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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Aula 9
1
Roteiro
1. Gás Ideal Quântico
a) Grã-função de partição 
b) Equação de estado:
 Férmions
 Bósons
2. Gás Ideal de Fermions
a) Altas temperaturas
b) Baixas temperaturas
3. Estrelas anãs brancas
Referências: Huang, 8.6, 11.1 e 11.2
 Pathria, 8.4
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Gás Ideal Quântico
2
Considerar um conjunto de N part´ıculas independentes (na˜o interagentes) confinadas em
um volume V e descritas pelo operador hamiltoniano
Hˆ =
N�
i=1
1
2m
�ˆp2i =
1
2m
[pˆ2x + pˆ
2
y + pˆ
2
z)], �ˆp
2
i = �ˆpi · �ˆpi
onde �ˆp = (pˆx, pˆy, pˆz) e´ o operador momentum linear em linguagem vetorial.
Na representac¸a˜o de coordenadas sa˜o
pˆx = i�(∂/∂x)
Supor part´ıculas sem spin e indistingu´ıveis do ponto de vista espacial.
Na base autovetores do hamiltoniano a equac¸a˜o de Schro¨dinger (para a parte espacial da
func¸a˜o de onda) pode ser escrita como
Hˆ|φn� =
�
i
1
2m
�ˆp2i |φn� =
�
i
Eni|φn� = En|φn�, En =
�
i
Eni, Eni =
1
2m
p2i
onde �pi o autovalor do operador momentum linear �ˆpi da i-e´sima part´ıcula.
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Gás Ideal Quântico
2
Considerar um conjunto de N part´ıculas independentes (na˜o interagentes) confinadas em
um volume V e descritas pelo operador hamiltoniano
Hˆ =
N�
i=1
1
2m
�ˆp2i =
1
2m
[pˆ2x + pˆ
2
y + pˆ
2
z)], �ˆp
2
i = �ˆpi · �ˆpi
onde �ˆp = (pˆx, pˆy, pˆz) e´ o operador momentum linear em linguagem vetorial.
Na representac¸a˜o de coordenadas sa˜o
pˆx = i�(∂/∂x)
Supor part´ıculas sem spin e indistingu´ıveis do ponto de vista espacial.
Na base autovetores do hamiltoniano a equac¸a˜o de Schro¨dinger (para a parte espacial da
func¸a˜o de onda) pode ser escrita como
Hˆ|φn� =
�
i
1
2m
�ˆp2i |φn� =
�
i
Eni|φn� = En|φn�, En =
�
i
Eni, Eni =
1
2m
p2i
onde �pi o autovalor do operador momentum linear �ˆpi da i-e´sima part´ıcula.
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Gás Ideal Quântico
2
Considerar um conjunto de N part´ıculas independentes (na˜o interagentes) confinadas em
um volume V e descritas pelo operador hamiltoniano
Hˆ =
N�
i=1
1
2m
�ˆp2i =
1
2m
[pˆ2x + pˆ
2
y + pˆ
2
z)], �ˆp
2
i = �ˆpi · �ˆpi
onde �ˆp = (pˆx, pˆy, pˆz) e´ o operador momentum linear em linguagem vetorial.
Na representac¸a˜o de coordenadas sa˜o
pˆx = i�(∂/∂x)
Supor part´ıculas sem spin e indistingu´ıveis do ponto de vista espacial.
Na base autovetores do hamiltoniano a equac¸a˜o de Schro¨dinger (para a parte espacial da
func¸a˜o de onda) pode ser escrita como
Hˆ|φn� =
�
i
1
2m
�ˆp2i |φn� =
�
i
Eni|φn� = En|φn�, En =
�
i
Eni, Eni =
1
2m
p2i
onde �pi o autovalor do operador momentum linear �ˆpi da i-e´sima part´ıcula.
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Gás Ideal Quântico
2
Considerar um conjunto de N part´ıculas independentes (na˜o interagentes) confinadas em
um volume V e descritas pelo operador hamiltoniano
Hˆ =
N�
i=1
1
2m
�ˆp2i =
1
2m
[pˆ2x + pˆ
2
y + pˆ
2
z)], �ˆp
2
i = �ˆpi · �ˆpi
onde �ˆp = (pˆx, pˆy, pˆz) e´ o operador momentum linear em linguagem vetorial.
Na representac¸a˜o de coordenadas sa˜o
pˆx = i�(∂/∂x)
Supor part´ıculas sem spin e indistingu´ıveis do ponto de vista espacial.
Na base autovetores do hamiltoniano a equac¸a˜o de Schro¨dinger (para a parte espacial da
func¸a˜o de onda) pode ser escrita como
Hˆ|φn� =
�
i
1
2m
�ˆp2i |φn� =
�
i
Eni|φn� = En|φn�, En =
�
i
Eni, Eni =
1
2m
p2i
onde �pi o autovalor do operador momentum linear �ˆpi da i-e´sima part´ıcula.
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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás Ideal Quântico
3
Estando o ga´s esta´ confinado em um volume V = L3, as func¸o˜es de onda devem atender
a`s condic¸o˜es de periodicidade nas fronteiras do volume, e.g.
Ψ(x, y, z) = Ψ (x+ L, y, z),
assim como para as outras direc¸o˜es.
Logo, como as soluc¸o˜es sa˜o ondas planas devemos ter:
�pi =
2π�
L
�ni, � ni = (nix, niy, niz), niα ∈ I
ou seja os autovalores do operador momentum linear �ˆpi resultam quantizados.
Os autovalores da energia, podem ser reescritos em termos de uma soma sobre os poss´ıveis
valores discretos de �pi na forma
En =
�
n
Eni → E�p =
�
�p
n�pε�p, com ε�p =
p2
2m
, e
�
�p
n�p = N
onde n�p e´ o nu´mero de part´ıculas com autovalor �p.
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
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Gás Ideal Quântico
3
Estando o ga´s esta´ confinado em um volume V = L3, as func¸o˜es de onda devem atender
a`s condic¸o˜es de periodicidade nas fronteiras do volume, e.g.
Ψ(x, y, z) = Ψ (x+ L, y, z),
assim como para as outras direc¸o˜es.
Logo, como as soluc¸o˜es sa˜o ondas planas devemos ter:
�pi =
2π�
L
�ni, � ni = (nix, niy, niz), niα ∈ I
ou seja os autovalores do operador momentum linear �ˆpi resultam quantizados.
Os autovalores da energia, podem ser reescritos em termos de uma soma sobre os poss´ıveis
valores discretos de �pi na forma
En =
�
n
Eni → E�p =
�
�p
n�pε�p, com ε�p =
p2
2m
, e
�
�p
n�p = N
onde n�p e´ o nu´mero de part´ıculas com autovalor �p.
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
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Gás Ideal Quântico
3
Estando o ga´s esta´ confinado em um volume V = L3, as func¸o˜es de onda devem atender
a`s condic¸o˜es de periodicidade nas fronteiras do volume, e.g.
Ψ(x, y, z) = Ψ (x+ L, y, z),
assim como para as outras direc¸o˜es.
Logo, como as soluc¸o˜es sa˜o ondas planas devemos ter:
�pi =
2π�
L
�ni, � ni = (nix, niy, niz), niα ∈ I
ou seja os autovalores do operador momentum linear �ˆpi resultam quantizados.
Os autovalores da energia, podem ser reescritos em termos de uma soma sobre os poss´ıveis
valores discretos de �pi na forma
En =
�
n
Eni → E�p =
�
�p
n�pε�p, com ε�p =
p2
2m
, e
�
�p
n�p = N
onde n�p e´ o nu´mero de part´ıculas com autovalor �p.
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás Ideal Quântico
4
Um microestado do ga´s ideal pode ser bem especificado pelo conjunto de nu´meros {n�p}
ou seja o conjunto dos nu´meros de part´ıculas com momentum �p.
microestado quaˆntico ↔ conjunto de nu´meros {n�p}
Obs:
• No limite V � 1 (ou L� 1) os autovalores |�pi| se tornam diminutos e podem ser
tratados de forma cont´ınua, i.e. a somato´ria em �p pode ser reposta em termos de
uma integral em varia´veis cont´ınuas, i.e.�
�p
→ V
h3
�
d�p
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Gás Ideal Quântico
4
Um microestado do ga´s ideal pode ser bem especificado pelo conjunto de nu´meros {n�p}
ou seja o conjunto dos nu´meros de part´ıculas com momentum �p.
microestado quaˆntico ↔ conjunto de nu´meros {n�p}
Obs:
• No limite V � 1 (ou L� 1) os autovalores |�pi| se tornam diminutos e podem ser
tratados de forma cont´ınua,i.e. a somato´ria em �p pode ser reposta em termos de
uma integral em varia´veis cont´ınuas, i.e.�
�p
→ V
h3
�
d�p
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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás Ideal Quântico
5
Considerar a func¸a˜o de partic¸a˜o do ensemble canoˆnico para um ga´s ideal
Z(V, T,N) =
�
{n�p}
g{n�p} e−βE{n�p}
onde, g{n�p} e´ o nu´mero de microestados correspondentes a {n�p}, i.e
g(n�p) =

1 Fe´rmions e Bo´sons (indistingu´ıveis),
1
N !
N !�
�p n�p!
Maxwell-Boltzmann (distingu´ıveis*)
Maxwell-Boltzmann
Z(V, T,N) =
�
�p
1�
�p n�p!
e
−β�n�p n�pε�p = 1
N !
�
�p
e−βε�p
N
resultado decorrente da expansa˜o multinomial. Fazendo a passagem para o cont´ınuo, a
somato´ria e´ transformada em uma integral, i.e.�
�p
e−βε�p → V
h3
�
d�pe−βp
2/2m = V
�mkT
2π�2
�3/2
=
V
λ3
∴ Z(V, T,N) = 1
N !
V N
λ3N
(*) mas com contagem correta de Boltzmann!
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás Ideal Quântico - grã-função de partição 
6
Fe´rmions e Bo´sons
E´ mais conveniente obter a gra˜-func¸a˜o de partic¸a˜o definida por
Z(T, V, µ) =
∞�
N=0
zNZ(V, T,N) =
∞�
N=0
��
{n�p}
zN e
−β�n�p n�pε�p = ∞�
N=0
��
{n�p}
�
�p
�
z e−βε�p
�n�p
onde g(n�p) = 1 e soma
�� indica a restric¸a˜o que N =��p n�p.
A dupla soma equivale (termo-a-termo) a uma somato´ria irrestrita em cada n�p. i.e.
∞�
N=0
��
{n�p}
→
�
n0
�
n1
�
n2
. . .
Verifique a correspondeˆncias biun´ıvoca entre os termos de ambas as somas.
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
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Gás Ideal Quântico - grã-função de partição 
7
Z(T, V, µ) pode ser reescrita como
Z(T, V, µ) =
�
n0
�
n1
�
n2
. . . (ze−βε0)n0(ze−βε1)n1(ze−βε2)n2 · · · =
=
��
n0
(ze−βε0)n0
���
n1
(ze−βε1)n1
���
n2
(ze−βε2)n2
�
. . . ∴
Z(T, V, µ) =
�
�p
��
n
(ze−βε�p)n
�
Ga´s de Bo´sons: n = 0, 1, 2, . . .∞
Z(T, V, µ) =
�
�p
� ∞�
n=0
(ze−βε�p)n
�
→ Z(T, V, µ) =
�
�p
(1− ze−βε�p)−1
a soma dos termos e´ uma progressa˜o geome´trica de raza˜o menor que a unidade.
Ga´s de Fe´rmions: n = 0, 1
Z(T, V, µ) =
�
�p
(1 + ze−βε�p)
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás Ideal Quântico - equação de estado
8
Equac¸a˜o de estado
No ensemble gra˜o-canoˆnico a eq. de estado e´ obtida lembrando que por ΩG = kBT lnZ(T, V, µ).
Como Ω = U − TS − µN = PV , resulta
PV
kT
=

−��p ln(1− ze−βε�p) Bo´sons,�
�p ln(1 + ze
−βε�p) Fe´rmions.
O nu´mero me´dio de part´ıculas �N� e´
�N� = z ∂
∂z
lnZ(T, V, µ) =

�
�p
ze−βε�p
(1− ze−βε�p) Bo´sons,�
�p
ze−βε�p
(1 + ze−βε�p)
Fe´rmions.
Mas, como
�N� =
�
�p
�n�p� → �n�p� = ze
−βε�p
(1 +∓ze−βε�p) =
�
(−) Bo´sons,
(+) Fe´rmions.
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás Ideal Quântico - equação de estado - férmions
9
Ga´s de Fe´rmions livres
No limite termodinaˆmico V →∞ as somato´rias sa˜o estendidas para integrais desde que
os integrandos sejam limitados, o que e´ garantido pela condic¸a˜o z = e−βµ > 0.
PV
kT
=
V
h3
� ∞
0
(4π)p2 ln[1 + ze−βp
2/2m] dp =
V
λ3
f5/2(z)
�N�
V
=
V
h3
� ∞
0
(4π)p2 dp
[1 + z−1eβp2/2m]
=
V
λ3
f3/2(z) λ =
� 2π�2
mKBT
�1/2
Obs:
As func¸o˜es fs(z) sa˜o ditas func¸o˜es de Fermi ou integrais de Fermi que por sua vez sa˜o
casos particulares da func¸a˜o especial Polilogaritmo i.e
fs(z) = Lis(−z) = −1
Γ(s)
� ∞
0
ts−1
etz−1 + 1
dt =
∞�
l=1
(−1)l+1 z
l
ls
.
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
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Gás ideal de férmions - regime de altas temperaturas
10
2 4 6 8 10x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
f3!2"x#
Regime de altas temperaturas
Em altas temperaturas o comprimento de onda te´rmico λ e´ muito menor que a distaˆncia
interpart´ıcula me´dia.
λ << distaˆncia me´dia interpart´ıcula =
� V
�N�
�1/3
∴
λ3
�N�
V
<< 1, → λ
3
V/�N� = f3/2(z) << 1
Obs: λ corresponde ao comprimento de onda de Broglie para uma part´ıcula com energia
da ordem de kT .
A integral de Fermi
f3/2(z) =
4√
π
� ∞
0
dxx2
(z−1ex2 + 1)
� z − z
2
23/2+
+
z3
33/2
− . . .
• func¸a˜o monotonicamente crescente de z, i.e
(∂f3/2/∂z) ≥ 0.
• f3/2(0) = 0 ou seja o intervalo de valores de z tais que
f3/2(z) << 1 corresponde a valores z pequenos.
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás ideal de férmions - regime de altas temperaturas
11
Reescrevendo com v = V/�N�,
λ3
v
= z − z
2
23/2
+
z3
33/2
− . . .
Invertendo a se´rie para obter z em termos da ordem de (λ3/v) teremos
z =
λ3
v
+
z2
23/2
− z
3
33/2
− . . . z1 = λ
3
v
+O{(λ
3
v
)2}
z2 =
λ3
v
+
1
23/2
�λ3
v
�2
+O{(λ
3
v
)3} . . . . . .
Substituindo a expansa˜o de z em poteˆncias de λ3/v na equac¸a˜o de estado, teremos ate´
segunda ordem:
PV
kT
=
V
λ3
f5/2(z) =
V
λ3
�
z − z
2
25/2
+
z3
35/2
+ . . .
�
=
=
V
λ3
��
λ3
v
+
1
23/2
�λ3
v
�2�
− 1
25/2
�
λ3
v
+
1
23/2
�λ3
v
�2�2
+ . . .
�
PV
kT
� V
λ3
λ3
v
�
1 +
1
23/2
λ3
v
− 1
25/2
λ3
v
+ . . .
�
= �N�
�
1 +
1
25/2
λ3
v
+ . . .
�
∴
P
kT
� �N�
V
�
1 +
1
25/2
λ3
v
+ . . .
�
→ P
kT
� n
�
1 +
λ3
25/2
n+ . . .
�
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás ideal de férmions - regime de altas temperaturas
12
Comenta´rios:
• O resultado e´ expansa˜o semelhante a` expansa˜o virial, i.e em poteˆncias da densidade
me´dia v−1.
• Diferenc¸a fundamental: os termos da expansa˜o sa˜o produzidos por efeitos quaˆnticos
sobre o ga´s ideal sem interac¸o˜es interpart´ıcula.
• O termo de ordem zero, i.e com z = (λ3/v) reproduz a equac¸a˜o de estado do ga´s
ideal cla´ssico!
• Todas as demais grandezas termodinaˆmicas tera˜o correc¸o˜es de origem quaˆntica em
uma se´rie de poteˆncias em (λ3/v).
Por exemplo, capacidade calor´ıfica a volume constante sera´
CV � 3
2
Nk
�
1− 0.884λ
3
v
+ 0.0066
�λ3
v
�2
+ . . .
�
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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 9
Gás ideal de férmions - regime de baixas temperaturas
13
Regime de baixas temperaturas
Os efeitos quaˆnticos sa˜o relevantes quando o comprimento de onda te´rmico ≥ a distaˆncia
me´dia interpart´ıcula, i.e quando as temperaturas sa˜o suficientemente baixas para que
λ3
v
� 1
Nesse caso, devemos examinar o comportamento de f3/2(z) em grandes valores e z.
Fermi !Dirac
n!Ε"# #e Β!Ε!Μ" & 1 $!1kT # 1
kT # 10
Μ " 1
0 1 2 3
Ε
Μ
0
0.5
1
n!Ε"Considerar a distribuic¸a˜o de Fermi no regime de
baix´ıssimas temperaturas:
�n�p� = 1
z−1eβε�p + 1
∴ lim−→
T→0
�n�p� = 1
eβ(ε�p−εF ) + 1
Observe que todas as curvas passam no mesmo ponto
n(µ) = 1/2, i.e quando ε = µ em qualquer temper-
atura.
Distribuic¸a˜ode Fermi para valores de
βµ= 1 (azul) e 10 (preto).
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
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Gás ideal de férmions - regime de baixas temperaturas
14
εF
1
〈n!p〉
Distribuic¸a˜o de Fermi em T = 0.
No regime extremo em que T = 0 temos
lim−→
T=0
�n�p� =

1 se ε�p < εF
0 se ε�p > εF
1/2 se ε�p = εF
Observac¸o˜es:
• Todos os estados com energia menor do
que εF esta˜o ocupados com 1 part´ıcula, e
todos os estados com energia acima esta˜o
desocupados.
• εF e´ ma´xima energia de um estado ocu-
pado.
• Como z = eβµ, em T = 0 o poteˆncial
qu´ımico µ = εF .
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
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Gás ideal de férmions - regime de baixas temperaturas
15
Densidade de estados
Estado Fundamental(T = 0)
O distribuic¸a˜o de Fermi obedece a` condic¸a˜o
�
�p �n�p� = N , que em T = 0 resulta�
�p
1 = N, ou
V
h3
�
ε�p≤εF
d�p= N
Passando para a varia´vel de energia, i.e �p2/(2m)→ ε , escrevemos formalmente� εF
ε0
D(ε) dε = N
onde
D(ε) = densidade de estados =
�
nu´mero de estados com,
energia entre ε e ε+ dε.
Obs:
Para determinar explicitamente D(ε) e´ preciso especificar a dependeˆncia de ε com �p,
conhecida como relac¸a˜o de dispersa˜o.
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
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Gás ideal de férmions - regime de baixas temperaturas
16
Ε
D�Ε�
Para o ga´s ideal em T = 0 temos
ε = ε�p =
�p2
2m
∴ dp = m
p
dε =
m√
2mε
dε →
V
h3
� pF
0
(4π)p2dp =
4π V
h3
� εF
0
(2mε)
m√
2mε
dε =
� εF
0
�2πV
h3
(2m)
3
2 ε
1
2
�
� �� �
d(ε)
dε ∴
D(ε) =
2πV
h3
(2m)3/2ε1/2 → n(ε) ∼ ε1/2
Momentum de Fermi,
4π V
h3
� pF
0
p2dp = N, → V
h3
4π
3
p3F = N ∴
pF =
� 3N
4πV
� 1
3
h (momentum de Fermi)
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Gás ideal de férmions - regime de baixas temperaturas
17
Energia (me´dia) do estado fundamental
E0 =
�
�p
�n�p� ε�p = Vh3
� pF
0
p2
2m
(4π)p2dp, → E0 = 2π V
5mh3
p5F ou
E0 =
� εF
0
D(ε)dε, → E0 = 3
5
NεF (energia interna)
Temperatura de Fermi TF
Definic¸a˜o:
TF =
εF
k
→

T = 0 Estado Fundamental,
T << TF Regime de baixas temperaturas ou
ga´s com alta densidade
T >> TF Regime de altas temperaturas ou
ga´s com baixa densidade..
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Gás ideal de férmions - regime de baixas temperaturas
18
Quando T �= 0 a densidade de estados pode ser obtida
por
N =
�
�p
�n�p�, ou
N =
V
h3
∞�
0
[eβ(ε−µ) + 1]−1d�p=
=
� ∞
0
f(ε)D(ε)dε
onde
f(ε) =
1
eβ(ε−µ) + 1
→ e−β(ε−µ) (ε� µ)
D(ε) =
2πV
h3
(2m)
3
2 ε
1
2
T � 0
T �� TF
T �� TF
Ε�Μ
f��� D��
Gra´fico de [f(ε) D(ε)]× ε/µ
para T = 0, T << TF e T � TF .
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Gás ideal de férmions com spin
19
No caso de fe´rmions com spin �s existira´ uma degeneresceˆncia de (2s+ 1) microestados
para cada estado me momentum �p.
Portanto,
N = (2s+ 1)
V
h3
�
ε�p≤εF
d�p= (2s+ 1)
V
h3
4π
3
p3F ∴
V
h3
4π
3
p3F = N
� =
N
(2s+ 1)
• Corresponde a considerar um sistema de fe´rmions reduzido para N � = N/(2s+ 1)
fe´rmions sem spin.
• Esta correspondeˆncia pode ser entendida porque fe´rmions com diferentes estados
de spin na˜o sofrem as restric¸o˜es de simetria pela operac¸a˜o de permutac¸a˜o entre as
posic¸o˜es, i.e na˜o sofrem as restric¸o˜es impostas pelo princ´ıpio de Pauli.
• Cada subconjunto de fe´rmions com mesmo estado de spin age como se fosse um
ga´s independente.
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Estrelas anãs brancas
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Estrelas anãs brancas
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Em astronomia, anã branca é o objeto celeste resultante do processo evolutivo de estrelas 
de até 10 M Sol, o que significa dizer que cerca de 98% de todas as estrelas evoluirão até a 
fase de anã branca, entretanto, somente 6% dos objetos nas vizinhanças do Sol são anãs 
brancas.
Após terem se tornado gigantes vermelhas durante a fase de queima nuclear de Hélio/
Hidrogênio, elas ejetarão sua camada externa, formando uma nebulosa planetária e 
deixando para trás um núcleo composto praticamente de carbono e oxigênio.
Embora este núcleo seja mil vezes mais luminoso que o Sol e com uma temperatura 
efetiva que pode chegar a 150 000 K, ele não tem uma fonte de energia adicional e irá 
gradualmente irradiar sua energia e esfriar. O núcleo, sem o suporte contra o colapso 
gravitacional oferecido pelas reações de fusão termonucleares, torna-se extremamente 
denso, com uma massa típica de 0,6 MSol contida em um volume comparável ao da Terra.
O colapso gravitacional da anã branca é barrado apenas pela pressão de degenerescência 
eletrônica. A maior massa de uma anã branca, além da qual a pressão da matéria 
degenerada não pode mais suporta-la, é em torno de 1,4 MSol. Uma anã branca com massa 
maior do que este limite (conhecido como limite de Chandrasekhar ) pode explodir em 
uma supernova.
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Estrelas anãs brancas
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Modelo simples para uma estrela ana˜ branca
• Ga´s esfe´rico constitu´ıdo de he´lio,
• massa total M ∼ 1030 kg e
• densidade de ρ = 1010 kg m−3
• temperatura no centro T = 107 K
Estimativa da energia de Fermi e do momentum de Fermi
Cada a´tomo de He contribui com 2 ele´trons e 2 nu´cleos para a massa total.
A energia cine´tica me´dia kBT ∼ 1 keV e´ muito pequena comparada a` massa de
repouso dos nu´cleos, da ordem de mHec2 ≈ 4 GeV. Logo devem ser tratados no
limite na˜o-relativ´ıstico.
Para os eletrons a massa de repouso e´ mec2 ≈ 511 keV, de maneira que a con-
tribuic¸a˜o da energia cine´tica para a massa sera´ tambe´m desprez´ıvel.
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A massa do ga´s sera´ aproximadamente
M ≈ N(me + 2mn) ≈ 2Nmn
Densidade de ele´trons
n =
N
V
≈ M/2mn
Mρ
≈ ρ
2mn
≈ 3 · 1036 ele´trons
m3
O momentum de Fermi para um ga´s de ele´trons e´ dado por
pF =
� 3n
2× 4π
�1/3
h ≈ 5 · 10−22 kg m
seg
≈ 0, 9 Mev
c
onde o fator 2 decorre da degeneresceˆncia de spin do ele´tron.
A energia de Fermi pode ser obtida da relac¸a˜o energia-momentum relativ´ıstica.
Excluindo a energia de repouso, temos
εF = mc
2
��
1 +
� pF
mc
�2
− 1
�
� 0.5Mev
Portanto, a energia te´rmica kBT ≈ 1keV <<ε F . Ou seja, o ga´s de ele´trons esta´
a uma temperatura T << TF , i.e. em um estado degenerado (frio).
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Para o ga´s de nu´cleos He, temos:
1. O comprimento de onda te´rmico
λHe=
�
�2
2πmHe kbT
�1/2
≈ 247× 10−15fm = 247 fm
2. Comparando com a densidade de part´ıculas de He que e´ metade da de ele´trons temos
nHe λ
3
He ≈ 2.27 · 10−2 << 1
ou seja, o ga´s de He esta´ no regime de altas temperaturas e pode ser tratado como um
ga´s de Maxwell-Boltzmann.
3. O ga´s de He contribui para a pressa˜o com
PHe = nHe kBT ≈ 1.5 · 10−12 MeV
fm3
4. A pressa˜o do ga´s de ele´trons em T = 0 (pressa˜o do ponto zero) pode ser calculada e
resulta [vide Pathria eq. 12 §8.4, pag. 221]
P0 =
πm4e c
5
3h3
A(x), A(x) = x(x2+1)1/2(2x2−3)+3 sinh−1 x, x = pF
mec
=
�3n
8π
�1/3 h
mec
m
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que pode ser estimada em
Pe ≈ 10−9MeV
fm3
que e´ 103 vezes maior que PHe. Portanto, apenas os ele´trons sa˜o relevantes para a dinaˆmica
do ga´s.
5. O confinamento do ga´s e´ resultado da forc¸a gravitacional entre as part´ıculas que o compo˜e.
Se o ga´s se expande por um volume dV enquanto o raio aumenta de dR havera´ um ganho
de energia
dEP = −P dV = −P (R) 4πR2dR
lembrando que a pressa˜o e´ func¸a˜o do momento de Fermi que por sua vez depende do
volume (ou raio) para um dado nu´mero de part´ıculas.
6. Por outro lado quando o ga´s aumenta de raio a energia potencial gravitacional aumenta
de
dEg =
dEg
dR
dR = α
GM2
R2
dR, Eg(R) = −αGM
2
R
7. No equil´ıbrio termodinaˆmico a energia livre deve ter um m´ınimo ou seja dF = 0. Neste
caso, em T = 0 temos F = U − TS = U , logo
dF = dU = dEg+dEP = 0 → [−P (R) 4πR2+αGM
2
R2
]dR = 0 ∴ P (R) = α
2π
GM2
R4
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8.
P (R) =
α
4π
GM2
R4
Esta equac¸a˜o fornece entre a massa e o raio da estrela da estrela em equil´ıbrio.
Substituindo P (R) pela pressa˜o P0 do ponto zero dos ele´trons e o momento de Fermi dos
ele´trons, resulta
πm4ec
5
3h3
A(
pF
mec
) =
α
4π
GM2
R4
→ A( pF
mec
) = 6πα
�
�c
m4ec
2
1
R
�3 1
mec2
GM2
R
∴ A
��9πM
8mn
�1/3 �c
mec2
1
R
�
= 6πα
�
�c
m4ec
2
1
R
�3 1
mec2
GM2
R
9. Comenta´rios:
– Esta equac¸a˜o fornece a correspondeˆncia entre a massa M da estrela (em unidade de
massa do nucleo) e o raio R (em unidades de comprimento de onda Compton dos
ele´trons �c/mec2.
– A energia gravitacional aparece no lado direito em unidades de energia de repouso os
ele´trons.
– A equac¸a˜o relaciona mecaˆnica quaˆntica, relatividade especial e teoria da gravitac¸a˜o.
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9. Comenta´rios:
– Infelizmente na˜o pode ser resolvida exatamente para R(M) ou M(R). Mas, pode
ser resolvida em 2 caso assinto´ticos:
Temos: M ∼ 1030 kg, mn ∼ 1.6 · 10−27 kg, �c = 197 MeV e mec2 ≈ 0.5 MeV.
Logo o argumento da func¸a˜o A(x) sera´ 1 se R = 5 · 106 m. Podemos considerar as
situac¸o˜es assinto´ticas quando:
a) pF /mec << 1 para R� 106
Neste caso, A(x) � (8/5)x5,
∴ R ≈ 3(9π)
2/3
40α
�
�c
Gm2n
��
�c
mec2
��mn
M
�1/3
b) pF /mec >> 1 para R << 106
Neste caso, A(x) � 2x4 − 2x2,
∴ R ≈ (9π)
1/3
2
�
�c
mec2
��
M
mn
�1/3�
1−
�M
M0
�2/3�1/2
,
M0 =
9
64
�
3π
α3
�1/2� �c
Gm2n
�3/2
mn
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9. Comenta´rios:
�
�c
mec2
��
M
mn
�1/3�
1−
�M
M0
�2/3�1/2
,
M0 =
9
64
�
3π
α3
�1/2� �c
Gm2n
�3/2
mn
Se M > M0 na˜o ha´ soluc¸a˜o real. O raio aproxima-se de 0 quando M →M0.
Logo, M0 e´ o limite superior para a massa, chamado de limite de Chandrasekhar.
Significa, nessa aproximac¸a˜o, que a pressa˜o do ponto zero dos ele´trons na˜o conseguiria
compensar a pressa˜o gravitacional e a estrela colapsaria.
O valor de M0 � 1030kg. Estudos posteriores de Chandrasekhar chegaram a
M0 � 1.44Msol
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