8ª Lista

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Oitava Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I - IFSP
1o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Intervalos de crescimento e de decrescimento. Concavidade e pontos de inflexão. Máximos
e Mínimos.
Exercício 1: Estudar os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaixo.
a) f(x) = x2 − 16 b) f(x) = x2 − 25 c) g(x) = x2 − 8x
d) h(x) = 2x2−20x e) g(x) = x2−4x+10 f) f(x) = x2−2x+12
g) f(x) =
x3
3
+
x2
2
− 6x+ 5 h) h(x) = x
3
3
+
3x2
2
+ 2x+ 7
i) g(x) = x3 +
5x2
2
− 2x+ 8 j) g(x) = x3 + 3x2
k) f(x) =
x3
3
+ 2x2 + 3x+ 2 l) f(x) = x+
1
x
m) y = e−x
2
Respostas:
a) Decrescente (estrit.) em ]−∞, 0]; crescente (estrit.) em [0, ∞[
c) Decrescente (estrit.) em ]−∞, 4]; crescente (estrit.) em [4, ∞[
e) Decrescente (estrit.) em ]−∞, 2]; crescente (estrit.) em [2, ∞[
h) Crescente (estrit.) em ]−∞, −2] e [−1, +∞]; decrescente (estrit.) em [−2, −1]
j) Crescente (estrit.) em ]−∞, −2] e [0, +∞]; decrescente (estrit.) em [−2, 0]
l) Crescente (estrit.) em ]−∞, −3] e [−1, +∞]; decrescente (estrit.) em [−3, −1]
Exercício 2: Seja f(x) =
x2 − x
1 + 3x2
. Estude f com relação a crescimento e decrescimento.
(Resp.: Crescente (estrit.) em ]−∞, −1] e [1/3, +∞]; decrescente (estrit.) em [−1, 1/3])
Exercício 3: Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f(x) =
x2
x2 − 1 .
(Resp.: Crescente (estrit.) em ]−∞, −1[ e ]− 1, 0]; decrescente (estrit.) em [0, 1[ e ]1, +∞[)
Exercício 4: Enuncie o Teorema do Valor Médio (TVM).
1
Exercício 5: Estudar a demonstração do seguinte teorema:
"Seja f contínua no intervalo I. Se f ′(x) > 0 para todo x interior a I,
então f será estritamente crescente em I".
Ver o livro do Guidorizzi, vol. 1, p. 231.
Exercício 6: Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
a) f(x) = x2 + x− 20 b) y = x2 + 5x− 6
c) f(x) = −x2 + 7x− 6 d) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
e) y = 2x3 − x2 − 4x+ 1 f) y = x ex
g) f(x) = x e−2x
Exercício 7: Seja f(x) = e
−x2
2
. Estude f com relação à concavidade e pontos de inflexão.
(Resp.: Concavidade para cima em ]−∞, −1[ e em ]1, +∞]; concavidade para baixo em ]−1, 1[;
pontos de inflexão: -1 e 1.)
Exercício 8: Seja f(x) = x e
1
x
. Estude f com relação à concavidade e pontos de inflexão.
(Resp.: Concavidade para cima em ]0, ∞[; concavidade para baixo em ] − ∞, 0[; pontos de
inflexão: não há.)
Exercício 9: Seja f(x) = x ln(x). Estude f com relação à concavidade e pontos de inflexão.
(Resp.: Concavidade para cima em ]0, ∞[; pontos de inflexão: não há. Lembre-se que a função
analisada envolve uma função logarítmica.)
Exercício 10: Derive g(x) = x2 + 4x + 10. Estude a função g com relação a máximos e
mínimos.
Exercício 11: Derive f(x) = 3x2 + 12x+ 25. Estude a função f com relação a máximos e
mínimos. (Resp.: −2 é ponto de mínimo)
Exercício 12: Derive f(x) = −4x2 + 32x− 14. Estude a função f com relação a máximos
e mínimos. (Resp.: 4 é ponto de máximo)
Exercício 13: Estudar as funções abaixo com relação a máximos e mínimos.
a) g(x) = x2 + 5x+ 3 b) f(x) = 3x2 + 6x+ 8
c) h(x) =
x3
3
− 3x
2
2
− 4x d) h(x) = x3 + 9x2 + 20
2
Respostas:
a) −2, 5 é ponto de mínimo d) 0 é ponto de mínimo; e −6 é ponto de máximo
Exercício 14: Consideremos a função f(x) =
x3
3
− 2x2 + 3x + 10. Estude o intervalo de
crescimento e decrescimento desta função.
(Resp.: Crescente (estrit.) em ]−∞, 1] e [3, +∞]; decrescente (estrit.) em [1, 3])
Exercício 15: Encontre os pontos de máximo e mínimo da função f(x) =
x3
3
− 5
2
x2+4x+3.
(Resp.: 1 é ponto de máximo e 4 é ponto de mínimo)
Aplicações
Exercício 1: (Maximizando o lucro)
Suponha que R(x) = 9x e C(x) = x3 − 6x2 + 15x, onde x representa milhares de unidades.
Quais os níveis de produção que maximiza o lucro? (Resp.: 0, 586 e 3, 414 mil unidades)
Exercício 2: Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2 p é
dado. (Resp.: p/2)
Dica: Use a área do retângulo dado por x. y, onde x e y são os lados do retângulo; e use o
perímetro de um retângulo, dado por P = 2x+ 2 y.
Exercício 3: Um arame de comprimento L > 0 deve ser cortado em dois pedaços. Uma
parte será dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra na forma de um círculo.
Como deve ser cortado o fio de forma que a soma das áreas do quadrado e do círculo total
englobada seja um mínimo? (Resp.: x =
4L
pi + 4
)
Dica: Corte o arame num pedaço de tamanho x para fazer o quadrado e L−x para o círculo.
Logo, x é o perímetro do quadrado e L− x é o perímetro do círculo. O lado do quadrado é x
4
e
o raio do círculo é r =
L− x
2pi
. Assim, a área é A(x) =
x2
16
+
(L− x)2
4pi
.
Exercício 4: Uma empresa produz um produto com um custo mensal dado por
f(x) =
x3
3
− 2x2+10x+20. Cada unidade do produto é vendida a $ 31,00. Qual a quantidade
que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal? (Resp.: 7 unidades por mês)
Exercício 5: Um monopolista (produtor único de um certo bem) tem um custo mensal dado
por C(x) = 5 + 2x+ 0, 01x2. A função de demanda mensal é p = −0, 05x+ 400. Qual o preço
que deve ser cobrado para maximizar o lucro? (Resp.: 3316, 7 unidades por mês)
3
Exercício 6: A função custo mensal de fabricação de um produto é C(x) =
x3
3
−2x2+10x+1
e a função de demanda mensal do mesmo produto é p = 10−x. Qual o preço que deve ser cobrado
para maximizar o lucro? (Resp.: $ 8, 00)
Exercício 7: Deseja-se construir uma área de lazer, com formato retangular, de 1600m2 de
área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo? (Queremos minimizar o perímetro
P; e observe a dica do Exercício 9.) (Resp.: 40m)
Exercício 8: A receita mensal de vendas de um produto é R(x) = 30x − x2 e seu custo
é C(x) = 20 + 4x. Obtenha a quantidade x que maximiza o lucro. (Resp.: 13)
Exercício 9: Em Microeconomia, a função utilidade de um consumidor é aquela que dá o
grau de satisfação de um consumidor em função das quantidades consumidas de um ou mais
produtos. A função utilidade de um consumidor é U(x) = 10x . e−0,1x em que x é o número
de garrafas de cerveja consumidas por mês. Quantas garrafas ele deve consumir por mês para
maximizar sua utilidade (satisfação)? (Resp.: 10 garrafas)
Exercício 10: Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja
máxima. (Resp.: 1/2 )
Exercício 11: Achar o ponto P0 situado sobre a hipérbole de equação x y = 1 e que está
mais próximo da origem. (Resp.: P0 = (1, 1) e P0 = (−1,−1))
Exercício 12: O custo de produção de x unidades de uma certa mercadoria é a + bx e o
preço de venda é c − dx por unidade, sendo a, b, c, d constantes positivas. Quantas unidades
devem ser produzidas e vendidas para que seja máximo o lucro da operação? (Resp.:
c− b
2d
)
Exercício 13: Um fazendeiro tem 80 porcos, pesando 150 kg cada um. Cada porco aumenta
de peso na proporção de 2,5 kg por dia. Gastam-se $ 2,00 por dia para manter o porco. Se o
preço de venda está a $ 3,00 por kg e cai $ 0,03 por dia, quantos dias deve o fazendeiro aguardar
para que seu lucro seja máximo? (Resp.: Aproximadamente 7 dias)
Exercício 14: Uma lata cilíndrica aberta no topo deve conter 500 cm3 de líquido. O custo
do material utilizado na base é de $2, 00 /cm2 e o material utilizado nos lados é de $3, 00 /cm2.
Determine o raio que minimiza o custo de fabricação da lata? (Resp.: r =
3
√
750
pi
e h =
20
3
√
36pi
)
Dica: Temos área lateral igual a 2pirh e área da base pir2. O custo de fabricação é c =
6pirh + 2pir2. A restrição do volume é V = pir2h = 500, e assim eliminamos uma variável do
custo fazendo, por exemplo, pirh = 500r . O custo fica em função de r, isto é, c(r) =
3000
r
+2pir2.
4
Exercício 15: Um objeto com pesoW é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma
força agindo ao longo de uma cordapresa ao objeto. Se a corda fizer um ângulo θ com o plano,
então a grandeza da força é
F =
µW
µsen(θ) + cos(θ)
,
onde µ é uma constante positiva chamada coeficiente de atrito e 0 ≤ θ ≤ pi
2
. Mostre que tg(θ) = µ
é ponto crítico.
Exercício 16: Pede-se construir um cilindro reto de área total S dada e cujo volume seja
máximo.
Dica: Temos área da base igual a pir2 e área lateral igual a 2pirh. Consequentemente temos
a área total e assim podemos escrever h =
S − 2pir2
2pir
, com h > 0. O volume V do cilindro é
V = pir2
S − 2pir2
2pir
. Consequentemente, r =
√
S
6pi
e h = 2
√
S
6pi
tornam V máximo.
5