Resolução lista 3

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Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Problemas resolvidos Problemas resolvidos Problemas resolvidos Problemas resolvidos –––– Tensões de Origem Térmica Tensões de Origem Térmica Tensões de Origem Térmica Tensões de Origem Térmica 
 
Problemas resolvidos – Tensões de Origem Térmica 
 
EXEMPLO 1 (Beer, p.108, ex. 2.6) A barra de aço é perfeitamente ajustada 
aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25οC. Determinar as 
tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para temperatura de −50οC, 
e verificar se ocorrerá risco de escoamento do material. Usar E= 200 GPa, 
σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC. 
 
300mm
400mm2 800mm2
300mm
 
 
 
Unidades consistentes: N / mm / MPa (=N/mm2) 
 
 
300mm
400mm2 800mm2
300mm
RA RBA B
C
 
 
 
300mm
400mm2 800mm2
300mm
RA RBA C B
 
 
 
 Equação de Equilíbrio: 
 
RRR
0RR−
0HΣ
BA
BA
==
=+
+=
 
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 Artifício: Princípio da Superposição dos Efeitos 
 
300mm
400mm2 800mm2
300mm
δTAC
T
CB+δ
A
A
A
B
C
R
 
 
 
TLTL CBAC
T
CB
T
AC
T ∆⋅α⋅+∆⋅α⋅=δ+δ=δ 
 
mm54,0)2550(000012,0)300300(T −=−−⋅⋅+=δ 
 
Equação de Compatibilidade: 
 
 Tδ=δ 
 
T
CB
CB
AC
AC
AE
LR
AE
LR
δ=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
 
 
54,0
800200000
300R
400200000
300R
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
 
 
N96000R = 
 
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400mm2 800mm2
96 kN 96 kN
A C B
 
 
 
 
96
A
Diagrama
forças normais
N (kN)
C B
+
 
 
 
240
120
A
Diagrama
tensões normais
 (M )σ Pa
C B
+
+
 
 
 
 
)!!!escoounão(MPa250MPa240
400
96000
A
N Y
AC
AC
AC =σ<===σ 
 
 
)!!!escoounão(MPa250MPa120
800
96000
A
N Y
CB
CB
CB =σ<===σ 
 
 
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EXEMPLO 2 (Beer, p.117, prob. 2.38 modif.) Duas barras cilíndricas, uma de 
aço e outra de latão são ligadas em C e perfeitamente ajustadas aos 
anteparos fixos quando a temperatura é de + 25οC. Determinar as tensões 
atuantes no aço e no latão para temperatura de + 50οC, e verificar se 
ocorrerá risco de escoamento dos materiais. Utilizar para o aço E= 200 GPa, 
σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC e para o latão E= 105 GPa, σY= 65 MPa e 
α=0,000020/ οC. 
 
300mm
φ = 40mm φ = 30mm
200mm
A BC
AÇO LATÃO
 
 
 
Resp: mm19,0T +=δ ; N48864R = ; MPa9,38aço =σ ; 
 compressão)!!!escoou(MPa1,69latão =σ 
 
EXEMPLO 3 (Beer, p.117, prob. 2.38 modif.) Duas barras cilíndricas, uma de 
aço e outra de latão são ligadas em C e perfeitamente ajustadas aos 
anteparos fixos quando a temperatura é de + 25οC. Qual a máxima 
temperatura que poderá ser atingida para que não ocorra o escoamento 
dos materiais. Utilizar para o aço E= 200 GPa, σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC 
e para o latão E= 105 GPa, σY= 65 MPa e α=0,000020/ οC. 
 
 
300mm
φ = 40mm φ = 30mm
200mm
A BC
AÇO LATÃO
 
 
Resp: C5,48Tmax
o= 
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EXEMPLO 4 (Beer, p.122, prob. 2.57) Uma barra composta de duas porções 
cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB 
é de latão (E=105 GPa; α= 20,9 x 10−6/oC) e a porção BC é de aço (E= 
200 GPa; α= 11,7 x 10−6/oC). Sabendo-se que a barra está inicialmente sem 
tensão, determinar: (a) as tensões normais induzidas nas porções AB e BC, 
por uma temperatura aumentada de 30oC; (b) a correspondente deflexão 
no ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: (a) σAB= −44,8 MPa ; 
 σBC= −100,7 MPa 
(b) δB= 0,153 mm (↓) 
 
 
EXEMPLO 5 (Beer, p.122, prob. 2.58) Uma barra composta de duas porções 
cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB 
é de aço (E=200 GPa; α= 11,7 x 10−6/oC) e a porção BC é de latão (E= 105 
GPa; α= 20,9 x 10−6/oC). Sabendo-se que a barra está inicialmente sem 
tensão, determinar: (a) as tensões normais induzidas nas porções AB e BC, 
por uma temperatura de 50oC; (b) a correspondente deflexão no ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: (a) σAB= −201,8 MPa ; 
 σBC= −72,6 MPa 
(b) δB= 0,106 mm (↑) 
φ = 75mm
φ = 50mm1000mm
760mm
A
B
C
AÇO
LATÃO
φ = 30mm
φ = 50mm300mm
250mm
A
B
C
AÇO
LATÃO
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EXEMPLO 6 (Beer, p.118, prob. 2.43) 
 
 
EXEMPLO 7 (Beer, p.124, prob. 2.63) 
 
 
 
EXEMPLO 8 (Beer, p.124, prob. 2.62) 
 
 
 
EXEMPLO 9 (Beer, p.124, prob. 2.64) 
 
 
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EXEMPLO 10 (Beer, p.120, prob. 2.49) 
 
 
 
EXEMPLO 11 (Beer, p.123, prob. 2.61) 
 
 
EXEMPLO 12 (Beer, p.124, prob. 2.65) 
 
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EXEMPLO 13 (Beer, p.117, prob. 2.38) 
 
 
 
Respostas dos principais problemas 
 
 
 
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