Modulo 2 d Distribuicoes de Probabilidade

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Professor
 Jorge Luiz A. Ferreira
Confiabilidade Estrutural
Distribuições de Probabilidade
Universidade de Brasília
Departamento de Engenharia Mecânica
Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Vamos Construir uma Experimento Aleatório com as Seguintes Características:
Distribuição Binomial
3 - A probabilidade de um sucesso, denotada por p, não se modifica de ensaio para ensaio. Conseqüentemente, a probabilidade de um fracasso, denotado por 1-p, se mantém constante nos diversos ensaios.
4 - Os ensaios são independentes entre si.
 Distribuições Discretas
1 - O experimento consiste de uma seqüência de n ensaios idênticos.
2 - Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Um deles será denominado sucesso e o outro será denominado fracasso.
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Binomial
 Distribuições Discretas
Se as propriedades 2, 3 e 4 estiverem presentes, diz-se que os ensaios são gerados por um processo de Bernoulli. 
Se, além disso, a propriedade 1 for satisfeita, diz-se que o se tem um experimento binomial.
Em um experimento binomial, nosso interesse estará centrado no número de sucessos que ocorrem nos n ensaios.
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Binomial
 Distribuições Discretas
Exemplos de Situações em que tais experimentos são praticados:
 Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
 O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa.
 Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
 No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
 No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Binomial
 Distribuições Discretas
Se X denota o número de sucessos que ocorrem nos n ensaios, vemos que X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, ..., n.
A probabilidade de X assumir um valor k dentre os n + 1 possíveis é:
Combinação
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Binomial – Média e Desvio Padrão
 Distribuições Discretas
No caso especial em que a variável aleatória tem uma distribuição binomial com um número conhecido de n ensaios e uma probabilidade conhecida de p sucessos:
Média:
Desvio-Padrão:
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Binomial – Exemplo
 Distribuições Discretas
Dez por cento das peças fabricadas em uma determinada linha de produção são defeituosas. Considerando que tais peças são usadas na montagem de um equipamento e que são usados em cada equipamento 4 peças, faça uma análise da chance de se encontrar peças defeituosas em um equipamento.
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Binomial – Exemplo
 Distribuições Discretas
Basicamente este estudo consiste em avaliar a probabilidade de se encontrar em um mesmo equipamento 4, 3, 2, 1, ou zero peças defeituosas. Assim, considerando:
Teremos:
Número de Peças Usadas, n: 4
Probabilidade de extrair 1 peça com Defeito da linha de produção, p: 10%
Probabilidade de extrair 1 peça sem Defeito da linha de Produção, q: 90%
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Distribuição Binomial – Exemplo
 Distribuições Discretas
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Distribuição Binomial – Campo de Aplicação
Campo de Aplicação
Ensaios
Estudo de problemas que envolvem o número de defeitos em amostras de tamanho n retirada de um grande lote tendo uma probabilidade de defeitos p; probabilidade dexocorrências em um grupo de y ocorrências, ou seja, situações que envolvam dicotomias; proporção de lotes que não mudam significativamente como resultado da amostra sorteada.
Inspecçãode produtos defeituosos em uma remessa de peças de aço;
Inspeção de pneus defeituosos em um lote de produção;
Determinação de defeitos solda;
Probabilidade que uma máquina de produção irá desempenhar a sua função;
Comportamento de Spins não interagentes
etc
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 Distribuições Discretas
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Tal distribuição é usada nas mesmas situações em que se usa a distribuição binomial, com uma importante diferença: 
“Na distribuição binomial o percentual de defeitos (e, portanto, de “conformes”) é assumida como sendo constante ao longo de todo o teste.”
 Isso é verdade se o lote do qual a amostra é colhida é tão grande que a retirada da amostra não afeta a proporção de produtos defeituosos.
Distribuição Hipergeométrica
 Distribuições Discretas
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Ou, se o lote for pequeno, presume-se que, quando a amostra é colhida, cada item da amostra é reposta antes do próximo seleção.
Assim, se a proporção de defeitos não puder ser assumida como constante, a distribuição hipergeométrica deve ser utilizada.
Distribuição Hipergeométrica
 Distribuições Discretas
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
A função de probabilidade hipergeométrica é definida pela seguinte expressão:
Distribuição Hipergeométrica
 Distribuições Discretas
Onde:
N = Tamanho do Lote;
n = Tamanho da amostra;
P(x) = Probabilidade de escolher x sucessos em n ensaios 
r = Num. de Defeitos no Lote
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Distribuição Hipergeométrica – Média e Desvio Padrão
 Distribuições Discretas
Média:
Desvio-Padrão:
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Hipergeométrica – Exemplo
 Distribuições Discretas
Um fornecedor recebeu um lote com 15 lâmpadas e vendeu 10 delas. Mais tarde, ele foi informado que 5 das 15 lâmpadas eram defeituosos. Qual é a probabilidade de que seu cliente recebeu 3 defeituosas ?
Tamanho do Lote, N: 15
Tamanho da Amostra, n: 10
Número de defeitos: 
 no Lote, r: 5, 
 na Amostra, x: 3
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Distribuição hipergeométrica – Campo de Aplicação
Campo de AplicaçãoEnsaios
Inspeção de componentes mecânicos, elétricos, etc quando se possui pequenos lotes para a caracterização do percentual de defeitos. Mesmas situações em que se usa a binomial, exceto, pelo fato das proporções de falha poderem mudar como resultado da amostra sorteada.
Probabilidade de obter-se 10 resistores satisfatórios em um lote de 100, tendo 2% de defeituosos; e casos similares aplicados a pequenos lotes.
Inspeção de pneus defeituosos em um lote de produção;
Determinação de defeitos solda;
Probabilidade que uma máquina de produção irá desempenhar a sua função
etc
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 Distribuições Discretas
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
A distribuição de Poisson aplica-se em situações em que o evento (ou entidade) de interesse está homogeneamente distribuído na população. Exemplo:
Distribuição de Poisson
 Distribuições Discretas
 A distribuição de parasitas em uma população de hospedeiros;
 O número de vazamentos em 160 km de tubulação.
 O número de reparos necessários em 16 Km de uma rodovia.
 O decaimento radiativo ou a picada de um mosquito infectado com malária
Siméon Denis Poisson
1781 - †1840
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Para uma melhor compreensão da distribuição, vamos idealizar o seguinte experimento:
Distribuição de Poisson
2 - Um número infinito de ocorrências de um evento devem ser possíveis no intervalo;
3 - A probabilidade de uma única ocorrência do evento em um dado intervalo é proporcional ao tamanho do intervalo;
4 - Em uma porção infinitesimal do intervalo, a probabilidade de mais de uma ocorrência do evento é desprezível.
 Distribuições Discretas
1 - A ocorrência dos eventos é independente, ou seja, a ocorrência de um evento em um intervalo de espaço ou de tempo não tem qualquer efeito sobre a probabilidade de ocorrência de um segundo evento;
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Assim, Se x representar a ocorrência de algum evento aleatório em um intervalo de tempo ou espaço, a probabilidade de ocorrência de x será definida pela seguinte expressão:
Distribuição de Poisson
 Distribuições Discretas
Onde:
l é o parâmetro de distribuição, é a média de ocorrência de x
e = 2,71828182846
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição de Poisson – Exemplo
 Distribuições Discretas
Considere um conjunto testes realizados em motores monocilíndricos com um certo tipo de combustível. O número de detonações foi gravado durante 30 minutos. Dez destes motores foram testados e os resultados são apresentados a seguir. Determine a probabilidade da ocorrência de zero, um, dois, três e quatro explosões por minuto, por motor.
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição de Poisson – Exemplo
 Distribuições Discretas
Núm Médio de Detonação por Minutos: 0,73 (219/(10*30))
Solução:
Se x representar a ocorrência de detonações em um intervalo de tempo, o parâmetro da distribuição, l, será igual a 0,73
Resultados dos Ensaios de Detonação
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição de Poisson – Exemplo
 Distribuições Discretas
Resultados dos Ensaios de Detonação
Solução:
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Distribuição de Poisson – Campo de Aplicação
Campo de Aplicação
Ensaios
Situações onde o número de vezes que ocorre um evento pode ser observado, mas não o número de vez que o evento não ocorrer. Aplica-se a eventos distribuídos aleatoriamente no tempo.
Número de avarias na máquina em uma fábrica;
Número de vezes que partículas de pó em suspensão entram em um determinado volume de controle;
Número de acidentes em plantas industriais;
Erros dimensionais em desenhos de engenharia;
Acidentes de automóvel num determinado local por unidade tempo;
Número de urgências hospitalares,
Defeitos ao longo de uma fita longa, arame, corrente, bar,etc;
Número de rebites defeituosos em uma asa de avião;
Decaimento radioativo,
Número de detonações número do motor;
Número de falhas por metro quadrado em chapa de metal.
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 Distribuições Discretas
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
A distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de conceituar: a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo.
Distribuição Uniforme ou Retangular
Seja [a,b] o espaço amostral. Então temos que a função densidade de probabilidade, para a ≤ x ≤ b , é:
Definição da Função de Densidade
 Distribuições Contínuas
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Distribuição Uniforme ou Retangular
Média
Medidas de Tendência Central e de Dispersão
Devio Padrão
Distribuição Acumulada:
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 Distribuições Contínuas
Se x ~ Unif(a,b), então a sua função de distribuição é quantificada pela equação:
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Distribuição Uniforme ou Retangular - Exemplo
 Distribuições Contínuas
O peso mínimo de um pacote de 1 kg de café é igual a 0,98 kg. O fabricante garante que a distribuição de pesos é uniforme e que a função de densidade de probabilidade, f(x) é igual a 9,75. Se o fabricante disse a verdade, qual é o peso máximo que um pacote de café pode ter ?
Por definição temos:
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Uniforme ou Retangular - Exemplo
 Distribuições Contínuas
Um vôo da ponte aérea Rio-São Paulo leva entre 40 e 50 minutos, com igual probabilidade de ocorrência dentro desse intervalo. Com base nessa informação, calcule qual a probabilidade do vôo durar mais de 48 minutos e qual a probabilidade do vôo durar entre 43 e 45 minutos.
Por definição temos:
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Distribuição Uniforme – Campo de Aplicação
Campo de Aplicação
Ensaios
Usada comumente nas situações em que não há razão para atribuir probabilidades diferentes a um conjunto possíveis de valores da variável aleatória em um determinado intervalo;
Usualmente associamos uma distribuição uniforme a uma determinada variável aleatória, simplesmente por falta de informação mais precisa, além do conhecimento do seu intervalo de valores;
Geração numérica de qualquer outra distribuição contínua, na qual a função distribuiçãoacumulada sejainversível, pode ser simulada a partir da distribuição uniforme. (TEOREMA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL)
Tempo de chegada de um vôo;
Distância de posição de cargas em uma ponte, em relação a um pilar terminal;
avaliar avarias causadas por desastres naturais, como o rastro de destruição causado por um tornado,acidentes, guerras
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 Distribuições Contínuas
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Distribuição Uniforme ou Retangular
Quando Usar:
 Quando há um certificado ou limites especificando um nível de confiança (Ex.: 25ml ± 0,05ml);
 É feito uma estimativa de um valor máximo;
 A variabilidade da medição for baixa.
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 Distribuições Contínuas
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É a distribuição de probabilidade contínua que possui um valor mínimo a, um valor máximo b e uma moda c, de modo que a função densidade de probabilidade é zero para os extremos (a e b), de forma que o gráfico dela é um triângulo
Distribuição Triangular
Definição da Função de Densidade
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 Distribuições Contínuas
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Distribuição Triangular
Média
Medidas de Tendência Central e de Dispersão
Devio Padrão
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 Distribuições Contínuas
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Distribuição Triangular
Quando Usar:
 A Distribuição Triangular é normalmente usada quando existe uma ideia subjetiva da população, através dos seus extremos e da sua moda
 Quando uma estimativa é feita na forma de ranges máximos [b, a] descritos por distribuições simétricas;
 A variabilidade da medição for baixa.
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 Distribuições Contínuas
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Uma variável x, definida na faixa 0 < x < , tem uma distribuição lognormal se log (x) for normalmente distribuída com média e desvio-padrão dados por:
Distribuição Log Normal
A função densidade de probabilidade de X é expressa por:
Definição da Função de Densidade
 Distribuições Contínuas
com valor esperado e variância calculados por:
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Log Normal - Exemplo
 Distribuições Contínuas
Um fabricante quer entrar numa concorrência de fornecimento de fios de aço de 5,08 mm de diâmetro, que tem uma resistência ao cisalhamento de 206,8 MPa. Este fio é usado no controle das barras combustíveis de reatores nucleares. A substituição destas molas é realizada após a aplicação de 106 ciclos de tensão na condição de operação. Sabe-se de experiências anteriores que a distribuição da vida de falhas sob condições de tensão constante é lognormal, com os seguintes parâmetros:
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Distribuição Log Normal - Exemplo
 Distribuições Contínuas
Determine a probabilidade da falha ocorrer antes da troca. 
Considerando que a vida esperada é igual a 106 ciclos, a função de densidade de probabilidade assumirá a seguinte forma:
A probabilidade de falha é igual a probabilidade de x assumir o valor menor que 106 ciclos
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 Distribuições de Probabilidade Importantes
Distribuição Log Normal - Exemplo
 Distribuições Contínuas
Assim, teremos que calcular a seguinte probabilidade:
Ou seja, a chance da mola falhar é igual a 8,69 %.
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Distribuição Log-Normal – Campo de Aplicação
Campo de Aplicação
Ensaios
Estudo de fenômenos da vida;
Situações assimétricos onde as ocorrências estão concentradas na parte final do intervalo (caudas das distribuições) ou onde as diferenças nas suas observações são de uma grande ordem de magnitude
Acúmulo de milhas por diferentes motorista de uma determinada marca de veículo;
Quantidade de eletricidade usada por vários clientes;
Tempo de inatividade de um grande número de sistemas elétricos;
Intensidades de luz das lâmpadas;
Concentração de resíduos de processo químico.
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 Distribuições Contínuas
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