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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Roteiro
1
Ensembles estatísticos
Microestados de um sistema clássico
Espaço de Fase 
Ensemble Estatístico
Função densidade de probabilidades
Interpretação probabilística
O Teorema de Liouville
Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville
Equilíbrio estatístico e equilíbrio termodinâmico
‣ Equilíbrio estatístico: exemplos
‣ Equilíbrio termodinâmico: princípio da equiprobabilidade à priori
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Ensembles estatísticos
2
O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Ensembles estatísticos
2
O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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Ensembles estatísticos
2
O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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Ensembles estatísticos
2
O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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Ensembles estatísticos
2
O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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Ensembles estatísticos
2
O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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Ensembles estatísticos
3
Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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Ensembles estatísticos
3
Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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Ensembles estatísticos
3
Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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Ensembles estatísticos
3
Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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Curso de Mecânica
Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Microestados de um sistema clássico
4
Microestado de um sistema cla´ssico com n graus de liberdade:
• conjunto de 2n coordenadas emomentos generalizados {qi, pi} (i = 1, 2, . . . n),
• {qi, pi} podem ser dependentes do tempo e
• satisfazem a`s equac¸o˜es do movimento de Hamilton,
q˙i =
∂H
∂pi
, e p˙i = −∂H
∂qi
, i = 1, 2, . . . n
onde H e´ a hamiltoniana cla´ssica e o ponto sobre a coordenada indica a
derivada em relac¸a˜o ao tempo.
Observac¸o˜es:
◦ As coordenadas (qi, pi) sa˜o ditas serem canonicamente conjugadas.
◦ As coordenadas e momentos generalizados podem ser definidas de forma bas-
tante geral onde esta˜o inclu´ıdos os v´ınculos existentes no sistema. Em geral,
trata-se de uma representac¸a˜o parametrizada.
◦ EXEMPLO: num ga´s de N mole´culas livres no espac¸o Euclideano, as coorde-
nadas generalizadas poderiam ser as 3N coordenadas de posic¸a˜o {xi, yi, zi}
e os respectivos 3N momentos {pi, pi, pi} momentos generalizados, .
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Microestados de um sistema clássico
4
Microestado de um sistema cla´ssico com n graus de liberdade:
• conjunto de 2n coordenadas emomentos generalizados {qi, pi} (i = 1, 2, . . . n),
• {qi, pi} podem ser dependentes do tempo e
• satisfazem a`s equac¸o˜es do movimento de Hamilton,
q˙i =
∂H
∂pi
, e p˙i = −∂H
∂qi
, i = 1, 2, . . . n
onde H e´ a hamiltoniana cla´ssica e o ponto sobre a coordenada indica a
derivada em relac¸a˜o ao tempo.
Observac¸o˜es:
◦ As coordenadas (qi, pi) sa˜o ditas serem canonicamente conjugadas.
◦ As coordenadas e momentos generalizados podem ser definidas de forma bas-
tante geral onde esta˜o inclu´ıdos os v´ınculos existentes no sistema. Em geral,
trata-se de uma representac¸a˜o parametrizada.
◦ EXEMPLO: num ga´s de N mole´culas livres no espac¸o Euclideano, as coorde-
nadas generalizadas poderiam ser as 3N coordenadas de posic¸a˜o {xi, yi, zi}
e os respectivos 3N momentos {pi, pi, pi} momentos generalizados, .
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Microestados de um sistema clássico
4
Microestado de um sistema cla´ssico com n graus de liberdade:
• conjunto de 2n coordenadas emomentos generalizados {qi, pi} (i = 1, 2, . . . n),
• {qi, pi} podem ser dependentes do tempo e
• satisfazem a`s equac¸o˜es do movimento de Hamilton,
q˙i =
∂H
∂pi
, e p˙i = −∂H
∂qi
, i = 1, 2, . . . n
onde H e´ a hamiltoniana cla´ssica e o ponto sobre a coordenada indica a
derivada em relac¸a˜o ao tempo.
Observac¸o˜es:
◦ As coordenadas (qi, pi) sa˜o ditas serem canonicamente conjugadas.
◦ As coordenadas e momentos generalizados podem ser definidas de forma bas-
tante geral onde esta˜o inclu´ıdos os v´ınculos existentes no sistema. Em geral,
trata-se de uma representac¸a˜o parametrizada.
◦ EXEMPLO: num ga´s de N mole´culas livres no espac¸o Euclideano, as coorde-
nadas generalizadas poderiam ser as 3N coordenadas de posic¸a˜o {xi, yi, zi}
e os respectivos 3N momentos {pi, pi, pi} momentos generalizados, .
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Microestados de um sistema clássico
4
Microestado de um sistema cla´ssico com n graus de liberdade:
• conjunto de 2n coordenadas emomentos generalizados {qi, pi} (i = 1, 2, . . . n),
• {qi, pi} podem ser dependentes do tempo e
• satisfazem a`s equac¸o˜es do movimento de Hamilton,
q˙i =
∂H
∂pi
, e p˙i = −∂H
∂qi
, i = 1, 2, . . . n
onde H e´ a hamiltoniana cla´ssica e o ponto sobre a coordenada indica a
derivada em relac¸a˜o ao tempo.
Observac¸o˜es:
◦ As coordenadas (qi, pi) sa˜o ditas serem canonicamente conjugadas.
◦ As coordenadas e momentos generalizados podem ser definidas de forma bas-
tante geral onde esta˜o inclu´ıdos os v´ınculos existentes no sistema. Em geral,
trata-se de uma representac¸a˜o parametrizada.
◦ EXEMPLO: num ga´s de N mole´culas livres no espac¸o Euclideano, as coorde-
nadas generalizadas poderiam ser as 3N coordenadas de posic¸a˜o {xi, yi, zi}
e os respectivos 3N momentos {pi, pi, pi} momentos generalizados, .
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Espaço de Fase 
5
Espac¸o de Fase Γ,
◦ E´ um espac¸o 2n−dimensional, i.e. existe um eixo
de coordenadas para cada uma das 2n coorde-
nadas e momentos generalizados.
◦ cada ponto representa um estado particular re-
aliza´vel.
◦ uma trajeto´ria corresponde a` evoluc¸a˜o temporal
do sistema.
t0
t1
tf
!p
!q
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Espaço de Fase 
5
Espac¸o de Fase Γ,
◦ E´ um espac¸o 2n−dimensional, i.e. existe um eixo
de coordenadas para cada uma das 2n coorde-
nadas e momentos generalizados.
◦ cada ponto representa um estado particular re-
aliza´vel.
◦ uma trajeto´ria corresponde a` evoluc¸a˜o temporal
do sistema.
t0
t1
tf
!p
!q
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Espaço de Fase 
5
Espac¸o de Fase Γ,
◦ E´ um espac¸o 2n−dimensional, i.e. existe um eixo
de coordenadas para cada uma das 2n coorde-
nadas e momentos generalizados.
◦ cada ponto representa um estado particular re-
aliza´vel.
◦ uma trajeto´ria corresponde a` evoluc¸a˜o temporal
do sistema.
t0
t1
tf
!p
!q
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Espaço de Fase 
5
Espac¸o de Fase Γ,
◦ E´ um espac¸o 2n−dimensional, i.e. existe um eixo
de coordenadas para cada uma das 2n coorde-
nadas e momentos generalizados.
◦ cada ponto representa um estado particular re-
aliza´vel.
◦ uma trajeto´ria corresponde a` evoluc¸a˜o temporal
do sistema.
t0
t1
tf
!p
!q
Exemplo: Oscilador Harmoˆnico Simples - 1D
• massa m, forc¸a harmoˆnica de constante κ > 0 e ponto de equil´ıbrio na origem
x = 0.
• Hamiltoniana cla´ssica:
H = 1
2m
p2 +
κ
2
x2
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Espaço de Fase 
6
Espac¸o de Fase:
• O espac¸o bidimensional com coordenadas (x, p).
• Se o oscilador estiver isolado, estara´ em um
estado com energia constante E , enta˜o sua
evoluc¸a˜o temporal e´ dada equac¸a˜o
1
2m
p2 +
κ
2
x2 = E → p
2
2mE +
x2
2E/κ = 1
• a trajeto´ria e´ uma elipse de semi-eixos: √2mE e�
2E/κ, e excentricidade e =�1− (mκ)−1
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Espaço de Fase 
6
p
q
Espac¸o de Fase:
• O espac¸o bidimensional com coordenadas (x, p).
• Se o oscilador estiver isolado, estara´ em um
estado com energia constante E , enta˜o sua
evoluc¸a˜o temporal e´ dada equac¸a˜o
1
2m
p2 +
κ
2
x2 = E → p
2
2mE +
x2
2E/κ = 1
• a trajeto´ria e´ uma elipse de semi-eixos: √2mE e�
2E/κ, e excentricidade e =�1− (mκ)−1
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Ensemble Estatístico
7
Ensemble estat´ıstico:
Conjunto representativo dos estados microsco´picos realiza´veis de um sistema f´ısico,
sobre o qual pode-se realizar me´dias estat´ısticas de interesse.
domingo, 5 de
fevereiro de 2012
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Ensemble Estatístico
7
Ensemble estat´ıstico:
Conjunto representativo dos estados microsco´picos realiza´veis de um sistema f´ısico,
sobre o qual pode-se realizar me´dias estat´ısticas de interesse.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Ensemble Estatístico
7
Ensemble estat´ıstico:
Conjunto representativo dos estados microsco´picos realiza´veis de um sistema f´ısico,
sobre o qual pode-se realizar me´dias estat´ısticas de interesse.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Ensemble Estatístico
7
Ensemble estat´ıstico no espac¸o de fase:
conjunto de pontos, cada um representando uma
re´plica independente do sistema original, pore´m
em um microestado distinto compat´ıvel com os
v´ınculos existentes.
Ensemble estat´ıstico:
Conjunto representativo dos estados microsco´picos realiza´veis de um sistema f´ısico,
sobre o qual pode-se realizar me´dias estat´ısticas de interesse.
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!p
!q
ρ(!q, !p)
Ensemble Estatístico
7
Ensemble estat´ıstico no espac¸o de fase:
conjunto de pontos, cada um representando uma
re´plica independente do sistema original, pore´m
em um microestado distinto compat´ıvel com os
v´ınculos existentes.
Ensemble estat´ıstico:
Conjunto representativo dos estados microsco´picos realiza´veis de um sistema f´ısico,
sobre o qual pode-se realizar me´dias estat´ısticas de interesse.
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!p
!q
ρ(!q, !p)
Ensemble Estatístico
7
Ensemble estat´ıstico no espac¸o de fase:
conjunto de pontos, cada um representando uma
re´plica independente do sistema original, pore´m
em um microestado distinto compat´ıvel com os
v´ınculos existentes.
Ensemble estat´ıstico:
Conjunto representativo dos estados microsco´picos realiza´veis de um sistema f´ısico,
sobre o qual pode-se realizar me´dias estat´ısticas de interesse.
ρ(�q, �p, t) e´ a func¸a˜o densidade de probabilidades
do espac¸o de fase.
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Função densidade de probabilidades
8
Define-se enta˜o a func¸a˜o densidade de ensemble por
ρ�(�q, �p, t) d�q d�p=
�
nu´mero de elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Função densidade de probabilidades
8
Propriedades da func¸a˜o densidade:
(a) A densidade de elementos do ensemble ρ�(�q, �p, t) ≥ 0.
(b) A integral de ρ�(�q, �p, t) em todo o espac¸o de fase Γ fornecera´ o nu´mero total
de elementos do ensemble N , i.e.�
· · ·
�
d�q d�pρ �(�q, �p, t) = N
(c) ρ� pode ser normalizada, i.e.
ρ(�q, �p, t) =
1
N ρ
�(�q, �p, t) →
�
Γ
d�q d�pρ (�q, �p, t) = 1
∴ ρ(�q, �p, t) d�q d�p=
�
frac¸a˜o dos elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
Define-se enta˜o a func¸a˜o densidade de ensemble por
ρ�(�q, �p, t) d�q d�p=
�
nu´mero de elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
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Função densidade de probabilidades
8
Propriedades da func¸a˜o densidade:
(a) A densidade de elementos do ensemble ρ�(�q, �p, t) ≥ 0.
(b) A integral de ρ�(�q, �p, t) em todo o espac¸o de fase Γ fornecera´ o nu´mero total
de elementos do ensemble N , i.e.�
· · ·
�
d�q d�pρ �(�q, �p, t) = N
(c) ρ� pode ser normalizada, i.e.
ρ(�q, �p, t) =
1
N ρ
�(�q, �p, t) →
�
Γ
d�q d�pρ (�q, �p, t) = 1
∴ ρ(�q, �p, t) d�q d�p=
�
frac¸a˜o dos elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
Define-se enta˜o a func¸a˜o densidade de ensemble por
ρ�(�q, �p, t) d�q d�p=
�
nu´mero de elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Função densidade de probabilidades
8
Propriedades da func¸a˜o densidade:
(a) A densidade de elementos do ensemble ρ�(�q, �p, t) ≥ 0.
(b) A integral de ρ�(�q, �p, t) em todo o espac¸o de fase Γ fornecera´ o nu´mero total
de elementos do ensemble N , i.e.�
· · ·
�
d�q d�pρ �(�q, �p, t) = N
(c) ρ� pode ser normalizada, i.e.
ρ(�q, �p, t) =
1
N ρ
�(�q, �p, t) →
�
Γ
d�q d�pρ (�q, �p, t) = 1
∴ ρ(�q, �p, t) d�q d�p=
�
frac¸a˜o dos elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
Define-se enta˜o a func¸a˜o densidade de ensemble por
ρ�(�q, �p, t) d�q d�p=
�
nu´mero de elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Função densidade de probabilidades
8
Propriedades da func¸a˜o densidade:
(a) A densidade de elementos do ensemble ρ�(�q, �p, t) ≥ 0.
(b) A integral de ρ�(�q, �p, t) em todo o espac¸o de fase Γ fornecera´ o nu´mero total
de elementos do ensemble N , i.e.�
· · ·
�
d�q d�pρ �(�q, �p, t) = N
(c) ρ� pode ser normalizada, i.e.
ρ(�q, �p, t) =
1
N ρ
�(�q, �p, t) →
�
Γ
d�q d�pρ (�q, �p, t) = 1
∴ ρ(�q, �p, t) d�q d�p=
�
frac¸a˜o dos elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
Define-se enta˜o a func¸a˜o densidade de ensemble por
ρ�(�q, �p, t) d�q d�p=
�
nu´mero de elementos do ensemble com valores
entre (�q, �p) e (�q + d�q, �p+ d�p) no instante t.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Interpretação probabilística
9
◦ Observar a evoluc¸a˜o temporal de um certo
elemento do ensemble durante um inter-
valo de tempo t.
◦ Medir o tempo de permaneˆncia ∆t do es-
tado no interior do elemento de volume
(δ�qδ�p).
◦ No limite t → ∞, a probabilidade do sis-
tema ser encontrado em (δ�qδ�p) e´ definida
por
dW (�q, �p, t) = lim
t→∞
∆t
t
Como �
Γ
dW (�q, �p, t) = 1 → dW (�q, �p, t) = ρ(�q, �p, t) d�q d�p
identifica-se
ρ(�q, �p, t) =
�
func¸a˜o densidade de probabilidades do sistema ter valores
entre (�q, �p) e (�q + δ�q, �p+ δ�p) no instante t.
δ"q
δ"p
"p
"q
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Interpretação probabilística
9
◦ Observar a evoluc¸a˜o temporal de um certo
elemento do ensemble durante um inter-
valo de tempo t.
◦ Medir o tempo de permaneˆncia ∆t do es-
tado no interior do elemento de volume
(δ�qδ�p).
◦ No limite t → ∞, a probabilidade do sis-
tema ser encontrado em (δ�qδ�p) e´ definida
por
dW (�q, �p, t) = lim
t→∞
∆t
t
Como �
Γ
dW (�q, �p, t) = 1 → dW (�q, �p, t) = ρ(�q, �p, t) d�q d�p
identifica-se
ρ(�q, �p, t) =
�
func¸a˜o densidade de probabilidades do sistema ter valores
entre (�q, �p) e (�q + δ�q, �p+ δ�p) no instante t.
δ"q
δ"p
"p
"q
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Curso de Mecânica Estatística
- Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Interpretação probabilística
9
◦ Observar a evoluc¸a˜o temporal de um certo
elemento do ensemble durante um inter-
valo de tempo t.
◦ Medir o tempo de permaneˆncia ∆t do es-
tado no interior do elemento de volume
(δ�qδ�p).
◦ No limite t → ∞, a probabilidade do sis-
tema ser encontrado em (δ�qδ�p) e´ definida
por
dW (�q, �p, t) = lim
t→∞
∆t
t
Como �
Γ
dW (�q, �p, t) = 1 → dW (�q, �p, t) = ρ(�q, �p, t) d�q d�p
identifica-se
ρ(�q, �p, t) =
�
func¸a˜o densidade de probabilidades do sistema ter valores
entre (�q, �p) e (�q + δ�q, �p+ δ�p) no instante t.
δ"q
δ"p
"p
"q
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Interpretação probabilística
9
◦ Observar a evoluc¸a˜o temporal de um certo
elemento do ensemble durante um inter-
valo de tempo t.
◦ Medir o tempo de permaneˆncia ∆t do es-
tado no interior do elemento de volume
(δ�qδ�p).
◦ No limite t → ∞, a probabilidade do sis-
tema ser encontrado em (δ�qδ�p) e´ definida
por
dW (�q, �p, t) = lim
t→∞
∆t
t
Como �
Γ
dW (�q, �p, t) = 1 → dW (�q, �p, t) = ρ(�q, �p, t) d�q d�p
identifica-se
ρ(�q, �p, t) =
�
func¸a˜o densidade de probabilidades do sistema ter valores
entre (�q, �p) e (�q + δ�q, �p+ δ�p) no instante t.
δ"q
δ"p
"p
"q
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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Interpretação probabilística
10
Observac¸a˜o importante:
◦ O problema fundamental da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ determinar ρ(�q, �p, t) para
um sistema isolado ou para uma parte (subsistema) e um sistema maior iso-
lado.
◦ O conhecimento de ρ(�q, �p, t) permite calcular me´dias de grandezas macrosco´picas
mensura´veis.
Me´dias de Ensemble
A me´dia de ensemble de uma grandeza dinaˆmica do sistema f(�q, �p) sobre os ele-
mentos do ensemble e´ definida por:
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t) d�qd�p
Obs:
◦ A me´dia de ensemble, acima definida, e´ dependente do instante t se ρ(�q, �p, t)
e´ dependente do tempo explicitamente.
◦ < f >t e´ um nu´mero real.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Interpretação probabilística
10
Observac¸a˜o importante:
◦ O problema fundamental da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ determinar ρ(�q, �p, t) para
um sistema isolado ou para uma parte (subsistema) e um sistema maior iso-
lado.
◦ O conhecimento de ρ(�q, �p, t) permite calcular me´dias de grandezas macrosco´picas
mensura´veis.
Me´dias de Ensemble
A me´dia de ensemble de uma grandeza dinaˆmica do sistema f(�q, �p) sobre os ele-
mentos do ensemble e´ definida por:
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t) d�qd�p
Obs:
◦ A me´dia de ensemble, acima definida, e´ dependente do instante t se ρ(�q, �p, t)
e´ dependente do tempo explicitamente.
◦ < f >t e´ um nu´mero real.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Interpretação probabilística
10
Observac¸a˜o importante:
◦ O problema fundamental da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ determinar ρ(�q, �p, t) para
um sistema isolado ou para uma parte (subsistema) e um sistema maior iso-
lado.
◦ O conhecimento de ρ(�q, �p, t) permite calcular me´dias de grandezas macrosco´picas
mensura´veis.
Me´dias de Ensemble
A me´dia de ensemble de uma grandeza dinaˆmica do sistema f(�q, �p) sobre os ele-
mentos do ensemble e´ definida por:
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t) d�qd�p
Obs:
◦ A me´dia de ensemble, acima definida, e´ dependente do instante t se ρ(�q, �p, t)
e´ dependente do tempo explicitamente.
◦ < f >t e´ um nu´mero real.
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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
O Teorema de Liouville
11
Considerac¸o˜es iniciais:
1. Considere o ensemble de um sistema f´ısico em dois instantes de tempo, t0 e
t. Nesse intervalo de tempo, cada ponto descreve uma trajeto´ria u´nica – que
na˜o se cruzam – determinada pelas leis da mecaˆnica (equac¸o˜es de Hamilton).
Logo, ha´ uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do ensemble em t0
e t.
2. A dinaˆmica do ensemble em Γ pode ser vista como uma sucessa˜o de trans-
formac¸o˜es infinitesimais do espac¸o de fase nele mesmo, i.e.
ρ(t) : Γ→ Γ [transformac¸a˜o entre configurac¸o˜es]
Em outras palavras, corresponde ao conjunto das transformac¸o˜es canoˆnicas
que cada estado do sistema (elemento do ensemble) sofre entre t e t + δt.
3. Nem toda transformac¸a˜o cont´ınua e´ poss´ıvel. O teorema de Liouville permi-
tira´ discernir, dentre o conjunto das transformac¸o˜es cont´ınuas, aquelas trans-
formac¸o˜es que sa˜o compat´ıveis com a dinaˆmica dos sistema.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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O Teorema de Liouville
11
Considerac¸o˜es iniciais:
1. Considere o ensemble de um sistema f´ısico em dois instantes de tempo, t0 e
t. Nesse intervalo de tempo, cada ponto descreve uma trajeto´ria u´nica – que
na˜o se cruzam – determinada pelas leis da mecaˆnica (equac¸o˜es de Hamilton).
Logo, ha´ uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do ensemble em t0
e t.
2. A dinaˆmica do ensemble em Γ pode ser vista como uma sucessa˜o de trans-
formac¸o˜es infinitesimais do espac¸o de fase nele mesmo, i.e.
ρ(t) : Γ→ Γ [transformac¸a˜o entre configurac¸o˜es]
Em outras palavras, corresponde ao conjunto das transformac¸o˜es canoˆnicas
que cada estado do sistema (elemento do ensemble) sofre entre t e t + δt.
3. Nem toda transformac¸a˜o cont´ınua e´ poss´ıvel. O teorema de Liouville permi-
tira´ discernir, dentre o conjunto das transformac¸o˜es cont´ınuas, aquelas trans-
formac¸o˜es que sa˜o compat´ıveis com a dinaˆmica dos sistema.
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O Teorema de Liouville
11
Considerac¸o˜es iniciais:
1. Considere o ensemble de um sistema f´ısico em dois instantes de tempo, t0 e
t. Nesse intervalo de tempo, cada ponto descreve uma trajeto´ria u´nica – que
na˜o se cruzam – determinada pelas leis da mecaˆnica (equac¸o˜es de Hamilton).
Logo, ha´ uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do ensemble em t0
e t.
2. A dinaˆmica do ensemble em Γ pode ser vista como uma sucessa˜o de trans-
formac¸o˜es infinitesimais do espac¸o de fase nele mesmo, i.e.
ρ(t) : Γ→ Γ [transformac¸a˜o entre configurac¸o˜es]
Em outras palavras, corresponde ao conjunto das transformac¸o˜es canoˆnicas
que cada estado do sistema (elemento do ensemble) sofre entre t e t + δt.
3. Nem toda transformac¸a˜o cont´ınua e´ poss´ıvel. O teorema de Liouville permi-
tira´ discernir, dentre o conjunto das transformac¸o˜es cont´ınuas, aquelas trans-
formac¸o˜es que sa˜o compat´ıveis com a dinaˆmica dos sistema.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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O Teorema de Liouville
11
Considerac¸o˜es iniciais:
1. Considere o ensemble de um sistema f´ısico em dois instantes de tempo, t0 e
t. Nesse intervalo de tempo, cada ponto descreve uma trajeto´ria u´nica – que
na˜o se cruzam – determinada pelas leis da mecaˆnica (equac¸o˜es de Hamilton).
Logo, ha´ uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do ensemble em t0
e t.
2. A dinaˆmica do ensemble em Γ pode ser vista como uma sucessa˜o de trans-
formac¸o˜es infinitesimais do espac¸o de fase nele mesmo, i.e.
ρ(t) : Γ→ Γ [transformac¸a˜o entre configurac¸o˜es]
Em outras palavras,
corresponde ao conjunto das transformac¸o˜es canoˆnicas
que cada estado do sistema (elemento do ensemble) sofre entre t e t + δt.
3. Nem toda transformac¸a˜o cont´ınua e´ poss´ıvel. O teorema de Liouville permi-
tira´ discernir, dentre o conjunto das transformac¸o˜es cont´ınuas, aquelas trans-
formac¸o˜es que sa˜o compat´ıveis com a dinaˆmica dos sistema.
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O Teorema de Liouville
11
Considerac¸o˜es iniciais:
1. Considere o ensemble de um sistema f´ısico em dois instantes de tempo, t0 e
t. Nesse intervalo de tempo, cada ponto descreve uma trajeto´ria u´nica – que
na˜o se cruzam – determinada pelas leis da mecaˆnica (equac¸o˜es de Hamilton).
Logo, ha´ uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do ensemble em t0
e t.
2. A dinaˆmica do ensemble em Γ pode ser vista como uma sucessa˜o de trans-
formac¸o˜es infinitesimais do espac¸o de fase nele mesmo, i.e.
ρ(t) : Γ→ Γ [transformac¸a˜o entre configurac¸o˜es]
Em outras palavras, corresponde ao conjunto das transformac¸o˜es canoˆnicas
que cada estado do sistema (elemento do ensemble) sofre entre t e t + δt.
3. Nem toda transformac¸a˜o cont´ınua e´ poss´ıvel. O teorema de Liouville permi-
tira´ discernir, dentre o conjunto das transformac¸o˜es cont´ınuas, aquelas trans-
formac¸o˜es que sa˜o compat´ıveis com a dinaˆmica dos sistema.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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O Teorema de Liouville
11
Considerac¸o˜es iniciais:
1. Considere o ensemble de um sistema f´ısico em dois instantes de tempo, t0 e
t. Nesse intervalo de tempo, cada ponto descreve uma trajeto´ria u´nica – que
na˜o se cruzam – determinada pelas leis da mecaˆnica (equac¸o˜es de Hamilton).
Logo, ha´ uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do ensemble em t0
e t.
2. A dinaˆmica do ensemble em Γ pode ser vista como uma sucessa˜o de trans-
formac¸o˜es infinitesimais do espac¸o de fase nele mesmo, i.e.
ρ(t) : Γ→ Γ [transformac¸a˜o entre configurac¸o˜es]
Em outras palavras, corresponde ao conjunto das transformac¸o˜es canoˆnicas
que cada estado do sistema (elemento do ensemble) sofre entre t e t + δt.
3. Nem toda transformac¸a˜o cont´ınua e´ poss´ıvel. O teorema de Liouville permi-
tira´ discernir, dentre o conjunto das transformac¸o˜es cont´ınuas, aquelas trans-
formac¸o˜es que sa˜o compat´ıveis com a dinaˆmica dos sistema.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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O Teorema de Liouville
12
Equac¸a˜o de Liouville,
∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
→ ∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
ρ, H
�
Obs: o s´ımbolo {A,B} representa o chamado colchete de Poisson das grandezas
A e B usado na Mecaˆnica Cla´ssica.
Reescrevendo a equac¸a˜o de Liouville em termos da varia´veis (�q, �p), e rearrumando
temos: �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
�∂ρ
∂t
�
+
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
= 0, → d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
derivada hidrodinaˆmica.
p˙ = −∂H
∂q
q˙ =
∂H
∂p
Lembrar:
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
O Teorema de Liouville
12
Equac¸a˜o de Liouville,
∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
→ ∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
ρ, H
�
Obs: o s´ımbolo {A,B} representa o chamado colchete de Poisson das grandezas
A e B usado na Mecaˆnica Cla´ssica.
Reescrevendo a equac¸a˜o de Liouville em termos da varia´veis (�q, �p), e rearrumando
temos: �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
�∂ρ
∂t
�
+
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
= 0, → d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
derivada hidrodinaˆmica.
p˙ = −∂H
∂q
q˙ =
∂H
∂p
Lembrar:
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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O Teorema de Liouville
12
Equac¸a˜o de Liouville,
∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
→ ∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
ρ, H
�
Obs: o s´ımbolo {A,B} representa o chamado colchete de Poisson das grandezas
A e B usado na Mecaˆnica Cla´ssica.
Reescrevendo a equac¸a˜o de Liouville em termos da varia´veis (�q, �p), e rearrumando
temos: �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
�∂ρ
∂t
�
+
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
= 0, → d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
derivada hidrodinaˆmica.
p˙ = −∂H
∂q
q˙ =
∂H
∂p
Lembrar:
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
O Teorema de Liouville
12
Equac¸a˜o de Liouville,
∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
→ ∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
ρ, H
�
Obs: o s´ımbolo {A,B} representa o chamado colchete de Poisson das grandezas
A e B usado na Mecaˆnica Cla´ssica.
Reescrevendo a equac¸a˜o de Liouville em termos da varia´veis (�q, �p), e rearrumando
temos: �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
�∂ρ
∂t
�
+
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
= 0, → d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
derivada hidrodinaˆmica.
p˙ = −∂H
∂q
q˙ =
∂H
∂p
Lembrar:
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
O Teorema de Liouville
12
Equac¸a˜o de Liouville,
∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
→ ∂ρ
∂t
���
�q�p
= −
�
ρ, H
�
Obs: o s´ımbolo {A,B} representa o chamado colchete de Poisson das grandezas
A e B usado na Mecaˆnica Cla´ssica.
Reescrevendo a equac¸a˜o de Liouville em termos da varia´veis (�q, �p), e rearrumando
temos: �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
�∂ρ
∂t
�
+
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
= 0, → d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
derivada hidrodinaˆmica.
p˙ = −∂H
∂q
q˙ =
∂H
∂p
Lembrar:
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O Teorema de Liouville
13
Comenta´rios e interpretac¸o˜es:
1. A equac¸a˜o �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
descreve a variac¸a˜o da func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) em relac¸a˜o ao tempo, nas
vizinhanc¸as do ponto (�q, �p) fixo, no instante t.
2. A derivada hidrodinaˆmica dρ/dt descreve a dependeˆncia temporal completa
da func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) nas coordenadas (�q, �p, t), i.e mede a variac¸a˜o
da densidade no entorno de um ponto (�q, �p) que esta´ movendo-se no espac¸o
de fase.
3. O teorema de Liouville,
d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
significa que a densidade ρ(�q, �p, t) permanece constante, quando vista por um
observador que se move junto ao ponto.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
O Teorema de Liouville
13
Comenta´rios e interpretac¸o˜es:
1. A equac¸a˜o �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
descreve a variac¸a˜o da func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) em relac¸a˜o ao tempo, nas
vizinhanc¸as do ponto (�q, �p) fixo, no instante t.
2. A derivada hidrodinaˆmica dρ/dt descreve a dependeˆncia temporal completa
da func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) nas
coordenadas (�q, �p, t), i.e mede a variac¸a˜o
da densidade no entorno de um ponto (�q, �p) que esta´ movendo-se no espac¸o
de fase.
3. O teorema de Liouville,
d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
significa que a densidade ρ(�q, �p, t) permanece constante, quando vista por um
observador que se move junto ao ponto.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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O Teorema de Liouville
13
Comenta´rios e interpretac¸o˜es:
1. A equac¸a˜o �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
descreve a variac¸a˜o da func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) em relac¸a˜o ao tempo, nas
vizinhanc¸as do ponto (�q, �p) fixo, no instante t.
2. A derivada hidrodinaˆmica dρ/dt descreve a dependeˆncia temporal completa
da func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) nas coordenadas (�q, �p, t), i.e mede a variac¸a˜o
da densidade no entorno de um ponto (�q, �p) que esta´ movendo-se no espac¸o
de fase.
3. O teorema de Liouville,
d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
significa que a densidade ρ(�q, �p, t) permanece constante, quando vista por um
observador que se move junto ao ponto.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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O Teorema de Liouville
13
Comenta´rios e interpretac¸o˜es:
1. A equac¸a˜o �∂ρ
∂t
�
= −
�
i
�
∂ρ
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂pi
p˙i
�
,
descreve a variac¸a˜o da func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) em relac¸a˜o ao tempo, nas
vizinhanc¸as do ponto (�q, �p) fixo, no instante t.
2. A derivada hidrodinaˆmica dρ/dt descreve a dependeˆncia temporal completa
da func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) nas coordenadas (�q, �p, t), i.e mede a variac¸a˜o
da densidade no entorno de um ponto (�q, �p) que esta´ movendo-se no espac¸o
de fase.
3. O teorema de Liouville,
d
dt
ρ(�q, �p, t) = 0,
significa que a densidade ρ(�q, �p, t) permanece constante, quando vista por um
observador que se move junto ao ponto.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville
14
I. Reversa˜o temporal:
Sob ac¸a˜o da operac¸a˜o de reversa˜o temporal, i.e. {�q, �p, t} → {�q,−�p,−t} o
colchete de Poisson da equac¸a˜o de Liouville muda de sinal, implicando que a
densidade ρ(�q,−�p,−t) = ρ(�q, �p, t), i.e. evolui de forma reversa.
II. Evoluc¸a˜o temporal da me´dia de ensemble:
A me´dia de ensemble de uma grandeza f(�q, �p), definida no slide 10, e´ uma
func¸a˜o do tempo, i.e.
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t)d�q d�p
A evoluc¸a˜o temporal desta me´dia pode ser calculada usando o T.L., ou seja,
d
dt
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p)
∂ρ(�q, �p, t)
∂t
d�q d�p= −
2n�
i=1
�
Γ
d�q d�p f(�q, �p)
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
Integrando por partes cada uma das parcelas pode-se mostrar para cada termo
que�
Γ
dqi
∂ρ
∂qi
f(�q, �p)
∂H
∂pi
= ρ f(�q, �p)
∂H
∂pi
���
∞
−
�
γ
dqi ρ
�
∂f
∂qi
∂H
∂pi
+ f
∂2H
∂qi∂pi
�
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville
14
I. Reversa˜o temporal:
Sob ac¸a˜o da operac¸a˜o de reversa˜o temporal, i.e. {�q, �p, t} → {�q,−�p,−t} o
colchete de Poisson da equac¸a˜o de Liouville muda de sinal, implicando que a
densidade ρ(�q,−�p,−t) = ρ(�q, �p, t), i.e. evolui de forma reversa.
II. Evoluc¸a˜o temporal da me´dia de ensemble:
A me´dia de ensemble de uma grandeza f(�q, �p), definida no slide 10, e´ uma
func¸a˜o do tempo, i.e.
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t)d�q d�p
A evoluc¸a˜o temporal desta me´dia pode ser calculada usando o T.L., ou seja,
d
dt
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p)
∂ρ(�q, �p, t)
∂t
d�q d�p= −
2n�
i=1
�
Γ
d�q d�p f(�q, �p)
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
Integrando por partes cada uma das parcelas pode-se mostrar para cada termo
que�
Γ
dqi
∂ρ
∂qi
f(�q, �p)
∂H
∂pi
= ρ f(�q, �p)
∂H
∂pi
���
∞
−
�
γ
dqi ρ
�
∂f
∂qi
∂H
∂pi
+ f
∂2H
∂qi∂pi
�
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville
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I. Reversa˜o temporal:
Sob ac¸a˜o da operac¸a˜o de reversa˜o temporal, i.e. {�q, �p, t} → {�q,−�p,−t} o
colchete de Poisson da equac¸a˜o de Liouville muda de sinal, implicando que a
densidade ρ(�q,−�p,−t) = ρ(�q, �p, t), i.e. evolui de forma reversa.
II. Evoluc¸a˜o temporal da me´dia de ensemble:
A me´dia de ensemble de uma grandeza f(�q, �p), definida no slide 10, e´ uma
func¸a˜o do tempo, i.e.
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t)d�q d�p
A evoluc¸a˜o temporal desta me´dia pode ser calculada usando o T.L., ou seja,
d
dt
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p)
∂ρ(�q, �p, t)
∂t
d�q d�p= −
2n�
i=1
�
Γ
d�q d�p f(�q, �p)
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
Integrando por partes cada uma das parcelas pode-se mostrar para cada termo
que�
Γ
dqi
∂ρ
∂qi
f(�q, �p)
∂H
∂pi
= ρ f(�q, �p)
∂H
∂pi
���
∞
−
�
γ
dqi ρ
�
∂f
∂qi
∂H
∂pi
+ f
∂2H
∂qi∂pi
�
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville
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I. Reversa˜o temporal:
Sob ac¸a˜o da operac¸a˜o de reversa˜o temporal, i.e. {�q, �p, t} → {�q,−�p,−t} o
colchete de Poisson da equac¸a˜o de Liouville muda de sinal, implicando que a
densidade ρ(�q,−�p,−t) = ρ(�q, �p, t), i.e. evolui de forma reversa.
II. Evoluc¸a˜o temporal da me´dia de ensemble:
A me´dia de ensemble de uma grandeza f(�q, �p), definida no slide 10, e´ uma
func¸a˜o do tempo, i.e.
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t)d�q d�p
A evoluc¸a˜o temporal desta me´dia pode ser calculada usando o T.L., ou seja,
d
dt
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p)
∂ρ(�q, �p, t)
∂t
d�q d�p= −
2n�
i=1
�
Γ
d�q d�p f(�q, �p)
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
Integrando por partes cada uma das parcelas pode-se mostrar para cada termo
que�
Γ
dqi
∂ρ
∂qi
f(�q, �p)
∂H
∂pi
= ρ f(�q, �p)
∂H
∂pi
���
∞
−
�
γ
dqi ρ
�
∂f
∂qi
∂H
∂pi
+ f
∂2H
∂qi∂pi
�
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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14
I. Reversa˜o temporal:
Sob ac¸a˜o da operac¸a˜o de reversa˜o temporal, i.e. {�q, �p, t} → {�q,−�p,−t} o
colchete de Poisson da equac¸a˜o de Liouville muda de sinal, implicando que a
densidade ρ(�q,−�p,−t) = ρ(�q, �p, t), i.e. evolui de forma reversa.
II. Evoluc¸a˜o temporal da me´dia de ensemble:
A me´dia de ensemble de uma grandeza f(�q, �p), definida no slide 10, e´ uma
func¸a˜o do tempo, i.e.
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t)d�q d�p
A evoluc¸a˜o temporal desta me´dia pode ser calculada usando o T.L., ou seja,
d
dt
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p)
∂ρ(�q, �p, t)
∂t
d�q d�p= −
2n�
i=1
�
Γ
d�q d�p f(�q, �p)
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
Integrando por partes cada uma das parcelas pode-se mostrar para cada termo
que�
Γ
dqi
∂ρ
∂qi
f(�q, �p)
∂H
∂pi
= ρ f(�q, �p)
∂H
∂pi
���
∞
−
�
γ
dqi ρ
�
∂f
∂qi
∂H
∂pi
+ f
∂2H
∂qi∂pi
�
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville
14
I. Reversa˜o temporal:
Sob ac¸a˜o da operac¸a˜o de reversa˜o temporal, i.e.
{�q, �p, t} → {�q,−�p,−t} o
colchete de Poisson da equac¸a˜o de Liouville muda de sinal, implicando que a
densidade ρ(�q,−�p,−t) = ρ(�q, �p, t), i.e. evolui de forma reversa.
II. Evoluc¸a˜o temporal da me´dia de ensemble:
A me´dia de ensemble de uma grandeza f(�q, �p), definida no slide 10, e´ uma
func¸a˜o do tempo, i.e.
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p) ρ(�q, �p, t)d�q d�p
A evoluc¸a˜o temporal desta me´dia pode ser calculada usando o T.L., ou seja,
d
dt
< f >t=
�
Γ
f(�q, �p)
∂ρ(�q, �p, t)
∂t
d�q d�p= −
2n�
i=1
�
Γ
d�q d�p f(�q, �p)
�
∂ρ
∂qi
∂H
∂pi
− ∂ρ
∂pi
∂H
∂qi
�
Integrando por partes cada uma das parcelas pode-se mostrar para cada termo
que�
Γ
dqi
∂ρ
∂qi
f(�q, �p)
∂H
∂pi
= ρ f(�q, �p)
∂H
∂pi
���
∞
−
�
γ
dqi ρ
�
∂f
∂qi
∂H
∂pi
+ f
∂2H
∂qi∂pi
�=0
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville
15
Considerando que o primeiro termo se anula porque ρ se anula nos limites de inte-
grac¸a˜o em Γ e coletando todos os termos resulta:
d
dt
< f >t=
2n�
i=1
�
Γ
d�q d�pρ (�q, �p, t)
�
∂f
∂qi
∂H
∂pi
− ∂f
∂pi
∂H
∂qi
�
+
�
f
∂2H
∂qi∂pi
− f ∂
2H
∂qi∂pi
�
d
dt
< f >t=
�
Γ
d�q d�pρ (�q, �p, t) {f, H} ∴
d
dt
< f >t=< {f, H} >t
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
=0
Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville
15
Considerando que o primeiro termo se anula porque ρ se anula nos limites de inte-
grac¸a˜o em Γ e coletando todos os termos resulta:
d
dt
< f >t=
2n�
i=1
�
Γ
d�q d�pρ (�q, �p, t)
�
∂f
∂qi
∂H
∂pi
− ∂f
∂pi
∂H
∂qi
�
+
�
f
∂2H
∂qi∂pi
− f ∂
2H
∂qi∂pi
�
d
dt
< f >t=
�
Γ
d�q d�pρ (�q, �p, t) {f, H} ∴
d
dt
< f >t=< {f, H} >t
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Equilíbrio estatístico e equilíbrio termodinâmico
16
Equil´ıbrio estat´ıstico em um ensemble.
Supor ensemble de micro-estados descrito pela func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) em Γ(�q, �p).
Os estados de equil´ıbrio estat´ıstico formam um subconjunto de Γ, cuja func¸a˜o densidade na˜o
depende explicitamente do tempo. i.e.
∂
∂t
ρ(�q, �p, t) = 0, → ρ(�q, �p, t) = ρ(�q, �p)
Consequeˆncias:
(i) A probabilidade de se encontrar um certo estado (ponto) em determinada regia˜o de Γ,
descrita por ρ(�q, �p) e´ independente do tempo.
(ii) As me´dias de ensemble de grandezas dinaˆmicas f(�q, �p) feitas sobre Γ(�q, �p), sa˜o indepen-
dentes do tempo.
(iii) Os observa´veis macrosco´picos sera˜o independentes do tempo, o que define o estado de
equil´ıbrio estat´ıstico
(iv) Se
d
dt
< f(�q, �p, t) >t= 0 → < {f, H} >= 0.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Equilíbrio estatístico e equilíbrio termodinâmico
16
Equil´ıbrio estat´ıstico em um ensemble.
Supor ensemble de micro-estados descrito pela func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) em Γ(�q, �p).
Os estados de equil´ıbrio estat´ıstico formam um subconjunto de Γ, cuja func¸a˜o densidade na˜o
depende explicitamente do tempo. i.e.
∂
∂t
ρ(�q, �p, t) = 0, → ρ(�q, �p, t) = ρ(�q, �p)
Consequeˆncias:
(i) A probabilidade de se encontrar um certo estado (ponto) em determinada regia˜o de Γ,
descrita por ρ(�q, �p) e´ independente do tempo.
(ii) As me´dias de ensemble de grandezas dinaˆmicas f(�q, �p) feitas sobre Γ(�q, �p), sa˜o indepen-
dentes do tempo.
(iii) Os observa´veis macrosco´picos sera˜o independentes do tempo, o que define o estado de
equil´ıbrio estat´ıstico
(iv) Se
d
dt
< f(�q, �p, t) >t= 0 → < {f, H} >= 0.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Equilíbrio estatístico e equilíbrio termodinâmico
16
Equil´ıbrio estat´ıstico em um ensemble.
Supor ensemble de micro-estados descrito pela func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) em Γ(�q, �p).
Os estados de equil´ıbrio estat´ıstico formam um subconjunto de Γ, cuja func¸a˜o densidade na˜o
depende explicitamente do tempo. i.e.
∂
∂t
ρ(�q, �p, t) = 0, → ρ(�q, �p, t) = ρ(�q, �p)
Consequeˆncias:
(i) A probabilidade de se encontrar um certo estado (ponto) em determinada regia˜o de Γ,
descrita por ρ(�q, �p) e´ independente do tempo.
(ii) As me´dias de ensemble de grandezas dinaˆmicas f(�q, �p) feitas sobre Γ(�q, �p), sa˜o indepen-
dentes do tempo.
(iii) Os observa´veis macrosco´picos sera˜o independentes do tempo, o que define o estado de
equil´ıbrio estat´ıstico
(iv) Se
d
dt
< f(�q, �p, t) >t= 0 → < {f, H} >= 0.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Equilíbrio estatístico e equilíbrio termodinâmico
16
Equil´ıbrio estat´ıstico em um ensemble.
Supor ensemble de micro-estados descrito pela func¸a˜o densidade ρ(�q, �p, t) em Γ(�q, �p).
Os estados de equil´ıbrio estat´ıstico formam um subconjunto de Γ, cuja func¸a˜o densidade na˜o
depende explicitamente do tempo. i.e.
∂
∂t
ρ(�q, �p, t) = 0, → ρ(�q, �p, t) = ρ(�q, �p)
Consequeˆncias:
(i) A probabilidade de se encontrar um certo estado (ponto) em determinada regia˜o de Γ,
descrita por ρ(�q, �p) e´ independente do tempo.
(ii) As me´dias de ensemble de grandezas dinaˆmicas f(�q, �p) feitas sobre Γ(�q, �p), sa˜o indepen-
dentes do tempo.
(iii) Os observa´veis macrosco´picos sera˜o independentes do tempo, o que define o estado de
equil´ıbrio estat´ıstico
(iv) Se
d
dt
< f(�q, �p, t) >t= 0 → < {f, H} >= 0.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 5
Ensembles em equilíbrio estatístico: exemplos
17
1. Ensemble Uniforme (trivial): ρ(�q, �p) = Constante ∴
∂
∂qi
ρ(�q, �p) =
∂
∂pi
ρ(�q, �p) = 0 → {ρ, H} = 0
2. Ensemble Estaciona´rio: ρ(�q, �p) = ρ(α)
• α e´ uma constante do movimento, i.e. dependente de �q e �p, mas na˜o depende do
tempo.
• Exemplo: α = H(�p, �q) = E , (sistema com energia constante)
Logo, se
d
dt
α(�q, �p) = 0, →
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i +
∂
∂t
α
�
= 0 ∴ {α, H} = 0.
Portanto, segundo o teorema de Liouville, o comportamento de ρ sera´:
∂
∂t
ρ(�q, �p) = −
�
i
� ∂ρ
∂α
∂α
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂α
∂α
∂pi
p˙i
�
=
= − ∂ρ
∂α
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i
�
= − ∂ρ
∂α
{α, H}� �� �
=0
= 0
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Ensembles em equilíbrio estatístico: exemplos
17
1. Ensemble Uniforme (trivial): ρ(�q, �p) = Constante ∴
∂
∂qi
ρ(�q, �p) =
∂
∂pi
ρ(�q, �p) = 0 → {ρ, H} = 0
2. Ensemble Estaciona´rio: ρ(�q, �p) = ρ(α)
• α e´ uma constante do movimento, i.e. dependente de �q e �p, mas na˜o depende do
tempo.
• Exemplo: α = H(�p, �q) = E , (sistema com energia constante)
Logo, se
d
dt
α(�q, �p) = 0, →
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i +
∂
∂t
α
�
= 0 ∴ {α, H} = 0.
Portanto, segundo o teorema de Liouville, o comportamento de ρ sera´:
∂
∂t
ρ(�q, �p) = −
�
i
� ∂ρ
∂α
∂α
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂α
∂α
∂pi
p˙i
�
=
= − ∂ρ
∂α
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i
�
= − ∂ρ
∂α
{α, H}� �� �
=0
= 0
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Física da UFPE/ Aula 5
Ensembles em equilíbrio estatístico: exemplos
17
1. Ensemble Uniforme (trivial): ρ(�q, �p) = Constante ∴
∂
∂qi
ρ(�q, �p) =
∂
∂pi
ρ(�q, �p) = 0 → {ρ, H} = 0
2. Ensemble Estaciona´rio: ρ(�q, �p) = ρ(α)
• α e´ uma constante do movimento, i.e. dependente de �q e �p, mas na˜o depende do
tempo.
• Exemplo: α = H(�p, �q) = E , (sistema com energia constante)
Logo, se
d
dt
α(�q, �p) = 0, →
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i +
∂
∂t
α
�
= 0 ∴ {α, H} = 0.
Portanto, segundo o teorema de Liouville, o comportamento de ρ sera´:
∂
∂t
ρ(�q, �p) = −
�
i
� ∂ρ
∂α
∂α
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂α
∂α
∂pi
p˙i
�
=
= − ∂ρ
∂α
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i
�
= − ∂ρ
∂α
{α, H}� �� �
=0
= 0
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Ensembles em equilíbrio estatístico: exemplos
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1. Ensemble Uniforme (trivial): ρ(�q, �p) = Constante ∴
∂
∂qi
ρ(�q, �p) =
∂
∂pi
ρ(�q, �p) = 0 → {ρ, H} = 0
2. Ensemble Estaciona´rio: ρ(�q, �p) = ρ(α)
• α e´ uma constante do movimento, i.e. dependente de �q e �p, mas na˜o depende do
tempo.
• Exemplo: α = H(�p, �q) = E , (sistema com energia constante)
Logo, se
d
dt
α(�q, �p) = 0, →
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i +
∂
∂t
α
�
= 0 ∴ {α, H} = 0.
Portanto, segundo o teorema de Liouville, o comportamento de ρ sera´:
∂
∂t
ρ(�q, �p) = −
�
i
� ∂ρ
∂α
∂α
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂α
∂α
∂pi
p˙i
�
=
= − ∂ρ
∂α
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i
�
= − ∂ρ
∂α
{α, H}� �� �
=0
= 0
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=0
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Ensembles em equilíbrio estatístico: exemplos
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1. Ensemble Uniforme (trivial): ρ(�q, �p) = Constante ∴
∂
∂qi
ρ(�q, �p) =
∂
∂pi
ρ(�q, �p) = 0 → {ρ, H} = 0
2. Ensemble Estaciona´rio: ρ(�q, �p) = ρ(α)
• α e´ uma constante do movimento, i.e. dependente de �q e �p, mas na˜o depende do
tempo.
• Exemplo: α = H(�p, �q) = E , (sistema com energia constante)
Logo, se
d
dt
α(�q, �p) = 0, →
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i +
∂
∂t
α
�
= 0 ∴ {α, H} = 0.
Portanto, segundo o teorema de Liouville, o comportamento de ρ sera´:
∂
∂t
ρ(�q, �p) = −
�
i
� ∂ρ
∂α
∂α
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂α
∂α
∂pi
p˙i
�
=
= − ∂ρ
∂α
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i
�
= − ∂ρ
∂α
{α, H}� �� �
=0
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=0
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1. Ensemble Uniforme (trivial): ρ(�q, �p) = Constante ∴
∂
∂qi
ρ(�q, �p) =
∂
∂pi
ρ(�q, �p) = 0 → {ρ, H} = 0
2. Ensemble Estaciona´rio: ρ(�q, �p) = ρ(α)
• α e´ uma constante do movimento, i.e. dependente de �q e �p, mas na˜o depende do
tempo.
• Exemplo: α = H(�p, �q) = E , (sistema com energia constante)
Logo, se
d
dt
α(�q, �p) = 0, →
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i +
∂
∂t
α
�
= 0 ∴ {α, H} = 0.
Portanto, segundo o teorema de Liouville, o comportamento de ρ sera´:
∂
∂t
ρ(�q, �p) = −
�
i
� ∂ρ
∂α
∂α
∂qi
q˙i +
∂ρ
∂α
∂α
∂pi
p˙i
�
=
= − ∂ρ
∂α
�
i
� ∂α
∂qi
q˙i +
∂α
∂pi
p˙i
�
= − ∂ρ
∂α
{α, H}� �� �
=0
= 0
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=0
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18
Comenta´rios:
◦ Neste caso, ρ(�q, �p) na˜o depende explicitamente do tempo, mas pode ser na˜o-uniforme
espacialmente em Γ.
◦ Os casos mais comuns sa˜o os dos sistemas conservativos onde α = E , e´ uma constante.
Obviamente {H, H}≡ 0 onde H(�q, �p) = E . Tais ensembles sa˜o chamados de micro-
canoˆnicos e sera˜o estudados em detalhes mais adiante.
◦ A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o sistema esteja em equl´ıbrio estat´ıstico e´ a
func¸a˜o densidade ρ(�q, �p) dependa somente das constantes do movimento.
◦ Na˜o ha´ qualquer restric¸a˜o ao nu´mero das constantes do movimento, desde que m < 2n,
claro.
◦ Se Γ(�q, �p) e´ 2n-dimensional, uma constante do movimento, e.g. H(�q, �p) = E corresponde
a uma hipersuperf´ıcie 2n−1 dimensional sobre a qual os estados de equil´ıbrio com energia
constante podera˜o trafegar.
◦ A existeˆncia de outras constantes do movimento definira˜o outras hipersuperf´ıcies 2n − 1
dimensionais. Suas intersec¸o˜es limitara˜o sucessivamente o ensemble de maneira que se
existirem 2n − 1 constantes do movimento o resultado da intersec¸a˜o (se na˜o for vazio)
sera´ uma curva (trajeto´ria 1D) que correspondera´ a` evoluc¸a˜o temporal do sistema em Γ.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Comenta´rios:
◦ Neste caso, ρ(�q, �p) na˜o depende explicitamente do tempo, mas pode ser na˜o-uniforme
espacialmente em Γ.
◦ Os casos mais comuns sa˜o os dos sistemas conservativos onde α = E , e´ uma constante.
Obviamente {H, H}≡ 0 onde H(�q, �p) = E . Tais ensembles sa˜o chamados de micro-
canoˆnicos e sera˜o estudados em detalhes mais adiante.
◦ A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o sistema esteja em equl´ıbrio estat´ıstico e´ a
func¸a˜o densidade ρ(�q, �p) dependa somente das constantes do movimento.
◦ Na˜o ha´ qualquer restric¸a˜o ao nu´mero das constantes do movimento, desde que m < 2n,
claro.
◦ Se Γ(�q, �p) e´ 2n-dimensional, uma constante do movimento, e.g. H(�q, �p) = E corresponde
a uma hipersuperf´ıcie 2n−1 dimensional sobre a qual os estados de equil´ıbrio com energia
constante podera˜o trafegar.
◦ A existeˆncia de outras constantes do movimento definira˜o outras hipersuperf´ıcies 2n − 1
dimensionais. Suas intersec¸o˜es limitara˜o sucessivamente o ensemble de maneira que se
existirem 2n − 1 constantes do movimento o resultado da intersec¸a˜o (se na˜o for vazio)
sera´ uma curva (trajeto´ria 1D) que correspondera´ a` evoluc¸a˜o temporal do sistema em Γ.
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Comenta´rios:
◦ Neste caso, ρ(�q, �p) na˜o depende explicitamente do tempo, mas pode ser na˜o-uniforme
espacialmente em Γ.
◦ Os casos mais comuns sa˜o os dos sistemas conservativos onde α = E , e´ uma constante.
Obviamente {H, H}≡ 0 onde H(�q, �p) = E . Tais ensembles sa˜o chamados de micro-
canoˆnicos e sera˜o estudados em detalhes mais adiante.
◦ A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o sistema esteja em equl´ıbrio estat´ıstico e´ a
func¸a˜o densidade ρ(�q, �p) dependa somente das constantes do movimento.
◦ Na˜o ha´ qualquer restric¸a˜o ao nu´mero das constantes do movimento, desde que m < 2n,
claro.
◦ Se Γ(�q, �p) e´ 2n-dimensional, uma constante do movimento, e.g. H(�q, �p) = E corresponde
a uma hipersuperf´ıcie 2n−1 dimensional sobre a qual os estados de equil´ıbrio com energia
constante podera˜o trafegar.
◦ A existeˆncia de outras constantes do movimento definira˜o outras hipersuperf´ıcies 2n − 1
dimensionais. Suas intersec¸o˜es limitara˜o sucessivamente o ensemble de maneira que se
existirem 2n − 1 constantes do movimento o resultado da intersec¸a˜o (se na˜o for vazio)
sera´ uma curva (trajeto´ria 1D) que correspondera´ a` evoluc¸a˜o temporal do sistema em Γ.
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Comenta´rios:
◦ Neste caso, ρ(�q, �p) na˜o depende explicitamente do tempo, mas pode ser na˜o-uniforme
espacialmente em Γ.
◦ Os casos mais comuns sa˜o os dos sistemas conservativos onde α = E , e´ uma constante.
Obviamente {H, H}≡ 0 onde H(�q, �p) = E . Tais ensembles sa˜o chamados de micro-
canoˆnicos e sera˜o estudados em detalhes mais adiante.
◦ A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o sistema esteja em equl´ıbrio estat´ıstico e´ a
func¸a˜o densidade ρ(�q, �p) dependa somente das constantes do movimento.
◦ Na˜o ha´ qualquer restric¸a˜o ao nu´mero das constantes do movimento, desde que m < 2n,
claro.
◦ Se Γ(�q, �p) e´ 2n-dimensional, uma constante do movimento, e.g. H(�q, �p) = E corresponde
a uma hipersuperf´ıcie 2n−1 dimensional sobre a qual os estados de equil´ıbrio com energia
constante podera˜o trafegar.
◦ A existeˆncia de outras constantes do movimento definira˜o outras hipersuperf´ıcies 2n − 1
dimensionais. Suas intersec¸o˜es limitara˜o sucessivamente o ensemble de maneira que se
existirem 2n − 1 constantes do movimento o resultado da intersec¸a˜o (se na˜o for vazio)
sera´ uma curva (trajeto´ria 1D) que correspondera´ a` evoluc¸a˜o temporal do sistema em Γ.
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Comenta´rios:
◦ Neste caso, ρ(�q, �p) na˜o depende explicitamente do tempo, mas pode ser na˜o-uniforme
espacialmente em Γ.
◦ Os casos mais comuns sa˜o os dos sistemas conservativos onde α = E , e´ uma constante.
Obviamente {H, H}≡ 0 onde H(�q, �p) = E . Tais ensembles sa˜o chamados de micro-
canoˆnicos e sera˜o estudados em detalhes mais adiante.
◦ A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o sistema esteja em equl´ıbrio estat´ıstico e´ a
func¸a˜o densidade ρ(�q, �p) dependa somente das constantes do movimento.
◦ Na˜o ha´ qualquer restric¸a˜o ao nu´mero das constantes do movimento, desde que m < 2n,
claro.
◦ Se Γ(�q, �p) e´ 2n-dimensional, uma constante do movimento, e.g. H(�q, �p) = E corresponde
a uma hipersuperf´ıcie 2n−1 dimensional sobre a qual os estados de equil´ıbrio com energia
constante podera˜o trafegar.
◦ A existeˆncia de outras constantes do movimento definira˜o outras hipersuperf´ıcies 2n − 1
dimensionais. Suas intersec¸o˜es limitara˜o sucessivamente o ensemble de maneira que se
existirem 2n − 1 constantes do movimento o resultado da intersec¸a˜o (se na˜o for vazio)
sera´ uma curva (trajeto´ria 1D) que correspondera´ a` evoluc¸a˜o temporal do sistema em Γ.
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Comenta´rios:
◦ Neste caso, ρ(�q, �p) na˜o depende explicitamente do tempo, mas pode ser na˜o-uniforme
espacialmente em Γ.
◦ Os casos mais comuns sa˜o os dos sistemas conservativos onde α = E , e´ uma constante.
Obviamente {H, H}≡ 0 onde H(�q, �p) = E . Tais ensembles sa˜o chamados de micro-
canoˆnicos e sera˜o estudados em detalhes mais adiante.
◦ A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o sistema esteja em equl´ıbrio estat´ıstico e´ a
func¸a˜o densidade ρ(�q, �p) dependa somente das constantes do movimento.
◦ Na˜o ha´ qualquer restric¸a˜o ao nu´mero das constantes do movimento, desde que m < 2n,
claro.
◦ Se Γ(�q, �p) e´ 2n-dimensional, uma constante do movimento, e.g. H(�q, �p) = E corresponde
a uma hipersuperf´ıcie 2n−1 dimensional sobre a qual os estados de equil´ıbrio com energia
constante podera˜o trafegar.
◦ A existeˆncia de outras constantes do movimento definira˜o outras hipersuperf´ıcies 2n − 1
dimensionais. Suas intersec¸o˜es limitara˜o sucessivamente o ensemble de maneira que se
existirem 2n − 1 constantes do movimento o resultado da intersec¸a˜o (se na˜o for vazio)
sera´ uma curva (trajeto´ria 1D) que correspondera´ a` evoluc¸a˜o temporal do sistema em Γ.
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Comenta´rios:
◦ Neste caso, ρ(�q, �p) na˜o depende explicitamente do tempo, mas pode ser na˜o-uniforme
espacialmente em Γ.
◦ Os casos mais comuns sa˜o os dos sistemas conservativos onde α = E , e´ uma constante.
Obviamente {H, H}≡ 0 onde H(�q, �p) = E . Tais ensembles sa˜o chamados de micro-
canoˆnicos e sera˜o estudados em detalhes mais adiante.
◦ A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o sistema esteja em equl´ıbrio estat´ıstico e´ a
func¸a˜o densidade ρ(�q, �p) dependa somente das constantes do movimento.
◦ Na˜o ha´ qualquer restric¸a˜o ao nu´mero das constantes do movimento, desde que m < 2n,
claro.
◦ Se Γ(�q, �p) e´ 2n-dimensional, uma constante do movimento, e.g. H(�q, �p) = E corresponde
a uma hipersuperf´ıcie 2n−1 dimensional sobre a qual os estados de equil´ıbrio com energia
constante podera˜o trafegar.
◦ A existeˆncia de outras constantes do movimento definira˜o outras hipersuperf´ıcies 2n − 1
dimensionais. Suas intersec¸o˜es limitara˜o sucessivamente o ensemble de maneira que se
existirem 2n − 1 constantes do movimento o resultado da intersec¸a˜o (se na˜o for vazio)
sera´ uma curva (trajeto´ria 1D) que correspondera´ a` evoluc¸a˜o temporal do sistema em Γ.
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Equilíbrio termodinâmico
19
Um sistema f´ısico real possui certas condic¸o˜es de v´ınculos macrosco´picos, as quais correspondem
a` informac¸o˜es parciais sobre o sistema.
Exemplos: energia constante entre E e E + dE , volume restrito a V e V + dV e/ou o
nu´mero de part´ıculas N constante.
O ensemble de sistemas compat´ıveis com tais v´ınculos macrosco´picos e que atendam ao teorema
de Liouville e´ chamado de ensemble representativo do sistema f´ısico real.
As me´dias estat´ısticas que regem o equil´ıbrio estat´ıstico, acima discutido, sera˜o feitas sobre
ensemble representativo.
Mas, um sistema f´ısico real e´ um exemplar u´nico do ensemble e as me´dias sa˜o observados em
intervalos de tempo finitos τ . As grandezas f´ısicas macrosco´picas f(�q, �p) observadas que
caracterizara˜o o equil´ıbrio termodinaˆmico resultara˜o da observac¸a˜o me´dia, i.e.
�f(τ) = 1
τ
� t0+τ
t0
f(�q, �p) dt
onde qi = qi(t) e pi = pi(t).
Obs: o tempo de observac¸a˜o τ deve ser muito maior que as escalas de tempo caracter´ısticas
dos processo de interac¸a˜o entre as componentes microsco´picas do sistema, e.g. o tempo
me´dio entre as coliso˜es das mole´culas de um ga´s, etc.
domingo, 5 de fevereiro de 2012
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Equilíbrio termodinâmico
19
Um sistema f´ısico real possui certas condic¸o˜es de v´ınculos macrosco´picos, as quais correspondem
a` informac¸o˜es parciais sobre o sistema.
Exemplos: energia constante entre E e E + dE , volume restrito a V e V + dV e/ou o
nu´mero de part´ıculas N constante.
O ensemble de sistemas compat´ıveis com tais v´ınculos macrosco´picos e que atendam ao teorema
de Liouville e´ chamado de ensemble representativo do sistema f´ısico real.
As me´dias estat´ısticas que regem o equil´ıbrio estat´ıstico, acima discutido, sera˜o feitas sobre
ensemble representativo.
Mas, um sistema f´ısico real e´ um exemplar u´nico do ensemble e as me´dias sa˜o observados em
intervalos de tempo finitos τ . As grandezas f´ısicas macrosco´picas f(�q, �p) observadas que
caracterizara˜o o equil´ıbrio termodinaˆmico resultara˜o da observac¸a˜o me´dia, i.e.
�f(τ) = 1
τ
� t0+τ
t0
f(�q, �p) dt
onde qi = qi(t) e pi = pi(t).
Obs: o tempo de observac¸a˜o