elétrica.
Por convenção, o sentido da corrente elétrica é contrário ao do movimento dos elétrons no condutor.
Sentido real
 
da Corrente
R
+
Sentido
 
convencional da Corrente
i
V
CC
A quantidade de carga elétrica ∆Q que atravessa uma seção transversal do condutor por um determinado intervalo de tempo ∆t determina a intensidade de corrente elétrica.
i = ∆Q / ∆t
Onde:
i = intensidade da corrente elétrica
∆Q = quantidade de carga elétrica
∆t = intervalo de tempo
A unidade de medida utilizada para corrente elétrica é o Coulomb/segundo (C/s), esta unidade recebe o nome de ampère (A).
Exemplo: Na seção transversal de um condutor passa uma quantidade de carga elétrica ∆Q = 8 . 10-4 C no intervalo de tempo ∆t = 2 . 10-2 s. Determine a intensidade da corrente elétricaque atravessa o condutor.
Resolução:
A intensidade da corrente elétrica é dada por:
i = ∆Q / ∆t
i = 8.10-4/2.10-2
i = 4.10-2A
1.4 – O Conceito de Diferença de Potencial
 Considere um aparelho que mantenha uma falta de elétrons e uma de suas extremidades e na outra um excesso. Este aparelho é chamado gerador e pode ser uma pilha comum. A falta de elétrons em um pólo e o excesso em outro origina uma diferença de potencial (d.d.p.). Um aparelho elétrico só funciona quando se cria uma diferença de potencial entre os pontos em que estiver ligado para que as cargas possam se deslocar. A tensão elétrica é a diferença de potencial entre dois pontos. A unidade da tensão elétrica, no SI, é o volt (V) em homenagem ao Físico Italiano Alessandro Volta.
1.5 – As Leis de Ohm e suas Aplicações
1.5.1 - A Primeira Lei de Ohm 
A primeira Lei de Ohm afirma que, ao percorrer um resistor (R) a corrente elétrica (i) é diretamente proporcional à tensão (U).
U = R. i
Onde:
U : representa a tensão (ddp).
R: a resistência do resistor ou condutor.
i: corrente elétrica.
A resistência (R) é uma constante de proporcionalidade que tem como unidade do SI o ohm (Ω), em homenagem ao físico George Simon Ohm que propôs a lei.
George Ohm nasceu em Erlangen, Alemanha em 1789. Trabalhou em diversos experimentos envolvendo a eletricidade e, na grande maioria, desenvolvia seus próprios equipamentos. Em 1827 estabeleceu a relação descrita acima e conhecida até hoje como a 1ª Lei de Ohm. Ohm faleceu em 6 de Julho de 1854 em Munique.
A primeira lei de Ohm é um dos pilares que sustenta a tecnologia em várias áreas da eletricidade. Essa lei fundamenta-se na proporcionalidade de intensidade de uma corrente elétrica que atravessa um condutor, em relação a diferença de potencial nesse condutor, e esse condutor que apresenta um valor proporcional à tensão e a corrente, denomina-se resistência, essa resistência é um elemento do componente resistor. O circuito abaixo mostra como aplicamos a primeira lei de Ohm.
Exemplo 1: No circuito
 
, determine a intensidade da corrente elétrica circulante.
200
 Ω
 U = 100 V
 R = 200 Ω
 I =
 ?
 i =
 
 
 
 i = 0,5 A
 
 
 
 
 
 
i
100 V
 
Exemplo 2: No circuito , determine a o valor da tensão.
 U =?
 R = 400 Ω 
 i = 0,25 A 
 U = R. i
 
 U = 400 x 0.25 = 100 
 U = 100 V 
 
 
 
 
 
400 Ω
0,25 A
U =
 ?
Exemplo 3: No circuito abaixo, determine o valor do resistor.
R =
 ?
R =
 ?
 
 i = 
0,
125 A 
 U = 160 V
 U = R.i
 
 R = 
 
 R = 1280 Ω 
 
 
 
 
 
 
 
0,
125 A
160 V
1.5.1.1 – Exercícios
1) Na seção transversal de um condutor passa uma quantidade de carga elétrica ∆Q = 5 . 10-5 C no intervalo de tempo ∆t = 4 . 10-2 s. Determine a intensidade da corrente elétrica que atravessa o condutor.
2) Na seção transversal de um condutor passa uma intensidade de corrente elétrica de 2 A no intervalo de tempo ∆t = 1 . 10-2 s. Determine a quantidade de carga elétrica que atravessa o condutor.
3) Na seção transversal de um condutor passa uma quantidade de carga elétrica ∆Q = 8 . 10-4 C , com uma corrente de intensidade 5 A. Determine o intervalo de tempo que intensidade da corrente elétrica que atravessa o condutor.
4) O átomo de um certo elemento é composto por 4 prótons, 4 nêutrons e 4 elétrons. Determine a carga elétrica do núcleo deste átomo.
5) O átomo de um certo elemento é composto por 2 prótons, 2 nêutrons e 2 elétrons. Determine a carga elétrica do núcleo deste átomo.
6) Na seção transversal de um condutor passa uma quantidade de carga elétrica ∆Q = 2 . 10-5 C no intervalo de tempo ∆t = 5 . 10-2 s. Determine a intensidade da corrente elétrica que atravessa o condutor.
7) Na seção transversal de um condutor passa uma intensidade de corrente elétrica de 5 A no intervalo de tempo ∆t = 3 . 10-2 s. Determine a quantidade de carga elétrica que atravessa o condutor.
 
8) Determinar o valor da tensão sobre um resistor de 60 Ω que é atravessado por uma intensidade de corrente elétrica de intensidade 2,5 A .
9) Determinar o valor da resistência do Resistor que é atravessado por uma intensidade corrente elétrica de 1,25 A quando o mesmo está submetido à uma tensão de 200 V.
10) Determinar a intensidade da corrente elétrica em um resistor cujo valor de resistência vale 1200 Ω quando o mesmo está submetido à uma tensão de 120 V.
1.5.1.2 - Associação de Resistores
Todo circuito elétrico ou eletrônico necessita de associações para obter valores de resistência, tensão ou mesmo corrente. Existem três tipos de associação de resistores: Série , Paralela e Mista.
Série: este tipo de associação tem como característica a corrente elétrica percorrendo um só caminho . Nessa condição, uma só corrente provoca tantas quedas de tensão quanto forem a quantidade de resistores associados.
i 
B
A
R
4
R
3
 
R
2
R
1 
 
 
U
AB 
 
U
AB
 
= U
R1
 + U
R2
 + U
R3
 + U
R4
 
 U
AB
 = 
R
Eq
 
 U
AB
 = i.R
1
 + i.R
2
 + i.R
3
 + i.R
4
 = i.(R
1
+R
2
+R
3
+R
4
)
U
AB
 = 
i.
R
Eq
 
 
 
R
Eq
.i = i.(R
1
+R
2
+R
3
+R
4
) 
 
R
Eq
 = R
1
 + R
2
 + R
3
 + R
4Caso Particular: Quando temos “n” resistores iguais associados em série, basta multiplicar o valor de um deles pelo o número de resistores associados.
Exemplo: Determinar o valor REq da associação de resistores abaixo:
 
 
R
E
q
 = 7 x 20 = 140 
Ω
 
 
 
 
R
Eq
 = 140 Ω 
 
 
 
 
20 Ω
20 Ω
20 Ω
20 Ω
20 Ω
20 Ω
20 Ω
Paralela: Este tipo de associação tem com característica corrente elétrica se dividindo e a tensão constante.
 
i
T
 = i
1
 + i
2
 + i
3
 
 
i
T
 
= 
,
 i
1
 = 
 
, i
2
 = 
 
 
i
3
 = 
 
 
 = 
 + 
 
+ 
 
 = 
U
T
.(
 + 
 + 
) 
 
= 
 
 + 
 + 
 
 
 
 
 
 
i
T
R
3
R
2
R
1
R
Eq
i
1
i
2
i
3
Casos Particulares:
1º Caso: Quando tivermos dois resistores diferentes em paralelo, resulta o resistor equivalente, no produto desses dois resistores dividido pela soma deles. Assim, temos:
 Pela 3ª Lei de 
Kirchhoff
 
, temos:
i
T
 = i
1
 + i
2
 
, sendo 
i
T
 = 
 , 
i
1
 = 
 , i
2
 = 
 
 
então
:
 
 
 
 = 
 + 
 
 
 
 
= 
 
 + 
 
 
 
 
 
= 
 
 + 
 
 = = 
 
 
= 
 
 
 
R
Eq
 =
 
 
 
 
 
i
2
i
1
i
T
R
1
R
2
U
T
R
1
 
+ R
2
1
 +
 
1
R
1
.
R
2
R
1
.
R
2
R
1
.
R
2
R
1
 
+ R
2
R
1
 
+ R
2
R
1
.
R
2
2º Caso: Quando tivermos dois resistores iguais em paralelo, resulta o resistor equivalente, no valor do resistor ser dividido por 2. Assim, temos:
 Pela 3ª Lei de 
Kirchhoff
 
, temos: R
1
 = R
2
 = R
i
T
 = i
1
 + i
2
 , sendo 
i
T
 = 
 , 
i
1
 = 
 , i
2
 = 
 
então
:
 
 
 
 = 
 + 
 
 
 
 
= 
 
 + 
 
 
 
 
= 
 
 
 
R
Eq
 =
 
 
R
Eq
 =
 
 
 
 
 
 
i
2
i
1
i
T
R
1
R
2
 R
2
R
 
+ R
U
T
2
R
 
R.R
i
T
 = i
1
 + i
2
 + i
3
 
 
i
T
 
= 
,
 i
1
 = 
 
, i
2
 = 
 
 
i
n
 =
 
 
 
 = 
 + 
 + 
 
 = 
U
T
.(
 + 
- - 
+ 
) 
 
 
= 
 + 
- -
+ 
 
 
 = 
 + 
 
 
= 
 
 + 
- - +
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
R
Eq
 =
 
 
R
Eq
 =
 
 
 
 
 
 3º Caso: Generalizando o 2º caso, temos:
i
T
R
n
R
2
R
1
R
Eq
i
1
i
2
I
n
n
R
R
n
1.5.1.3 – Associação Mista 
 Como o próprio nome já diz, associação mista é a mistura dos dois processos , primeiro resolvemos o circuito paralelo e depois somamos o resultado com o circuito série. Assim , temos:
R
Eq
 
= R
1
//R
2
 + R
3
 , sendo 
R
1
//R
2
 = 
 
 
Então teremos:
 
 
R
Eq
 = 
 
+ R
3
 
 
 
 
 
 
 
R
1
.
R
2
R
1 
 
R
1
 + R
2
R
3 
 
R
2 
R
EqR
1
.
R
2 
R
1
 + R
2 
 
1.5.1.4 – Exercícios
11) Dados os circuitos abaixo, determine o REq.
 25Ω 40 Ω 
 35 Ω 
 
 
 100 Ω 50 Ω
a) 
 
R
Eq
 20 Ω 15 Ω
 20 Ω 25 Ω 
 40 Ω 
 20 Ω 50 Ωb) 
 
R
Eq
 
 
 
 25 Ω 100 Ω 100 Ω 25 Ω 
 
 
 
 
 c) 
R
Eq 
 
d) 
 30 Ω 70 Ω 
 40 Ω 
 100 Ω 
 
 
 60 Ω 
 
 
 
 50 Ω 
 
 
 
R
Eq
e) 
 10 Ω 10 Ω 
 
 2,5 Ω 2,5 Ω 
 
 
 36Ω 
36Ω
 
36Ω
 
 
 
 70 Ω 
 
9
 Ω 
 70 Ω 
 
 
 
R
Eq
 
 
Caso importantíssimo: Quando temos um resistor em paralelo com um curto-circuito, este resistor não existirá , pois todo o fluxo de corrente elétrica será desviado para o curto-circuito , dessa forma o resistor não existirá no circuito. Por exemplo:
R
100 Ω
50 Ωf)
 
100 Ω
100 Ω
50 Ω
R
Eq
100 Ω
100 Ω
g) 
50 Ω
50 Ω
100 Ω
100 Ω
R
Eq
 
50 
Ω
50 Ω
30 Ωh) 
30 Ω
30 Ω
15 Ω
R
Eq
10 Ω
20 Ω
10 Ω
20 Ω
i)
10 Ω
20 Ω
15 
Ω
30 Ω
R
Eq
50 Ω
30 Ω
j)
50 Ω
40 Ω
R
Eq
60 Ω
100 Ω1.5.1.5 – Divisor de Tensão Resistivo 
 
 Uma das maiores aplicações de resistores é o Divisor Resistivo de Tensão . Este divisor é a mais pura aplicação ddp Lei de Ohm. Assim , para melhor entendermos a importância dessa aplicação temos por exemplo a polarização de transistores na região ativa. Abaixo, por meio da figura estamos mostrando como se aplica esse divisor através da 1ª Lei de Kirchhoff.
Pela 1ª Lei de 
Kirchhoff
 ,
 A tensão da fonte é igual a soma das quedas de tensões provocadas
 
pelo elementos associados.
U
T
 = U
1
 + U
2
 
 U
1
 = i.R
1
 , U
2
 = i.R
2
 
U
T
 = i.R
1
 
+ i.R
2
 
 U
T
 = i.( R
1
 + R
2
 ) 
 i = 
 
 
 
U
T
 .
 R
2
 
 
U
Out
 = i. R
2
 
 
U
Out
 = 
 
 
R
1
 
+ R
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
1
 
 R
1
 
 
 
 + 
 U
T
 R
2 
U
O
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U
T
i 
 
R
1
 + R
2 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.1.6 - Divisor Resistivo de Corrente 
 Assim como no Divisor Resistivo de Tensão , o Divisor Resistivo de Corrente tem aplicações práticas. Dentro da eletrônica linear em especial, mais precisamente na polarização de transistores. Assim, para melhor entendermos esta aplicação, vamos desenvolver a equação do Divisor Resistivo de Correntes por meio dos seus conceitos. Para isso, vamos utilizar a 3ª Lei de Kirchhoff. 
Pela 3ª Lei de 
Kirchhoff
 ,
 temos: ∑ 
i
E
 = ∑ 
i
S
 , então,
i
T
 = i
1
 + i
2
 
 
i
T
 = , i
1
 = ,
i
2
 = 
 = + 
 
R
Eq
 
 = 
 
 i
T
.(
 
 
 
)
 
= i
1
.R
1
 
 
 
i
1
 =
 
i
T
. 
analogamente
, 
i
OUT
 = 
i
T
. 
 
 
i
2
 = 
i
OUTU
T
 
U
T
 
 
i
T
 
 I
1
 i
2
 
 I
T
 R
1
 R
2
 
 
U
T
U
T
R
1
R
Eq
U
T
U
T
U
T
U
T
R
2
R
1
R
Eq
R
2
R
1
.
R
2
R
1
.
R
2
R
1
 + R
2
R
1
 + R
2 
 
R
1
R
2
R
1
 + R
2
R
1
 + R
2
1.5.1.7 – Exercícios
12) Determine as quedas de tensões provocadas pelo divisor abaixo, sendo dado: 
a) UT =120 V , R1 = 200 Ω e R2 =400Ω
 
 U
1
 
 R
1
 
 
 
 + 
 U
T
 R
2 
U
O
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) UT = 220 V , R1 = 100 Ω e R2 =300Ω
 U
1
 
 R
1
 
 
 
 + 
 U
T
 R
2 
U
O
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ic) UT = 200 V , R1 = 150 Ω e R2 =200Ω 
 
 U
1
 
 R
1
 
 
 
 + 
 U
T
 R
2 
U
O
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Determine as correntes geradas pelo divisor abaixo:
a) I
T
 = 10 A
 
, R
1
 = 30 Ω , R
2
 = 60 Ω
 
 
 U
T
 
U
T
 
 
i
T
 
 I
1
 i
2
 
 I
T
 R
1
 R
2
 
 
 
 
 
b
) I
T
 = 
2
0 A
 
, R
1
 = 3
0
0 Ω , R
2
 = 600 Ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i
T
 
 I
1
 i
2
 
 I
T
 R
1
 R
2
 
 
 
 
 b) I
T
 = 30 
A ,
 R
1
 = 300 Ω , R
2
 = 500 Ω 
 
 
 U
T
 
U
T
 
 
i
T
 
 I
1
 i
2
 
 I
TR
1
 R
2
 
 
 
 
1.5.2 - Segunda Lei de Ohm 
 Como já vimos antes, George Ohm realizou diversos experimentos envolvendo a eletricidade. Muitos destes experimentos estavam relacionados à resistência elétrica, e nestes, ele verificou que a resistência (R) de um resistor é diretamente proporcional ao comprimento (L) do resistor, inversamente proporcional à área da secção transversal (A) e depende do material do qual o resistor é feito. Esta relação é conhecida como a Segunda Lei de Ohm.
Considerando os resistores como sendo fios, podemos simplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica.
Temos um resistor representado por um fio de comprimento L e secção transversal de área A (constante).
Pela Segunda Lei de Ohm podemos afirmar que:
Sendo dois resistores constituídos pelo mesmo material, e com a mesma área de secção transversal, o primeiro com comprimento L e o segundo com comprimento 2L. Se a resistência do primeiro for R a do segundo será necessariamente 2R.
Sendo dois resistores constituídos pelo mesmo material , e com o mesmo comprimento, o primeiro com área de secção transversal A e o segundo com área de secção transversal 2A. Se a resistência do primeiro for R a do segundo será necessariamente R/2.
       A resistência de um condutor depende de suas dimensões ( área da secção  e comprimento )  e  do material de que é feito.  Dado um condutor de área de secção transversal constante S,  homogêneo ( mesmo material em todos os pontos ) e de comprimento L.
	
	Condutor de comprimento L e área de secção transversal S
A resistência R do condutor é calculada por :
	
	onde  r é uma constante característica do material  chamada de resistividade 
	ou resistência especifica  e cuja unidade é o
	
A seguir uma tabela com alguns materiais condutores  e a resistividade. 
	Material
	r (W.m)
	r (W.mm2/m)
	Alumínio
	2,8x10-8
	2,8x10-2
	Cobre
	1,7x10-8
	1,7x10-2
	Prata
	1,6x10-8
	1,6x10-2
Exemplos
1) Um condutor de alumínio tem 300m de comprimento e 2mm de diâmetro. Calcule a sua resistência elétrica.
R:  São dados   L=300m , D=2mm portanto o raio R=1mm e a área da secção poderá ser calculada
S= p.R2 =3,14.(1mm)2 =3,14mm2 =3,14.10-6m2 
Podemos resolver esse exemplo de duas formas:
a) Considerando a resistividade expressa em (W.m). Nesse caso o comprimento deve estar expresso em m, e a área da secção em m2 , portanto entrando na expressão que dá a resistência resulta:
b) Considerando a resistividade expressa em (W.mm2/m). Nesse caso o comprimento deve estar expresso em m, e a área da secção em mm2 , portanto entrando na expressão que dá a resistência resulta:
2) Um fio de cobre tem 2mm de diâmetro. Aplicando-se uma tensão de 10V resulta uma corrente de 1A.Qual o comprimento do fio ?
R: Observe que neste problema são dados: diâmetro portanto podemos calcular a área da secção ( S ), tensão(U e corrente (I) no condutor portanto podemos calculara a sua resistência (R), e  da tabela obtemos o valor da resistividade (r ).
S= ρ.R2 =3,14.(1mm)2 = 3,14mm2 = 3,14.10-6m2 
R=10V/1A = 10 Ohms
Da tabela : r =1,7x10-8 W.m= 1,7x10-2  W.mm2/m
1.5.3 - Variação da Resistência com a Temperatura
 A resistência varia com a temperatura pois a resistividade varia com a temperatura.No caso dos metais, quando a temperatura varia de i para f a resistência do metal aumentará de Ri para Rf de acordo com a expressão:
Rf = Ri.(1 + )
Rf é a resistência do condutor na temperatura f (final) 
Ri é a resistência do condutor na temperatura i (inicial) 
 = f  - i  é a variação da temperatura
 é uma constante chamada de coeficiente de temperatura
Para os metais o coeficiente de temperatura vale aproximadamente 0,004 ºC-1 sendo positivo, isto é, se a temperatura aumentar a resistência aumenta. Existem materiais que tem o coeficiente de temperatura negativo, e portanto se a temperatura aumentar a resistência diminui, é o caso dos semicondutores.
1.5.4 - Termistores
    São componentes usados como sensores de temperatura,  possuindo um grande valor de coeficiente de temperatura, isso significa que, se a temperatura variar mesmo de alguns graus a resistência sofrerá uma grande variação. Podem ter o coeficiente de temperatura positivo, nesse caso são chamados de PTC ( Positive Coefficent 
Temperature ) ou coeficiente de temperatura negativo, sendo chamados de NTC ( Negative Coefficient Temperature ).
	
	
	
Exemplo
 Assinale verdadeiro  ( V ) ou Falso ( F ) para cada afirmativa
1) Se  o comprimento de um fio dobrar a sua resistência  dobra de valor ( V )     ( F )
2) Se  o diâmetro de um fio  dobrar a sua resistência  cai pela metade  ( V )     ( F ).
3) Um NTC é um componente cuja resistência aumenta se a temperatura aumentar ( V )     ( F ).
4) Quando uma lâmpada acende a   resistência do seu filamento diminui de 10 vezes. ( V )     ( F ).
5) Dois condutores , um de cobre e outro de alumínio, tem as mesmas dimensões. O condutor de cobre terá resistência  maior do que o de alumínio ( V )     ( F ).
1.6 - O Efeito Joule 
 
 Quando um condutor é aquecido ao ser percorrido por uma corrente elétrica, ocorre uma transformação de Energia Elétrica em Energia Térmica. Este fenômeno é conhecido como Efeito Joule, em homenagem ao Físico Britânico James Prescott Joule (1818-1889).
Esse fenômeno ocorre devido o encontro dos elétrons da corrente elétrica com as partículas do condutor. Os elétrons sofrem colisões com átomos do condutor, parte da energia cinética (energia de movimento) do elétron é transferida para o átomo aumentando seu estado de agitação, conseqüentemente sua temperatura. Assim, a energia elétrica é transformada em energia térmica (calor).
A descoberta da relação entre eletricidade e calor trouxe ao homem vários benefícios. Muitos aparelhos que utilizamos no nosso dia-a-dia têm seus funcionamentos baseados no Efeito Joule, alguns exemplos são:
Lâmpada: um filamento de tungstênio no interior da lâmpada é aquecido com a passagem da corrente elétrica tornando-se incandescente, emitindo luz.
Chuveiro: um resistor aquece por Efeito Joule a água que o envolve. São vários os aparelhos que possuem resistores e trabalham por Efeito Joule, como por exemplo, o secador de cabelo, o ferro elétrico e a torradeira.
Outra aplicação que utiliza esta teoria é a proteção de circuitos elétricos por fusíveis. Os fusíveis são dispositivos que têm com objetivo proteger circuitos elétricos de possíveis incêndios, explosões e outros acidentes. O fusível é percorrido pela corrente elétrica do circuito. Caso esta corrente tenha uma intensidade muito alta, a ponto de danificar o circuito, o calor gerado por ela derrete o filamento do fusível interrompendo o fornecimento de energia, protegendo o circuito. No Capítulo II, abordaremos mais sobre o Chuveiro.
Pode-se fazer uma simples demonstração do Efeito Joule utilizando para isto, três pilhas grandes, um pouco de palha de aço (Bom Bril) e dois fios flexíveis.
Coloque as três pilhas em série e conecte uma extremidade de cada