Conversão eletromecânica

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Disciplina de Graduação – Máquinas elétricas 
Unidade 02 
Professor: Luiz Henrique 
 
 
2.1 - Torques (conjugados) e forças em sistemas de campo magnético 
 
Lei da força de Lorentz 
 
F = q (E + v x B) (2-1) 
 
F → foca numa partícula de carga q na presença de campos elétricos e magnéticos. 
 
Unidade: SI 
 
Para um sistema de campo elétrico puro, a força atua na direção do campo e é 
independente da cinética da carga (partícula). 
 
F = q . E (2-2) 
 
Para campos magnéticos: 
 
F = q (v x B) (2-3) 
 
A força é determinada pela magnitude da carga na partícula, magnitude da densidade de 
campo magnético e velocidade da partícula. 
 
Sentido da força: sempre perpendicular à “v” e “B”, matematicamente determinada pelo 
produto vetorial v x B (Equação 2-3), ou através da regra da mão direita. 
 
Magnitude: I F I = q . I vI . I B I . sen α 
 
Para todos os casos onde um grande número de partículas estão em movimento, é 
conveniente reescrever (2-3) em termos de J: 
 
F = J x B (N/m3) (2-4) 
 
Portanto, para correntes elétricas circulando em meios condutores, a Equação 2-4 
determina a densidade de força atuando nesse condutor. 
 
Exemplo – Rotor de uma espira não magnética, sob um campo uniforme B. 
 
 
 
FIGURA 2-1 – Rotor de espira única, não-magnética. 
 
Força por unidade de comprimento do condutor: 
 
F = I x B (N.m) (2-5) 
 
Fio 1: F = B . I . l . sen α 
Fio 2: F = B . I . l . sen α 
 
Sendo l = comprimento do rotor. 
 
 
O torque atuando no rotor á dado pela soma dos momentos produzidos por cada fio: 
 
T = 2 . B . I . l . sen α (2-6) 
 
Entretanto, as Equações 2-4 a 2-6 aplicam-se somente a casos de simples geometria, e 
onde a força F atua apenas no condutor, ou seja, rotor não magnético. Essa condição não 
ocorre em dispositivos eletromecânicos usuais. 
 
 
2. 2 - Método pelo Princípio da Conservação de Energia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2-2 – Esquemático do Princípio da Conservação de Energia 
 
Fio 1 
Fio 2 
Campo Magnético Uniforme, B 
 
 
ENERGIA MAGNÉTICA 
+ +
- -
i f
Terminal Elétrico Terminal Mecânico 
Utilizado para calcular a força útil em dispositivos eletromecânicos (incluindo máquinas 
rotativas) 
 
? Consiste de: 
? Sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas, 
? Terminal elétrico (tensão e corrente), 
? Terminal mecânico (força e posição). 
 
Essa representação é valida quando os mecanismos de perdas podem ser separados do 
mecanismo de armazenamento de energia. 
 
No nosso caso: 
As perdas elétricas (perdas ôhmicas, etc.) são representadas como elementos externos 
ao terminal elétrico. 
As perdas mecânicas (atrito, etc.) são representadas como elementos externos ao 
terminal mecânico. 
 
Exemplo para entendimento do método – Atuador com êmbolo magnético móvel. 
 
 
 
 
FIGURA 2-3 
 
A interação entre os terminais elétricos e mecânico ocorre via meio de armazenamento de 
energia magnética, sem perdas. 
 
Sendo assim: 
 
dW = e.i.dt - fdx (2-7) 
 
E sendo: e = dλ / dt; 
 
dW = i . dλ - fdx (2-8) 
 
As equações 2-7 e 2-8 formam a base para o método da energia. 
 
 
 
resistência 
enrolamento 
Núcleo magnético 
enrolamento 
sem perdas 
êmbolo magnético 
móvel 
mag 
2.3- Balanço de Energia 
 
Princípio da conservação da energia: nenhuma energia é criada ou destruída, e sim, 
transformada. 
 
Sistemas isolados com contornos (limites) claramente definidos permitem o rastreamento 
ou monitoramento da energia, pois o fluxo resultante da energia ao longo do sistema é 
igual a taxa de variação no tempo da energia armazenada no sistema. 
 
Num sistema eletromecânico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação 2-9 está aplicada à ação de motor. 
 
Para o sistema de armazenamento de energia magnética da Figura 2-2, e aplicando a 
Equação 2-9, tem-se: 
 
dW elétrica = dW mec + dW mag (2-10) 
 
Onde: 
dW elétrica = diferencial da energia elétrica = entrada 
dW mec = diferencial da energia mecânica = saída 
dW mag = diferencial do acréscimo de energia magnética – armazenamento. 
 
 
No tempo “dt”: dW elétrica = e.i.dt (2-11) 
 
e = tensão induzida nos terminais elétricos pela varaiação da energia magnética 
armazenada. 
 
De 2-10 e 2-11: 
 
e.i.dt = dW mec + dW mag (2-12) 
 
Portanto, o processo básico de conversão de energia envolve o campo magnético de 
acoplamento e sua ação e reação nos terminais elétrico (“e”) e mecânico (“f”). 
 
2.4- Sistemas magnéticos de Excitação Simples 
 
Os dispositivos eletromecânicos de energia possuem gaps de ar (entreferros) entre as 
partes móvel e estacionária. Nesses gaps uma considerável energia é armazenada na 
forma de campo magnético. 
 
Energia Elétrica 
 
Entrada 
Energia 
Mecânica 
Saída 
Aumento 
Energia 
armazenada no 
campo 
magnético 
Energia 
convertida em 
calor = + + 
(2-9)
Ou seja, o campo magnético é o meio de conversão de energia eletromecânica e constitui 
uma espécie de reservatório entre os sistemas elétrico e mecânico. 
 
Caso exemplo: Relé eletromecânico – FIGURA 2-4 
 
 
 
 
 
Na figura 2-4: 
? r = resistência ôhmica da bobina de excitação, mostrada como elemento externo. 
? f = força produzida pelo campo magnético. 
? x = deslocamento da armadura. 
 
 
Sendo, “f” e “x”, variáveis do sistema eletromecânico. 
 
? perdas mecânicas = elementos externos conectados aos terminais mecânicos. 
? i, e = variáveis do terminal elétrico. 
 
Assim da equação 2-8 e 2-11: 
 
dW elétrica = i.dλ 
 
Como visto na Unidade 1, o circuito magnético da Figura 2.4 pode ser descrito por uma 
indutância L(x), que como indicado, depende do deslocamento x. 
 
Considerando a permeabilidade magnética do núcleo, µc = ∞, o armazenamento de 
energia ocorre totalmente no gap de ar. Sendo assim, temos também uma relação 
proporcional linear entre a fmm e λ, e ainda, entre λ e i. 
 
Portanto, λ = L (x).i (2-14) 
 
A energia de saída é determinada como: 
 
dW mec = fmag . dx (2-15) 
 
Como resultado: 
 
dW mag = idλ - fmag . dx (2-16) 
 
Força 
Mecânica
Armadura 
Magnética
Núcleo 
Magnético 
Fonte 
Elétrica 
Bobina sem 
perdas 
Considerando o sistema conservativo, ou sem perdas, dW mag é determinado apenas 
pelos valores de λ e x, e é constante independentemente da variação de λ e x até o valor 
final (λ0 e x0). Veja o gráfico representativo. 
 
 
 
 
Para resolver a equação 2-16, pode-se tomar dois caminhos. 
 
O caminho 1, caso genérico, requer a descrição das grandezas i e fmag em função das 
variáveis λ e x, respectivamente. Normalmente, apresenta certo grau de dificuldade. 
 
O caminho 2 permite o mesmo resultado de maneira mais fácil. Nesse caso: 
 
∫∫ == += blal dWmagdWmagxWmag 220,0 )(λ (2-17A) 
 
Sendo “l”, um sub-caminho. 
 
Para l = 2a: 
dλ = 0; 
fmag=0, pois λ = B = H = 0 
dW mag = 0. 
 
Para l = 2b: 
 
λλλ λ dxixWmag ),()( 0
0 00,0 ∫= (2-17B) 
 
Lembrando que o sistema é linear (equação 2-14): 
 
)(2
1
)(
)(
0
2
0
0
0
0,0
0
xL
d
xL
xWmag λλλλ λ∫ ==
 (2-18) 
 
 
Exemplo: 
Relé eletromecânico, Figura 2-6, µc = ∞, êmbolo móvel também com µ = ∞, altura do 
êmbolo muito maior que o cumpri meto do gap. 
 
Calcular W mag como uma função da posição do êmbolo ( 0 < x < d) para N = 1.000 
espiras, g = 0,002 m, d = 0,15 m, l = 0,1m e i = 10A. 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
êmbolo 
magnético 
núcleo magnético
bobina sem perdas 
com N espiras 
FIGURA 2-6 
Assim 
e 
2.5- Energia no Campo Magnético 
 
 
 
 
 
Supondo o sistema acima em equilíbrio: 
 
dW mec = 0 ⇒ dW mag = dW elétrica 
 
Para µ = ∞, e = dλ/dt ⇒ dW elétrica = e.i.dt ⇒ dW mag = idλ (2-18) 
 
Relação λ versus i para o circuito magnético: 
 
 
 
 
∫= λ λ0 idWmag (2-19) 
 
Sendo Ni = Hclc + Hglg;λ = N∅ = N.B.A 
 
∫ += λ0 ..... dBANN
lHlH
Wmag ggcc (2-20) 
 
No gap: Hg = B / µ0. 
 
FIGURA 2-7 
FIGURA 2-8 
dBAlBlHWmag gcc ....
0
∫ 


 += µ 
 
( ) ∫∫ += dBAlBdBAlHWmag gcc ......
0µ 
 
( ) ∫∫ += gcc VolumedBBVolumedBHWmag ....
0µ (2-21) 
 
gcc Volume
BVolumeWmagWmag .
2
.
0
2
µ+= (2-22) 
 
 
 
 
 
 
Normalmente, W mag no núcleo é muito menor que no gap, sendo a primeira considerada 
de valor desprezível. 
 
Ainda, para um sistema linear (µ = constante): 
 
c
c
c
c
c
c Volume
B
dB
B
Wmag .
.2
2
µµ == ∫ (2-23) 
 
 
2.6- Energia e Co-energia 
 
A característica λ - i num circuito magnético depende do comprimento do gap de ar e das 
características do material ferromagnético ( curva B x H). Veja figura 2-9: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 
λ 
i 
λ 
i 
W’ mag 
W mag
FIGURA 2-9 
Densidade de energia 
no núcleo 
Densidade de energia 
no gap 
W mag = armazenada em forma de campo magnético; 
W’ mag = coenergia 
 
∫= i dimagW 0 .' λ (2-24) 
 
Nota: a co-energia não possui significado físico, mas é usada para desenvolver 
expressões de torque ou força em sistemas eletromecânicos. 
 
Ainda, W mag+ W’ mag = λ . i (2-25) 
 
 
2.7 - Força Mecânica 
 
Considere o sistema da Figura 2-7, e ainda: 
 
x = x1 (maior gap) 
x = x2 (menor gap) 
 
Dessa forma, veja respectiva a característica λ - i: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para i = constante: 
 
)(.. 2
1
abcdÁreaiddtiedWe === ∫ ∫λλ λ 
 
oadobcdWmag −= 
 
)( oadobcabcddWmag −−= 
 
""oabdWmec = 
 
Considerando que o movimento da parte móvel ocorre sob i = constante, o trabalho 
mecânico é representado pela área hachurada, o que, na verdade é o aumento da co-
energia. 
 
dW mec = dW’ mag 
 
λ 
i 
a 
b c 
d 
λ 1 
λ 2 
i 
x = x2 
x = x1 
FIGURA 2-10 
Se fmag produz o deslocamento dx, 
 
fmag . dx = dW mec = dW’ mag 
 
teconsix
ximagWfmag
tan
),('
=∂
∂= 
 
 
Ou, sendo x e i, variáveis de estado independentes, e: 
 
dW’ mag = λdi + fmag . dx (2-25), para di = 0; 
 
dW’ mag = fmag . dx ⇒ 
teconsix
ximagWfmag
tan
),('
=∂
∂= (2-26) 
 
 
Agora, através da equação da variação da energia, dW mag: 
 
dW mag(, x) =idλ - fmag . dx, sendo dλ = 0: 
 
teconsx
xWmagfmagxfmagWmag
tan
),(.
=∂
∂−=⇒∂−=∂
λ
λ
 (2-27) 
 
As equações 2-26 e 2-27 constituem as ferramentas de cálculos de força e torque em 
sistemas eletromecânicos. As duas equações, por co-energia (2-26) e por energia (2-27), 
permitem resultados satisfatórios. 
 
Portanto é importante observar: 
 
1) Fisicamente, a força fmag depende de “x” e do campo magnético. Por sua vez, o campo 
magnético pode ser expresso em termos de fluxo concatenado λ, ou corrente i ou 
grandezas correlatas. 
 
2) Os sinais algébricos (+ dW’ mag ) e (- dW mag) indicam a força agindo no sentido de 
atenuar a energia armazenada em forma d campo magnético ou de aumentar a co-energia 
com corrente constante. 
 
No caso do dispositivo de excitação simples, a força age no sentido de aumentar a 
indutância “L” ou reduzir a relutância do circuito magnético. 
 
Exemplo: 
 
Num sistema eletromagnético, existe a seguinte relação λ - i: 
 


<<
<<



=
cmg
Aioparai g
103
4
09,0
2λ
 
 
Para i = 3A e g = 5 cm, calcule a fmag na parte móvel usando os conceitos de energia e co-
energia. 
 
 RESPOSTA: Fmag = - 124,7N 
 
NOTAS: 
 
1) A força calculada em função da ENERGIA e CO-ENERGIA apresentou o mesmo 
valor, como esperado. 
2) O sinal (-) da força indica que essa age no sentido de reduzir o comprimento do gap 
de ar, ou seja, a relutância do circuito magnético. 
 
 
2.8 - Sistemas Magnéticos de Excitação Múltipla 
 
Vários dispositivos de conversão eletromecânica possuem múltiplos conjuntos de 
terminais elétricos. Exemplos: Transdutores de potência, máquinas multi-excitadas, etc. 
 
Veja o modelo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existindo três terminais, o sistema deve ser descrito com três variáveis in dependentes, 
sendo: 
- deslocamento angular mecânico, θ, 
- fluxos concatenados λ1 e λ2 ou correntes i1 e i2 ou λ1(i1) ou i2 (λ2). 
 
Usando os fluxos λ1 e λ2: 
 
dW mag (λ1, λ2 ,) = i1dλ1 + i2dλ2 - T magdθ (2-28) 
 
Por analogia ao sistema de excitação simples: 
 
λ1 
λ2 
i2 
i1 + 
+ 
- 
- 
T mag 
+
- 
θ 
Sistema de 
Energia 
Magnética sem 
Perdas 
Terminal 
Mecânico 
Terminais 
Elétricos 
FIGURA 2-10
1
21
1
),,(
λ
θλλ
∂
∂= Wmagi (2-29) 
 
2
21
2
),,(
λ
θλλ
∂
∂= Wmagi (2-30) 
 
θ
θλλ
∂
∂−= ),,( 21WmagTmag (2-31) 
 
A partir da Equação 2-28, pode-se calcular W mag. A ilustração a seguir mostra a 
integração mais conveniente, ou seja, através de θ, λ2 e λ1 sucessivamente. 
 
 
 
 
Assim: 
 
102020 112020 1202010
),,(),,0(),,( 1020 λθλλλλθλλθλλ λλ didiWmag =+== ∫∫ 
(2-32) 
 
Num sistema linear: 
 
λ1 = L11.i1 + L12.i2 (2-33) 
λ2 = L21.i1 + L22.i2 (2-34) 
L12 = L21 
 
Nota: Comumente, as indutâncias variam em função de θ. 
 
Trabalhando as equações acima: 
 
D
LLi 2121221
.. λλ −= (2-35) 
 
D
LLi 2111212
.. λλ −−= (2-36) 
 
211222112 .. LLLLD −= (2-37) 
 
 
 
Calculando W mag a partir de Equação 2-32: 
 
201012
2
1022
2
201102010 ...
1..
2
1..
2
1),,( λλλλθλλ L
D
L
D
L
D
Wmag −+= (2-38A) 
 
De maneira similar, quando se utiliza as correntes i1 e i2 para descrever o sistema 
eletromecânico, obtemos o diferencial da co-energia: 
 
θλλθ dTmagdidiiidW ...),,(' 221121 ++= (2-38B) 
 
1
21
1
),,('
i
iimagW
∂
∂= θλ
 (2-39) 
 
2
21
2
),,('
i
iimagW
∂
∂= θλ
 (2-40) 
 
θ
θ
∂
∂= ),,(' 21 iimagWTmag (2-41) 
 
Fazendo a analogia com as Equações 2-32 a 2-38: 
 
102020 112020 1202010
),,(),,0(),,(' 1020 diiiidiiiiimagW
ii θλθλθ =+== ∫∫ (2-42) 
 
E para um sistema linear: 
 
2112
2
222
2
11121 ....2
1..
2
1),,(' iiLiLiLiimagW ++=θ (2-43) 
 
Finalizando, sistemas com dois ou mais terminais elétricos podem ser resolvidos pela 
mesma metodologia, Ou seja, a partir da escolha de uma variável independente para cada 
terminal. //