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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
INSTITUTO DE FÍSICA 
LICENCIATURA EM FÍSICA – UAB 
DISCIPLINA: MECÂNICA I – PARTE II 
PROFESSOR FORMADOR: WAGNER WILSON FURTADO 
ORIENTADOR ACADÊMICO: MARCOS ANTONIO 
ACADÊMICO: JANDER GOMES DE SOUSA 
 
Resolução dos Exercícios 
 
Exercício proposto 6. 
 
Considere dois blocos ligados por uma corda ideal que passa por polias de massa 
desprezível apoiados sobre uma superfície, como representado na Figura 26. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Sabendo-se que a superfície é sem atrito e que a massa do bloco A é mA = 20,0 kg, 
qual deve ser a massa do bloco B, mB, para que o sistema permaneça em equilíbrio? 
 
 y y 
 
 T x 
 A T nB 
 x B PBsen30° 
 PA PBcos30° 
 30° PB 
 
 
 
Como o sistema deve permanecer em equilíbrio, temos: 
 ���� =� − �� = 				 → 			� = ��				(
) 
 ���� =�� − ������	° = 				 → 		�� 	= ������	°				(
) 
 ���� =������	° − � = 				 → 		������	° = �				(
) 
Substituindo (I) em (III), vem: 
 ������	° = �� 		→ 		���. ����	° = ���		 → 		��. 	, � = �	, 		 → 	�� = �	, 		��		 
 
 
(b) Considerando que o coeficiente de atrito estático entre a superfície e o bloco B é 
µs = 0,40, qual o valor máximo da massa do bloco B, mB, para que o sistema permaneça 
em equilíbrio? 
 
Corpo B na eminência de descer a rampa Corpo B na eminência de subir a rampa 
 x y x y 
 T 
 fat nB T nB 
 B B PBsen30° 
 PBsen30 PBcos30° fat 
 30° PB 30° PB 
 
 
Como o sistema deve permanecer em equilíbrio, temos: 
 
Para o bloco B na eminência de descer a rampa: ���� =� − �� = 				 → 			� = ��				(
) 
 ���� =�� − ������	° = 				 → 		�� 	= ������	°				(
) 
 ���� =������	° − !" − � = 				 → 		������	° = � + !"				(
) 
 
Substituindo (I) em (III), vem: 
 ������	° = �� + !" 		→ 		���. ����	° = ��� + $�. ��				(
%)		 
 
Substituindo (II) em (IV), vem: 
 ���. ����	° = ��� + $����. ����	°		 → 	��. 	, � = �	, 	 + 	, �	.��. 	, &''	 
 	, ��� − 	,��'��� = �	,				 → 			�� = �	, 		, (��' = (�	, �	�� 
 
Para o bloco na eminência de subir a rampa: ���� =� − �� = 				 → 			� = ��				(
) 
 ���� =�� − ������	° = 				 → 		�� 	= ������	°				(
) 
 ���� =������	° + !" − � = 				 → 		������	° = � − !"				(
) 
 
 
Substituindo (I) em (III), vem: ������	° = �� − !" 		→ 		���. ����	° = ��� − $�. ��				(
%)		 
 
Substituindo (II) em (IV), vem: 
 ���. ����	° = ��� − $����. ����	°		 → 	��. 	, � = �	, 	 − 	, �	.��. 	, &''	 
 	, ��� + 	,��'��� = �	,				 → 			�� = �	, 		, &�'� = ��, '	�� 
 
Logo, o valor máximo da massa do bloco B para que o sistema permaneça em 
equilíbrio é mB = 130,2 kg. 
 
 
 
(c) Se a massa do bloco B for o dobro da massa encontrada no item (b) e o coeficiente 
de atrito cinético for µc = 0,30, determine a aceleração do sistema. 
 
mA = 20,0 kg PA = 20,0.9,8 = 196,0 N 
mB = 260,4 kg PB = 260,4.9,8 = 2551,92 N 
 
Se a massa do bloco B for o dobro da massa encontrada no item (b), temos: 
 ���� =� − �� = ��. !			 → 			� = ��. ! + ��				(
) 
 ���� =�� − ������	° = 				 → 		�� 	= ������	°				(
) 
 ���� =������	° − !" − � = ��. !		 → 		������	° = ��. ! + � + !"				(
) 
 
Substituindo (I) em (III), vem: 
 ������	° = ��. ! +��. ! + �� + !" 		→ 		��. ����	° = !(��+��) + �� + $�. ��				(
%) 
 
Substituindo (II) em (IV), vem: 
 ��. ����	° = !(��+��) + �� + $�. ��. ����	°				 
 ���(, )�. 	, � = !(�	, 	 + �'	, �) + ()', 	 + 	, �	. ���(, )�. 	, &'' 
 ! = (�*�, )' − ()', 	 − ''�, ))�&	, � = �(', )*�&	, � = (, �	�/�� 
 
 
 
Exercício proposto 7. 
 
Considere um rotor de parque de diversões como o esquematizado na Figura 27. Nele a 
pessoa fica encostada na lateral e o rotor começa a girar. Ao atingir determinada 
velocidade, o piso é retirado, ficando a pessoa “sem chão”. Isso é possível devido à 
força de atrito entre as costas da pessoa e o rotor. Sabendo-se que o raio do rotor é de 
3,0 m: 
 Direção vertical 
 
 
 fat 
 Direção radial 
 n 
 P 
 
 
 
(a) qual é o coeficiente de atrito estático mínimo que deve existir quando o rotor gira 1 
volta em 2 segundos? 
 
Determinando a velocidade de rotação: , = �-�, 		��	� = �, 	. �, (��� = ), ��	�/� 
 ��,�."/�!0 = !" − � = 								 → 			 $�. � = ��			(
) 
 
��.!1/!0 = � = �.,�2 					(
) 
 
Substituindo (II) em (I), temos: 
$��.,�2 = ��				 → 		$� = �.2,� 				→ 		 $� = ), &. �, 	(), ��)� = 	, ��	 
 
 
(b) o coeficiente mínimo depende do peso da pessoa? 
 
Pela resolução do item (a) percebe-se que o coeficiente mínimo não depende da 
massa da pessoa, mas depende da aceleração da gravidade do local. 
 
 
 
Exercício proposto 8. 
 
Três blocos, A, B e C, estão ligados por cordas de massas desprezíveis, conforme 
representado na Figura 28. As polias também possuem massas desprezíveis. A massa de 
A é mA = 5,0 kg, a de B é mB = 6,0 kg e a de C é mC = 7,0 kg. O coeficiente de atrito 
estático entre cada bloco e a superfície é µs = 0,40 e o cinético é µc = 0,30. 
 
 Dados: 
 mA = 5,0 kg PA = 49,0 N 
 mB = 6,0 kg PB = 58,8 N 
 mC = 7,0 kg PC = 68,6 N 
 µs = 0,40 µc = 0,30 
 
 y y y 
 x 
 nA nB TBC TBC 
 A TAB BC 
 fatA x PBsen30° PBcos30° x 
 PA fatB 30° PC 
 TAB PB 
 
 
 
(a) Se o sistema estiver inicialmente em repouso, haverá movimento? 
 
Se o sistema estiver inicialmente em repouso, para haver movimento devemos ter: 
PC > fatA + fatB + PBsen30° ou PBsen30° > PC + fatB (neste caso só os corpos B e C se 
movimentariam) !"� = $�. ������	° = 	, �	. �&, &. 	, &'' = �	, �	3	 
 ������	° = �&, &. 	, � = �), �	3 
 �4 = �4. � = *, 	. ), & = '&, '	3 
 !"� + !"� + ������	° = $�. �� + �	, � + �), � 
 !"� + !"� + ������	° = 	, �	. �), 	 + �), & = '), �	3 
 
 
Logo, PC < fatA + fatB + PBsen30° e PBsen30° < PC + fatB, então o sistema não 
movimentará. 
 
 
(b) Se o sistema estiver inicialmente em movimento com o bloco B subindo a rampa, 
qual a aceleração a do sistema? 
 
Com o bloco B está subindo a rampa, temos: 
 
Bloco A 
 ��� = ��� − !"� =��!					 → 			 ��� = ��! + $���				(
) 
 ��� = �� − �� =						 → 			 �� = ��				(
) 
 
Bloco B 
 ��� = ��4 − !"� − ��� − ������	° =��!			 → 		 ��4 = ��! + $��� + ��� + ������	°		(
) 
 ��� = �� − ������	° =						 → 			 �� = ������	°				(
%) 
Bloco C 
 ��� = �4 − ��4 =�4!			 → 			 ��4 = �4 −�4!				(%) 
 
Substituindo (I), (II), (IV) e (V) em (III), temos: 
 �4 −�4! = ��! + $�������	° +��! + $��� + ������	° 
 '&, ' − *, 	! = ', 	! + 	, �. �&, &. 	, &'' + �, 	! + 	, �. �), 	 + �&, &. 	, � 
 (&, 	! = ), ��				 → 				! = ), ��(&, 	 = 	, �(	�/�� 
 
 
(c) Determine as tensões nas cordas para a situação do item (b). 
 ��� = ��! + $��� = �, 	. 	, �( + 	, �. �) = (*, ��	3 
 ��4 = �4 −��! = '&, ' − *, 	. 	, �( = '�, 	�	3 
 
 
 
Exercício proposto 9. 
 
Uma cunha de massa M repousa sobre o topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um 
bloco de massa m é colocado sobre a cunha, conforme representado na Figura 29. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Qual deve ser o módulo da força, F, aplicada sobre a cunha para que o bloco 
permaneça em repouso em relação a ela, sem necessitar de atrito? 
 x 
 y nmcosθ y 
 nM θ nm 
 nmsenθ F m 
 M x nmsenθ 
 nm θ nmcosθ Pm 
 PM 
 
 
Pelo enunciado, o bloco e a cunha compartilham de uma mesma aceleração na 
direção horizontal. Assim, pela segunda lei de Newton, temos: 
 
 
Na cunha M: 
 ��� = � − �����5 =�6!			 → � = �6! +	�����5			(
)		 
 ��� = �6 − �� − �6 =						(
) 
 
No bloco m: 
 ��7�./8��"!0 = �����5 =��!				(
) 
 ��,�."/�!0 = �����5 − �� =						 → 			 �����5 = ���		 → 	�� = ������5 		(
%)		 
 
Substituindo (IV) em (III), encontramos a aceleração: 
 ������5 ���5 = ��!				 → 			! = ���5����5 = �. "�5			(%) 
 
Como o bloco e a cunha compartilham de uma mesma aceleração na horizontal, 
temos: 
 � = (�6 +��)!									(%
) 
 
Substituindo (V) em (VI), temos: 
 � = (�6 +	��)�. "�5			 
 
 
 (b) Sendo µ o coeficiente de atrito estático entre a cunha e o bloco, qual deve ser a 
força mínima aplicada sobre a cunha para que o bloco permaneça em repouso em 
relação a ela? 
 Bloco B na presença de atrito 
 x fatsenθ 
 fat nmcoθ y 
 θ nm 
 θ 
 fatcosθ nmsenθ 
 Pm 
 
 
O bloco e a cunha compartilham de uma mesma aceleração na direção horizontal. 
Assim, pela segunda lei de Newton, temos: 
 
Na cunha M (diagrama do item (a)): 
 ��� = � − �����5 =�6!			 → � = �6! +	�����5			(
)		 
 ��� = �6 − �� − �6 =						(
) 
 
No bloco m: 
 ��7�./8��"!0 = �����5 − !"���5 =��!		 → 	�����5 − $�����5 = ��!			 
 ��(���5 − $���5) = ��!						(
)			 
 ��,�."/�!0 = �����5 + !"���5 − �� =			 → 		�����5 + $�����5 = ���					 
 ��(���5 + $���5) = ���			 → 		�� = ������5 + $���5			(
%) 
 
Substituindo (IV) em (III), vem: 
 ������5 + $���5	(���5 − $���5) = ��!			 → 	!	 = ����5 − $���5���5 + $���5 
 
Podemos simplificar esta última expressão: 
 
!	 = � ���5���5 9���5 − $���5���5 . ���5���5 + $���5: = �. "�5;
���5<$���5���5���5=$���5���5
> 
 
! = �. "�5;���5���5− $���5���5���5���5+ $���5���5 > = �. "�5;
( − $"�5( + $"�5> = 	� 9 "�5 − $( + $"�5:			(%) 
 
Como o bloco e a cunha compartilham de uma mesma aceleração na horizontal, 
temos: 
 � = (�6 +��)!									(%
) 
 
Substituindo (V) em (VI), temos: 
 � = (�6 +��)� "�5 − $( + $"�5 
 
 
 
Exercício proposto 10. 
 
Um corpo de massa m1 = 2,0 kg está preso em um fio de comprimento L1 = 1,0 m, que 
tem uma ponta fixa no centro de uma mesa horizontal sem atrito. Outro corpo, de massa 
m2 = 3,0 kg, está preso ao primeiro por um fio de comprimento L2 = 1,0 m e também 
descreve uma circunferência, como representado na Figura 30. Determine as tensões T1 
e T2 em cada fio, sabendo que o período de revolução do movimento dos dois corpos 
(tempo para dar uma volta) é T = 4,0 s. 
 
 
 Dados: 
 m1 = 2,0 kg 
 L1 = 1,0 m R1 = 1,0 m 
 m2 = 3,0 kg 
 L2 = 1,0 m R2 = 2,0 m 
 T = 4,0 s 
 
 
 
 
 
 Corpo 1 Corpo 2 
 
 vertical vertical 
 
 n1 n2 
 
 T1 T2 radial T2 radial 
 P1 P2 
 
 
 
Determinando a velocidade de rotação dos corpos: ,( = �-2(� = �, 	. �, (�. (, 	�, 	 = (, �*	�/� 
 ,� = �-2�� = �, 	. �, (�. �, 	�, 	 = �, (�	�/� 
 
 
 
De acordo com os diagramas de corpos livres, temos: 
 
Para o corpo 1 
 ��,�."/�!0 = �( − �( = 					 
 
��.!1/!0 = �!.!1/!0 = �( − �� = �(. ,(�2( 		→ �( = �(. ,(
�2( + ��	(
) 
 
Para o corpo 2 
 ��,�."/�!0 = �� − �� = 					 
 
��.!1/!0 = �!.!1/!0 = �� = ��. ,��2� 					(
) 
 
Substituindo (II) em (I), temos: 
 
�( = �(. ,(�2( +��. ,�
�2� = �, 	((, �*)
�(, 	 + �, 	(�, (�)��, 	 = �, ) + (�, & = (), *	3 
 
Voltando a equação (II), temos: 
 
 
�� = ��. ,��2� = �, 	(�, (�)
��, 	 = (�, &	3

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