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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE FÍSICA LICENCIATURA EM FÍSICA – UAB DISCIPLINA: MECÂNICA I – PARTE II PROFESSOR FORMADOR: WAGNER WILSON FURTADO ORIENTADOR ACADÊMICO: MARCOS ANTONIO ACADÊMICO: JANDER GOMES DE SOUSA Resolução dos Exercícios Exercício proposto 6. Considere dois blocos ligados por uma corda ideal que passa por polias de massa desprezível apoiados sobre uma superfície, como representado na Figura 26. (a) Sabendo-se que a superfície é sem atrito e que a massa do bloco A é mA = 20,0 kg, qual deve ser a massa do bloco B, mB, para que o sistema permaneça em equilíbrio? y y T x A T nB x B PBsen30° PA PBcos30° 30° PB Como o sistema deve permanecer em equilíbrio, temos: ���� =� − �� = → � = �� ( ) ���� =�� − ������ ° = → �� = ������ ° ( ) ���� =������ ° − � = → ������ ° = � ( ) Substituindo (I) em (III), vem: ������ ° = �� → ���. ���� ° = ��� → ��. , � = � , → �� = � , �� (b) Considerando que o coeficiente de atrito estático entre a superfície e o bloco B é µs = 0,40, qual o valor máximo da massa do bloco B, mB, para que o sistema permaneça em equilíbrio? Corpo B na eminência de descer a rampa Corpo B na eminência de subir a rampa x y x y T fat nB T nB B B PBsen30° PBsen30 PBcos30° fat 30° PB 30° PB Como o sistema deve permanecer em equilíbrio, temos: Para o bloco B na eminência de descer a rampa: ���� =� − �� = → � = �� ( ) ���� =�� − ������ ° = → �� = ������ ° ( ) ���� =������ ° − !" − � = → ������ ° = � + !" ( ) Substituindo (I) em (III), vem: ������ ° = �� + !" → ���. ���� ° = ��� + $�. �� ( %) Substituindo (II) em (IV), vem: ���. ���� ° = ��� + $����. ���� ° → ��. , � = � , + , � .��. , &'' , ��� − ,��'��� = � , → �� = � , , (��' = (� , � �� Para o bloco na eminência de subir a rampa: ���� =� − �� = → � = �� ( ) ���� =�� − ������ ° = → �� = ������ ° ( ) ���� =������ ° + !" − � = → ������ ° = � − !" ( ) Substituindo (I) em (III), vem: ������ ° = �� − !" → ���. ���� ° = ��� − $�. �� ( %) Substituindo (II) em (IV), vem: ���. ���� ° = ��� − $����. ���� ° → ��. , � = � , − , � .��. , &'' , ��� + ,��'��� = � , → �� = � , , &�'� = ��, ' �� Logo, o valor máximo da massa do bloco B para que o sistema permaneça em equilíbrio é mB = 130,2 kg. (c) Se a massa do bloco B for o dobro da massa encontrada no item (b) e o coeficiente de atrito cinético for µc = 0,30, determine a aceleração do sistema. mA = 20,0 kg PA = 20,0.9,8 = 196,0 N mB = 260,4 kg PB = 260,4.9,8 = 2551,92 N Se a massa do bloco B for o dobro da massa encontrada no item (b), temos: ���� =� − �� = ��. ! → � = ��. ! + �� ( ) ���� =�� − ������ ° = → �� = ������ ° ( ) ���� =������ ° − !" − � = ��. ! → ������ ° = ��. ! + � + !" ( ) Substituindo (I) em (III), vem: ������ ° = ��. ! +��. ! + �� + !" → ��. ���� ° = !(��+��) + �� + $�. �� ( %) Substituindo (II) em (IV), vem: ��. ���� ° = !(��+��) + �� + $�. ��. ���� ° ���(, )�. , � = !(� , + �' , �) + ()', + , � . ���(, )�. , &'' ! = (�*�, )' − ()', − ''�, ))�& , � = �(', )*�& , � = (, � �/�� Exercício proposto 7. Considere um rotor de parque de diversões como o esquematizado na Figura 27. Nele a pessoa fica encostada na lateral e o rotor começa a girar. Ao atingir determinada velocidade, o piso é retirado, ficando a pessoa “sem chão”. Isso é possível devido à força de atrito entre as costas da pessoa e o rotor. Sabendo-se que o raio do rotor é de 3,0 m: Direção vertical fat Direção radial n P (a) qual é o coeficiente de atrito estático mínimo que deve existir quando o rotor gira 1 volta em 2 segundos? Determinando a velocidade de rotação: , = �-�, �� � = �, . �, (��� = ), �� �/� ��,�."/�!0 = !" − � = → $�. � = �� ( ) ��.!1/!0 = � = �.,�2 ( ) Substituindo (II) em (I), temos: $��.,�2 = �� → $� = �.2,� → $� = ), &. �, (), ��)� = , �� (b) o coeficiente mínimo depende do peso da pessoa? Pela resolução do item (a) percebe-se que o coeficiente mínimo não depende da massa da pessoa, mas depende da aceleração da gravidade do local. Exercício proposto 8. Três blocos, A, B e C, estão ligados por cordas de massas desprezíveis, conforme representado na Figura 28. As polias também possuem massas desprezíveis. A massa de A é mA = 5,0 kg, a de B é mB = 6,0 kg e a de C é mC = 7,0 kg. O coeficiente de atrito estático entre cada bloco e a superfície é µs = 0,40 e o cinético é µc = 0,30. Dados: mA = 5,0 kg PA = 49,0 N mB = 6,0 kg PB = 58,8 N mC = 7,0 kg PC = 68,6 N µs = 0,40 µc = 0,30 y y y x nA nB TBC TBC A TAB BC fatA x PBsen30° PBcos30° x PA fatB 30° PC TAB PB (a) Se o sistema estiver inicialmente em repouso, haverá movimento? Se o sistema estiver inicialmente em repouso, para haver movimento devemos ter: PC > fatA + fatB + PBsen30° ou PBsen30° > PC + fatB (neste caso só os corpos B e C se movimentariam) !"� = $�. ������ ° = , � . �&, &. , &'' = � , � 3 ������ ° = �&, &. , � = �), � 3 �4 = �4. � = *, . ), & = '&, ' 3 !"� + !"� + ������ ° = $�. �� + � , � + �), � !"� + !"� + ������ ° = , � . �), + �), & = '), � 3 Logo, PC < fatA + fatB + PBsen30° e PBsen30° < PC + fatB, então o sistema não movimentará. (b) Se o sistema estiver inicialmente em movimento com o bloco B subindo a rampa, qual a aceleração a do sistema? Com o bloco B está subindo a rampa, temos: Bloco A ��� = ��� − !"� =��! → ��� = ��! + $��� ( ) ��� = �� − �� = → �� = �� ( ) Bloco B ��� = ��4 − !"� − ��� − ������ ° =��! → ��4 = ��! + $��� + ��� + ������ ° ( ) ��� = �� − ������ ° = → �� = ������ ° ( %) Bloco C ��� = �4 − ��4 =�4! → ��4 = �4 −�4! (%) Substituindo (I), (II), (IV) e (V) em (III), temos: �4 −�4! = ��! + $������� ° +��! + $��� + ������ ° '&, ' − *, ! = ', ! + , �. �&, &. , &'' + �, ! + , �. �), + �&, &. , � (&, ! = ), �� → ! = ), ��(&, = , �( �/�� (c) Determine as tensões nas cordas para a situação do item (b). ��� = ��! + $��� = �, . , �( + , �. �) = (*, �� 3 ��4 = �4 −��! = '&, ' − *, . , �( = '�, � 3 Exercício proposto 9. Uma cunha de massa M repousa sobre o topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um bloco de massa m é colocado sobre a cunha, conforme representado na Figura 29. (a) Qual deve ser o módulo da força, F, aplicada sobre a cunha para que o bloco permaneça em repouso em relação a ela, sem necessitar de atrito? x y nmcosθ y nM θ nm nmsenθ F m M x nmsenθ nm θ nmcosθ Pm PM Pelo enunciado, o bloco e a cunha compartilham de uma mesma aceleração na direção horizontal. Assim, pela segunda lei de Newton, temos: Na cunha M: ��� = � − �����5 =�6! → � = �6! + �����5 ( ) ��� = �6 − �� − �6 = ( ) No bloco m: ��7�./8��"!0 = �����5 =��! ( ) ��,�."/�!0 = �����5 − �� = → �����5 = ��� → �� = ������5 ( %) Substituindo (IV) em (III), encontramos a aceleração: ������5 ���5 = ��! → ! = ���5����5 = �. "�5 (%) Como o bloco e a cunha compartilham de uma mesma aceleração na horizontal, temos: � = (�6 +��)! (% ) Substituindo (V) em (VI), temos: � = (�6 + ��)�. "�5 (b) Sendo µ o coeficiente de atrito estático entre a cunha e o bloco, qual deve ser a força mínima aplicada sobre a cunha para que o bloco permaneça em repouso em relação a ela? Bloco B na presença de atrito x fatsenθ fat nmcoθ y θ nm θ fatcosθ nmsenθ Pm O bloco e a cunha compartilham de uma mesma aceleração na direção horizontal. Assim, pela segunda lei de Newton, temos: Na cunha M (diagrama do item (a)): ��� = � − �����5 =�6! → � = �6! + �����5 ( ) ��� = �6 − �� − �6 = ( ) No bloco m: ��7�./8��"!0 = �����5 − !"���5 =��! → �����5 − $�����5 = ��! ��(���5 − $���5) = ��! ( ) ��,�."/�!0 = �����5 + !"���5 − �� = → �����5 + $�����5 = ��� ��(���5 + $���5) = ��� → �� = ������5 + $���5 ( %) Substituindo (IV) em (III), vem: ������5 + $���5 (���5 − $���5) = ��! → ! = ����5 − $���5���5 + $���5 Podemos simplificar esta última expressão: ! = � ���5���5 9���5 − $���5���5 . ���5���5 + $���5: = �. "�5; ���5<$���5���5���5=$���5���5 > ! = �. "�5;���5���5− $���5���5���5���5+ $���5���5 > = �. "�5; ( − $"�5( + $"�5> = � 9 "�5 − $( + $"�5: (%) Como o bloco e a cunha compartilham de uma mesma aceleração na horizontal, temos: � = (�6 +��)! (% ) Substituindo (V) em (VI), temos: � = (�6 +��)� "�5 − $( + $"�5 Exercício proposto 10. Um corpo de massa m1 = 2,0 kg está preso em um fio de comprimento L1 = 1,0 m, que tem uma ponta fixa no centro de uma mesa horizontal sem atrito. Outro corpo, de massa m2 = 3,0 kg, está preso ao primeiro por um fio de comprimento L2 = 1,0 m e também descreve uma circunferência, como representado na Figura 30. Determine as tensões T1 e T2 em cada fio, sabendo que o período de revolução do movimento dos dois corpos (tempo para dar uma volta) é T = 4,0 s. Dados: m1 = 2,0 kg L1 = 1,0 m R1 = 1,0 m m2 = 3,0 kg L2 = 1,0 m R2 = 2,0 m T = 4,0 s Corpo 1 Corpo 2 vertical vertical n1 n2 T1 T2 radial T2 radial P1 P2 Determinando a velocidade de rotação dos corpos: ,( = �-2(� = �, . �, (�. (, �, = (, �* �/� ,� = �-2�� = �, . �, (�. �, �, = �, (� �/� De acordo com os diagramas de corpos livres, temos: Para o corpo 1 ��,�."/�!0 = �( − �( = ��.!1/!0 = �!.!1/!0 = �( − �� = �(. ,(�2( → �( = �(. ,( �2( + �� ( ) Para o corpo 2 ��,�."/�!0 = �� − �� = ��.!1/!0 = �!.!1/!0 = �� = ��. ,��2� ( ) Substituindo (II) em (I), temos: �( = �(. ,(�2( +��. ,� �2� = �, ((, �*) �(, + �, (�, (�)��, = �, ) + (�, & = (), * 3 Voltando a equação (II), temos: �� = ��. ,��2� = �, (�, (�) ��, = (�, & 3
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