resolução_prova_1_A2_Prof.Rone_3.2014

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F´ısica Quaˆntica
Prova 1 - turma A2
1) [2,5] Suponha o seguinte arranjo experimental: uma caixa e´ constru´ıda com paredes meta´licas que sa˜o
mantidas na temperatura T = 6000 K. Faz-se um orif´ıcio circular de diaˆmetro d = 4 mm em uma das
paredes, de modo que uma pequena quantidade de radiac¸a˜o escape do interior da caixa (veja a figura
abaixo). Com base nestas informac¸o˜es, resolva as questo˜es a seguir.
(a) [1,5] Calcule a poteˆncia com a qual a luz e´ irradiada atrave´s do orif´ıcio.
(b) [1,0] Considerando que a frequeˆncia t´ıpica da luz irradiada e´ a frequeˆncia na qual a distribuic¸a˜o espectral
e´ ma´xima, estime o nu´mero de fo´tons emitidos pelo orif´ıcio por unidade de tempo.
2) [2,5] O comprimento de onda correspondente ao limiar para que ocorra o efeito fotoele´trico no alumı´nio
(Al) e´ 2954 A˚.
(a) [1,0] Qual e´ a func¸a˜o trabalho do Al?
(b) [1,5] Qual e´ a energia cine´tica ma´xima dos ele´trons ejetados do Al pela luz ultravioleta com comprimento
de onda de 1500 A˚?
3) [2,5] Um mu´on pode ser capturado por um pro´ton para formar um a´tomo muoˆnico. O mu´on e´ uma
part´ıcula ideˆntica ao ele´tron, exceto pela massa, que e´ de aproximadamente 206,85me. Usando o modelo
de Bohr, determine:
(a) [1,0] O raio da primeira o´rbita de um a´tomo muoˆnico.
(b) [0,5] A energia do estado fundamental.
(c) [1,0] O menor comprimento de onda da se´rie de Lyman para este a´tomo.
4) [2,5] Um ele´tron e um fo´ton teˆm cada um um comprimento de onda de 2 A˚.
(a) [1,0] Calcule o momento de ambas as part´ıculas.
(b) [1,5] Calcule, tambe´m, a energia cine´tica de ambas as part´ıculas.
1
Algumas constantes:
c = 3, 0× 108m/s,
h = 6, 626× 10−34J s = 4, 135× 10−15eV s,
h¯ = h
2pi
k = (4πǫ0)
−1,
ǫ0 = 8, 854× 10
−12C2/(Nm2),
σ = 5, 67× 10−8Wm−2K−4,
carga do ele´tron: e = 1, 602× 10−19C,
massa do ele´tron: me = 9, 109× 10
−31kg = 0, 5110MeV/c2.
Fatores de conversa˜o:
eV = 1, 602× 10−19J,
1 A˚ = 10−10m; 1mm = 10−3m.
Fo´rmulas:
Kmax = hν − φ0, (1)
E = hν, (2)
p =
h
λ
, (3)
E = pc, (4)
E =
p2
2m
, (5)
νmax = 5, 882× 10
10 T s−1K−1, (6)
RT =
∫
∞
0
RT (ν) dν = σ T
4, (7)
L = nh¯ = n
h
2π
, com n = 1, 2, 3, ..., (8)
L = mr
(
kZe2
rm
) 1
2
, (9)
E = −
1
2
kZe2
r
. (10)
2
Resoluc¸a˜o:
1-a) P = poteˆncia total irradiada pelo orif´ıcio.
P = RTπ
(
d
2
)2
= σT 4π
(
d
2
)2
≈ 923, 4W
1-b) N= nu´mero de fo´tons emitidos por unidade de tempo.
νmax = 5, 882× 10
10 T s−1K−1 = 5, 882× 1010 6000K s−1K−1 ≈ 3, 53 × 1014 s−1
E = hνmax ≈ 2, 34 × 10
−19 J
N = P
E
≈ 3, 95 × 1021 s−1
2-a) λ0 = 2954 A˚, ν0 =
c
λ0
.
Kmax = 0⇒ hν0 − φ0 = 0⇒ φ0 = hν0 = h
c
λ0
≈ 4, 2 eV
2-b) λ1 = 1500 A˚, ν1 =
c
λ1
.
Kmax = hν1 − φ0 = h
c
λ1
− φ0 ≈ 4, 07 eV
3-a) m = 206, 85me
mr
(
kZe2
rm
) 1
2
= nh¯⇒ rn =
n2h¯2
mkZe2
r1 =
h¯2
mkZe2
≈ 2, 56× 10−3 A˚
3-b)
En = −
1
2
kZe2
rn
= −k
2Z2e4m
2n2h¯2
E1 = −2, 81KeV
3-c) Menor comprimento de onda da se´rie de Lyman: n = ∞ para n = 1.
E∞︸︷︷︸
0
−E1 = hν = h
c
λ
⇒ 1
λ
= −E1
hc
⇒ λ ≈ 4, 41 A˚
4-a)
fo´ton e ele´tron: p = h
λ
≈ 3, 31 × 10−24 kgm
s
4-b)
fo´ton: E = pc⇒ E ≈ 9, 94 × 10−16 J = 6, 2 keV
ele´tron: E = p
2
2me
⇒ E ≈ 6, 02 × 10−18 J = 37, 6 eV
3