aula_EME_03_-_Corr_Alternada_Senoidal_-_L_e_C_-_110814

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14/8/2011
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Correntes Alternadas Senoidais
Circuitos L e C
Estudar capítulo 5 
do livro-texto.
Tópicos
• Geração de uma f.e.m. senoidal
• Conceitos fundamentais
– Valor instantâneo, valor eficaz, frequência, período
• Circuito R (resistivo): conceito de defasagem
• Circuito L: conceito de reatância indutiva
• Circuito C: conceito de reatância capacitiva
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O Indutor
• Pela Lei da Indução, de Faraday, a 
tensão ao longo de um caminho 
fechado é igual à taxa de variação 
temporal do fluxo magnético que 
atravessa a área delimitada pelo 
caminho
i(t)
B
v(t)
dt
tdiLtv LL
)()( =
• Como o campo magnético é proporcional à 
corrente, então v é proporcional a di/dt
• Fatores geométricos (n° de espiras, área, 
forma) e a permeabilidade magnética do 
material são agrupados num valor L, chamado 
de indutância, medido em henrys (H)
• Assim, num indutor:
iL(t)
+
–
vL(t)
B
L
Circuito L
• Se uma tensão v(t) é 
aplicada a um indutor L, 
a qualquer instante de 
tempo t, a corrente iL(t) 
será:
dt
tdiLtv LL
)()( =
• Para uma tensão senoidal v(t) = Vmax sen (ω t)
dt
tdiLtV L )()(senmax =ω
~
+
-
iL(t)v (t) L
+
–
vL(t)
Circuito L (ii)
• Integrando ambos os lados da igualdade:
dt
dt
tdiLdttV L∫∫ =
)()(senmax ω
)()cos(max tLitV L=− ωω
( )2sen)cos()( maxmax piωωωω −=−= tLVtLVtiL
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Circuito L (iii)
• A corrente alternada por um indutor:
– É uma função senoidal no tempo, com a mesma 
freqüência da tensão aplicada;
– Tem um valor Imax = Vmax/XL, onde XL=ωL é 
chamada de reatância indutiva da indutância L na 
freqüência angular ω. A reatância é medida em 
ohms. Observe que Imax depende da freqüência da 
tensão aplicada (o que não ocorre com R);
– Está atrasada (defasada) no tempo em relação à 
tensão nos terminais do indutor em ¼ do período, 
ou seja, 90° ou pi/2 rad.
Potência instantânea em L
• A potência instantânea p(t) entregue pela 
fonte de tensão ao indutor L é p(t)=v(t)i(t):
• Das identidades trigonométricas, tiramos:
( )2sen)(sen)( maxmax piωω −= tItVtp
( ) ( )[ ]22cos2cos2)( maxmax piωpi −−−= tIVtp
( )22cos)( efef piω −−= tIVtp
Potência instantânea em L (ii)
• A potência instantânea p(t) entregue pela fonte de 
tensão ao indutor L:
tem valor médio zero. A potência dissipada por um 
indutor é nula, embora seu valor instantâneo seja 
diferente de zero – ora positivo, ora negativo. A 
energia entregue pela fonte ao campo magnético no 
indutor durante ¼ do período é devolvida à fonte ao 
longo do próximo ¼ de período.
( )22cos)( efef piω −−= tIVtp
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Potência reativa
• Essa potência que não é consumida (não é 
transformada em calor, como no resistor) 
chama-se potência reativa. É representada 
por Q, e medida em VAR (volt-ampère 
reativo):
L
L X
VIXIVQ
2
ef2
efefef ===
Circuito L: tensão e corrente
• Exercício 5.3: uma tensão senoidal v(t) = 100 
sen(377t)V é aplicada a um indutor de 5mH. 
• Pede-se:
– XL;
– Imax e Ief;
– a corrente instantânea;
– a potencia reativa;
– Faça um gráfico esboçando a variação de v(t) e de 
i(t) em função do tempo t, bem como da potência 
instantânea, mostrando um período do ciclo 
senoidal.
-60
-40
-20
0
20
40
60
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
0,00 4,17 8,33 12,50 16,67
i(
t)
 [
A
]
v
(t
) 
[V
]
t [ms]
v (t) 
i(t) 
Circuito L: v(t) e i(t) defasadas
Corrente sempre 
atrasada de 90° em 
relação à tensão
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Circuito L: potência instantânea
-60
-40
-20
0
20
40
60
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
0,00 4,17 8,33 12,50 16,67
i(
t)
 [
A
]
v
(t
) 
 [
V
] 
 
&
 
 p
(t
) 
 [
V
A
R
]
t [ms]
p(t)
v (t) 
i(t) 
• Derivando ambos os lados desta equação, e observando que a 
taxa temporal de variação da carga é exatamente a corrente que 
flui pelo capacitor:
• A capacitância C é medida em farads (F) no sistema internacional.
O Capacitor
• Se uma tensão v(t) é aplicada a um capacitor C, a qualquer 
instante de tempo t, a carga q(t) será:
dt
tdvCti CC
)()( =
)()( tCvtq C=
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Circuito C
• Se uma tensão v(t) é 
aplicada a um capacitor C, 
a qualquer instante de 
tempo t, a corrente iC(t) 
será:
• Para uma tensão senoidal v(t) = Vmax sen (ω t)
)2(sen)cos()(
max
max
piωωω +== t
X
V
tVCti
C
C
~
+
-
iC(t)v (t) C
+
–
vC(t)
dt
tdvCti CC
)()( =
Circuito C (ii)
• A corrente alternada por um capacitor:
– É uma função senoidal no tempo, com a mesma 
freqüência da tensão aplicada;
– Tem um valor Imax = Vmax/XC, onde XC=1/ωC é 
chamada de reatância capacitiva do capacitor C
na freqüência angular ω. A reatância é medida em 
ohms. Observe que Imax depende da freqüência da 
tensão aplicada (o que não ocorre com R);
– Está adiantada (defasada) no tempo em relação à 
tensão nos terminais do capacitor em ¼ do 
período, ou seja, 90° ou pi/2 rad.
Potência instantânea em C
• A potência instantânea p(t) entregue pela 
fonte de tensão ao capacitor C é p(t)=v(t)i(t):
• Das identidades trigonométricas, tiramos:
( )2sen)(sen)( maxmax piωω += tItVtp
( ) ( )[ ]22cos2cos2)( maxmax piωpi +−= tIVtp
( )22cos)( efef piω +−= tIVtp
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Potência instantânea em C (ii)
• A potência instantânea p(t) entregue pela fonte de 
tensão ao capacitor C:
tem valor médio zero. A potência dissipada por um 
indutor é nula, embora seu valor instantâneo seja 
diferente de zero – ora positivo, ora negativo. A 
energia entregue pela fonte ao campo elétrico no 
capacitor durante ¼ do período é devolvida à fonte 
ao longo do próximo ¼ de período.
( )22cos)( efef piω +−= tIVtp
Potência reativa capacitiva
• Essa potência que não é consumida (não é 
transformada em calor, como no resistor) 
chama-se potência reativa capacitiva. É 
representada por Q, e medida em VAR (volt-
ampère reativo):
C
C X
VIXIVQ
2
ef2
efefef ===
Circuito C: tensão e corrente
• Exercício 5.4: uma tensão senoidal v(t) = 200 
sen(314t)V é aplicada a um capacitor de 120µF. 
• Pede-se:
– XC;
– Imax e Ief;
– a corrente instantânea;
– a potencia reativa;
– Faça um gráfico esboçando a variação de v(t) e de i(t) 
em função do tempo t, bem como da potência 
instantânea, mostrando um período do ciclo 
senoidal.
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Circuito C: v(t) e i(t) defasadas
-10,0
-7,5
-5,0
-2,5
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 5 10 15 20 25
i(
t)
 [
A
]
v
(t
) 
[V
]
t [ms]
v (t) 
i(t) 
Corrente sempre 
adiantada de 90°
em relação à tensão
Circuito L: potência instantânea
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
0 5 10 15 20 25
i(
t)
 [
A
]
v
(t
) 
 [
V
] 
 
&
 
 p
(t
) 
 [
V
A
R
]
t [ms]
p(t)
v (t) 
i(t)