1.2 aula Condução bidimensional em regime estacionário

Prévia do material em texto

*
Transferência de Calor e Massa
Unidade 1
Seção 1.2 – Condução bidimensional em regime estacionário
AULA
Profª Elaine Cristina Santos da Silva
*
O objetivo do estudo da condução bidimensional de calor é
determinar a taxa (ou o fluxo) de calor que é transferido através do
material.
Solucionar a equação de condução de calor para uma situação
bidimensional não é trivial e muitas vezes a solução analítica não pode
ser obtida.
Buscando um modo mais simples de analisar a condução bidimensional que ocorre entre duas superfícies mantidas nas temperaturas 
Emprega-se o fator de forma (S) na obtenção da taxa de condução de calor (q) descrito por:
*
*
*
Em que k é a condutividade térmica do material sólido pertencente
entre ambas as superfícies.
Esta condição limita o uso do fator de forma, visto que este não pode ser utilizado no caso de fluidos devido à presença de convecção natural ou forçada nesses meios
Por depender unicamente da geometria do sistema, vários cientistas
desenvolveram fórmulas para o fator de forma em diversas configurações comuns da Engenharia.
*
*
*
*
*
O fator de forma é utilizado na equação da taxa de transferência de calor, sendo um parâmetro dependente unicamente da geometria do sistema em análise.
Unidade do fator de forma é o metro.
*
*
*
*
*
*
*
*
Faça valer a pena p.41
*
*
*
*
Existem situações bidimensionais em que é possível obter uma solução analítica utilizando-se o método de separação de variáveis 
Para resolver a equação de condução de calor bidimensional em regime permanente sem geração de energia escrita como:
*
*
solução específica para a condução de calor bidimensional em regime permanente sem geração de energia em uma placa retangular com três lados mantidos na temperatura T1 e um lado mantido 
É expressa por:
*
A solução da condução bidimensional obtida pelo método de separação de variáveis (também chamado de solução analítica visto fornecer a solução exata) 
É trabalhosa, extensa e somente possível para geometrias e condições de contorno simples.
*
Avançando na prática
Solução analítica da equação do calor bidimensional
*
*
*
*
Resolução da situação-problema
A fim de determinar a temperatura exata no centro da lateral do
equipamento (Figura 1.15), você pode utilizar a solução analítica para
o caso da placa bidimensional e comparar com o valor indicado no termopar. 
A equação que fornece essa temperatura é:
*
*
Em que x representa a largura e y a altura do equipamento.
Substituindo os valores fornecidos, temos que resolver uma série
infinita de termos. 
Seus primeiros termos não nulos são apresentados na sequência.
*
*
*
*
*
Como os termos da série são decrescentes, podemos utilizar com boa precisão somente os 4 primeiros termos não nulos da série.
Logo, a temperatura procurada é:
Como a temperatura medida é diferente de 100 ºC , o equipamento precisa ser encaminhado para manutenção.
*
As equações de diferenças finitas que consistem em, a grosso modo, substituir as derivadas da equação de condução por diferenças finitas de temperatura. 
Isto permitirá resolver a expressão de forma mais simples e rapidamente, porém perdendo um pouco da exatidão.
O método das diferenças finitas é um método numérico para solução da equação de calor bidimensional e que pode ser facilmente estendido para situação tridimensional. 
Ela não fornece a resposta exata do problema, mas sua solução pode se tornar tão próxima quanto se quiser de tal modo que para fins práticos considere-se sua solução como verdadeira. 
*
*
Além deste método numérico, existem os métodos dos elementos finitos, dos elementos de contornos e do balanço de energia.
Esses pontos, denominados de pontos nodais ou simplesmente nó, são os pontos que se originam ao dividir a região de análise 
a posição x e y de um nó é representada pelos índices i e j, respectivamente.
Quanto mais finamente dividida for a malha nodal (conjunto de pontos que também são chamados de rede ou grade) tão mais preciso será a solução do método numérico. 
A temperatura do nó (i,j) da Figura representa a temperatura média da região delimitada pelas linhas tracejadas.
*
*
*
*
*
temperatura Ti,j é uma média aritmética das temperaturas dos nós adjacentes ao nó (i,j). 
Além disso, a equação diferencial original foi aproximada por uma equação algébrica para o nó (i,j).
A determinação do perfil de temperatura dentro do contorno geométrico consiste em escrever uma equação de diferenças finitas para cada nó presente na malha, e então resolver, simultaneamente, todas essas equações algébricas.
Emprega-se cálculo matricial, o método de Gauss-Seidel ou calculadoras e programas computacionais.
*
A vantagem do método permite analisar situações em que estejam
presentes, por exemplo, diversos materiais, fontes de calor ou mesmo
que as superfícies dos materiais não estejam orientadas na mesma
direção do eixo coordenado, empregado na análise do fenômeno.
Uma forma intuitiva de desenvolver a equação algébrica para um
nó qualquer, que é idêntica à demonstrada pelo método de diferenças
finitas, envolve realizar o balanço de energia em cada nó, considerando que as taxas de calor dos nós adjacentes têm a direção de entrar no nó em análise
*
*
*
Observe que quando o nó se encontra na superfície do material, metade do nó pode estar sujeito à convecção. 
Caso a superfície esteja isolada, então nesse caso a taxa e o fluxo de calor através da superfície seriam nulos.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*