Apostila de Física C - Eletromagnetismo - Parte 3

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Notas Eletromagnetismo – Parte III
R. Bufalo ∗
Departamento de Fı´sica, Universidade Federal de Lavras,
Caixa Postal 3037, 37200-000 Lavras, MG, Brazil
3 de agosto de 2017
Resumo
Nesta nota de aula encontra-se um resumo dos to´picos discutidos na aula do curso de
Fı´sica C, referente a` terceira avaliac¸a˜o.
∗E-mail: rodrigo.bufalo@dfi.ufla.br
1
Suma´rio
I Campo magne´tico 4
1 O campo magne´tico 4
1.1 A forc¸a exercida por um campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 A forc¸a magne´tica sobre um fio transportando corrente . . . . . . . . . . 9
1.3 Movimento de uma carga puntiforme em um campo magne´tico . . . . . . 14
1.4 Torques em ane´is de corrente e ı´ma˜s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 O dı´polo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 O efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Fontes de Campo Magne´tico 25
2.1 O campo magne´tico de correntes: a lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 ~B devido a um anel de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 ~B devido a` corrente em um soleno´ide . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 ~B devido a` corrente em um fio retilı´neo . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.4 ~B devido a um circuito de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.5 ~B no centro de um anel quadrado de corrente . . . . . . . . . . . 41
2.1.6 ~B devido a dois fios paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.7 Forc¸a magne´tica entre fios paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 A lei de Gauss para o magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 A lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 ~B no interior e exterior de um fio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 ~B de um soleno´ide segundo a lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 ~B de um toro´ide segundo a lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Magnetismo em materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Magnetizac¸a˜o e suscetibilidade magne´tica . . . . . . . . . . . . . 55
3 Induc¸a˜o Magne´tica 59
3.1 Fluxo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Fluxo atrave´s de um soleno´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 FEM induzida e a lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 fem induzida numa bobina circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2
3.2.2 fem induzida numa bobina no interior de um soleno´ide . . . . . . 67
3.2.3 Campo ele´trico na˜o-conservativo induzido . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 FEM induzida por movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.1 Basta˜o em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.2 Geradores e motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Indutaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Indutaˆncia de um soleno´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.2 Indutaˆncia de um toro´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.3 Auto-indutaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6.4 Indutaˆncia mu´tua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7 Energia magne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8 Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9 Oscilac¸o˜es eletromagne´ticas (sec. 29-4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.9.1 Circuitos LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.9.2 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.10 Correntes alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3
Parte I
Campo magne´tico
1 O campo magne´tico
• Ha´ mais de 2000 anos, os gregos ja´ sabiam que certo de pedra (magnetita) atraı´a
pedac¸os de ferro;
• Em 1269, Pierre de Maricourt descobriu que uma agulha disposta em va´rias posic¸o˜es
sobre um ı´ma˜ esfe´rico natral orienta-se ao longo das linhas que passam atrave´s de
pontos nas extremidades opostas da esfera.
• Ele chamou estes pontos de po´los do ı´ma˜; tambe´m foi observado que cada ı´ma˜ de
qualquer formato tem dois po´los, chamados de po´lo norte e po´lo sul, onde a forc¸a
exercida pelo ı´ma˜ e´ ma´xima;
• Tambe´m foi observado que po´los iguais de dois ı´ma˜s se repelem e que po´los opostos
se atraem.
• Em 1600, W. Gilbert descobriu que a Terra e´ um ı´ma˜ natural que tem po´los magne´ticos
pro´ximos aos po´los norte e sul geogra´ficos.
• Como o po´lo norte da agulha de uma bu´ssula aponta para o po´lo sul de um dado
ima˜, o que chamamos de po´lo norte da Terra e´ de fato um po´lo sul magne´tico.
• Apesar de as cargas ele´tricas e dos po´los magne´ticos serem similares em muitos as-
pectos, ha´ uma diferenc¸a importante: po´los magne´ticos sempre ocorrem aos pares.
• Por exemplo: quando um ı´ma˜ e´ quebrado ao meio, surgem po´los iguais e opostos
em cada lado do ponto de quebra; o resultado e´ dois ı´ma˜s, cada um com um po´lo
norte e um po´lo sul.
1. Neste capı´tulo consideraremos os efeitos de um dado campo magne´tico em cargas
em movimento e em fios que conduzem correntes. As fontes de campos magne´ticos
sera˜o discutidas no pro´ximo capı´tulo.
4
Anteriormente representamos a relac¸a˜o entre o campo ele´trico ~E e a carga ele´trica como
carga ele´trica↔ ~E↔ carga ele´trica (1.1)
i.e., cargas ele´tricas criam um campo ele´trico e este campo por sua vez, exerce uma forc¸a
(ele´trica) sobre uma outra carga situada no campo.
Podemos imaginar uma relac¸a˜o similar para o magnetismo,
carga magne´tica↔ ~B↔ carga magne´tica (1.2)
em que ~B e´ o campo magne´tico.
• O u´nico problema com esta proposta e´ que ao que tudo indica na˜o existem cargas
magne´ticas na Natureza, pois na˜o ha´ objetos puntiformes isolados dos quais emer-
gem linhas de campo magne´tico.
1. De onde enta˜o vem o campo magne´tico? A experieˆncia mostra que ele vem de
cargas ele´tricas em movimento.
2. Uma carga cria um campo ele´trico quer esteja em repouso, quer em movimento.
3. Entretanto, uma carga cria um campo magne´tico somente se estiver em movimento.
5
Em magnetismo, portanto pensamos em termos de
carga ele´trica em movimento↔ ~B↔ carga ele´trica em movimento (1.3)
ou ainda, como uma corrente ele´trica num fio e´ um fluxo (lı´quido) de cargas em movi-
mento, podemos reescrever
corrente ele´trica↔ ~B↔ corrente ele´trica (1.4)
Esses resultados nos dizem que i) uma carga em movimento ou corrente cria um campo
magne´tico, e ii) se colocarmos uma carga em movimento ou um fio transportando uma
corrente num campo magne´tico, uma forc¸a magne´tica atuara´ sobre eles.
1.1 A forc¸a exercida por um campo magne´tico
• O campo magne´tico e´ definido de uma maneira similar a` definic¸a˜o do campo ele´trico:
uma carga teste q0 em repouso numa regia˜o de campo ~E, e medimos a forc¸a ele´trica
sobre ela ~FE = q0~E;
• Lanc¸amos uma carga teste atrave´s de uma regia˜o com campo magne´tico; repetimos
essa experieˆncia va´rias vezes variando a direc¸a˜o e rapidez da carga teste e determi-
nando, em cada caso, a forc¸a (se existir) que atua sobre ela no ponto considerado.
• Analisando os resultados encontrados, conclui-se que quando uma partı´cula de
carga q e velocidade~v esta´ em uma regia˜o com um campo magne´tico ~B, uma forc¸a
e´ exercida sobre ela.
• Esta forc¸a e´ proporcional a q, v e B e ao seno do aˆngulo entre as direc¸o˜es de~v e ~B.
Surpreendentemente, a forc¸a e´ perpendicular a` velocidade e ao campo magne´tico.
1. Estes resultados experimentaispodem ser resumidos como: quando uma partı´cula
de carga q e velocidade ~v esta´ numa regia˜o com um campo magne´tico ~B, a forc¸a
magne´tica exercida sobre a partı´cula e´
~FB = q~v×~B (1.5)
6
aqui q pode ser positiva ou negativa. Ou escrito em mo´dulo
FB = qvBsinφ (1.6)
Como ~F e´ perpendicular a~v e ~B, ~FB e´ perpendicular ao plano definido por estes dois
vetores
• A direc¸a˜o de~v×~B e´ dada pela regra da ma˜o direita quando~v e´ girado em direc¸a˜o a
~B.
• Se q e´ positivo, enta˜o ~F esta´ no mesmo sentido de~v×~B; e se q e´ negativo, enta˜o ~F
esta´ no sentido oposto ao de~v×~B;
1. A equac¸a˜o acima define o campo magne´tico ~B em termos da forc¸a exercida em
uma partı´cula carregada em movimento.
2. A unidade do campo magne´tico no SI e´ o tesla
1T = 1
N
C ·m/s = 1
N
A ·m
7
Exemplo: A intensidade do campo magne´tico da Terra e´ medida em um ponto na su-
perfı´cie, tem o valor de aproximadamente 0,6G (unidade CGS gauss, 1G = 10−4T ) e
esta´ inclinado para baixo no hemisfe´rio norte, fazendo um aˆngulo de aproximadamente
70◦ com a horizontal. Um pro´ton (q =+e) esta´ se movendo horizontalmente em direc¸a˜o
ao norte com rapidez v = 1× 107m/s. Calcule a forc¸a magne´tica no pro´ton a) usando
FB = qvBsinφ , b) expressando ~v e ~B em termos dos vetores unita´rios, e enta˜o calcule
~FB = q~v×~B.
• Escolhemos as direc¸o˜es x e y sobre o leste e o norte, respectivamente. Tal que o
vetor velocidade esta´ na direc¸a˜o +y.
a) Vemos primeiramente o aˆngulo entre as direc¸o˜es de ~v e ~B e´ φ = 70◦, logo a forc¸a
magne´tica experimentada pelo pro´ton e´
FB = qvBsinφ =
(
1,6×10−19C
)(
1×107m/s
)(
0,6×10−4T
)
sin70◦
= 9×10−17N (1.7)
b) Podemos expressar os vetores~v e ~B como
~v = v jˆ, ~B = By jˆ+Bzkˆ (1.8)
sendo
By = Bcosφ , Bz =−Bsinφ , (1.9)
8
Assim, calculamos
~FB = q~v×~B = q
(
v jˆ
)× (By jˆ+Bzkˆ)
todavia jˆ× jˆ = 0 e jˆ× kˆ = iˆ. Logo
~FB = q~v×~B = qvBziˆ =−qvBsinφ iˆ =
(
−9×10−17N
)
iˆ (1.10)
1.2 A forc¸a magne´tica sobre um fio transportando corrente
• Na figura abaixo, um fio vertical fixado por suas extremidades passa atrave´s da
regia˜o entre as faces polares de um eletroı´ma˜.
• O campo magne´tico esta´ orientado para dentro da pa´gina.
• Quando na˜o ha´ corrente passando pelo fio, verificamos que na˜o ha´ nenhum deflexa˜o
no fio. Todavia, assim que uma corrente e´ estabelecida no fio, verificamos uma
deflexa˜o.
• O sentido da deflexa˜o depende do sentido da corrente; se a corrente esta´ para cima,
o fio deflete para a esquerda, enquanto se a corrente esta´ para baixo, o fio deflete
para a direita.
9
Vamos entender melhor o que fisicamente esta´ acontecendo nesta situac¸a˜o.
• Quando um fio conduzindo corrente esta´ em uma regia˜o onde existe um campo
magne´tico, ha´ uma forc¸a no fio que e´ igual a` soma das forc¸as magne´ticas nos por-
tadores individuais de carga no fio.
• Consideremos um segmento de fio com sec¸a˜o transversal A, comprimento L e cor-
rente I.
• Se o fio esta´ imerso num campo magne´tico ~B, a forc¸a magne´tica em cada carga e´
q~vd×~B, em que~vd e´ a velocidade de deriva dos portadores de carga.
• Uma vez que o nu´mero de portadores de carga no segmento de fio e´ o nu´mero n
multiplicado pelo volume AL; temos que a forc¸a total no segumento de fio e´
~FB =
(
q~vd×~B
)
nAL→ ~FB = I~L×~B (1.11)
que e´ justamente a forc¸a magne´tica de um segmento retilı´neo de um fio condu-
zindo corrente.
• Sendo a corrente I = nqvdA e o vetor~L cujo mo´dulo e´ o comprimento do segmento
e cuja direc¸a˜o e sentido sa˜o os mesmos da corrente.
• Na discussa˜o anterior consideramos que o segmento do fio e´ retilı´neo e que o campo
magne´tico e´ uniforme ao longo de seu comprimento.
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• Todavia, em casos mais gerais, podemos reescrever a equac¸a˜o para um fio de for-
mato arbitra´rio em qualquer campo magne´tico.
• Se escolhemos um segmento diferencial de fio, com comprimento d~`, escrevemos
a forc¸a neste segmento como
d~FB = Id~`×~B
a quantidade Id~` e´ chamada de elemento de corrente.
• Encontramos a forc¸a magne´tica total no fio conduzindo corrente somando (inte-
grando) as forc¸as magne´ticas devidas a todos os elementos de corrente no fio.
1. Assim como o campo ele´trico ~E, o campo magne´tico ~B pode ser representado por
linhas de campo magne´tico.
2. Em ambos os casos, a direc¸a˜o do campo esta´ indicada pela direc¸a˜o das linhas de
campo e o mo´dulo e´ indicado pela densidade das linhas.
3. Ha´ entretanto duas diferenc¸as importantes entre linhas de campo ele´trico e linhas
de campo magne´tico:
11
• As linhas de campo ele´trico esta˜o na direc¸a˜o da forc¸a ele´trica sob uma carga posi-
tiva, mas as linhas de campo magne´tico sa˜o perpendiculares a` forc¸a magne´tica sob
uma carga em movimento;
• As linhas de campo ele´trico comec¸am nas cargas positivas e terminam nas cargas
negativa, as linhas de campo magne´tico nunca comec¸am, nem terminam – mas sim
entram em uma das extremidades e saem pela outra.
Exemplo 1: Um fio formando um semicı´rculo de raio R esta´ no plano xy. Ele conduz
uma corrente I do ponto a ao ponto b, como mostra a figura. Nesta regia˜o ha´ um campo
magne´tico uniforme ~B = Bkˆ que e´ perpendicular ao plano do semicı´rculo. Determine a
forc¸a magne´tica exercida na sec¸a˜o semicircular do fio.
• Determinamos a forc¸a magne´tica total expressando as componentes x e y de d~F em
termos de θ e integrando-as 0≤ θ ≤ pi .
Primeiramente, o elemento diferencial e´
d~`=−d`sinθ iˆ+d`cosθ jˆ
ademais d`= Rdθ ; logo,
d~FB = Id~`×~B = I
(−d`sinθ iˆ+d`cosθ jˆ)× (Bkˆ)→ d~FB = IBR(dθ sinθ jˆ+dθ cosθ iˆ)
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assim
~FB =
∫
d~FB = IBR
∫ pi
0
dθ sinθ jˆ+ IBR
∫ pi
0
dθ cosθ iˆ
= IBR(−cosθ)pi0 jˆ+ IBR(sinθ)pi0 iˆ
=−IBR(−1−1) jˆ+ IBR(0−0) iˆ
= 2IBR jˆ (1.12)
Exemplo 2: Um fio conduzindo corrente e´ curvado em um semicı´rculo fechado de raio
R que esta´ no plano xy. O fio esta´ num campo magne´tico uniforme ~B = Bkˆ (saindo da
pa´gina). Calcule a forc¸a exercida no anel.
Acabamos de calcular a forc¸a magne´tica que a parte superior do semicı´rulo experi-
menta
~F1 = 2IBR jˆ (1.13)
Agora, nos falta determinar a forc¸a que a parte retı´linea experimenta. Nesta parte, temos
que~L = Liˆ, logo
~F2 = I~L×~B = I
(
Liˆ
)× (Bkˆ)=−ILB jˆ =−2RIB jˆ (1.14)
Logo, a forc¸a magne´tica total experimentada pelo semicı´rculo fechado e´
~FB = ~F1+~F2 = 2IBR jˆ−2RIB jˆ = 0 (1.15)
13
Este de fato e´ um resultado geral que pode ser enunciado como:
• A forc¸a magne´tica resultante atuando em qualquer circuito fechado de cor-
rente num campo magne´tico uniforme e´ sempre zero.
~FB = I
∮ d~`︸︷︷︸
=0
×~B
Como ilustrac¸a˜o do resultado acima, considere o seguinte circuito fechado.
Podemos calcular a integral para este circuito como∮
C
d~`=
∫
C1
d~`+
∫
C2
d~`+
∫
C3
d~`+
∫
C4
d~` (1.16)
temos todavia que d~`= dxiˆ+dy jˆ, assim∮
C
d~`=
∫ xm
0
dxiˆ+
∫ ym
0
dy jˆ+
∫ 0
xm
dxiˆ+
∫ 0
ym
dy jˆ = 0 (1.17)
1.3 Movimento de uma carga puntiforme em um campo magne´tico
• A forc¸a magne´tica exercida sobre uma partı´cula carregada se movendo atrave´s de
uma regia˜o com um campo magne´tico e´ sempre perpendicular a` velocidade da
partı´cula.
• A forc¸a magne´tica, portanto, varia a direc¸a˜o da velocidade, mas na˜o o mo´dulo da
velocidade (rapidez).
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• Assim, forc¸as magne´ticas na˜o realizam trabalho nas partı´culas e na˜o variam a energia
cine´tica delas.
1. No caso especial onde a velocidade de uma partı´cula carregada e´ perpendicular a
um campo magne´tico uniforme, i.e. ~v×~B = vB, a partı´cula se move em uma o´rbita
circular.
2. A forc¸a magne´tica fornece a forc¸a centrı´peta necessa´ria para o movimento circular.
Logo, pela segunda lei de Newton temos
∑F= ma→ FB = mv
2
r
→ qvB = mv
2
r
ou ainda, resolvendo para o raio r do movimento circular
r =
mv
qB
(1.18)
O perı´odo do movimento circular e´ o tempo que a partı´cula leva para percorrer a
circunfereˆncia do cı´rculo uma vez, i.e.
T =
2pir
v
=
2pim
qB
(1.19)
este e´ o perı´odo da o´rbita circular da partı´cula, que e´ chamado de perı´odo de cı´clotron.
A frequeˆncia do movimento circular, chamada de frequeˆncia do cı´clotron, e´
f =
1
T
=
qB
2pim
↔ ω = 2pi f = qB
m
(1.20)
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• Observe que T , f e ω na˜o dependem da rapidez da partı´cula. Ou seja, partı´culas
que tenham a mesma raza˜o carga-massa q/m levam o mesmo tempo T para dar uma
volta completa.
• Todavia, partı´culas mais ra´pidas se movem em cı´rculos maiores e as mais lentas em
cı´rculos menores.
1. Considere agora uma partı´cula carregada em movimento com uma velocidade que
na˜o e´ perpendicular com o campo magne´tico uniforme ~B.
2. Na˜o ha´ componente da forc¸a magne´tica (e acelerac¸a˜o) paralela a ~B, logo a compo-
nente da velocidade que e´ paralela a ~B permanece constante.
v‖ = vcosφ , v⊥ = vsinφ , (1.21)
sendo φ o aˆngulo entre o vetor velocidade~v e ~B.
3. A forc¸a magne´tica na partı´cula e´ perpendicular a ~B, logo a variac¸a˜o no movimento
da partı´cula devida a esta forc¸a e´ a mesma discutida anteriormente.
4. A trajeto´ria da partı´cula e´ portanto uma he´lice.
Leitura: sec¸o˜es “O seletor de velocidades”, “Medida de Thomson” (descoberta do
ele´tron), “O espectroˆmetro de massa” e “o cı´clotron”, pp 198–202.
1.4 Torques em ane´is de corrente e ı´ma˜s
• Um anel conduzindo corrente na˜o esta´ submetido a nenhuma forc¸a resultante em
um campo magne´tico uniforme, mas ele esta´ sujeito a um torque resultante.
• A orientac¸a˜o do anel pode ser convenientemente descrita por um vetor unita´rio nˆ
que e´ normal ao plano do anel.
• Na situac¸a˜o inicial, colocamos a espira/bobina no campo magne´tico uniforme ~B tal
que seus lados maiores (I~L) fiquem sempre perpendiculares a` direc¸a˜o do campo,
mas seus lados menores fiquem paralelos.
16
• Logo, as forc¸as nos lados menores sa˜o nulas pois os vetores I~L e ~B sa˜o paralelos.
• Todavia, quando a bobina encontra-se inclinada a situac¸a˜o e´ diferente. Pois as
forc¸as nos lados menores na˜o sera˜o mais nulas, mas sim teˆm mo´dulos F3 = F4 =
IbBsin(90◦−θ) = IbBcosθ , mas elas teˆm a mesma linha de ac¸a˜o (apontando pra
fora), assim o torque resultante tambe´m e´ zero.
• As forc¸as nos lados maiores possuem mo´dulos iguais, mas apontam em sentidos
opostos e teˆm diferentes linhas de ac¸a˜o, o que resulta num torque resultante dife-
rente de zero que tende a girar a bobina de modo a alinhar seu vetor normal nˆ com
a direc¸a˜o do campo magne´tico ~B.
• O mo´dulo dessas forc¸as e´
F1 = F2 = IaB (1.22)
Podemos calcular o torque igualmente no ponto central, i.e. na posic¸a˜o do vetor
nˆ, dessa forma o brac¸o de alavanca deste torque e´ b2 sinθ ; ou se por simplicidade,
escolhemos o ponto P como na figura acima, o torque e´ devido a` forc¸a ~F2 somente
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e o brac¸o de alavanca e´ bsinθ . Assim a magnitude do torque e´
τ = F2bsinθ = (IaB)bsinθ = IABsinθ (1.23)
onde A = ab e´ a a´rea do anel. Para um anel que tem N voltas, o torque tem magni-
tude
τ = NIABsinθ (1.24)
Novamente, este torque tende a girar o anel para que nˆ fique na mesma direc¸a˜o de
~B.
1.4.1 O dı´polo magne´tico
O torque pode ser convenientemente escrito em termos do momento de dipolo magne´tico
~µ (momento magne´tico) do anel de corrente, que e´ definido como
~µ = NIAnˆ (1.25)
A unidade do momento magne´tico no SI e´ o ampe`re-metro quadrado (A ·m2).
Em termos do momento de dipolo magne´tico, o torque no anel de corrente e´ dado
numa forma vetorial
~τ =~µ×~B (1.26)
que e´ o torque em um anel de corrente. Esta expressa˜o lembra muito a equac¸a˜o cor-
respondente para o torque exercido por um campo ele´trico sobre um dipolo ele´trico,
~τ = ~p×~E.
• Em cada caso, o torque exercido por um campo externo – seja ele magne´tico ou
ele´trico – e´ igual ao produto vetorial do correspondente vetor momento de dipolo e
do vetor campo.
1. Enquanto um campo magne´tico externo esta´ exercendo um torque sobre um dipolo
magne´tico – tal com uma bobina de corrente – trabalho deve ser realizado para
mudar a orientac¸a˜o do dipolo.
2. O dipolo magne´tico deve ter enta˜o uma energia potencial magne´tica que dependa
da orientac¸a˜o do dipolo.
18
Quando um dipolo magne´tico e´ girado de um aˆngulo dθ , o trabalho realizado e´
dW =−τdθ =−µBsinθdθ (1.27)
em que θ e´ o aˆngulo entre ~µ e ~B. O sinal de menos surge porque o torque magne´tico
tende a decrescer θ . Igualando este trabalho ao decre´scimo na energia potencial U , temos
dU =−dW = µBsinθdθ (1.28)
e integrando
U =−~µ ·~B (1.29)
uma vez que escolhemos U = 0 quando θ = 90◦. Esta expressa˜o para a energia potencial
tambe´m e´ similar a` para dipolos ele´tricos U =−~p ·~E.
• Quando um ima˜ permanente, como a agulha de uma bu´ssula ou um ı´ma˜ em barra, e´
colocado numa regia˜o onde ha´ um campo magne´tico ~B, o campo exerce um torque
no ı´ma˜ que tende a gira´-lo para que se alinha com o campo.
• Este efeito tambe´m ocorre com limalha de ferro na˜o magnetizada, que se torna
magnetizada na presenc¸a de um campo ~B.
• O ı´ma˜ em barra e´ caracterizado por um momento magne´tico~µ , um vetor que aponta
na mesma direc¸a˜o e sentido que de uma flecha do po´lo sul ao po´lo norte do ı´ma˜.
19
Exemplo 1: Um anel circular com raio igual a 2cm, tem 10 voltas de fio e conduz uma
corrente igual a 3A. O eixo do anel faz um aˆngulo de 30◦ com um campo magne´tico de
8000G. Determine a magnitude do torque no anel.
~τ =~µ×~B→ τ =
∣∣∣~µ×~B∣∣∣= µBsinθ = NIABsinθ
= (10)(3A)pi (0,02m)2
(
8000×10−4T
)
sin30◦
= 0,0151N ·m = 1,51×10−2N ·m (1.30)
Exemplo 2: Um anel circular de raio R, massa m e corrente I esta´ numa superfı´cie
horizontal. Ha´ um campo magne´tico horizontal ~B. Qual o valor ma´ximo da corrente I
antes que um dos lados do anel decole da superfı´cie?
• O anel comec¸ara´ a girar quando a magnitude do torque resultante for maior do que
zero.
• Para eliminar o torque devido a` forc¸a normal, calculamos os torques em torno do
ponto de contato entre a superfı´cie e o anel.
• O brac¸o de alavanca para o torque gravitacional e´ o raio do anel (o cm do anel e´ o
seu centro geome´trico – aplicac¸a˜o da forc¸a).
O torque devido a` forc¸a magne´tica e´
τm = µBsin90◦ = IAB = IpiR2B (1.31)
enquanto o torque gravitacional e´
τg = PR = mgR (1.32)
20
igualando as magnitudes dos torques
τm = τg→ IpiR2B = mgR→ I = mgpiRB (1.33)
A corrente e´ proporcional a` massa para B constante; quanto maior a massa, mais corrente
sera´ necessa´ria para comec¸ar a fazer o anel girar.
Exemplo 3: Uma bobina quadrada de 12 voltas e comprimento lateral de 40cm, conduz
uma corrente de 3A. Ela esta´ no plano z = 0, como mostrado em um campo magne´tico
uniforme ~B = (0,3T ) iˆ+(0,4T ) kˆ. A corrente esta´ no sentido anti-hora´rio quando vista
de um ponto no eixo z positivo. Determine a) o momento magne´tico da bobina, e b) o
torque exercido na bobina, c) a energia potencial da bobina.
a) O momento magne´tico e´
~µ = NIAkˆ = (12)(3A)(0,4m)2 kˆ = 5,76A ·m2kˆ (1.34)
b) Agora, o torque no anel de corrente e´
~τ =~µ×~B =
(
5,76A ·m2kˆ
)
× ((0,3T ) iˆ+(0,4T ) kˆ)= (1,73N ·m) jˆ (1.35)
Veja que o torque e´ perpendicular ao plano em que os vetores ~µ e ~B esta˜o.
21
c) Por fim, a energia potencial e´
U =−~µ ·~B =−
(
5,76A ·m2kˆ
)
· ((0,3T ) iˆ+(0,4T ) kˆ)=−2,30J
Exemplo 4: Um fino disco na˜o-condutor tem massa m, raio a e densidade superficial
uniforme de carga σ , gira com velocidade angular ~ω em torno de um eixo que passa pelo
centro do disco e e´ perpendicular ao plano do disco.Determine o momento magne´tico do
disco.
• Determinamos o diferencial de momento magne´tico de um elemento circular de
raio R e espessura dR.
• A carga neste elemento e´ dq = σdA = σ (2piRdR).
• Se a carga e´ positiva, o momento magne´tico esta´ na direc¸a˜o e sentido de ~ω .
Assim, a magnitude do momento magne´tico
dµ = AdI = piR2dI (1.36)
Todavia, a corrente na faixa e´ a carga dq dividida pelo perı´odo T ,
dI =
dq
T
= f dq =
2pi f
2pi
dq =
ω
2pi
σ (2piRdR) = (σωR)dR (1.37)
desta forma,
dµ = piR2dI = piR2 (σωR)dR = piσωR3dR (1.38)
22
Por fim, integrando esta expressa˜o
µ =
∫
dµ =
∫ a
0
piσωR3dR =
piσωa4
4
Usando o fato de que ~µ e´ paralelo a ~ω (se σ > 0), enta˜o
~µ =
σpia4
4
~ω (1.39)
1.5 O efeito Hall
• Um feixe de ele´trons no va´cuo pode ser desviado por um campo magne´tico. Sera´
possı´vel que os ele´trons de conduc¸a˜o se movendo num fio de cobre possam tambe´m
ser desviados por um campo magne´tico?
• A resposta e´ positiva, quando cargas esta˜o em movimento em um fio condutor, elas
sa˜o empurradas para um dos lados do fio.
• Isto resulta em uma separac¸a˜o das cargas no fio – um fenoˆmeno chamado de efeito
Hall.
• Este fenoˆmeno nos permite determinar o sinal da carga nos portadores, e tambe´m o
nu´mero de portadores por unidade de volume.
1. Considere duas tiras condutoras, conduzindo uma corrente I para a direita, imersas
num campo magne´tico ~B que esta´ entrando no papel.
2. Em me´dia, a forc¸a magne´tica experimentada por essas partı´culas e´ q~vd ×~B. Esta
forc¸a e´ dirigida para cima na pa´gina.
3. As partı´culas carregadas positivamente movem-se enta˜o para cima na pa´gina para a
borda superior da tira, deixando a borda inferior com um excesso de cargas negati-
vas.
4. Esta separac¸a˜o de cargas produz em um campo ele´trico ~E na tira que exerce uma
forc¸a nas partı´culas a qual se opo˜e a` forc¸a magne´tica sobre elas.
23
5. Quando as forc¸as ele´trica e magne´tica se equilibram, na˜o ocorre mais a deriva dos
portadores de carga para cima na pa´gina.
6. Como o campo ele´trico aponta na direc¸a˜o e sentido do decre´scimo de potencial, a
borda superior da tira esta´ em um potencial maior que a borda inferior.
1. Por outra lado, considere que a corrente seja devida a partı´culas carregadas negati-
vamente, movendo-se para a esquerda.
2. A forc¸a magne´tica experimentada pelas cargas q~vd×~B e´ novamente para cima na
pa´gina, pois o sinal de q e de~vd foram invertidos.
3. Novamente os portadores sa˜o forc¸ados paara a porta superior da tira, mas a borda
superior agora conduz uma carga negativa, e a borda inferior possui desta vez uma
carga negativa.
• Uma medida do sinal da ddp entre as partes superior e inferior da tira informa o
sinal dos portadores de carga.
• Foi uma medida como estas que conduziu a` descoberta que os portadores de carga
em metais sa˜o carregados negativamente.
• A ddp entre o topo e a base da tira e´ chmada de tensa˜o Hall.
• A forc¸a magne´tica qvdB e´ equilibrada pela forc¸a eletrosta´tica qEh, sendo Eh o
campo ele´trico devido a` separac¸a˜o entre as cargas.
24
• Temos portanto Eh = vdB. Se a largura da tira for w, a tensa˜o Hall e´
Vh = Ehw = vdBw (1.40)
Como a velocidade de deriva para corrente ordina´rias e´ muito pequena, vemos que
a tensa˜o Hall e´ muito pequena para tamanhos de tiras e campos magne´ticos or-
dina´rios.
• A partir de medidas de tensa˜o Hall para uma tira de um dado tamanho, podemos
determinar o nu´mero de portadores de carga por unidade de volume; note que a
magnitude da corrente e´
|I|= |q|nvdA = |q|nvdws (1.41)
sendo w e s a largura e espessura da tira, respectivamente. Assim
n =
|I|
evdws
=
|I|B
seVh
↔Vh = |I|Bnes (1.42)
Podemos usar essa fo´rmula para uma tira calibrada para medida da tensa˜o Hall,
tal que ela possa ser utilizada para medir um campo magne´tico desconhecido B
medindo a tensa˜o Hall para uma dada corrente.
2 Fontes de Campo Magne´tico
Um fato ba´sico da eletrosta´tica e´ a constatac¸a˜o de que duas cargas exercem forc¸as
uma sobre a outra
carga ele´trica↔ ~E↔ carga ele´trica (2.1)
Por analogia, constatamos que dois fios paralelos transportando correntes tambe´m exer-
cem forc¸as um sobre o outro
corrente ele´trica↔ ~B↔ corrente ele´trica (2.2)
esta equac¸a˜o sugere que
1. correntes geram campos magne´ticos,
25
2. campos magne´ticos exercem forc¸as sobre correntes.
Tratamos o segundo ponto no capı´tulo anterior, vamos abordar a primeira parte neste
capı´tulo. Este ponto pode ser enunciado na forma da seguinte questa˜o
• De que modo podemos calcular o campo magne´tico que uma dada distribuic¸a˜o
de correntes cria numa regia˜o do espac¸o?
2.1 O campo magne´tico de correntes: a lei de Biot-Savart
Fato experimental, a forc¸a magne´tica experimentada por um elemento de carga I1d~`1
devido a` presenc¸a de um segundo elemento de carga I1d~`1 e´ dada por
~F =−µ0
4pi
[(∫
I1d~`1 ·
∫
I2d~`2
)
1
|~r2−~r1|2
rˆ21
]
(2.3)
mas da relac¸a˜o vetorial~a×
(
~b×~c
)
=~b(~a ·~c)−~c
(
~a ·~b
)
, e em geral Id~` · rˆ12 = 0, enta˜o
~F =
µ0
4pi
[∫
I1d~`1×
(∫
I2d~`2× 1|~r2−~r1|2
rˆ21
)]
=
∫
I1d~`1×~B(~r1) (2.4)
26
de onde observamos que o campo magne´tico produzido por um elemento de corrente Id~`
e´ dado por
~B(~r1) =
µ0
4pi
∫ (I2d~`2× rˆ21)
|~r2−~r1|2
(2.5)
Esta equac¸a˜o e´ conhecida como a lei de Biot-Savart. No caso de uma carga puntiforme
q que se move com velocidade~v, ela produz um campo magne´tico ~B no espac¸o, dado por
~B =
µ0
4pi
q~v× rˆ
r2
(2.6)
O vetor unita´rio rˆ aponta a partir da distribuic¸a˜o de corrente (ou carga puntiforme) ate´ o
ponto de campo P.
Ademais, µ0 e´ uma constante de proporcionalidade, chamada de constante magne´tica
(ou permeabilidade do va´cuo)
µ0 = 4pi×10−7T ·m/A = 4pi×10−7N/A2
• Estas duas equac¸o˜es sa˜o ana´logas a` lei de Coulomb para o campo ele´trico de uma
carga puntiforme.
• A fonte de campo magne´tico e´ uma carga em movimento q~v ou um elemento de
corrente Id~`, assim como a carga q e´ a fonte do campo eletrosta´tico.
• Assm como o campo ele´trico, o campo magne´tico diminui sua magnitude com o
quadrado da distaˆncia.
• Entretanto, os aspectos direcionais dos campos ele´trico e magne´tico sa˜o muito di-
ferentes.
• Enquanto o campo ele´trico aponta na direc¸a˜o radial rˆ a partir da carga puntiforme
ate´ o ponto de campo, o campo magne´tico e´ perpendicular a rˆ e a ~v (carga punti-
forme), ou rˆ e d~` no caso de um elemento de corrente.
• O campo magne´tico pode ser zero se os vetores rˆ e d~` forem paralelos (ou antipa-
ralelos).
27
1. O campo magne´tico devido a` corrente total em um circuito pode ser calculado
usando a lei de Biot-Savart para determinar o campo devido a cada elemento de
corrente, e enta˜o somando (integrando) sobre todos os elementos de corrente no
circuito.
2.1.1 ~B devido a um anel de corrente
Vamos calcular o campo magne´tico de um ponto no eixo de um anel circular de raio
R de corrente a uma distaˆncia z do centro do anel.
• Consideremos o elemento de corrente no topo do anel. Aqui, como em todos os
pontos no anel, Id~` e´ tangente ao anel e perpendicular ao vetor rˆ que vai do elemento
de corrente ao ponto de campo P.
• O campo magne´tico d~B devido a este elemento esta´ na direc¸a˜o mostrada na figura,
perpendicular ao plano formado por Id~` e rˆ (φ = 90◦). A magnitude de d~B e´
∣∣∣d~B∣∣∣= µ0
4pi
I
∣∣∣d~`× rˆ∣∣∣
r2
=
µ0
4pi
Id`
r2
=
µ0
4pi
Id`
z2+R2
(2.7)
onde usamos o fato que r2 = z2+R2.
• Quando somamos sobre todos os elementos de corrente no anel, a soma das compo-
nentes de d~B perpendiculares ao eixo do anel, tais como dBy, resulta zero; deixando
apenas as componentes dBz paralelas ao eixo.
28
• Porexemplo, se dividimos a metade superior como d~B1 enquanto a metade inferior
como d~B2, d~B1 =+dBcosθ jˆ+dBsinθ kˆd~B2 =−dBcosθ jˆ+dBsinθ kˆ (2.8)
logo
d~B = d~B1+d~B2 = 2dBsinθ kˆ = 2
(
µ0
4pi
Id`
z2+R2
)(
R√
z2+R2
)
kˆ
= 2
(
µ0
4pi
IRd`
(z2+R2)
3
2
)
kˆ (2.9)
• Logo, a componente z do campo e´
Bz =
∫
dBz = 2
∫ (µ0
4pi
IRd`
(z2+R2)
3
2
)
=
µ0
4pi
∮ IRd`
(z2+R2)
3
2
=
µ0
4pi
IR
(z2+R2)
3
2
∮
d`=
µ0
4pi
IR
(z2+R2)
3
2
(2piR)
=
µ0
2
IR2
(z2+R2)
3
2
(2.10)
29
Podemos assim calcular o campo magne´tico no centro do anel (z→ 0)
Bz = lim
z→0
µ0
2
IR2
(z2+R2)
3
2
=
µ0
2
IR2
(R2)
3
2
=
µ0I
2R
(2.11)
Por um outro lado, a grandes distaˆncias z� R, logo
Bz =
µ0
2
IR2
(z2)
3
2
(
1+ R
2
z2
)3
2
=
µ0
2
IR2
|z|3
(
1− 3
2
R2
z2
+ ...
)
=
µ0
2
IR2
|z|3 =
µ0
2pi
µ
|z|3 (2.12)
onde µ = IpiR2 e´ o mo´dulo do momento magne´tico do anel.
• Note a semelhanc¸a entre expressa˜o e o campo ele´trico no eixo de um dipolo ele´trico
Ez = 12piε0
p
|z|3 .
• Apesar de na˜o ter sido demonstrado, o resultado que um anel de corrente produz um
campo de dipolo magne´tico a grandes distaˆncias tem validade geral para qualquer
ponto quer ele esteja no eixo ou fora do eixo do anel.
• Portanto um anel de corrente comporta-se como um dipolo magne´tico porque ele
esta´ sujeito a um torque ~µ×~B quando colocado num campo magne´tico externo.
30
Tabela comparativa
propriedade tipo de dipolo relac¸a˜o
Torque num campo externo
Ele´trico
Magne´tico
~τ = ~p×~E
~τ =~µ×~B
Energia num campo externo
Ele´trico
Magne´tico
U =−~p ·~E
U =−~µ ·~B
Campo em pontos axiais distantes
Ele´trico
Magne´tico
~E = 12piε0
~p
|z|3
~B = µ02pi
~µ
|z|3
Exemplo: Uma bobina circular tem raio igual a 5cm, 12 voltas, esta´ no plano z = 0 e
centrada na origem. Ela conduz uma corrente de 4A e o momento magne´tico da bobina
esta´ na direc¸a˜o+z. Determine o campo magne´tico no eixo z, em a) em z= 0, b) z= 15cm,
e c) z= 3m. d) Usando a fo´rmula para o dipolo magne´tico, determine o campo magne´tico
no eixo z em z = 3m.
a) podemos calcular o campo magne´tico para uma bobina com N voltas multiplicando
as expresso˜es para o um anel, por exemplo. Disto segue que para o campo magne´tico em
z = 0 temos
Bz = N
µ0I
2R
= 12
(
4pi×10−7T ·m/A)(4A)
2(0,05m)
= 6,03×10−4T (2.13)
b) Agora, o campo no eixo da bobina em z = 0,15m e´
Bz = N
µ0
2
IR2
(z2+R2)
3
2
= 12
(
4pi×10−7T ·m/A)
2
(4A)(0,05m)2(
(0,15m)2+(0,05m)2
)3
2
= 1,91×10−5T (2.14)
c) Usando novamente a equac¸a˜o acima para z = 3m
Bz = N
µ0
2
IR2
(z2+R2)
3
2
= 12
(
4pi×10−7T ·m/A)
2
(4A)(0,05m)2(
(3m)2+(0,05m)2
)3
2
= 2,79×10−9T (2.15)
31
d) Temos que z = 3m� R = 0,05m (z = 60R), logo
Bz =
µ0
2pi
µ
|z|3 (2.16)
o dipolo magne´tico e´
µ = NIpiR2 = 12pi (4A)(0,05m)2 = 0,377A ·m2 (2.17)
logo
Bz =
(
4pi×10−7T ·m/A)
2pi
(
0,377A ·m2)
(3m)3
= 0,0279×10−7T = 2,79×10−9T (2.18)
Exemplo: Calcule o campo magne´tico no ponto O para um segmento de fio transpor-
tando uma corrente I. Sendo que o fio consiste num arco circular, de raio R e aˆngulo
central 90◦, e de dois trechos retiı´lineos cujos prolongamentos interceptam o centro O do
arco.
No primeiro trecho 1 = A′A, o mo´dulo do campo magne´tico em O e´
dB1 =
µ0
4pi
I
∣∣∣d~`× rˆ∣∣∣
r2
=
µ0
4pi
Id`sin0
r2
= 0→ B1 = 0 (2.19)
32
a mesma situac¸a˜o acontece no trecho 3 =CC′
B3 = 0 (2.20)
Por fim, no trecho curvo 2 = AC, o aˆngulo entre d~` e rˆ e´ 90◦ para qualquer elemento de
corrente. Logo, o campo magne´tico para este elemento de corrente e´
dB2 =
µ0
4pi
I
∣∣∣d~`× rˆ∣∣∣
r2
=
µ0
4pi
Id`sin90◦
r2
=
µ0
4pi
Id`
R2
(2.21)
A fim de integrar sobre o deslocamento atrave´s do arco AC fazemos a substituic¸a˜o d` =
Rdθ , sendo 0≤ θ ≤ pi/2, enta˜o
B2 =
∫
dB2 =
µ0
4pi
∫ Id`
R2
=
µ0I
4piR
∫ pi
2
0
dθ =
µ0I
4piR
(pi
2
−0
)
=
µ0I
8R
(2.22)
Portanto, o mo´dulo do campo magne´tico total ~B no ponto O produzido pela corrente no
fio e´
B = B1+B2+B3 =
µ0I
8R
(2.23)
A direc¸a˜o e sentido do campo pode ser definida a partir da regra da ma˜o direita
Vemos enta˜o que o campo aponta para dentro do plano da pa´gina.
33
2.1.2 ~B devido a` corrente em um soleno´ide
• Um soleno´ide e´ um fio condutor enrolado em uma he´lice com as voltas bem pro´ximas
entre si.
• Um soleno´ide e´ usado para produzir um campo magne´tico intenso e uniforme na
regia˜o da vizinhanc¸a de seus ane´is.
• O papel do soleno´ide no magnetismo e´ ana´logo ao do capacitor de placas paralelas,
que produz um campo ele´trico intenso e uniforme entre suas placas.
• O campo magne´tico de um soleno´ide e´ essencialmente o de um conjunto de N ane´is
de corrente ideˆnticos colocado lado a lado.
• A figura abaixo mostra as linhas de campo magne´tico para dois destes ane´is
• Dentro do soleno´ide e distante das bordas, as linhas de campo sa˜o aproximadamente
paralelas ao eixo, esta˜o pro´ximas e uniformemente espac¸adas, indicando um campo
magne´tico intenso e uniforme.
• Do lado de fora do soleno´ide (acima e abaixo dele) a densidade de linhas e´ muito
menor.
34
• Ale´m disso, as linhas de campo se separam quando nos afastamos de ambos os
lados do soleno´ide.
• Podemos todavia comparar o campo magne´tico de um soleno´ide, tanto no interior
como no exterior dele, ao campo magne´tico de um ima˜ em barra do mesmo tamanho
e formato do soleno´ide.
Exemplo: Considere um soleno´ide de comprimento L, com N voltas e que conduz uma
corrente I. Escolhemos o eixo do soleno´ide como o eixo z, com a extremidade esquerda
em z = z1 e a extremidade direita em z = z2. Calcularemos o campo magne´tico no ponto
P no eixo z a uma distaˆncia z da origem. Para isto consideremos um elemento de compri-
mento dz′ a uma distaˆncia z′ da origem.
Se n = N/L e´ o nu´mero de voltas por unidade de comprimento, ha´ ndz′ voltas do
fio neste elemento, com cada volta conduzindo uma corrente I. O elemento e´ portanto
equivalente a um u´nico anel conduzindo corrente dI = nIdz′.
O campo magne´tico em um ponto no eixo z > z2 > z1 devido ao anel em z = z′ con-
duzindo corrente dI e´
dBz =
µ0
2
R2dI(
(z− z′)2+R2
)3/2 = µ02 R2nIdz′(
(z− z′)2+R2
)3/2 (2.24)
35
Determinamos o campo magne´tico em P devido ao soleno´ide inteiro a partir da integrac¸a˜o
Bz =
∫
dBz =
µ0R2nI
2
∫ z2
z1
dz′(
(z− z′)2+R2
)3/2 (2.25)
Essa integral pode ser calcualda usando a substituic¸a˜o trigonome´trica z− z′ = R tanθ , tal
que ∫ dz′(
(z− z′)2+R2
)3/2 =− 1R2 (z− z′)√
(z− z′)2+R2
(2.26)
logo
Bz =
µ0R2nI
2
 1
R2
z− z1√
(z− z1)2+R2
− 1
R2
z− z2√
(z− z2)2+R2
 (2.27)
=
µ0nI
2
 z− z1√
(z− z1)2+R2
− z− z2√
(z− z2)2+R2
 (2.28)
• Um soleno´ide e´ considerado longo se seu comprimento L for muito maior que seu
raio R.
36
• No interior de um longo soleno´ide e distante das extremidades, i.e. z1 < z < z2
z− z1√
(z− z1)2+R2
=
1√
1+ R
2
(z−z1)2
≈ 1− 1
2
R2
(z− z1)2
+ ...
z− z2√
(z− z2)2+R2
=− z2− z√
(z2− z)2+R2
=− 1√
1+ R
2
(z2−z)2
≈−1+ 1
2
R2
(z2− z)2
+ ...
logo, o campo magne´tico na regia˜o interna e distante das bordas do soleno´ide
Bz =
µ0nI
2
 z− z1√
(z− z1)2+R2
− z− z2√
(z− z2)2+R2

≈ µ0nI
2
[(
1− 1
2
R2
(z− z1)2
+ ...
)
−
(
−1+ 1
2
R2
(z2− z)2
+ ...
)]
(2.29)
≈ µ0nI (2.30)
• Para calcular o campo na extremidade direita do soleno´ide usamos z = z2. Isto
resulta em
Bz (z2) =
µ0nI
2
 z2− z1√
(z2− z1)2+R2
= µ0nI2 L√L2+R2(2.31)
em que definimos L = z2− z1. Assim, se L� R, temos que
Bz (z2) =
µ0nI
2
L√
L2+R2
=
µ0nI
2
1√
1+ R
2
L2
≈ µ0nI
2
(
1− 1
2
R2
L2
+ ...
)
=
µ0nI
2
(2.32)
• Portanto, o campo Bz nas extremidades de um longo soleno´ide e´ metade do valor
de B em pontos no interior do soleno´ide.
37
2.1.3 ~B devido a` corrente em um fio retilı´neo
A figura abaixo mostra a geometria para calcular o campo magne´tico ~B em um ponto
P devido a` corrente no segmento retilı´neo de fio mostrado.
• Escolhemos R perpendicular a` distaˆncia do fio ao ponto P, e escolhemos o eixo x
ao longo do fio com x = 0 na extremidade esquerda do fio.
• Um elemento tı´pido de corrente Id~` a uma distaˆncia x da origem e´ mostrado.
• Observe que em P os campos magne´ticos devidos a todos os elementos de corrente
do fio esta˜o na mesma direc¸a˜o e sentido. Assim, precisamos calcular apenas a
magnitude do campo.
A magnitude do campo devido ao elemento de corrente e´
dB =
µ0
4pi
I
∣∣∣d~`× rˆ∣∣∣
r2
=
µ0
4pi
Idxsinθ
r2
(2.33)
da geometria do problema temos que r2 = x2+R2, e que
sinθ = sin(pi−θ) = R√
x2+R2
Dessa forma
dB =
µ0
4pi
RIdx
(x2+R2)
3
2
(2.34)
Obtemos a magnitude de B ao integrarmos
B =
∫
dB =
µ0
4pi
RI
∫ L
0
dx
(x2+R2)
3
2
(2.35)
38
∫ dx
(x2+R2)3/2
=
1
R2
x√
x2+R2
logo
B =
µ0
4pi
RI
(
1
R2
x√
x2+R2
)L
0
=
µ0I
4piR
L√
L2+R2
(2.36)
Em particular, se L� R, temos que
B =
µ0I
4piR
L√
L2+R2
=
µ0I
4piR
1√
1+ R
2
L2
≈ µ0I
4piR
(
1− 1
2
R2
L2
+ ...
)
=
µ0I
4piR
(2.37)
E deste resultado podemos calcular o campo magne´tico B devido a um fio retilı´neo
infinitamente longo
Bin f = 2B =
µ0I
2piR
• Multiplicamos o resultado acima por 2 pois ele nos da´ somente a contribuic¸a˜o (in-
finita) a` direita do ponto P;
• Mas como a distribuic¸a˜o e´ sime´trica, multiplicamos por 2 a fim de levar em conta
a contribuic¸a˜o a` esquerda. E esta distribuic¸a˜o de fato consiste no campo magne´tico
de um fio infinitamente longo.
2.1.4 ~B devido a um circuito de corrente
A figura abaixo mostar um circuito de corrente, queremos determinar o campo magne´tico
resultante no ponto P devido a essa distribuic¸a˜o de corrente.
• E´ preciso notar que ha´ dois tipos de configurac¸o˜es de corrente contribuindo, basi-
camente
sendo que somente as distaˆncias em relac¸a˜o ao ponto de interesse que mudam.
• Note que a primeira contribuic¸a˜o e´ nula, uma vez que os vetores sa˜o paralelos:
d~`× rˆ = d`sinθ = d`sin0 = 0
39
• Por um outro lado, a segunda contribuic¸a˜o e´ diferente de zero, e em particular,
podemos fazer uso do resultado calculado no exemplo anterior.
• Dessa forma, tomando a notac¸a˜o de que o campo entrando esta´ no sentido positivo
e o campo saindo no sentido negativo, temos
B =
µ0I
4pia
a√
a2+a2︸ ︷︷ ︸
campo entrando
+
µ0I
4pia
a√
a2+a2︸ ︷︷ ︸
campo entrando
− µ0I
4pi (2a)
(2a)√
(2a)2+(2a)2︸ ︷︷ ︸
campo saindo
− µ0I
4pi (2a)
(2a)√
(2a)2+(2a)2︸ ︷︷ ︸
campo saindo
= 2
(
µ0I
4pi
1√
2a2
)
−2
(
µ0I
4pi
1√
8a2
)
=
µ0I
2pi
1√
2a
− µ0I
4pi
1√
2a
=
√
2µ0I
8pia
40
2.1.5 ~B no centro de um anel quadrado de corrente
Podemos calcular o campo magne´tico no cnentro de um anel quadrado de corrente
que tem lados de comprimento L = 50cm e que conduz uma corrente de 1,5A.
Podemos considerar sec¸o˜es de comprimento L/2 tal que o resultado acima para o
campo magne´tico
B =
µ0I
4piR
L√
L2+R2
(2.38)
possa ser utilizado. Vemos assim que
Bres = 8B = 8
(
µ0I
4piR
L′√
L′2+R2
)
(2.39)
em particular, vemos que L′ = R = L/2. Assim
Bres = 2
µ0I
pi
1√
L2
4 +
L2
4
=
2
√
2µ0I
piL
(2.40)
=
2
√
2
(
4pi×10−7T ·m/A)(1,5A)
pi (0,5m)
(2.41)
= 3,4×10−6T (2.42)
41
2.1.6 ~B devido a dois fios paralelos
Um fio retilı´neo e longo conduz uma corrente de IE = 1,7A na direc¸a˜o +z e esta´ ao
longo da linha x = −3cm, y = 0. Um segundo fio como este conduz uma corrente de
ID = 1,7A na direc¸a˜o +z e esta´ ao longo da linha x = 3cm, y = 0. Determine o campo
magne´tico no ponto P no eixo y em y = 6cm.
• O campo magne´tico no ponto P e´ a soma vetorial do campo ~BE devido ao fio a`
esquerda, e do campo ~BD devido ao fio a` direita.
• Como os fios conduzem a mesma corrente e esta˜o a` mesma distaˆncia do ponto P,
temos que as magnitudes dos campos sa˜o iguais BE = BD = B.
• ~BE e´ perpendicular a` distaˆncia do fio da esquerda ate´ o ponto P, e ~BD e´ perpendicular
a` distaˆncia do fio da direita ate´ o ponto P.
Os campos sa˜o ~BE =−Bcosθ iˆ+Bsinθ jˆ~BD =−Bcosθ iˆ−Bsinθ jˆ (2.43)
logo o campo resultante e´
~Bres = ~BE +~BD =−2Bcosθ iˆ (2.44)
42
A magnitude do campo magne´tico de um fio infinitamente longo e´
B =
µ0I
2piR
(2.45)
Podemos calcular a distaˆncia R atrave´s da relac¸a˜o R2 = (3cm)2+(6cm)2→ R = 6,7cm;
ademais, calculamos
cosθ =
6,7cm
6cm
= 0,894 (2.46)
Assim, temos que
~Bres =−2Bcosθ iˆ =−µ0IpiR cosθ iˆ =−
(
4pi×10−7T ·m/A)(1,7A)
pi (0,067m)
(0,894) iˆ (2.47)
=−
(
9,1×10−6T
)
iˆ (2.48)
1. Qual e´ o campo resultante na origem?~BE = B jˆ~BD =−B jˆ (2.49)
logo o campo resultante e´ nulo
~Bres = ~BE +~BD = B jˆ−B jˆ = 0 (2.50)
2. Agora, se invertemos o sentido da corrente a` direita, i.e. ao inve´s de sair da pa´gina
ela entra −z. Assim, os campos sa˜o~BE = B jˆ~BD = B jˆ (2.51)
logo o campo resultante e´ nulo
~Bres = ~BE +~BD = 2B jˆ =
µ0I
piR
jˆ =
(
4pi×10−7T ·m/A)(1,7A)
pi (0,067m)
jˆ =
(
2,3×10−5T
)
jˆ
(2.52)
43
2.1.7 Forc¸a magne´tica entre fios paralelos
• Consideremos dois fios longos e paralelos conduzindo corrente no mesmo sentido;
• Podemos usar B = µ0I2piR para o campo magne´tico devido a cada fio longo;
• d~F = Id~`× ~B para a forc¸a exercida por um campo magne´tico em um segmento
de fio conduzindo corrente para determinar a forc¸a magne´tica exercida por um fio
condutor, longo e retilı´neo, sobre outro fio.
• Consideremos a forc¸a em um segmento d~`2 conduzindo corrente I2. O campo mag-
netico ~B1 neste segmento devido a` corrente I1 e´ perpendicular ao segmento d~`2.
• Isto e´ verdadeir para todos os elementos de corrente ao longo do fio 2.
• A forc¸a dada por d~F21 = I2d~`2×~B1 no elemento de corrente I2d~`2 aponta para o fio
1, como pode ser visto pela aplicac¸a˜o da regra da ma˜o direita.
• De forma ana´loga, um segmento de corrente I1d~`1 estara´ sujeito a uma forc¸a magne´tica
dirigida para a corrente I2 devida ao campo magne´tico ~B2, dada por d~F12 = I1d~`1×
~B2;
• Assim, duas correntes paralelas se atraem; enquanto se o sentido de uma das cor-
rentes for invertido, as forc¸as tambe´m sera˜o invertadas, e portanto, duas correntes
antiparalela se repelem.
44
• A magnitude da forc¸a magne´tica no elemento de corrente I2d~`2 e´
dF21 =
∣∣∣I2d~`2×~B1∣∣∣→ dF21 = I2d`2B1
Agora, se a distaˆncia entre os fios e´ muito menor que seus comprimentos, o campo
e´ devido a um fio condutor infinitamente longo; portanto,
dF21 = I2d`2
µ0I1
2piR
→ dF21
d`2
=
µ0
2pi
I1I2
R
Definic¸a˜o da unidade ampe`re
1. A unidade de carga ele´trica no SI e´ o coulomb, o que e´ definido em termos da
unidade de corrente ele´trica, o ampe`re.
2. O coulomb e´ a quantidade de carga que flui atrave´s da sec¸a˜o transversal de um fio
em um segundo quando a corrente no fio e´ um ampe`re (I = ∆Q/∆t).
3. O ampe`re e´ a corrente constante que, se mantida em dois condutores retilı´neos
paralelos de comprimento infinito e sec¸a˜o transversal circular desprezı´vel (i.e. L�
R), separados por uma distaˆncia de um metro e em va´cuo, produzira´ uma forc¸a entre
os condutores igual a 2×10−7 newton por metrode comprimento.
45
Exemplo: Considere um fio 1 orientado ao longo do eixo y que carrega uma corrente
I1. Uma espira retangular localizada a` direita do fio e no plano xy carrega uma corrente I2.
Determine a forc¸a magne´tica exercida pelo fio 1 no segmento superior de comprimento b
da espira.
• Note que o resultado discutido anteriormente e´ va´lido somente para fios paralelos e
na˜o podem ser usado aqui.
• Mas o caminho e´ semelhante, primeiramente temos que a forc¸a e´
d~F21 = I2d~`2×~B1 (2.53)
enquanto o deslocamento infinitesimal e´ d~`2 = dxiˆ e o campo magne´tico
~B1 =
µ0I1
2pix
(−kˆ) (2.54)
sendo que a direc¸a˜o +z aponta para fora da pa´gina. Encontramos enta˜o
d~F21 = I2
(
dxiˆ
)×(µ0I1
2pix
(−kˆ))= µ0I1I2
2pix
dx
(−iˆ× kˆ)= µ0I1I2
2pi
dx
x
jˆ (2.55)
46
determinamos a forc¸a ao integrar essa u´ltima expressa˜o
~F21 =
∫
d~F21 =
µ0I1I2
2pi
(∫ a+b
a
dx
x
)
jˆ =
µ0I1I2
2pi
ln
(
1+
b
a
)
jˆ (2.56)
2.2 A lei de Gauss para o magnetismo
• As linhas de campo magne´tico diferem das linhas de campo ele´trico por que as
linhas de ~B formam curvas fechadas, enquanto as linhas ~E comec¸am e terminam
em cargas ele´tricas;
• O equivalente magne´tico de uma carga ele´trica e´ um po´lo magne´tico, tal como
mparecem ser as extremidades de um ı´ma˜ em barra.
• Linhas de campo magne´tico parecem sair da extremidade do po´lo norte de um ı´ma˜
em barra e parecem convergir para a extremidade do po´lo sul.
• No interior do ı´ma˜, entretanto, as linhas de campo magne´tico nem saem de um
ponto pro´ximo ao po´lo norte, nem convergem para um ponto pro´ximo ao po´lo sul.
• Em vez disso, as linhas de campo magne´tico passam atrave´s do ı´ma˜ do po´lo sul ate´
o po´lo norte.
• Se uma superfı´cie gaussiana circunda a extremidade de um ı´ma˜ em barra, o nu´mero
de linhas de campo magne´tico que penetram na superfı´cie pelo lado de dentro e´ exa-
tamento igual ao nu´mero de linhas de campo magne´tico que penetram a superfı´cie
pelo lado de fora.
• Isto e´, o fluxo resultante Φm do campo magne´tico ~B atrave´s de qualquer superfı´cie
fechada S e´ sempre zero
Φm =
∮
~B.nˆdA =
∮
BndA = 0 (2.57)
e este resultado e´ conhecido como a lei de Gauss para o magnetismo.
• Este resultado e´ uma afirmativa matema´tica que na˜o existe ponto no espac¸o a partir
do qual saem linhas de campo magne´tico ou para o qual conversem linhas de campo
magne´tico.
47
• isto e´, na˜o existem po´los magne´ticos isolados. A unidade fundamental do magne-
tismo e´ o dipolo magne´tico.
48
2.3 A lei de Ampe`re
• Vimos anteriormente que, para distribuic¸o˜es de carga altamente sime´trica, podemos
calcular o campo ele´trico devido a uma distribuic¸a˜o de cargas de maneira mais
simples usando a lei de Gauss ao inve´s da lei de Coulomb.
• Uma situac¸a˜o similar existe no magnetismo. Em que podemos usar a lei de Ampe`re
ao inve´s da lei de Biot-Savart a fim de determinar o campo magne´tico gerado por
distribuic¸o˜es de corrente.
• A lei de Ampe`re relaciona a componente tangencial Bt do campo magne´tico inte-
grada ao longo de uma curva fechada C a` corrente IC que passa atrave´s de quaquer
superfı´cie limitada por C.
• Esta lei pode ser usada para obter uma expressa˜o para o campo magne´tico em
situac¸o˜es com alto grau de simetria.
• Na forma matema´tica, a lei de Ampe`re e´
∮
C
~B ·d~`= µ0IC (2.58)
sendo IC e´ a corrente resultante que penetra em qualquer superfı´cie S limitada pela
curva C.
• O sentido tangencial positivo para a integral de caminho ao longo de C esta´ relaci-
onado a` escolha para o sentido positivo da corrente IC.
49
• E´ importante enfatizar que a lei de Ampe`re e´ va´lida apenas enquanto as correntes
forem constantes e contı´nuas, i.e. a corrente na˜o varia not empo e que na˜o ha´
acu´mulo de carga em nenhum lugar. (e.g. ela na˜o pode ser aplicada no ca´lculo do
campo magne´tico de um anel, pois o campo na˜o e´ uniforme.)
• A lei de Ampe`re e a lei de Gauss sa˜o ambas de considera´vel importaˆncia teo´rica, e
ambas valem se houver ou na˜o simetria. Todavia, essas leis mostram maior utilidade
em problemas com simetria.
A aplicac¸a˜o mais simples da lei de Ampe`re e´ a determinac¸a˜o do campo magne´tico devido
a` corrente I em um fio retilı´neo infinitamente longo.
• Consideremos uma curva circular C em torno de um longo fio, com centro no fio.
Ademais, consideramos que o campo ~B e´ tangente a este cı´rculo, na mesma direc¸a˜o
e sentido que d~`, e tem magnitude constante B em qualquer ponto no cı´rculo, logo∮
C
~B ·d~`= µ0IC→ B
∮
C
d`= µ0I
ou ainda
B (2pir)︸ ︷︷ ︸
circunfereˆncia do cı´rculo
= µ0I→ B = µ0I2pir (2.59)
2.3.1 ~B no interior e exterior de um fio
Um fio retilı´neo e longo tem raio R e conduz uma corrente I que esta´ uniformemente
distribuı´da na sec¸a˜o transversal circular do fio. Determine o campo magne´tico em pontos
no interior e exterior do fio.
Do lado externo do fio, r > R, a corrente total passa atrave´s da superfı´cie limitada pela
curva C, logo IC = I ∮
C
~B ·d~`= µ0IC→ Be = µ0I2pir (2.60)
Todavia, no lado interno do fio, r < R temos que IC = I′, logo∮
C
~B ·d~`= µ0IC→ Bi = µ0I
′
2pir
(2.61)
Ademais, podemos relacionar a frac¸a˜o de corrente I′ com a corrente total I ao notar que
50
uma vez que a corrente e´ distribuı´da uniformemente na sec¸a˜o transversal do fio (densidade
de corrente J = I/A)
I′
pir2
=
I
piR2
→ I′ = r
2
R2
I (2.62)
portanto, o campo magne´tico em pontos no interior do fio pode ser escrito como
Bi =
µ0I′
2pir
=
µ0I
2piR2
r (2.63)
Vemos assim que
B =

µ0I
2piR2 r, r ≤ R
µ0I
2pir , r ≥ R
(2.64)
2.3.2 ~B de um soleno´ide segundo a lei de Ampe`re
• A primeira figura abaixo mostra uma sec¸a˜o transversal atrave´s de um trecho de
um soleno´ide “esticado”. O campo magne´tico do soleno´ide e´ a soma vetorial dos
campos criados por cada uma de suas espiras.
• A segunda figura mostra o caso limite de um soleno´ide ideal, infinitamente longo
e que consiste em espiras estreitamente espac¸adas.
• O que mostra que o campo interno num soleno´ide ideal e´ razoavelmente forte, en-
quanto o campo externo e´ relativamente fraco.
51
• A terceira figura mostra um soleno´ide ideal, em que o campo no interior do so-
leno´ide e´ uniforme e paralelo ao eixo do soleno´ide.
Aplicando a lei de Ampe`re a` curva retangular 1234,∮
C
~B ·d~`= µ0IC→
∫
1
~B ·d~`+
∫
2
~B ·d~`+
∫
3
~B ·d~`+
∫
4
~B ·d~`= µ0IC (2.65)
A segunda e quarta integrais sa˜o nulas porque para cada elementos desses caminhos ~B e´
perpendicular a` trajeto´ria d~`, ∫
2
~B ·d~`=
∫
4
~B ·d~`= 0 (2.66)
A terceira integral e´ zero porque B= 0 para todos os pontos externos. E por fim, a primeira
integral nos da´ ∫
1
~B ·d~`= B` (2.67)
A corrente IC englobada pela curva amperiana pode ser escrita em termos da corrente I
que passa atrave´s de cada espira. Seja N o nu´mero de espiras, e n = N/` o nu´mero de
espiras por unidade de comprimento, temos que
B`= µ0IC = µ0NI = µ0In`→ B = µ0nI
52
que e´ o campo magne´tido de um soleno´ide ideal (infinitamente longo).
2.3.3 ~B de um toro´ide segundo a lei de Ampe`re
Consideremos agora um toro´ide, que podemos descrever como um soleno´ide (ane´is
de fio enrolado) encurvado na forma de um pneu.
• Pela simetria do problema, as linhas de ~B formam cı´rculos conceˆntricos no interior
do toro´ide. Dessa forma, escolhemos como curva amperiana um cı´rculo conceˆntrico
de raio r para a < r < b.
• Ha´ N voltas do fio, cada uma conduzindo uma corrente I.
• Como ~B e´ tangente a este cı´rculo, temos que∮
C
~B ·d~`= µ0IC→ B
∮
C
d`= µ0IC→ B(2pir) = µ0IC (2.68)
e a corrente total atrave´s da superfı´cie S limitada pela curva amperiana e´ IC = NI,
logo
B(2pir) = µ0NI→B = µ0NI2pir , a < r < b (2.69)
• Se r < a na˜o ha´ corrente na superfı´cie S. Agora, se r > b, a corrente lı´quida atrave´s
de S e´ zero, pois para cada volta de fio a corrente penetra a superfı´cie duas vezes,
uma entrando e outra saindo.
53
• Assim, o campo magne´tico e´ zero nessas duas regio˜es.
2.4 Magnetismo em materiais
• A´tomos teˆm momentos de dipolo magne´tico devido ao movimento de seus ele´trons
e devido ao momento de dipolo magne´tico intrı´nseco associado ao spin dos ele´trons.
• Diferentemente do que acontece com dipolos ele´tricos, o alinhamento dos dipolos
magne´ticos paralelamente a um campo magne´tico tende a aumentar o campo.
• A grandes distaˆncias dos dipolos, as linhas de campo sa˜o ideˆnticas.
• Entretanto, entre as cargas do dipolo ele´trico, as linhas de campo ele´trico teˆm sen-
tidos opostos ao momento de dipolo.
• Enquanto no interior do anel de correntes as linhas de campo magne´tico sa˜o para-
lelas ao momento de dipolo.
• Portanto, no interior de um material magneticamente polarizado, os dipolos magne´ticos
criam um campo magne´tico paralelo aos vetores momentos de dipolo magne´tico.
De acordo com o comportamento de seus momentos magne´ticos em um campo magne´tico
externo, materiais podem ser classificados em treˆs categorias.
54
1. Paramagne´ticos: surge de um alinhamento parcial na direc¸a˜o do campo, dos spins
dos ele´trons ou dos momentos magne´ticos atoˆmicos/moleculares pela ac¸a˜o de um
campo magne´tico aplicado. Sem a presenc¸a de um campo externo, os dipolos na˜o
interagem fortemente uns com os outros e esta˜o orientados aleatoriamente
num material paramagne´tico. Ja´ na presenc¸a de um campo magne´tico apli-
cado, os dipolos sa˜o parcialmente alinhados na direc¸a˜o do campo, aumentando
a intensidade do campo (e.g. alumı´nio, magne´sio, sulfato de cobre).
2. Ferromagne´ticos: Em materiais ferromagne´ticos ha´ uma forte interac¸a˜o entre
dipolos magne´ticos vizinhos o que implica um alto grau de alinhamento, mesmo
em campos magne´ticos externos fracos, o que provoca um grande aumento no
campo total. Mesmo na auseˆncia de campo externo, um material ferromagne´tico
pode ter seus dipolos magne´ticos alinhados, como em ı´ma˜s permanentes (e.g. ferro,
cobalto, nı´quel).
3. Diamagne´ticos: O diamagnetismo surge dos momentos de dipolo magne´tico or-
bitais induzidos por um campo magne´tico aplicado. Estes momentos magne´ticos
teˆm sentido oposto ao campo magne´tico aplicado, diminuindo o campo. Este
efeito ocorre naturalmente em todos os materiais; todavia como os momentos magne´ticos
induzidos sa˜o muito pequenos comparados com os momentos magne´ticos perma-
nentes, o diamagnetismo e´ por muitas vezes mascarados pelos efeitos paramagne´ticos
ou ferromagne´ticos. O diamagnetismo e´ portanto observado apenas em materiais
cujos a´tomos na˜o teˆm momentos magne´ticos permanentes (e.g. bismuto, cobre,
prata, chumbo).
2.4.1 Magnetizac¸a˜o e suscetibilidade magne´tica
• Quando um material e´ colocado em um campo magne´tico intenso, tal como o de
um soleno´ide, o campo magne´tico do soleno´ide tende a alinhar os momentos de
dipolo magne´tico (sejam eles permanentes ou induzidos) no interior do material e
o material estara´ magnetizado.
• Descrevemos um material magnetizado atrave´s de sua magnetizac¸a˜o, que e´ defi-
nida como o momento de dipolo magne´tico resultante por unidade de volume do
55
material
~M =
d~µ
dV
(2.70)
• Muito antes de compreendermos minimamente a estrutura atoˆmica ou molecular,
Ampe`re propoˆs um modelo de magnetismo no qual a magnetizac¸a˜o de materiais e´
devida a ane´is microsco´picos de corrente no interior do material magnetizado.
• Sabemos que estes ane´is de corrente sa˜o o modelo cla´ssico para o movimento orbital
e spin dos ele´trons em a´tomos.
• Consideremos um cilindro de material magnetizado; o qual podemos pensar que
seus ane´is de corrente atoˆmicos no cilindro, esta˜o alinhados com seus momentos
magne´ticos ao longo do eixo do cilindro.
• Devido ao cancelamento das correntes nos ane´is vizinhos, a corrente resultante em
qualquer ponto no interior do material e´ zero, sobrando uma corrente resultante na
superfı´cie do material.
• Esta corrente na superfı´cie, chamada de corrente amperiana, e´ semelhante a` cor-
rente real nos enrolamentos do soleno´ı´de.
• Consideremos um pequeno cilindro com sec¸a˜o transversal de a´rea A, comprimento
d` e volume dV = Ad`. Seja di a corrente amperiana na superfı´cie curva do disco.
56
• A magnitude do momento de dipolo magne´tico do disco e´ a mesma que a de um
anel de corrente que tem a´rea A e conduz corrente di
dµ = Adi (2.71)
enquanto podemos escrever a magnetizac¸a˜o do disco como
M =
dµ
dV
=
Adi
Ad`
=
di
d`
(2.72)
Mostrando portanto que a magnitude do vetor magnetizac¸a˜o e´ a corrente amperiana
por unidade de comprimento ao longo da superfı´cie do material magnetizado.
• Considere agora um cilindro com magnetizac¸a˜o uniforme ~M paralela a seu eixo.
• O efeito da magnetizac¸a˜o e´ o mesmo que se o cilindro conduzisse uma corrente de
superfı´cie por unidade de comprimento de magnitude M.
• Esta corrente e´ semelhante a` corrente conduzida por um soleno´ide firmemente en-
rolado – em que a corrente por unidade de comprimento e´ nI.
• Podemos usar essa identificac¸a˜o de forma determinar a magnitude do campo magne´tico
no interior do cilindro (a partir da expressa˜o para um soleno´ide B = µ0nI, com a
substituic¸a˜o nI→M), obtendo enta˜o
Bm = µ0M (2.73)
• Em seguida, consideremos a situac¸a˜o em que o cilindro de material magne´tico seja
colocado no interior de um longo soleno´ide que tem n voltas por unidade de com-
primento e conduz uma corrente I.
• O campo aplicado do soleno´ide ~Bapl (Bapl = µ0nI) magnetiza o material e ele ad-
quire uma magnetizac¸a˜o ~M. O campo magne´tico resultante em um ponto do
interior do soleno´ide e distante de suas extremidades e´
~B = ~Bapl +µ0~M (2.74)
57
• Para materiais paramagne´ticos e ferromagne´ticos, ~M esta´ no mesmo sentido de ~Bapl,
enquanto que esta´ no sentido oposto no caso de materiais diamagne´ticos.
• Para materiais paramagne´ticos e diamagne´ticos, observa-se que a magnetizac¸a˜o
e´ proporcional ao campo magne´tico aplicado que produz o alinhamento dos dipolos
magne´ticos no material.
• Podemos escrever enta˜o
~M =
χm~Bapl
µ0
(2.75)
sendo a constante de proporcionalidade χm e´ um nu´mero adimensional chmada de
suscetibilidade magne´tica.
• Desta definic¸a˜o, podemos reescrever
~B = ~Bapl +µ0~M = ~Bapl +χm~Bapl = (1+χm)~Bapl = Km~Bapl (2.76)
sendo Km = 1+χm a chamada permeabilidade relativa do material.
1. Para materiais paramagne´ticos, χm e´ um nu´mero positivo e pequeno que depende
da temperatura.
2. Para materiais diamagne´ticos, χm e´ uma constante pequena e negativa, independente
da temperatura.
3. Para materiais ferromagne´ticos, a definic¸a˜o da magnetizac¸a˜o e´ muito mais
complicada. A permeabilidade relativa Km definida como a raza˜o B/Bapl, na˜o
e´ constante e tem valores ma´ximos no interno entre 5000−−100.000. No
caso de ı´ma˜s permanentes, Km na˜o esta´ definida, pois tais materiais exibem
magnetizac¸a˜o mesmo na auseˆncia de um campo aplicado.
58
3 Induc¸a˜o Magne´tica
• Se colocarmos uma bobina condutora fechada num campo magne´tico externo e
enviarmos uma corrente atrave´s dela, um torque atuara´ sobre a bobina, fazendo-a
girar. Este resutlado pode ser resumido
corrente⇒ torque (3.1)
que consiste no princı´pio do motor ele´trico.
• E a situac¸a˜o inversa acontece? i.e. se por meio de alguma forc¸a externa pudermos
exercer torque sobre a bobina sera´ que uma corrente ele´trica aparecera´ na bobina?
torque⇒ corrente (3.2)
Isto de fato acontece, e constitui o princı´o do gerador ele´trico. E a lei que governa
tal fenoˆmeno e´ conhecida porlei da induc¸a˜o de Faraday.
Podemos ilustrar esses conceitos na forma de duas experieˆncias:
1. Considere uma bobina cuja terminais esta˜o ligados num galvanoˆmetro sensı´vel (que
pode detetar uma corrente na bobina).
(a) Normalmente, na˜o deverı´amos esperar nenhum desvio do ponteiro do instru-
mento, pois na˜o ha´ bateria no circuito.
(b) Todavia, se aproximarmos um ı´ma˜ da bobina, um fato curioso acontecera´.
(c) Enquanto o ı´ma˜ estiver em movimento (e somente enquanto ele estiver de
fato em movimento), o ponteiro do galvanoˆmetro sofrera´ uma deflexa˜o,
indicando que ha´ uma corrente na bobina.
(d) Quando pararmos o deslocamento do ı´ma˜, a deflexa˜o cessara´ e o ponteiro
voltara´ ao zero.
(e) Se afastarmos o ı´ma˜ da bobina, o ponteiro ira´ defletir mas em sentido
contra´rio, o que indica que a corrente na bobina teve seu sentido trocado.
(f) Experieˆncias posteriores mostraram que o importante e´ o movimento relativo
entre o ı´ma˜ e a bobina. Na˜o faz nenhuma diferenc¸a se movermos a bobina na
direc¸a˜o do ı´ma˜, ou o ı´ma˜ na direc¸a˜o da bobina.
59
(g) A corrente que aparece na bobina e´ chamada de corrente induzida, e o tra-
balho realizado por unidade de carga durante o movimento dos portadores de
carga e´ denominado de fem induzida.
2. Consideremos o dispositivo como mostrado na figura abaixo.
(a) As bobinas sa˜o colocadas pro´ximas uma da outra, mantidas em repouso e sem
nenhum contato ele´trico direto.
(b) Quando fechamos a chave S, permitindo que a bateria produza uma corrente
na bobina da direita, o ponteiro do galvanoˆmetro na bobina da esquerda sobre
uma deflexa˜o momentaˆnea.
(c) Quando se abre a chave, interrompendo a corrente, o ponteiro sofre novamente
uma deflexa˜o momentaneˆa, pore´m em sentido oposto.
(d) Somente quando a corrente na bobina da direita esta´ aumentando ou di-
minuindo (variando) e´ que uma fem induzida aparecera na bobina da
esquerda.
(e) Enquanto, pore´m, a bobina da direita e´ percorrida por uma corrente
constante, na˜o ha´ fem induzida, e na˜o importa qua˜o grande essa corrente
seja.
Podemos resumir os resultados desses dois experimentos como:
• Uma fem e´ induzida somente e somente se quando ALGO esta´ variando. Numa
situac¸a˜o esta´tica, onde nenhum objeto fı´sico esta´ em movimento e a corrente e´
constante, na˜o ha´ fem induzida.
• A PALAVRA CHAVE E´ VARIAC¸A˜O.
60
Devemos notar todavia que quanto maior for o nu´mero de espiras de fio que se
movem no campo magne´tico, maior sera´ a voltagem induzida.
• Empurrar o ı´ma˜ para dentro de uma bobina com duas vezes mais espiras conduzira´
uma voltagem duas vezes maior;
• Empurra´-lo para dentro de uma bobina com dez vezes mais espiras induzira´ uma
voltagem dez vezes maior; e assim por diante.
• Mas qual e´ a raza˜o fı´sica por tra´s desse fenoˆmeno?
61
3.1 Fluxo magne´tico
• O fluxo de qualquer vetor atrave´s de uma superfı´cie e´ calculado da mesma maneira
que o fluxo de um campo ele´trico atrave´s de uma superfı´cie.
• Seja dA um elemento de a´rea na superfı´cie S e seja nˆ um vetor unita´rio normal ao
elemento de superfı´cie de a´rea dA.
• O sinal do fluxo depende da escolha do sentido de nˆ. Podemos definir o fluxo
magne´tico atrave´s da superfı´cie S e´
Φm =
∫
S
~B · nˆdA =
∫
S
BndA (3.3)
A unidade de fluxo magne´tico e´ a de intensidade de campo magne´tico multiplicada
pela a´rea, que e´ chamado de weber (Wb)
1Wb = 1T ·m2
• Como B e´ proporcional ao nu´mero de linhas de campo por unidade de a´rea, o fluxo
magne´tico e´ proporcional ao nu´mero de linhas de campo atrave´s de um elemento
de a´rea.
• Se a superfı´cie e´ plana e tem uma a´rea A, e consiste de uma bobina com N voltas, e
se ~B e´ uniforme em toda a superfı´cie, o fluxo atrave´s da superfı´cie e´ N multiplicado
pelo fluxo atrave´s de cada volta
Φm = NBAcosθ (3.4)
3.1.1 Fluxo atrave´s de um soleno´ide
Determine o fluxo magne´tico atrave´s de um soleno´ide que tem 40cm de comprimento,
2,5cm de raio, 600 voltas e conduz uma corrente de 7,5A.
O campo magne´tico no interior deste longo soleno´ide e´ uniforme e paralelo ao eixo
62
do soleno´ide, logo o fluxo magne´tico e´ dado por
Φm = NBAcos0◦ = NBA
o campo magne´tico dentro de um soleno´ide e´ dado por B= µ0nI, sendo n=N/` o nu´mero
de voltas por unidade de comprimento, e A= pir2 e´ a a´rea de cada espira, logo escrevemos
o fluxo como
Φm = NBA = N (µ0nI)
(
pir2
)
=
µ0N2Ipir2
`
=
(
4pi×10−7T ·m/A)(600)2 (7,5A)pi (0,025m)2
0,40m
= 1,66×10−2Wb (3.5)
3.2 FEM induzida e a lei de Faraday
A partir de uma ana´lise cuidadosa dos experimientos acima, Faraday concluiu que
• Uma fem e´ induzida na bobina da esquerda, se e somente se quando o nu´mero de
linhas de campo magne´tico que a atravessam estiver variando.
• Assim, o “algo” que deve variar para induzir fem numa bobina e´ o nu´mero de linhas
de campo magne´tico que atravessam a bobina.
• Ou seja, uma fem e´ igual em magnitude a` taxa de variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s da superfı´cie limitada pelo fio.
1. A fem induzida numa espira condutora e´ igual ao negativo da taxa em que o fluxo
63
magne´tico atrave´s da espira esta´ variando com o tempo.
E =−dΦm
dt
→ E =−N dΦm
dt
(3.6)
Este resultado e´ conhecido como a lei de Faraday. O sinal de menos da lei de
Faraday esta´ relacionado com o sentido da fem induzida (hora´rio ou anti-hora´rio),
discutiremos este ponto mais tarde quando falarmos sobre a lei de Lenz.
• A figura abaixo mostra um u´nico anel de fio em repouso em um campo magne´tico.
• O fluxo atrave´s do anel esta´ varindo porque a intensidade do campo magne´tico na
superfı´cie S esta´ aumentando e portanto uma fem e´ induzida no anel.
• Como a fem e´ o trabalho realizado por unidade de carga, sabemos que deve haver
forc¸as exercidas nas cargas em movimento que esta˜o realizadno trabalho nestas
cargas.
• Forc¸as magne´ticas na˜o podem realizar trabalho (dW = ~F ·d~`=
(
Id~`×~B
)
·d~`);
portanto, na˜o podemos atribuir a fem ao trabalho realizado por forc¸as magne´ticas.
• Sa˜o as forc¸as ele´tricas associadas ao campo ele´trico na˜o-conservativo ~Enc que rea-
lizam trabalho nas cargas em movimento.
64
• A integral de linha do campo ele´trico ao longo de um circuito completo/fechado e´
igual ao trabalho realizado por unidade de carga, o qual e´ igual a` fem induzida no
circuito.
• Os campos ele´tricos de cargas esta´ticas sa˜o conservativos, i.e. ∮C ~E ·d~` = 0. Entre-
tanto, o campo ele´trico associado ao campo magne´tico varia´vel e´ na˜o-conservativo.
• A integral de linha do campo ele´trico na˜o-conservativo correspondente ao longo da
curva C e´ igual a` fem induzida no anel de fio
E =
∮
C
~Enc ·d~`=−dΦmdt =−
d
dt
∫
S
~B · nˆdA (3.7)
esta´ e´ a expressa˜o para uma fem induzida para um circuito em repouso em um
campo magne´tico varia´vel.
1. Uma convenc¸a˜o de sinais nos permite usar o sinal de menos na lei de Faraday para
determinar o sentido da fem induzida.
2. De acordo com esta convenc¸a˜o, a direc¸a˜o tangencial positiva ao longo do caminho
de integrac¸a˜o C esta´ relacionada a` direc¸a˜o e ao sentido da normal unita´ria nˆ na
superfı´cie S limitada por C pela regra da ma˜o direita.
3. Se dΦm/dt e´ positivo, enta˜o de cardo com a lei de Faraday, E esta´ no sentido
tangencial negativo.
65
3.2.1 fem induzida numa bobina circular
Uma bobina com 80espiras, raio igual a 5cm e uma resistaˆncia igual a 30Ω esta´ em
uma regia˜o com um campo magne´tico uniforme normal ao plano da bobina. A que taxa
deve variar a intensidade do campo magne´tico para produzir uma corrente de 4A na bo-
bina?
Primeiramente, escrevemos o fluxo em termos do campo
Φm = NBA = NBpir2→ B = 1Npir2Φm (3.8)
como queremos calcular a variac¸a˜o temporal do campo, tomamos a derivada de∣∣∣∣dBdt
∣∣∣∣= 1Npir2
∣∣∣∣dΦmdt∣∣∣∣ (3.9)
Todavia, podemos usar a lei de Faraday para relacionar a taxa de variac¸a˜o do fluxo a` fem
E =−dΦm
dt
→ |E|=
∣∣∣∣dΦmdt
∣∣∣∣= IR = (4A)(30Ω) = 120V (3.10)
Por fim, temos que∣∣∣∣dBdt
∣∣∣∣= 1Npir2
∣∣∣∣dΦmdt
∣∣∣∣= 1
(80espiras)pi (0,05m)2
(120V ) = 191T/s (3.11)
66
3.2.2 fem induzida numa bobina no interior de um soleno´ide
Considere um soleno´ide longo com 220 espiras/cm e transporta uma corrente I=1,5A;
seu diaˆmetro e´ 3,2cm. Em seu centro colocamos uma bobina compacta de 130espiras,
com diaˆmetro de 2,1cm. A corrente no soleno´ide e´ reduzida a zero e em seguida au-
mentada ate´ 1,5A no sentido oposto numa taxa constante, durante um perı´odo de 50ms.
Qual e´ o mo´dulo da fem induzida que aparece na bobina central enquanto a corrente no
soleno´ide esta´ sendo variada?
A intensidade da fem induzida e´
|E|= Nb∆Φm∆t
sendo Nb o nu´mero de espiras na bobina interna. O fluxo magne´tico atrave´s de cada espira
dessa bobina e´ dado por
Φm = BsA
em que o campo magne´tico no centro do soleno´ı´de e´ consequeˆncia da corrente I no so-
leno´ide
Bs = µ0nsI =
(
4pi×10−7T ·m/A
)(
220espiras/10−2m
)
(1,5A)
= 4,15×10−2T (3.12)
Ademais, podemos calcular a a´rea de cada bobina como
A = pir2 =
pid2
4
=
pi (0,021m)2
4
= 3,46×10−4m2 (3.13)
Logo, o fluxo atrave´s de cada espira da bobina e´
Φm = BsA =
(
4,15×10−2T
)(
3,46×10−4m2
)
= 14,4µWb (3.14)
67
O fluxo varia em sinal, mas na˜o em mo´dulo quando a corrente e´ invertida, de modo que o
mo´dulo da variac¸a˜o no fluxo ∆Φm para cada espira da bobina e´ 2∗14,4µWb= 28,8µWb.
Esta variac¸a˜o ocorre em 50ms, resultando numa fem induzida
|E|= Nb∆Φm∆t = (130espiras)
28,8µWb
50ms
= 75mV (3.15)
3.2.3 Campo ele´trico na˜o-conservativo induzido
Um campo magne´tico ~B e´ perpendicular ao plano da pa´gina. ~B e´ uniforme atrave´s de
uma regia˜o circular que tem raio R. Fora desta regia˜o, B = 0. A direc¸a˜o de ~B permanece
fixa e a taxa de variac¸a˜o de B e´ dB/dt. Quais sa˜o a magnitude, a direc¸a˜o e o sentido do
campo ele´trico induzido no plano da pa´gina, a) a uma distaˆncia r < R do centro da regia˜o
circular e b) a uma distaˆncia r > R do centro, onde B = 0?
a) Temos que a partir da lei de Faraday∮
C
~Enc ·d~`=−dΦmdt =−
d
dt
∫
S
~B · nˆdA (3.16)
podemos calcular separadamente∮
C
~Enc ·d~`= Et
∮
C
d`= Et (2pir) (3.17)
sendo Et a componente tangencial do campo ao cı´rculo de raio r < R, e e´ uniforme em
todos os pontos deste cı´rculo. Para r < R calculamos o fluxo magne´tico, sendo nˆ aponta
para dentro da pa´gina, logo∫
S
~B · nˆdA =
∫
S
BdA = B
∫
S
dA = B
(
pir2
)
(3.18)
Desta forma, temos∮
C
~Enc ·d~`=−dΦmdt → Et (2pir) =−
d
dt
(
Bpir2
)
→ Et =− r2
dB
dt
(3.19)
Ademais, com essa escolha de sentido de nˆ o sentido tangencial positivo e´ hora´rio. Assim,
uma vez que Et e´ negativo, o sentido de ~E e´ anti-hora´rio.
68
b) Para um cı´rculo de raio r > R, a integral de linha e´ a mesma∮
C
~Enc ·d~`= Et
∮
C
d`= Et (2pir) (3.20)
ja´ o fluxo magne´tico e´ ∫
S
~B · nˆdA =
∫
S
BdA = B
∫
S
dA = B
(
piR2
)
(3.21)
uma vez que B = 0 para r > R. Obtemos por fim atrave´s da aplicac¸a˜o da lei de Faraday,
∮
C
~Enc ·d~`=−dΦmdt → Et (2pir) =−
d
dt
(
BpiR2
)
→ Et =−R
2
2r
dB
dt
(3.22)
Novamente, uma vez que Et e´ negativo, o sentido de ~E e´ anti-hora´rio.
3.3 Lei de Lenz
• O sinal de menos na lei de Faraday esta´ relacionao ao sentido da fem induzida.
• Isto pode ser obtido aplicando a convenc¸a˜o de sinal, ou aplicando um princı´pio
geral da fı´sica conhecido como lei de Lenz
1. A fem induzida tem sentido tal que se opo˜e, ou tende a se opor, a` variac¸a˜o que
a produz.
Observe que a lei de Lenz na˜o especifica apenas que tipo de variac¸a˜o provoca a fem e a
corrente induzidas.
69
• Considere a situac¸a˜o em que uma ı´ma˜ em barra se move em direc¸a˜o a um anel
condutor. E o movimento do ı´ma˜ induz ma fem e uma corrente no anel.
• A lei de Lenz nos diz que esta fem induzida e corrente deve ser no sentido de se
opor ao movimento ı´ma˜.
• i.e. a corrente induzida no anel produz um campo magne´tico pro´prio e este campo
magne´tico deve exercer uma forc¸a para a esquerda sobre o ı´ma˜ que se aproxima.
• Ademais, note que esta corrente induzida no anel gera um momento de dipolo
magne´tico. O anel e´ como um pequeno ı´ma˜.
• Como po´los iguais se repelem, o momento magne´tico induzido no anel repele o
ı´ma˜; i.e. ele se opo˜e ao movimento em direc¸a˜o ao anel.
• Este resultado significa que o sentido da corrente induzida no anel deve ser o mos-
trado na figura.
Uma definic¸a˜o alternativa para a lei de Lenz em termos do fluxo magne´tico e´
1. Quando um fluxo magne´tico atrave´s de uma superfı´cie varia, o campo magne´tico
devido a qualquer corrente induzida produz um fluxo pro´prio – atrave´s da
mesma superfı´cie e de sinal oposto a` variac¸a˜o inicial do fluxo.
Fazer Exemplo 28-5
70
• Consideremos agora a situac¸a˜o oposta, em que o ı´ma˜ esta´ em repouso e o anel se
afasta do ı´ma˜.
• A corrente induzida e o momento magne´tico sa˜o mostrados na figura.
• Neste caso, o ı´ma˜ atrai o anel, opondo-se assim ao movimento do anel, como re-
querido pela lei de Lenz.
71
Exemplo: Lei de Lenz e uma bobina em movimento Uma bobina retangular tem
N = 80 voltas e cada volta tem largura de a= 20cm e comprimento b= 30cm. Metade da
bobina esta´ localizada em uma regia˜o com um campo magne´tico de intentidade B= 0,8T
dirigido para dentro da pa´gina. A resisteˆncia da bobina e´ de R = 30Ω. Determine a
intensidade e o sentido da corrente induzida se a bobina se move a 2m/s a) para a direita,
b) para cima na pa´gina, e c) para baixo na pa´gina.
• A corrente induzida e´ igual a` fem induzida dividida pela resisteˆncia.
• Podemos calcular a fem induzida no circuito enquanto a bobina se move calculando
a taxa de variac¸a˜o do fluxo atrave´s da bobina.
• O sentido da corrente induzida e´ determinado pela lei de Lenz.
A corrente induzida e´ igual a` fem induzida dividida pela resisteˆncia
I =
E
R
A fem induzida e o fluxo magne´tico esta˜o relacionado pela lei de Faraday
E =−dΦm
dt
72
O fluxo atrave´s da superfı´cie limitada pela bobina e´ N multiplicado pelo fluxo atrave´s de
cada volta da bobina. Escolhemos o sentido de nˆ para dentro da pa´gina
Φm = N~B · nˆA = NBax (3.23)
a) Quando a bobina esta´ se movendo para a direita (ou esquerda), x na˜o varia e o fluxo
tambe´m na˜o. Assim, E =−dΦmdt ∼ dxdt = 0, logo I = 0.
b) Agora, no caso em que a bobina esta´ subindo na pa´gina. Neste caso, x esta´ aumen-
tando e dxdt > 0, logo
E =−dΦm
dt
=−NBadx
dt
(3.24)
Desta forma, o mo´dulo da corrente induzida e´
|I|= |E|
R
=
NBa
R
∣∣∣∣dxdt
∣∣∣∣= (80)(0,8T )(0,2m)(2m/s)(30Ω) = 0,853A (3.25)
• Enquanto a bobina sobe o fluxo de ~B atrave´s de S aumenta.
• A corrente induzida deve produzir um campo magne´tico cujo fluxo atrave´s de S
diminui quando x aumenta.
• Este seria um campo magne´tico com sentido oposto ao de nˆ. Tal campo esta´ orien-
tado para fora da pa´gina.
• Logo, para produzir um campo magne´tico nesta direc¸a˜o e sentido, a corrente
induzida deve ter sentido anti-hora´rio. (Resultado que esta´ de acordo com a
forc¸a (para baixo) que se opo˜e ao movimento ~F = I~L×~B)
c) Agora, quando a bobina se move para baixo na pa´gina a situac¸a˜o e´ oposto ao do item
b).
• Enquanto a bobina desce o fluxo de ~B atrave´s de S diminui.
• A corrente induzida deve produzir um campo magne´tico cujo fluxo atrave´s de S
aumenta quando x diminui.
• Este seria um campo magne´tico com o mesmo sentido ao de nˆ. Tal campo esta´
orientado para dentro da pa´gina.
73
• Logo, para produzir um campo magne´tico nesta direc¸a˜o e sentido, a