UnidadeIII - Engenharia de Controle, ANÁLISE E PROJETO DE SISTEMAS PELO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES

Prévia do material em texto

ENGENHARIA DE CONTROLE I
UNIDADE III: ANÁLISE E PROJETO DE
SISTEMAS PELO LUGAR GEOMÉTRICO DAS
RAÍZES (LGR) – PARTE 1
Engenharia de Controle e Automação
Prof. André Ferreira/ Profª Rejane de Barros Araújo
 O LGR (Root Locus) é uma representação
gráfica dos polos de malha fechada, quando
um parâmetro do um sistema varia.
 Proposto por Evans (1948; 1950);
 Control System Synthesis by Root Locus
Method in AIEE Transactions, v. 69, 1950.
2
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)
 Evans escreveu uma carta de
4 páginas em Junho de 1949
para o amigo Orrin Livingston,
que trabalhava na General
Electric, para explicar a ideia
do LGR.
3
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)
Artigo sobre o LGR 
publicado na AIEE 
Transactions em 1950.
4
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)
É um método “poderoso” para análise e projeto do
comportamento do sistema com relação a sua estabilidade e
características de resposta transitória.
Traz informações relevantes sobre o comportamento do
sistema (que podem ser complicadas de analisar para
sistemas de ordem superior olhando simplesmente para sua
função de transferência).
5
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)
O LGR pode ser usado para descrever qualitativamente o
desempenho de um sistema quando determinados parâmetros
variam:
 Ex: efeito da variação de um ganho sobre máximo percentual
de sobressinal, tempo de acomodação e tempo de pico.
Mostra também claramente as faixas de estabilidade e
instabilidade do sistema, além dos valores de ganho que levam o
sistema a um limiar de estabilidade.
6
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)
7
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
O PROBLEMA DO SISTEMA DE CONTROLE
  FT de malha aberta;
 (a) Sistema de malha fechada;
 (b) FT equivalente de malha fechada.
8
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
O PROBLEMA DO SISTEMA DE CONTROLE
 Polos de malha aberta podem ser facilmente encontrados e
geralmente não dependem dos ganhos do sistema.
 Polos de .
 Polos de malha fechada são mais difíceis de serem calculados:
 É necessário obter o denominador da FT de MF;
 Sofrem influência do valor do ganho do sistema;
 Polos de ௄ீ(௦) ଵା௄ீ ௦ ு(௦) .
9
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
O PROBLEMA DO SISTEMA DE CONTROLE
10
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
O PROBLEMA DO SISTEMA DE CONTROLE
Zeros de T(s):
 Zeros de e Polos de Podem ser obtidos facilmente.
Polos de T(s):
 Responsáveis pela resposta transitória e estabilidade do sistema;
 Dependem do valor de .
 LGR:
 Mostra graficamente a posição dos polos de quando o ganho
varia.
 Números complexos:
 Forma cartesiana:
 Forma polar: 
 Qualquer número complexo pode ser descrito graficamente como um
vetor.
11
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REPRESENTAÇÃO VETORIAL DE NÚMEROS
COMPLEXOS
 Se um número complexo é substituído em uma função complexa F(s),
o resultado também é um número complexo:
 2 possíveis representações:
12
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REPRESENTAÇÃO VETORIAL DE NÚMEROS
COMPLEXOS
 Conclusão:
 é um número complexo que pode ser representado por um
vetor desenhado do zero da função até o ponto .
 Exemplo 1: ௦→ହା௝ଶ
 É um número complexo desenhado do zero da função até o
ponto .
13
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REPRESENTAÇÃO VETORIAL DE NÚMEROS
COMPLEXOS
 Generalizando para uma função F(s) qualquer:
 Na forma polar:
 Módulo: ∏ ୫óୢ୳୪୭ ୢ୭ୱ ୸ୣ୰୭ୱ∏ ୫óୢ୳୪୭ ୢ୭ୱ ୮୭୪୭ୱ
∏ ௦ା௭೔೘೔సభ
∏ ௦ା௣ೕ೙ೕసభ
 Fase:
 ௜௠௜ୀଵ  ௝௡௝ୀଵ
14
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REPRESENTAÇÃO VETORIAL DE NÚMEROS
COMPLEXOS
 Exemplo 2:
 Para ௦ାଵ
௦ ௦ାଶ
, calcule seu valor para
 Contribuição dos polos e zeros:
o Zero em -1: 116.6º
o Polo em 0: 126.9º
o Polo em -2: 104.0º
 Resultante na forma polar:
15
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REPRESENTAÇÃO VETORIAL DE NÚMEROS
COMPLEXOS
 116.6º−126.9º−104.0º=0.217−114.3º
 Exercício
 Para ௦ାଶ ௦ାସ
௦ ௦ାଷ ௦ା଺
, calcular o seu valor no ponto.
 Resposta:
16
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REPRESENTAÇÃO VETORIAL DE NÚMEROS
COMPLEXOS

 Exemplo 3:
 Câmera de segurança com rastreamento automático (usada para
seguir objetos em movimento):
17
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
DEFININDO O LGR
 Posição dos polos com a variação do ganho :
18
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
DEFININDO O LGR
19
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
DEFININDO O LGR
 Posição dos polos com a variação do ganho :
 LGR do sistema:
20
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
DEFININDO O LGR
 Análise:
 Fornece a posição dos polos para .
 Polos são reais e distintos para :
Sistema superamortecido.
 Polos reais e iguais para :
Sistema criticamente amortecido.
 Polos complexos conjugados para :
Sistema subamortecido.
21
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
DEFININDO O LGR
 Partindo da FT de MF de um sistema de controle:
o Os polos de podem ser obtidos a partir de:
o Uma forma alternativa de representar esses polos é dada por:
22
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PROPRIEDADES DO LGR
 2, 3,...

 Para determinado polo que atenda a restrição de ângulo (múltiplo
ímpar de 180º), o seu ganho associado pode ser obtido usando:
23
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PROPRIEDADES DO LGR
Exemplo 4:
24
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PROPRIEDADES DO LGR
 Exemplo 4: continuação
 O ponto é um polo de ?
 Fazer o teste do ângulo!
o Conclusão:
 não é um polo de MF de .
Não é um ponto sobre o LGR
Não é um polo de MF para 
algum valor de 25
Não é múltiplo ímpar de 180º
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PROPRIEDADES DO LGR
ଵ ଶ ଷ ସ
 Exemplo 4: continuação
 O ponto ଶ ଶ é um polo de ?
 Conclusão:
 ଶ ଶ é um polo de MF de .
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PROPRIEDADES DO LGR
26
ଵ ଶ ଷ ସ
 Exemplo 4: continuação
 Qual o valor do ganho que fornece o polo de MF em ଶ ଶ ?
27
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PROPRIEDADES DO LGR
Exercício 1: Dado um sistema com realimentação unitária que possui
a seguinte função de transferência:
 a) Calcule o ângulo de no ponto determinando a
soma algébrica dos ângulos dos vetores desenhados a partir dos
zeros e dos polos de para o ponto dado;
 b) Determine se o ponto especificado em (a) está sobre o LGR;
 c) Se o ponto especificado em (a) estiver sobre o LGR, determine
o ganho , utilizando os comprimentos dos vetores.
28
Eng. de Controlee Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PROPRIEDADES DO LGR
ଶ
 1) Número de ramos:
 Cada polo de malha fechada se move quando o ganho do sistema
varia.
 Definindo ramo como o caminho que um polo percorre, então
existirá um ramo para cada polo de malha fechada.
 O número de ramos do LGR é igual ao número de polos de
malha fechada do sistema.
29
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
30
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 1) Número de ramos:
 2) Simetria:
 Se os polos complexos de malha fechada não são complexos
conjugados, isso resultaria em um polinômio com coeficientes
complexos.
 Sistemas físicos não possuem coeficientes complexos em suas
funções de transferência.
O LGR é simétrico com relação ao eixo real.
31
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
32
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 2) Simetria:
 3) Segmentos no Eixo Real:
 A contribuição angular dos polos e zeros complexos de malha
aberta sempre irá se anular.
 A contribuição angular dos polos e zeros reais de malha aberta
vale 0º ou 180º.
33
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 3) Segmentos no Eixo Real:
 Para , qualquer ponto do eixo real que ficar à esquerda de
um número impar de singularidades (polos ou zeros) localizadas
também no eixo real é um ponto do LGR.
34
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 3) Segmentos no Eixo Real:
 Exemplo 5:
35
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 4) Pontos Iniciais e Finais:
 Onde o LGR começa (ganho nulo) e termina (ganho infinito)?
 Analisa-se a FT de malha fechada para as duas situações:
36
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 4) Pontos Iniciais e Finais:
 Para :
 O LGR começa nos polos de (FT de malha aberta).
37
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
ீ ு
ீ ு ீ ு
ீ ு
ீ ு
38
 4) Pontos Iniciais e Finais:
 Para :
 O LGR termina nos zeros de (FT de malha aberta).
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
ீ ு
ீ ு ீ ு
ீ ு
ீ ு
39
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 4) Pontos Iniciais e Finais:
 5) Comportamento no infinito:
 A regra anterior diz que o LGR começa nos polos de malha aberta
e termina nos zeros de malha aberta.
 O que fazer quando o número de polos de malha aberta não é
igual ao número de zeros de malha aberta?
Uma FT G(s) pode ter polos ou zeros infinitos;
Polo infinito:
 quando .
 Zero infinito:
 quando .
40
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 5) Comportamento no infinito:
 Exemplo 6:
 a)
 Zero em 0 e Polo no infinito.
 b) ଵ ௦
Polo em 0 e Zero no infinito.
 Todo sistema tem um número igual de polos e zeros, caso sejam
considerados todos os polos e zeros finitos e infinitos.
41
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 5) Comportamento no infinito:
 Suponha que uma função de transferência possui um número de
polos finitos maior do que o de zeros finitos.
 Como o LGR começa nos polos de malha aberta e termina nos
zeros de malha aberta, é necessário conhecer a localização de
todos os polos e zeros do sistema.
42
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 5) Comportamento no infinito:
 Nesta caso, onde estão localizados os zeros infinitos?
 O LGR se aproxima de assíntotas quando o lugar geométrico se
aproxima de infinito.
 A equação dessas assíntotas é definida pelo ponto onde
interceptam o eixo real ௔ e pelo ângulo ௔ .
43
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
44
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 5) Comportamento no infinito:
 5) Comportamento no infinito:
 Exemplo 7:
Esboçar o LGR para o sistema abaixo:
Polos finitos: 4
 Zeros finitos: 1
 Zeros infinitos: 3 45
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 5) Comportamento no infinito:
 Exemplo 7:
Definição das assíntotas:
46
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
47
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REGRAS PARA ESBOÇAR O LGR
 5) Comportamento no infinito:
 Exemplo 7:
 Exercício 2: Esboce o LGR e suas assíntotas para o sistema com
realimentação unitária que possui a seguinte função de transferência:
48
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LGR
 As 5 regras mostradas anteriormente permitem se obter um esboço do
LGR rapidamente;
 Caso seja necessário um detalhamento maior, deve-se obter pontos
específicos do LGR e seus ganhos associados.
 Para maior precisão no LGR deve-se obter as seguintes informações:
 Pontos no eixo real onde o LGR entra ou sai do plano complexo;
 Pontos de cruzamento no eixo j;
 Ângulos de partida e chegada dos polos e zeros complexos.
49
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
REFINANDO O ESBOÇO DO LGR
 Considere o esboço do LGR feito com as regras mostradas
anteriormente:
 Qual o valor dos pontos 1 e 2?
50
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL
 Método usando diferenciação:
 Deve-se minimizar ou maximizar o ganho .
 Para qualquer ponto no LGR vale a relação:
 Para pontos sobre o eixo real, onde os pontos de entrada e saída
podem existir, tem-se :
51
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL
52
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL
 Método usando diferenciação:
 Partindo dos polos e zeros de malha aberta:
 Para todos os pontos do LGR, e para os
segmentos no eixo real, . Então:
 Diferenciando com relação à  e igualando a zero:
53
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ ଶ
 Método da transição:
 Não precisa utilizar a diferenciação;
 Os pontos de entrada e saída satisfazem a relação:
 onde ௜ e ௜ são, respectivamente, o negativo dos zeros e polos
de .
54
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL
௜
௠
ଵ ௜
௡
ଵ
55
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL
 Método da transição:
௜
௠
ଵ ௜
௡
ଵ
ଶ
 É o ponto do LGR que separa a operação estável do sistema da
operação instável.
 O valor do ganho do LGR no ponto de cruzamento pode ser calculado
utilizando o critério de Routh-Hurwitz:
 Forçar uma linhade zeros na tabela de Routh para obter o ganho
no ponto de cruzamento;
 Resolver o polinômio na linha acima da linha cheia de zeros para
achar o ponto de cruzamento.
56
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE CRUZAMENTO NO EIXO J
 Exemplo 8:
57
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE CRUZAMENTO NO EIXO J
 Exemplo 8:
Obter a FT de MF do sistema:
Montar a tabela de Routh:
58
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE CRUZAMENTO NO EIXO J
ସ ଷ ଶ
 Exemplo 8:
 Para valores positivos de , a linha ଵpode ser formada por zeros:
59
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE CRUZAMENTO NO EIXO J
ଶ
 Exemplo 8:
 Formando o polinômio par da linha ଶ para :
 Conclusão:
 Sistema estável para
Ponto de cruzamento do eixo j:
60
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
PONTOS DE CRUZAMENTO NO EIXO J
ଶ ଶ
 O LGR começa nos polos de MA e termina nos zeros de MA;
 Para um LGR mais preciso é necessário calcular o ângulo de partida
dos polos complexos e o ângulo de chegada dos zeros complexos.
 Assume-se um ponto  no LGR próximo ao polo complexo que se
deseja calcular o ângulo de partida:
61
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
ÂNGULOS DE PARTIDA E DE CHEGADA DOS
POLOS E ZEROS COMPLEXOS
 A soma dos ângulos de todos os polos e zeros finitos com relação ao
ponto  deve ser um múltiplo ímpar de 180º.
62
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
ÂNGULOS DE PARTIDA E DE CHEGADA DOS
POLOS E ZEROS COMPLEXOS
ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଺
 Da mesma forma, pode-se calcular o ângulo de chegada de um zero
complexo:
63
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
ÂNGULOS DE PARTIDA E DE CHEGADA DOS
POLOS E ZEROS COMPLEXOS
ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଺
 Exemplo 9:
 Polos complexos: 
64
rlocus(G)
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
ÂNGULOS DE PARTIDA E DE CHEGADA DOS
POLOS E ZEROS COMPLEXOS
65
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLOS DO LGR
66
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLOS DO LGR
 Considere o sistema mostrado abaixo:
 a) Desenhe o esboço do LGR
 b) Ache o cruzamento com o eixo j
 c) Calcule o ganho no cruzamento com o eixo j
 d) Ache o ponto de entrada no eixo real
 e) Calcule o ângulo de partida dos polos complexos
67
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
 Polos de malha aberta: 
 Zero de malha aberta: 
68
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
A) DESENHE O ESBOÇO DO LGR
ଶ
 Obtenha a FT em MF e depois utilize o critério de Routh-Hurwitz:
69
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
B) ACHE O CRUZAMENTO COM O EIXO J
ଶ
ଶ
𝟐
𝟏
𝟎
 Obtém-se uma linha cheia de zeros para .
 Da linha ଶ com , tem-se:
 Conclusão:
Ponto de cruzamento com o eixo j é 
70
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
B) ACHE O CRUZAMENTO COM O EIXO J
𝟐
𝟏
𝟎
ଶ
 Do item (b), sabe-se que no cruzamento com o eixo j.
71
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
C) CALCULE O GANHO K NO CRUZAMENTO COM O EIXO J
72
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
D) ACHE O PONTO DE ENTRADA NO EIXO REAL
73
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
D) ACHE O PONTO DE ENTRADA NO EIXO REAL
 Fazendo :
74
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
D) ACHE O PONTO DE ENTRADA NO EIXO REAL
ଶ
ଶ
ଶ
 Desenhe os vetores para um ponto  perto do polo
complexo:
75
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
E) CALCULE O ÂNGULO DE PARTIDA DOS POLOS COMPLEXOS
ିଵ
.9°
76
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
EXEMPLO COMPLETO
>> num=[1 2]
num =
1 2
>> den=[1 -4 13]
den =
1 -4 13
>> g=tf(num,den)
g = 
s + 2
--------------
s^2 - 4 s + 13
Continuous-time transfer function. 77
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LGR USANDO O MATLAB
ଶ
>> rlocus(g)
78-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 (s
ec
on
ds
-1
)
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LGR USANDO O MATLAB
79
Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 (s
ec
on
ds
-1
)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
System: g
Gain: 18
Pole: -7
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/s): 7
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LGR USANDO O MATLAB
80
Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 (s
ec
on
ds
-1
)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
System: g
Gain: 4.01
Pole: -0.00647 + 4.58i
Damping: 0.00141
Overshoot (%): 99.6
Frequency (rad/s): 4.58
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
LGR USANDO O MATLAB
 LGR Generalizado:
 Utilizado para verificar como os polos em MF do sistema variam
em função de um parâmetro do sistema diferente do ganho.
 Ex.:
81
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
ASSUNTOS COMPLEMENTARES
 LGR para sistemas com realimentação positiva:
 Como a função de transferência de malha fechada muda, as regras
para traçar o LGR também se alteram.
82
Eng. de Controle e Automação – André Ferreira e Rejane de Barros Araújo
ASSUNTOS COMPLEMENTARES