Métodos Numéricos para Raízes de Equações

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Métodos Numéricos para determinação de raízes de equações. 
Dada uma função contínua, f(x), num intervalo I=[a, b] ⊆ ℜ, determinar uma raiz α ∈ I da 
equação f(x)=0 com precisão escolhida. A partir de uma valor inicial ou de um intervalo, iterações 
sucessivas são realizadas até que a diferença entre duas “candidatas” a raízes tenham diferença 
menor que a precisão determinada. 
1 . Método da bisseção 
Para que possamos utilizar este método, é necessário que conheçamos um intervalo [a,b] tal 
que a raiz s (f(s) = 0) pertença a este intervalo. A partir do teorema de Bolzano, sabemos que se 
houver um número ímpar de raízes no intervalo, teremos necessariamente f(a). f(b) < 0 Observe a 
figura abaixo. 
 
Observe que o valor de f(b) é positivo e que o valor de f(a) é negativo. Assim, f(a).f(b) < 0. 
Nesse caso, a curva tem que estar ora abaixo de e ora acima de x, ou seja, a curva “corta” o eixo x, 
um número ímpar de vezes (ao menos uma vez), isto é, tem uma raiz real neste intervalo. 
Algoritmo 
Reduzir sucessivamente o intervalo (a,b) até obter uma aproximação satisfatória para a raiz: 
Início 
a0 = a; b0 = b ; i = 0 e definir tolerância  
A cada iteração, incrementar i e encontrar um ponto pi dentro do intervalo tal que 
 
 
 e testar 
o valor obtido 
se f(pi) = 0, a raiz foi encontrada. 
se f(pi). f(ai) < 0, preparar próxima iteração com ai+1 = ai e bi+1 = pi. 
se f(pi). f(ai) > 0, preparar próxima iteração com ai+1 = pi e bi+1 = bi. 
Interromper o processo quando a tolerância desejada for atingida ( ). 
Exemplo. 
 
Vamos ilustrar a aplicação do método da bisseção no cálculo da raiz da função f(x) = ex - 3x 
localizada no intervalo [0; 1], com erro de 0,00001 
Inicialmente determinamos f(0) = 1 e f(1) = -0,28172. Assim, f(0). f(1) < 0 (condição 
necessária para a utilização do método) 
Abaixo seguem as iterações. 
 
Assim a solução é 0,61906. 
 
2. Método de Newton-Raphson 
Este método, sob determinadas condições, apresenta vantagens sobre o método anterior: é 
de convergência mais rápida e, para encontrar as raízes, não é obrigatória a condição f (a). f (b) < 0. 
 
Seja f(x) uma função cujas raízes se quer determinar com uma precisão menor ou igual a um 
certo valor dado. O processo consiste em usar como raiz aproximada a raiz da equação da 
tangente à curva f(x), ou seja a interseção da tangente com o eixo horizontal. Observe o gráfico 
abaixo. 
 
Observe que o procedimento é iterativo, ou seja obtém-se uma fórmula que 
calcula cada aproximação aperfeiçoada a partir da aproximação precedente. Os valores 
das derivadas nestes diversos pontos são utilizados para produzir uma seqüência de 
pontos que convergem rapidamente para a raiz desejada. 
Equação da reta tangente à curva y – y0 = f’(x0).(x – x0) ou y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) 
Agora façamos a reta encontrar o eixo x, isto é, y = 0. 
0 – f(x0) = f’(x0).(x – x0)  x = x0 – f(x0)/f´(x) 
Genericamente temos: 
Podemos conclui que se a diferença entre duas aproximações for menor que a 
tolerância/precisão, temos então uma aproximação para um zero da equação. 
Em algumas situações, a derivação pode ser complicada ou indesejável. Nestes casos, é 
necessário usar uma aproximação da derivada, como: 
 Ex. Encontre utilizando o Método de Newton Raphson a raiz de cox – x = 0 
n xn f(xn) f´(xn) 
0 1 -0,4597 -1,84147 
1 0,750364 -0,01892 -1,6819 
2 0,739113 -4,6E-05 -1,67363 
3 0,739085 -2,8E-10 -1,67361 
4 0,739085 0 -1,67361 
Assim a resposta é 0,739085.