Apresentação Funções

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Cálculo I Agosto / 2010
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Números Racionais 
I – Introdução 
Sendo a e b dois números inteiros, com a condição de b não nulo, chama-se número racional ao quociente a / b . 
Assim, são exemplos de números racionais: 
2/3, -3/5, 87/95, ... , etc
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q . O uso da letra Q deriva da palavra quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros.
Como todo número inteiro “a” pode ser escrito na forma “a / 1 = a” , concluímos que todo número inteiro é também um número racional. Assim, é trivial perceber que o conjunto dos números inteiros está contido ou é um subconjunto do conjunto dos números racionais. 
Os números racionais podem também ser representados na forma de um número decimal, ou seja, na forma “ i “,d onde “i” é a parte inteira e “d” a parte decimal. ou seja: Z  Q 
Por exemplo, 4/5 = 0,8 ; 3/5 = 0,6 ; 2/3 = 0,6666... ; 20/3 = 6,3333... ; etc
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Observe que todas as dízimas periódicas (também conhecidas como números decimais periódicos) são números racionais, uma vez que elas podem ser escritas 
na forma a / b. com b  0. 
Exemplos: 
1 – Escreva na forma a / b o número racional r = 1,25252525... 
Sendo r = 1,252525... , multiplicando ambos os membros por 100, teremos:
100.r = 125,252525... 
Subtraindo estas igualdades membro a membro, fica: 
100r – r = 125,252525... – 1,252525... , de onde tiramos:
99.r = 124 , e, portanto, r = 124 / 99.
Propriedade fundamental das frações: 
Uma fração ordinária não se altera, se multiplicarmos o seu numerador e denominador, por um mesmo número diferente de zero.
Assim é que:
a / b = a . n / b . n para n diferente de zero.
Exemplo: 2/3 = 4/6 = 8/18 = 24/54 = ... , etc
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II – Operações com números racionais
a) Adição e subtração
Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números inteiros com b e d diferentes de zero. 
A soma e a subtração destes números racionais, obedecem à seguinte regra: 
(a / b) ± (c / d) = (ad ± bc) / (bd) 
b) Multiplicação Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números inteiros com b e d diferentes de zero. 
A multiplicação obedece à seguinte regra geral: (a / b) . (c / d) = (a . c) / (b . d) 
c) Divisão Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números inteiros com b e d diferentes de zero. A divisão obedece à seguinte regra geral: (a / b) : (c / d) = (a / b) . (d / c) = (a . d) / (b . c) 
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 Assim como existem as dízimas periódicas, também existem as dízimas não periódicas que são justamente os números irracionais, uma vez que elas nunca poderão ser expressas como uma fração do tipo a / b . Exemplos de dízimas não periódicas ou números irracionais: a) 1,01001000100001000001... b) 3,141592654... c) 2,7182818272... d) 6,54504500450004... etc Existem dois tipos de números irracionais: os algébricos e os transcendentes. Os números irracionais algébricos, são as raízes inexatas dos números racionais, a exemplo de 2 , 5 , 17 , 103 , ... etc, ou qualquer outra raiz inexata. 
Números irracionais 
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Já os números irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os exemplos mais famosos de números irracionais transcendentes, o número p (π), o número de Euler e , cujos valores aproximados com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72 .
O número pi (π ) representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos neperianos.
É interessante comentar, que ao tratarmos na prática, dos números irracionais, deveremos sempre adotar os seus valores aproximados, uma vez que , por serem dízimas não periódicas, os valores adotados serão sempre aproximações.
Um exemplo clássico de não racionalidade de um número, é o caso da 
raiz quadrada de dois.
O valor aproximado da raiz quadrada de dois (2 ) é igual a 1,414
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3 – Identificação de números irracionais Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que: 3.1 – todas as dízimas periódicas são números racionais. 3.2 – todos os números inteiros são racionais. 3.3 – todas as frações ordinárias são números racionais. 3.4 – todas as dízimas não periódicas são números irracionais. 3.5 – todas as raízes inexatas são números irracionais. 3.6 – a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. 3.7 – a diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: 5 - 5 = 0 e 0 é um número racional. 3.8 – o quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: 8 : 2 = 4 = 2 e 2 é um número racional. 3.9 – o produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: 5 . 5 = 25 = 5 e 5 é um número racional. 
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Funções
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Função Quadrática
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f(x)= x²
f(x)= -4 x²
f(x)= x²-4x+3
f(x)=-x²+2x+7
Exemplos: 
Funções quadráticas 
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Igualdade de polinômios 
Os polinômios p e q em P[x], definidos por: 
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn 
são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n: 
ak=bk 
Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.
O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x]
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Funções Exponenciais: Exercícios 
Gráficos das funções f1(x)=3x, f2(x)=5x, f3(x)=7x, f4(x)=1 e f5(x)=0, estão traçados na figura abaixo.
Quais dos gráficos não são funções exponenciais? 
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Funções Exponenciais: Exercícios 
A partir dos gráficos das funções f(x)=2x, g(x)=2x+2 e h(x)=(1/2)x, descreva o que ocorre com g=g(x) e h=h(x) em relação a f=f(x).
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Funções crescentes e decrescentes 
Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.
Exemplo: Seja a função f:R -> R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.
Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.
Exemplo: Seja a função f:R    R definida por f(x)=-8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente.
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Quadrado da soma de dois termos
		(a+b)² = a² + b² + 2ab
			Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4
Quadrado da diferença de dois termos
		(a-b)² = a² + b² - 2ab
			Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5
Diferença de potências (ordem 2)
		a² - b² = (a+b)(a-b)
			Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)
Cubo da soma de dois termos
		(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
			Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³
Produtos Notáveis 
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Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
		(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
			Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²
Cubo da diferença de dois termos
		(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
			Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³
Identidade de Fibonacci
		(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
			Exemplo:(1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²
Identidade de Platão
		(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
			Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²
Identidade de Lagrange (4 termos)
		(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
			Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²
Produtos Notáveis 
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Quadrado da soma de n termos 
sendo que i<j.
Exemplos:
(a+b)²=a²+b²+2(ab)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
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Diferença entre os quadrados da soma e diferença
		(a+b)² - (a-b)² = 4ab
			Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9
Soma dos quadrados da soma e da diferença
		(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
			Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)
Soma de dois cubos
		a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
			Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)
Soma de dois cubos na forma fatorada
		a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
			Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)
Transformação do produto na diferença de quadrados
		ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
			Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²
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Produto de três diferenças
		(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)
Produto de três somas
		(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc
Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5
Soma de cubos das diferenças de três termos
		(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
		Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1)
Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
		(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4
		Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74
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